初中数学人教版八年级上册15.3 分式方程教案

15．3　分式方程

第1课时　分式方程及其解法

一、基本目标

【知识与技能】

1．理解分式方程的定义，能确定一个方程是不是分式方程．

2．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，了解分式方程验根的必要性．

【过程与方法】

经历分析、观察的过程，理解分式方程的定义，通过思考、归纳，得出可化为一元一次方程的分式方程的解法，在解分式方程的过程中，了解分式方程的增根产生的原因，从而得出验根的必要性．

【情感态度与价值观】

通过将分式方程转化为一元一次方程求解，培养转化思想的应用意识，通过对增根的认识和分式方程验根的必要性的了解，培养严谨的学习态度．

二、重难点目标

【教学重点】

分式方程的定义，分式方程的解法及判断一个数是不是分式方程的增根．

【教学难点】

正确求解可化为一元一次方程的分式方程．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P149～P151的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

2．分式方程的解法：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母．这是分式方程的一般解法．

3．分式方程的验根方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．

4下列方程中，哪些是关于x的分式方程？.

①＝5；　②＝；　③＝x－1；　④＝；　⑤＝.

解：②⑤是关于x的分式方程．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】解方程：

(1)＝；

(2)＋1＝；

(3)－＝1.

【互动探索】(引发学生思考)怎么解分式方程？解分式方程应该注意些什么？

【解答】(1)方程两边乘x(x－6)，得3x－18＝2x.解得x＝18.

检验：当x＝18时，x(x－6)≠0.故原分式方程的解为x＝18.

(2)方程两边乘2(x＋2)，得6x＋2(x＋2)＝8.解得x＝.

检验：当x＝时，2(x＋2)≠0，故原分式方程的解为x＝.

(3)方程两边乘(x＋1)(x－1)，得(x＋1)2－4＝(x＋1)(x－1)．解得x＝1.

检验：当x＝1时，(x＋1)(x－1)＝0，因此x＝1不是原分式方程的解．

故原分式方程无解．

【互动总结】(学生总结，老师点评)解分式方程的一般方法是将分式方程通过“去分母”转化为整式方程求解，注意要验根．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．下列关于x的方程，是分式方程的是(　D　)

A.－3＝　 B．＝3－x

C.－＝　 D．＝4

2．解方程：

(1)＝1；

(2)－＝0；

(3)＋＝；

(4)＋－＝0.

解：(1)x＝－3.(2)x＝3.(3)无解．(4)无解．

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例2】当m为何值时，关于x的方程＋＝会产生增根？

【互动探索】分式方程的增根是怎么产生的？怎样确定分式方程的增根？

【解答】方程两边乘(x＋1)(x－1)，得2(x－1)－5(x＋1)＝m.

化简，得m＝－3x－7.

由(x＋1)(x－1)＝0，得方程的增根为x＝1或x＝－1.

当x＝1时，m＝－3－7＝－10；

当x＝－1时，m＝3－7＝－4.

故当m＝－10或－4时，关于x的方程＋＝会产生增根．

【互动总结】(学生总结，老师点评)去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有未知数的式子，这个式子有可能为0，对于整式方程来说求出的解成立，而对于分式方程来说，当分母为零时，分式无意义，所以这个解不是分式方程的解，称为分式方程的增根．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！

第2课时　分式方程的应用

一、基本目标

【知识与技能】

1．理解列分式方程解应用题的基本思路和方法．

2．能根据题意正确列出分式方程，并解决问题．

【过程与方法】

经历思考、分析、归纳的过程，掌握列分式方程解决实际问题的方法，通过列分式方程解决实际问题，加深对分式方程解法的理解，并了解列分式方程解决实际问题的重要性．

【情感态度与价值观】

通过归纳列分式方程解应用题的步骤的过程，养成归纳意识，通过列分式方程解决实际问题，提高运用所学知识解决实际问题的能力．

二、重难点目标

【教学重点】

列分式方程解实际问题的步骤．

【教学难点】

根据题意正确列出分式方程并求解．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P152～P153的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．列方程解应用题的一般步骤是

(1)审题设未知数；

(2)找等量关系列方程；

(3)解方程；

(4)检验根是否符合实际意义；

(5)作答.

2．类比一般方程，列分式方程解应用题的一般步骤是

(1)审题设未知数；

(2)找等量关系列方程；

(3)去分母化分式方程为整式方程；

(4)解整式方程；

(5)检验根是否符合实际意义；

(6)作答.

3．施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意x满足的方程为－2＝.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度．

【互动探索】(引发学生思考)如果设步行速度为x千米/时，则骑自行车的速度怎么表示？可以根据哪个等量关系来列方程？

【解答】设步行速度为x千米/时，则骑自行车的速度为4x千米/时．

由题意，得＋＝2.解得x＝5.

检验：当x＝5时，4x≠0.故原分式方程的解为x＝5，且符合题意.4x＝20.

故步行的速度为5千米/时，骑自行车的速度为20千米/时．

【互动总结】(学生总结，老师点评)行程问题中，最基本的等量关系是路程＝速度×时间，根据路程、速度、时间之间的关系列出方程是解题的关键．

1．甲、乙两人分别从相距36千米的A，B两地相向而行，甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样两人恰好在AB中点处相遇．已知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人的速度各是多少？

【互动探索】(引发学生思考)

等量关系：t甲＝t乙．

【解答】设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为(x＋0.5)千米/小时．

根据题意，列方程得

＝.

解得x＝4.5.

检验：当x＝4.5时，x(x＋0.5)≠0.所以，x＝4.5是原方程的解．则x＋0.5＝5.

答：甲的速度为5千米/小时，乙的速度为4.5千米/小时．

【互动总结】(学生总结，老师点评)等量关系是时间相等，那么就要找到相等时间里每个人所走的路程，甲的路程比乙的路程多两个1千米．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习．甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳240个．又已知甲每分钟比乙少跳20个，甲、乙两人每分钟各跳多少个？

解：设甲每分钟跳x个，则乙每分钟跳(x＋20)个．

由题意，得＝.解得x＝60.

经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合题意．

x＋20＝80.故甲每分钟跳60个，乙每分钟跳80个．

2．甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？

解：设乙工程队每天修路x千米，则甲工程队每天修路(x＋0.5)千米．

由题意，得1.5·＝.解得x＝1.

经检验，x＝1是原分式方程的解，且符合题意．

x＋0.5＝1.5.故甲工程队每天修路1.5千米，乙工程队每天修路1千米．

3．某超市用4000元购进某种服装销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种服装，但这次的进价比第一次的进价降低了10%，购进的数量是第一次的2倍还多25件，问这种服装第一次进价是每件多少元？

解：设这种服装第一次进价是每件x元，则第二次进价是每件(1－10%)x元．

由题意，得2·＋25＝.解得x＝80.

经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意．

故这种服装第一次进价是每件80元．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！