离散型随机变量及其分布列专题训练

这是一份离散型随机变量及其分布列专题训练，共19页。

（Ⅰ）小明要去北京旅游，可能乘火车、汽车，也可能乘飞机，他的旅费分别为元、元和 元，记他的旅费为；
（Ⅱ）正方体的骰子，各面分别刻着，随意掷两次，所得的点数之和．
答案：（Ⅰ）100、260、600
（Ⅱ）2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12
（2）抛掷两颗骰子，所得点数之和为，那么表示的随机试验结果是（ ）
A．一颗是3点，一颗是1点
B．两颗都是2点
C．两颗都是4点
D．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点
答案：D
（3）设离散型随机变量X的分布列为
求：(Ⅰ)2X＋1的分布列；
(Ⅱ)|X－1|的分布列．
解：由分布列的性质知，
0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，所以m＝0.3.
首先列表为
从而由上表得
(Ⅰ)2X＋1的分布列为
(Ⅱ)|X－1|的分布列为
点拨 ①研究随机变量的取值，关键是准确理解所定义的随机变量的含义．明确随机变量所取的值对应的试验结果是进一步求随机变量取这个值时的概率的基础．②注意离散型随机变量分布列的两个性质：pi≥0，i＝1，2，…，n；eq \i\su(i＝1,n,p)i＝1.③随机变量可能取某一区间内任意值，无法一一列出，则称这样的随机变量为连续型随机变量，如“长江水位”“灯管寿命”等，正态分布即是一种重要的连续型随机变量的分布，不要与离散型随机变量混为一谈．
(4)(2018·豫北十校联考)某高中在招高一新生时，有统一考试招生和自主招生两种方式．参加自主招生的同学必须依次进行“语文”“数学”“科学”三科的考试，若语文达到优秀，则得1分，若数学达到优秀，则得2分，若科学达到优秀，则得3分，若各科未达到优秀，则不得分．已知小明三科考试都达到优秀的概率为eq \f(1,24)，至少一科考试优秀的概率为eq \f(3,4)，数学考试达到优秀的概率为eq \f(1,3)，语文考试达到优秀的概率大于科学考试达到优秀的概率，且小明各科达到优秀与否相互独立．
(Ⅰ)求小明语文考试达到优秀的概率；
(Ⅱ)求小明三科考试所得总分的分布列和期望．
解：(Ⅰ)依题意，设小明语文考试达到优秀的概率为p1，科学考试达到优秀的概率为p2，且p1>p2，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)p1p2＝\f(1,24)，,1－（1－p1）（1－\f(1,3)）（1－p2）＝\f(3,4)，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(p1＝\f(1,2)，,p2＝\f(1,4)，))
则小明语文考试达到优秀的概率为eq \f(1,2).
(Ⅱ)记小明三科的总得分为X，则X的可能取值为0，1，2，3，4，5，6.
P(X＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＝eq \f(1,4)，
P(X＝1)＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＝eq \f(1,4)，
P(X＝2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＝eq \f(1,8)，
P(X＝3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＝eq \f(5,24)，
P(X＝4)＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,4)＝eq \f(1,12)，
P(X＝5)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,24)，
P(X＝6)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,24).
则X的分布列为
E(X)＝0×eq \f(1,4)＋1×eq \f(1,4)＋2×eq \f(1,8)＋3×eq \f(5,24)＋4×eq \f(1,12)＋5×eq \f(1,24)＋6×eq \f(1,24)＝eq \f(23,12).
变式1 (1) 袋中有个大小规格相同的球，其中含有个红球，从中任取个球，求取出的个球中红球个数的概率分布．
答案：
（2）随机变量ξ的分布列如下，其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)＝______________，公差d的取值范围是____________.
解：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，所以b＝eq \f(1,3)，所以P(|ξ|＝1)＝a＋c＝eq \f(2,3).
又a＝eq \f(1,3)－d，c＝eq \f(1,3)＋d，根据分布列的性质，得0≤eq \f(1,3)－d≤eq \f(2,3)，0≤eq \f(1,3)＋d≤eq \f(2,3)，所以－eq \f(1,3)≤d≤eq \f(1,3).
故填eq \f(2,3)；eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3))).
(3)(2017·天津卷)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4).
(Ⅰ)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
(Ⅱ)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
解：(Ⅰ)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＝eq \f(1,4)，
P(X＝1)＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,4)＝eq \f(11,24)，
P(X＝2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＝eq \f(1,4)，
P(X＝3)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,24).
所以，随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望E(X)＝0×eq \f(1,4)＋1×eq \f(11,24)＋2×eq \f(1,4)＋3×eq \f(1,24)＝eq \f(13,12).
(Ⅱ)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)
＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)
＝eq \f(1,4)×eq \f(11,24)＋eq \f(11,24)×eq \f(1,4)＝eq \f(11,48).
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为eq \f(11,48).
考点二 超几何分布
例2 (河南、河北两省重点高中2019届高三考前预测)为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，某校高三年级准备成立一个环境保护兴趣小组．该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人．现按男、女用分层抽样从理科生中抽取6人，按男、女用分层抽样从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛．
(1)设事件A为“选出的这4个人中要求有2个男生2个女生，而且这2个男生必须文、理科生都有”，求事件A发生的概率；
(2)用X表示抽取的4人中文科女生的人数，求X的分布列和数学期望．
解：(1)因为学生总数为1 000人，该年级分文、理科按男女用分层抽样抽取10人，则抽取了理科男生4人、女生2人，文科男生1人、女生3人．
所以P(A)＝eq \f(Ceq \\al(1,4)·Ceq \\al(1,1)·Ceq \\al(2,5),Ceq \\al(4,10))＝eq \f(40,210)＝eq \f(4,21).
(2)X的可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝eq \f(Ceq \\al(4,7)·Ceq \\al(0,3),Ceq \\al(4,10))＝eq \f(1,6)，
P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(3,7)·Ceq \\al(1,3),Ceq \\al(4,10))＝eq \f(1,2)，
P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,7)·Ceq \\al(2,3),Ceq \\al(4,10))＝eq \f(3,10)，
P(X＝3)＝eq \f(Ceq \\al(1,7)·Ceq \\al(3,3),Ceq \\al(4,10))＝eq \f(1,30)，
X的分布列为
E(X)＝0×eq \f(1,6)＋1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,30)＝eq \f(6,5).
点拨 ①超几何分布的概率计算公式从古典概型的角度加以理解更易记忆：P(X＝k)＝eq \f(Ceq \\al(k,M)Ceq \\al(n－k,N－M),Ceq \\al(n,N))，即恰取了k件次品的概率＝eq \f(次品中取了k件×正品中取了n－k件,N件产品中任取n件).②当n较小，N较大时，超几何分布的概率计算可以近似地用二项分布来代替．也就是说虽然超几何分布是不放回抽样，二项分布是放回抽样，但是当n较小而产品总数N很大时，不放回抽样近似于放回抽样．③超几何分布在产品检验中经常用到．
变式2 (2017·山东卷)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望E(X)．
解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M)＝eq \f(Ceq \\al(4,8),Ceq \\al(5,10))＝eq \f(5,18).
(2)由题意知X可取的值为：0，1，2，3，4，则
P(X＝0)＝eq \f(Ceq \\al(5,6),Ceq \\al(5,10))＝eq \f(1,42)，
P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(4,6)Ceq \\al(1,4),Ceq \\al(5,10))＝eq \f(5,21)，
P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(3,6)Ceq \\al(2,4),Ceq \\al(5,10))＝eq \f(10,21)，
P(X＝3)＝eq \f(Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(3,4),Ceq \\al(5,10))＝eq \f(5,21)，
P(X＝4)＝eq \f(Ceq \\al(1,6)Ceq \\al(4,4),Ceq \\al(5,10))＝eq \f(1,42)，
因此X的分布列为
X的数学期望是
E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)
＝0＋1×eq \f(5,21)＋2×eq \f(10,21)＋3×eq \f(5,21)＋4×eq \f(1,42)＝2.
考点三 摸球模型、抽签模型
例3 一口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球，每次从袋中任意摸出一个球．
(1)采取有放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；
(2)采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的均值和方差．
解：(1)“有放回摸取”可看作独立重复试验，每次摸出一球是白球的概率为P＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).
记“有放回摸两次，颜色不同”为事件A，其概率为P(A)＝eq \f(4,9).
(2)设摸得白球的个数为X，则X的取值为0，1，2，
P(X＝0)＝eq \f(4,6)×eq \f(3,5)＝eq \f(2,5)，
P(X＝1)＝eq \f(4,6)×eq \f(2,5)＋eq \f(2,6)×eq \f(4,5)＝eq \f(8,15)，
P(X＝2)＝eq \f(2,6)×eq \f(1,5)＝eq \f(1,15).
所以X的分布列为
E(X)＝0×eq \f(2,5)＋1×eq \f(8,15)＋2×eq \f(1,15)＝eq \f(2,3)，
D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(2,3)))eq \s\up12(2)×eq \f(2,5)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))eq \s\up12(2)×eq \f(8,15)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(2,3)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,15)＝eq \f(16,45).
点拨 求离散型随机变量的分布列的关键在于确定随机变量及其概率．就本题而言，弄清“放回”与“不放回”在概率计算上的区别是正确解题的关键．均值与方差直接套用公式计算即可．
变式3 (江西省新八校2019届高三第二次联考)某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下.
(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，每次抽取1个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；(结果用分数表示)
(2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考．
方案1：不分类卖出，单价为20元/kg.
方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下.
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及数学期望E(X)．
解：(1)设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A，则P(A)＝eq \f(20,100)＝eq \f(1,5)，
现有放回地随机抽取4个，每次抽取1个，设抽到礼品果的个数为X，则X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,5)))，所以恰好抽到2个礼品果的概率为P(X＝2)＝Ceq \\al(2,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))2＝eq \f(96,625).
(2)设方案2的单价为ξ，则单价的期望值为E(ξ)＝16×eq \f(1,10)＋18×eq \f(3,10)＋22×eq \f(4,10)＋24×eq \f(2,10)＝eq \f(16＋54＋88＋48,10)＝20.6，
因为E(ξ)>20，所以从采购商的角度考虑，应该采用方案1.
(3)用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个．
现从中抽取3个，则精品果的数量X服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝eq \f(Ceq \\al(3,6),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(1,6)，P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(1,4),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(1,2)，
P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(1,6)Ceq \\al(2,4),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(3,10)，P(X＝3)＝eq \f(Ceq \\al(3,4),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(1,30)，
所以X的分布列如下.
E(X)＝0×eq \f(1,6)＋1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,30)＝eq \f(6,5).
考点四 停止型问题
例4 (广东省2019届高考适应性考试)当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．为激发学生加强体育活动，保证学生健康成长，某校开展了校级排球比赛，现有甲乙两队进行比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一队比对方多2分或打满8局时停止．设甲队在每局中获胜的概率为p(p＞eq \f(1,2))，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为eq \f(5,9).
(1)求p的值；
(2)设X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X的分布列和数学期望E(X)．
解：(1)依题意，当甲队连胜2局或乙队连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．
所以有p2＋(1－p)2＝eq \f(5,9)，解得p＝eq \f(2,3)或p＝eq \f(1,3)(小于eq \f(1,2)，故舍)．
(2)依题意知，X的所有可能取值为2，4，6，8.
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为eq \f(5,9).若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙两队在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有P(X＝2)＝eq \f(5,9)，
P(X＝4)＝(1－eq \f(5,9))×eq \f(5,9)＝eq \f(20,81)，
P(X＝6)＝(1－eq \f(5,9))×(1－eq \f(5,9))×eq \f(5,9)＝eq \f(80,729)，
P(X＝8)＝(1－eq \f(5,9))×(1－eq \f(5,9))×(1－eq \f(5,9))×1＝eq \f(64,729).
所以随机变量X的分布列为
则E(X)＝2×eq \f(5,9)＋4×eq \f(20,81)＋6×eq \f(80,729)＋8×eq \f(64,729)＝eq \f(2 522,729).
点拨 解决这类终止型问题，一定要弄清楚终止的条件，根据终止条件确定各种可能结果，再计算相应概率，对逻辑推理素养要求较高．
变式4 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望．
解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”为事件A，则P(A)＝eq \f(5,6)×eq \f(4,5)×eq \f(3,4)＝eq \f(1,2).
(2)依题意得，X所有可能的取值是1，2，3.
又P(X＝1)＝eq \f(1,6)，P(X＝2)＝eq \f(5,6)×eq \f(1,5)＝eq \f(1,6)，P(X＝3)＝eq \f(5,6)×eq \f(4,5)×1＝eq \f(2,3).
所以X的分布列为
所以E(X)＝1×eq \f(1,6)＋2×eq \f(1,6)＋3×eq \f(2,3)＝eq \f(5,2).

课后作业

1.(2018·孝感一模)已知随机变量ξ的分布列如下：
其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为 ( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(5,6)
解：由题意知a，b，c∈[0，1]，且eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2b＝a＋c，,a＋b＋c＝1，))解得b＝eq \f(1,3).又函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，故对于方程x2＋2x＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝eq \f(1,3).故选B.
2.(2018·兰州模拟)有一个公用电话亭，观察使用过电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用电话的概率为P(n)，且P(n)与时刻t无关，统计得到P(n)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（\f(1,2)）n·P（0），1≤n≤5，,0，n≥6，))那么P(0)的值是 ( )
A.0 B.1 C.eq \f(32,63) D.eq \f(1,2)
解：由题意得P(1)＝eq \f(1,2)P(0)，P(2)＝eq \f(1,4)P(0)，P(3)＝eq \f(1,8)P(0)，P(4)＝eq \f(1,16)P(0)，P(5)＝eq \f(1,32)P(0)，P(n≥6)＝0，所以1＝P(0)＋P(1)＋P(2)＋P(3)＋P(4)＋P(5)＋P(n≥6)＝(1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,8)＋eq \f(1,16)＋eq \f(1,32))P(0)＝eq \f(63,32)P(0)，所以P(0)＝eq \f(32,63).故选C.
3.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．若η＝aξ－2，E(η)＝1，则a的值为 ( )
A.2 B.－2 C.1.5 D.3
解：由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，则ξ的分布列为
所以E(ξ)＝0×eq \f(1,2)＋1×eq \f(1,20)＋2×eq \f(1,10)＋3×eq \f(3,20)＋4×eq \f(1,5)＝eq \f(3,2)，因为η＝aξ－2，E(η)＝1，所以aE(ξ)－2＝1，所以eq \f(3,2)a－2＝1，解得a＝2.故选A.
4.一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，所有的球除颜色外完全相同．连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，则下列概率等于eq \f(（n－m）Aeq \\al(2,m),Aeq \\al(3,n))的是 ( )
A.P(X＝3) B.P(X≥2)
C.P(X≤3) D.P(X＝2)
解：由超几何分布知该式对应取球3次，第3次才取到黑球的概率，所以P(X＝2)＝eq \f(Aeq \\al(1,n－m)Aeq \\al(2,m),Aeq \\al(3,n))＝eq \f(（n－m）Aeq \\al(2,m),Aeq \\al(3,n)).故选D.
5.已知离散型随机变量ξ的分布列为
则在下列式子中：
①E(ξ)＝－eq \f(1,3)；②D(ξ)＝eq \f(23,27)；③P(ξ＝0)＝eq \f(1,3).
所有正确的式子序号是 ( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
解：E(ξ)＝(－1)×eq \f(1,2)＋1×eq \f(1,6)＝－eq \f(1,3)，故①正确．
D(ξ)＝(－1＋eq \f(1,3))2×eq \f(1,2)＋(0＋eq \f(1,3))2×eq \f(1,3)＋(1＋eq \f(1,3))2×eq \f(1,6)＝eq \f(5,9)，故②不正确．由分布列知③正确．故选C.
6.(江苏泰州中学2020届高三开学考试)甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为eq \f(2,3)，乙在每局中获胜的概率为eq \f(1,3)，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望E(X)为 ( )
A.eq \f(241,81) B.eq \f(266,81) C.eq \f(274,81) D.eq \f(670,243)
解：依题意，X的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则一轮结束时比赛停止的概率为(eq \f(2,3))2＋(eq \f(1,3))2＝eq \f(5,9).
若一轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P(X＝2)＝eq \f(5,9)，P(X＝4)＝eq \f(4,9)×eq \f(5,9)＝eq \f(20,81)，P(X＝6)＝(eq \f(4,9))2＝eq \f(16,81)，故E(X)＝2×eq \f(5,9)＋4×eq \f(20,81)＋6×eq \f(16,81)＝eq \f(266,81).故选B.
7.口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3只球，用X表示取出的球的最大号码，则X的数学期望E(X)的值是 ( )
A.4 B.4.5 D.5
解：由题意知，X可以取3，4，5，P(X＝3)＝eq \f(1,Ceq \\al(3,5))＝eq \f(1,10)，P(X＝4)＝eq \f(Ceq \\al(2,3),Ceq \\al(3,5))＝eq \f(3,10)，P(X＝5)＝eq \f(Ceq \\al(2,4),Ceq \\al(3,5))＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5)，
所以E(X)＝3×eq \f(1,10)＋4×eq \f(3,10)＋5×eq \f(3,5)＝4.5.Ｚ故选B.
8.【多选题】(2020·山东高二期末)设离散型随机变量的分布列为
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有 ( )
A.q＝0.1
B.EX＝2，D(X)＝1.4
C.EX＝2，D(X)＝1.8
D.EY＝5，D(Y)＝7.2
解：因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确；
又EX＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，
D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正确；
因为Y＝2X＋1，所以EY＝2EX＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正确．故选ACD.
9.袋中有4只红球和3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤6)＝ .
解：P(ξ≤6)＝P(取到3只红球1只黑球)＋P(取到4只红球)＝eq \f(Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(1,3),Ceq \\al(4,7))＋eq \f(Ceq \\al(4,4),Ceq \\al(4,7))＝eq \f(13,35).故填eq \f(13,35).
10.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若X表示取到次品的件数，则E(X)＝ .
解：次品件数X的可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝eq \f(Ceq \\al(3,12),Ceq \\al(3,16))＝eq \f(11,28)，P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(2,12)Ceq \\al(1,4),Ceq \\al(3,16))＝eq \f(33,70)，P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(1,12)Ceq \\al(2,4),Ceq \\al(3,16))＝eq \f(9,70)，P(X＝3)＝eq \f(Ceq \\al(3,4),Ceq \\al(3,16))＝eq \f(1,140).
X的分布列为
E(X)＝0×eq \f(11,28)＋1×eq \f(33,70)＋2×eq \f(9,70)＋3×eq \f(1,140)
＝eq \f(66＋36＋3,140)＝eq \f(3,4).故填eq \f(3,4).
11.(2018·宁德一模)某教师为了分析所任教班级某次考试的成绩，将全班同学的成绩制成统计表和频率分布直方图如下：

eq \a\vs4\al()

(1)求表中t，q及图中a的值；
(2)该教师从这次考试成绩低于70分的学生中随机抽取3人进行谈话，设X表示所抽取学生中成绩低于60分的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
解：(1)由题中表格可知，全班总人数t＝eq \f(3,0.06)＝50，
则m＝50×0.10＝5，n＝eq \f(13,50)＝0.26，
所以a＝eq \f(0.26,10)＝0.026，3＋5＋13＋9＋p＝50，
即p＝20，所以q＝eq \f(20,50)＝0.4.
(2)成绩在[50，60)内的有3人，[60，70)内的有5人．
由题意得X可能的取值为0，1，2，3，
则X服从超几何分布，其分布列为
P(X＝k)＝eq \f(Ceq \\al(k,3)Ceq \\al(3-k,5),Ceq \\al(3,8))(k＝0，1，2，3)，
所以P(X＝0)＝eq \f(10,56)＝eq \f(5,28)，P(X＝1)＝eq \f(30,56)＝eq \f(15,28)，
P(X＝2)＝eq \f(15,56)，P(X＝3)＝eq \f(1,56).
随机变量X的分布列为
数学期望E(X)＝0×eq \f(5,28)＋1×eq \f(15,28)＋2×eq \f(15,56)＋3×eq \f(1,56)＝eq \f(9,8).
12.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．
解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A)＝eq \f(Aeq \\al(1,2)Aeq \\al(1,3),Aeq \\al(2,5))＝eq \f(3,10).
(2)X的可能取值为200，300，400.
P(X＝200)＝eq \f(Aeq \\al(2,2),Aeq \\al(2,5))＝eq \f(1,10)，
P(X＝300)＝eq \f(Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,2),Aeq \\al(3,5))＝eq \f(3,10)，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)
＝1－eq \f(1,10)－eq \f(3,10)＝eq \f(3,5).
故X的分布列为
13.(辽宁沈阳市2019届高三教学质量监测)某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种．
方案一：每满200元减50元；
方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：(注：所有小球仅颜色有区别)
(1)若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；
(2)若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？
解：(1)设事件A为“顾客获得半价”，则P(A)＝eq \f(3,4)×eq \f(2,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(3,32)，
所以两位顾客至少一人获得半价的概率为P＝1－(1－eq \f(3,32))2＝eq \f(183,1 024).
(2)若选择方案一，则付款金额为320－50＝270元．
若选择方案二，记付款金额为X元，则X的可能取值为160，224，256，320.
P(X＝160)＝eq \f(3,32)，
P(X＝224)＝eq \f(3,4)×eq \f(2,4)×eq \f(3,4)＋eq \f(3,4)×eq \f(2,4)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(2,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(13,32)，
P(X＝256)＝eq \f(3,4)×eq \f(2,4)×eq \f(3,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(2,4)×eq \f(3,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(2,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(13,32)，
P(X＝320)＝eq \f(1,4)×eq \f(2,4)×eq \f(3,4)＝eq \f(3,32)，
则X的分布列为
所以E(X)＝160×eq \f(3,32)＋224×eq \f(13,32)＋256×eq \f(13,32)＋320×eq \f(3,32)＝240.
因为270＞240，所以方案二更为划算．
附加题 已知一个口袋中装有n个红球(n≥1且n∈N*)和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则为中奖，否则不中奖．
(1)当n＝3时，设三次摸球(每次摸球后放回)中奖的次数为ξ，求ξ的分布列；
(2)记三次摸球(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P，当n取多少时，P最大？
解：(1)当n＝3时，每次摸出两个球，
中奖的概率P＝eq \f(Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,2),Ceq \\al(2,5))＝eq \f(3,5).
由题意知ξ的可能值为0，1，2，3，
故有P(ξ＝0)＝Ceq \\al(0,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up12(3)＝eq \f(8,125)；
P(ξ＝1)＝Ceq \\al(1,3)×eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up12(2)＝eq \f(36,125)；
P(ξ＝2)＝Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(2)×eq \f(2,5)＝eq \f(54,125)；
P(ξ＝3)＝Ceq \\al(3,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(3)＝eq \f(27,125).
ξ的分布列为
或P(ξ＝i)＝Ceq \\al(i,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(i)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up12(3－i)，i＝0，1，2，3.
(2)设每次摸球中奖的概率为p，则三次摸球(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P(ξ＝2)＝Ceq \\al(2,3)·p2·(1－p)＝－3p3＋3p2，0由P′＝－9p2＋6p＝－3p(3p－2)知，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)))上P为增函数，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))上P为减函数，所以当p＝eq \f(2,3)时，P取得最大值．
又p＝eq \f(Ceq \\al(1,n)·Ceq \\al(1,2),Ceq \\al(2,n＋2))＝eq \f(4n,（n＋1）（n＋2）)＝eq \f(2,3)，即n2－3n＋2＝0，解得n＝1或n＝2.
所以当n取1或2时，P最大．X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9
|X－1|
1
0
1
2
3
2X＋1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
|X－1|
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
X
0
1
2
3
4
5
6
P
eq \f(1,4)
eq \f(1,4)
eq \f(1,8)
eq \f(5,24)
eq \f(1,12)
eq \f(1,24)
eq \f(1,24)
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,4)
eq \f(11,24)
eq \f(1,4)
eq \f(1,24)
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,2)
eq \f(3,10)
eq \f(1,30)
X
0
1
2
3
4
P
eq \f(1,42)
eq \f(5,21)
eq \f(10,21)
eq \f(5,21)
eq \f(1,42)
X
0
1
2
P
eq \f(2,5)
eq \f(8,15)
eq \f(1,15)
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
10
30
40
20
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
售价/元·kg-1
16
18
22
24
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,2)
eq \f(3,10)
eq \f(1,30)
X
2
4
6
8
P
eq \f(5,9)
eq \f(20,81)
eq \f(80,729)
eq \f(64,729)
X
1
2
3
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,6)
eq \f(2,3)
ξ
0
1
2
P
a
b
c
ξ
0
1
2
3
4
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,20)
eq \f(1,10)
eq \f(3,20)
eq \f(1,5)
ξ
－1
0
1
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,3)
eq \f(1,6)
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2
X
0
1
2
3
P
eq \f(11,28)
eq \f(33,70)
eq \f(9,70)
eq \f(1,140)
分组
频数
频率
[50，60)
3
0.06
[60，70)
m
0.10
[70，80)
13
n
[80，90)
p
q
[90，100]
9
0.18
总计
t
1
X
0
1
2
3
P
eq \f(5,28)
eq \f(15,28)
eq \f(15,56)
eq \f(1,56)
X
200
300
400
P
eq \f(1,10)
eq \f(3,10)
eq \f(3,5)
红球个数
3
2
1
0
实际付款
半价
7折
8折
原价
X
160
224
256
320
P
eq \f(3,32)
eq \f(13,32)
eq \f(13,32)
eq \f(3,32)
ξ
0
1
2
3
P
eq \f(8,125)
eq \f(36,125)
eq \f(54,125)
eq \f(27,125)