双曲线专题训练

这是一份双曲线专题训练，共30页。

A .6 B .8 C.10 D.12
答案：C
解析：由双曲线定义：知P到另一个焦点的距离为10，故选C。
(２)如果双曲线上一点到双曲线右焦点的距离是2，那么点到轴的距离是（ ）
A . B . C . D .
答案：A
解析：由双曲线第二定义：即，所以，所以到轴的距离为故选A.
(３)根据下列条件，求双曲线的标准方程．
（Ⅰ）经过点；
（Ⅱ），经过点 ，焦点在轴上；
（Ⅲ）双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求双曲线的方程；
（Ⅳ）与双曲线有共同的渐近线，且过点；
答案：（Ⅰ）.（Ⅱ）.(Ⅲ)( Ⅳ)
(４)过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(x2,7)－eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1 D.eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1
解：因为渐近线y＝eq \f(b,a)x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且eq \r(（4－a）2＋b2)＝4，解得a＝2，b2＝12，因此双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1.故选A.
(５)已知圆C：(x－3)2＋y2＝4，定点A(－3，0)，则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为 ．
解：设动圆M的半径为r，则|MC|＝2＋r，|MA|＝r，所以|MC|－|MA|＝2，由双曲线的定义知，M点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，且a＝1，c＝3，所以b2＝8，所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)．故填x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)．
(６)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
解：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B.


根据两圆外切的条件，
有|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)．
故填x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)．
变式1 (1) 过双曲线的右焦点F2有一条弦PQ，|PQ|=7,F1是左焦点，那么△F1PQ的周长为（ ）
A .28 B . C . D .
答案：C
解析：由双曲线定义：知,所以，所以周长为,故选C.
(２)如果双曲线右支上一点到双曲线右焦点的距离是3，那么点到直线的距离是（ ）
A . B . C . D .
答案：C
解析：由双曲线第二定义：即，所以，所以到轴的距离为故选C
(３)求满足下列条件的双曲线方程：
（Ⅰ）焦点在轴上，且过点和；
（Ⅱ）与双曲线有公共焦点，且过点．
（Ⅲ）与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程;
（Ⅳ）求经过点和的双曲线的标准方程.
答案：（Ⅰ）eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1.（Ⅱ）eq \f(x2,12)－eq \f(y2,8)＝1.（Ⅲ）（Ⅳ）
(４) (2019·哈尔滨调研)已知双曲线C的右焦点F与抛物线y2＝8x的焦点相同，若以点F为圆心，eq \r(2)为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为 ( )
A.eq \f(y2,3)－x2＝1 B.eq \f(x2,3)－y2＝1
C.eq \f(y2,2)－eq \f(x2,2)＝1 D.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1
解：设双曲线C的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，而抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，即F(2，0)，所以4＝a2＋b2.又圆F：(x－2)2＋y2＝2与双曲线C的渐近线y＝±eq \f(b,a)x相切，由双曲线的对称性可知圆心F到双曲线的渐近线的距离为eq \f(2b,\r(b2＋a2))＝eq \r(2)，所以a2＝b2＝2，故双曲线C的方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1.故选D.
(５)已知双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1，若C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C2的方程为 ．
解：由题意得C1的焦点为(±2，0)，所以双曲线C2的焦点为(±2，0)，即c＝2.
而C1的一条渐近线为y＝eq \f(\r(3),3)x，其斜率k＝tanα＝eq \f(\r(3),3)，
即C1的一条渐近线的倾斜角α＝eq \f(π,6)，
所以C2的一条渐近线的倾斜角为2α＝eq \f(π,3)，其斜率k＝tan2α＝eq \r(3)，即C2的一条渐近线为y＝eq \r(3)x＝eq \f(b,a)x，即eq \f(b,a)＝eq \r(3).
又a2＋b2＝c2＝4，所以a＝1，b＝eq \r(3)，
所以C2的方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.故填x2－eq \f(y2,3)＝1.
(６)已知点M(－3，0)，N(3，0)，B(1，0)，动圆C与直线MN相切于点B，分别过点M，N且与圆C相切的两条直线相交于点P，则点P的轨迹方程为
( )
A.x2－eq \f(y2,10)＝1(x＞0) B.x2－eq \f(y2,8)＝1(x＞1)
C.x2－eq \f(y2,8)＝1(x＞0) D.x2－eq \f(y2,10)＝1(x＞1)
解：如图所示，设两切线分别与圆相切于点S，T，


则|PM|－|PN|＝(|PS|＋|SM|)－(|PT|＋|TN|)＝|SM|－|TN|＝|BM|－|BN|＝2(定值)，且2<[3－(－3)]＝6，
所以所求曲线为双曲线的右支且不能与x轴相交，其中a＝1，c＝3，所以b2＝8，
故点P的轨迹方程为x2－eq \f(y2,8)＝1(x＞1)．故选B.
考点二 双曲线的离心率
例2 (1) 双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率是( )
答案：A
解析：由双曲线的两条渐近线的夹角为60°，所以或，则离心率或.
（２）已知为双曲线的左、右顶点,点在上， 为等腰三角形,且顶角为,则的离心率为( )
答案：D
解析：如图，设双曲线E的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，
则|AB|＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1，0)，∵△ABM为等腰三角形，且
∠ABM＝120°，∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，
∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin 60°＝eq \r(3)a，x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acs 60°＝2a.
将点M(x1，y1)的坐标代入eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，可得a2＝b2，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(2)，选D.
（３）已知是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点，若是正三角形，则双曲线的离心率为____________.
答案：
解析：∵，是正三角形，
∴，
∴，∴
（４）已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为( )
答案：A
（５）设是双曲线的两个焦点，是上一点，若且的最小内角为，则的离心率为__________.
答案：.
解析：设，则得，，，则在三角形中，由余弦定理得，整理得所以.
（６）(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若eq \(F1A,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(F1B,\s\up6(→))·eq \(F2B,\s\up6(→))＝0，则C的离心率为________．
解：如图，由eq \(F1A,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，得|F1A|＝|AB|.又|OF1|＝|OF2|，


得OA是△F1F2B的中位线，即BF2∥OA.由eq \(F1B,\s\up6(→))·eq \(F2B,\s\up6(→))＝0，得F1B⊥F2B，所以OA⊥F1A，所以|OB|＝|OF1|，∠AOB＝∠AOF1，
又OA与OB都是渐近线，得∠BOF2＝∠AOF1，
又∠BOF2＋∠AOB＋∠AOF1＝180°，所以∠BOF2＝∠AOF1＝∠BOA＝60°，
又渐近线OB的斜率为eq \f(b,a)＝tan60°＝eq \r(3)，
所以该双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq \r(1＋（\r(3)）2)＝2.故填2.
（７）已知双曲线的左右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值是（ ）
答案：B.
（８）已知双曲线的右顶点为，左焦点为，过作垂直于轴的直线与双曲线相交于、两点，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
答案：A.
（９）已知双曲线，若过其右焦点作倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线的离心率的范围是 ．
【答案】
(１０)(河南郑州2019届高三第三次质检)F1，F2是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝－a2，则双曲线离心率的取值范围为 ( )
A.[eq \r(3)，＋∞) B.[eq \r(2)，＋∞)
C.[1，＋∞) D.(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解：由题意，取点P为右支上的点，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，∠F1PF2＝θ，
根据双曲线的定义知，m－n＝2a.
在△F1PF2中，由余弦定理可得，csθ＝eq \f(m2＋n2－4c2,2mn)，①
又因为eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝－a2，所以mncsθ＝－a2，②
由①②得，即m2＋n2＝4c2－2a2.
又因为m≥a＋c，n≥c－a，
所以(c＋a)2＋(c－a)2≤4c2－2a2⇒c2≥2a2，
即e2≥2，所以e≥eq \r(2).故选B.
变式2 (1) 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为______.
答案：.
（２）在正三角形中，点分别为的中点，则以为焦点，且过的双曲线的离心率为（ ）
答案：D.
解析：设等边三角形边长为1，由双曲线定义可知，
又则
（３）过双曲线 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点，若点的横坐标为，则的离心率为__________.
答案：.
（４）已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点.若，则的离心率为__________。
答案：.
（５）过双曲线的右焦点作双曲线渐线的垂线，若直线与双曲线的左右两支相交于两点，求双曲线的离心率的取值范围__________。
答案:
（６）已知分别是双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点，若为锐角，则双曲线离心率的取值范围是 ．
【答案】
（７）(山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联考)在矩形ABCD中，AB＝2AD，以A，B为焦点的双曲线经过C，D两点，则此双曲线的离心率为 ( )
A.eq \f(3＋\r(5),2) B.eq \f(3－\r(5),2) C.eq \f(1＋\r(5),2) D.1＋eq \f(\r(5),2)
解：以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，可设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,c2－a2)＝1(c＞a＞0)，由题意双曲线过点(c，c)，代入得eq \f(c2,a2)－eq \f(c2,c2－a2)＝1⇒e2－eq \f(e2,e2－1)＝1，e2＝eq \f(3±\r(5),2)，
由e＞1，所以e2＝eq \f(3＋\r(5),2)，故e＝eq \f(1＋\r(5),2).
另解：设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，依题意有eq \f(2b2,a)＝2c，即b2＝ac，即c2－a2＝ac⇒e2－e－1＝0，解得e＝eq \f(1＋\r(5),2).故选C.
(８)已知F1，F2是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若在右支上存在点A使得点F2到直线AF1的距离为2a，则离心率e的取值范围是 ．
解：设直线AF1的方程为y＝k(x＋c)，则由题意可得|k|＜eq \f(b,a)，所以2a＝eq \f(|2kc|,\r(1＋k2))⇒|k|＝eq \f(a,b)＜eq \f(b,a)⇒a＜b⇒e＞eq \r(2).故填(eq \r(2)，＋∞)．
考点三 双曲线的渐近线
例3 (1) 设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为( )．
A． B．
C． D．
【答案】
（２）已知双曲线的两条渐近线均和圆：相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为 ( )．
A.B.
C. D.
【答案】
（３）已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A
椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，所以，所以.
所以.双曲线的渐近线方程为，即.
（４）(内蒙古呼伦贝尔2019届高三模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2c，焦点到双曲线C的渐近线的距离为eq \f(\r(3),2)c，则双曲线的渐近线方程为 ( )
A.y＝±eq \r(3)x B.y＝±eq \r(2)x
C.y＝±x D.y＝±2x
解：由双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦点(c，0)到渐近线bx＋ay＝0的距离为eq \f(\r(3),2)c，
得eq \f(bc,\r(a2＋b2))＝eq \f(\r(3),2)c，可得eq \f(b,c)＝eq \f(\r(3),2)，则eq \f(b,a)＝eq \r(3)，则C的渐近线方程为y＝±eq \r(3)x.故选A.
(５)(2019届辽宁沈阳市示范协作校高三一模)设F1和F2为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若F1，F2，A(0，2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是 ( )
A.y＝±eq \f(\r(3),3)x B.y＝±eq \r(3)x
C.y＝±eq \f(\r(21),7)x D.y＝±eq \f(\r(21),3)x
解：由题设可知eq \r(c2＋4b2)＝2c⇒4b2＝3c2，即b2＝3a2⇒eq \f(b,a)＝eq \r(3).故选B.
点拨 本例考查双曲线中a，b，c的关系，以及双曲线的渐近线等知识．渐近线方程可以看作是把双曲线方程中的“1”用“0”替换而得到的两条直线方程．
变式3 (1) 双曲线的顶点到渐进线的距离等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
双曲线的右顶点为,渐近线方程为,则顶点到渐近线的距离为．
（２）已知双曲线的一条渐近线平行于直线双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（ ）
B.
C. D.
【解析】选A.因为双曲线的一个焦点在直线上，所以即又因为渐近线平行于直线故有结合得所以双曲线的标准方程为
（３）已知双曲线： 的离心率为，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】C
因为，所以，又因为，所以，得，所以渐近线方程为
（４）已知双曲线＝1(a>0，b>0)的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线的渐近线方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】： B
【解析】：如图，
分别过双曲线的右顶点A，右焦点F作它的渐近线的垂线，B、C分别为垂足，则△OBA∽△OCF，
∴，
∴，∴，故渐近线方程为：.
（５）(2020·湖北重点高中高三元月联考)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2＋y2＝a2的切线，交双曲线右支于点M，若∠F1MF2＝45°，则双曲线的渐近线方程为 ( )
A.y＝±eq \r(2)x B.y＝±eq \r(3)x
C.y＝±x D.y＝±2x
解：如图，作OA⊥F1M于点A，F2B⊥F1M于点B.


因为F1M与圆x2＋y2＝a2相切，∠F1MF2＝45°，所以|OA|＝a，|F2B|＝|BM|＝2a，|F2M|＝2eq \r(2)a，|F1B|＝2b.
又点M在双曲线上，所以|F1M|－|F2M|＝2a＋2b－2eq \r(2)a＝2a，整理，得b＝eq \r(2)a，
所以eq \f(b,a)＝eq \r(2)，则双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r(2)x.
故选A.
(６)(2019·河南适应性测试)已知F1，F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为eq \f(π,6)，则双曲线的渐近线方程为 ( )
A.y＝±2x B.y＝±eq \f(1,2)x
C.y＝±eq \f(\r(2),2)x D.y＝±eq \r(2)x
解：不妨设P为双曲线右支上一点，则|PF1|>|PF2|，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又因为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2c＞2a，,4a＞2a，))所以∠PF1F2为最小内角，故∠PF1F2＝eq \f(π,6).由余弦定理，可得eq \f(（4a）2＋（2c）2－（2a）2,2·4a·2c)＝eq \f(\r(3),2)，化简得c2＝3a2，所以b2＝c2－a2＝2a2，则eq \f(b,a)＝eq \r(2)，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r(2)x.故选D.
考点四 直线与双曲线
例4 (1) 若双曲线与直线有且仅有一个公共点，则这样的直线有______条．
答案：
解析：联立直线与双曲线的方程，消掉得
当即时，直线与双曲线有一个交点；当且时，即时，直线与双曲线有一个交点，的值有个，故答案为。
另解：本题也可用几何意义解，直线过定点 ，在双曲线两支之间，则与双曲线相切有两条，与渐近线平行有两条，共条。
(２)已知双曲线的右焦点为，若过点的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：法一：由可得渐近线方程为：，若过右焦点的直线与右支只有一个交点，则直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线斜率的绝对值，即
法二：由可知，设直线，联立方程可得：，整理后可得：
当时，，即位于双曲线右支，符合题意
当时，
直线与双曲线必有两个交点，设为
因为直线与双曲线的右支有且只有一个交点
，即

综上所述：
（３）已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若为线段的中点，则弦长等于（ ）

【答案】
解：设过点的直线方程为，
代入双曲线方程得．
设，则有，由已知，
∴．解得
弦长==．
故选：．
（４）已知双曲线．
（Ⅰ）若直线交双曲线于两点，且．求直线方程：
（Ⅱ）求以定点为中点的弦所在直线方程：
（Ⅲ）思考以定点为中点的弦存在吗？（数形结合）
【答案】（Ⅰ）或
（Ⅱ）
(Ⅲ) 不存在
（Ⅰ）直线代入双曲线的方程，可得，即有恒成立，设，即有，，则==，解方程可得，即有直线方程为或；
（Ⅱ）设以定点为中点的弦为，若直线的斜率不存在，设为，代入双曲线的方程，显然无解；可设直线的方程为，代入双曲线的方程可得，
，，，由为的中点，可得，解得，代入判别式，可得成立，则所在直线方程为；
（Ⅲ）假设存在以定点为中点弦，若，显然不成立；可设直线的方程为，代入双曲线的方程可得，，， ，
由为的中点，可得，解得，代入判别式，可得不成立，通过图象观察，由于直线恒过定点，将直线绕着定点旋转，发现不存在以为中点的弦．故不存在这样的直线．
（５）(山西晋城2019届高三三模)设双曲线C：eq \f(x2,8)－eq \f(y2,m)＝1(m＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，N在右支上．若∠F2MN＝∠F2NM，则|MN|＝ ( )
A.8eq \r(2) B.8 C.4eq \r(2) D.4
解：由∠F2MN＝∠F2NM可知，|F2M|＝|F2N|.由双曲线定义可知，|MF2|－|MF1|＝4eq \r(2)，|NF1|－|NF2|＝4eq \r(2)，两式相加得，|NF1|－|MF1|＝|MN|＝8eq \r(2).
故选A.
(６)已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为 ( )
A.eq \f(1,2) B.1 C.2 D.4
解：：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，设A(x1，x1)，B(x2，－x2)，则OA⊥OB，AB的中点为(eq \f(x1＋x2,2)，eq \f(x1－x2,2))，又因为AB的中点在双曲线上，所以(eq \f(x1＋x2,2))2－(eq \f(x1－x2,2))2＝2，化简得x1x2＝2，所以S△AOB＝eq \f(1,2)|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)|eq \r(2)x1|·|eq \r(2)x2|＝|x1x2|＝2.故选C.
点拨 双曲线高考中小题居多，熟练掌握双曲线的定义、几何性质是解决此类问题的关键，必要时，联立直线与双曲线的方程．
变式4 (1) 直线 与双曲线 的交点个数是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：双曲线的渐近线为，与已知直线平行。又直线过点，所以两个曲线只有一个交点。故选B．
（２）过点且与双曲线只有一个公共点的直线有______条。
答案：
解析：设直线方程为联立直线与双曲线方程，得。
由得， 直线与双曲线有一个交点；当且时，解得 直线与双曲线有一个交点。共个。
另解：本题也可用几何意义解，直线过定点 ，在双曲线两支之间，则与双曲线相切有两条，与渐近线平行有两条，共条。
（３）已知双曲线.
（Ⅰ）求以点为中点的弦所在直线方程；
（Ⅱ）过点的直线与所给的双曲线交于两点及，求线段的中点的轨迹方程．
（Ⅲ）过点能否作直线，使m与所给双曲线交于两点及，且点是线段的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．
【答案】(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ) 直线不存在
解：（Ⅰ）双曲线方程可化为：，设是弦的中点，且，则．
∵，在双曲线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴以为中点的双曲线的弦所在的直线方程为：
，整理得．
（Ⅱ）设，，则，
∵，
∴，
∴直线的斜率，
∵，共线，
∴，
∴，
即线段的中点的轨迹方程是．
（Ⅲ）假设直线存在．
设是弦的中点，
且，则．
∵在双曲线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴直线l的方程为，即，
联立方程组，得
∵，
∴直线与双曲线无交点，
∴直线不存在．
（４）过点与双曲线只有一个交点的直线共有______条。
【答案】2
（５）若双曲线E：eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的离心率等于eq \r(2)，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．则k的取值范围是．
解：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\r(2)，,a2＝c2－1，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝1，,c2＝2，))
故双曲线E的方程为x2－y2＝1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,x2－y2＝1，))得(1－k2)x2＋2kx－2＝0(*)
因为直线与双曲线右支交于A，B两点，
故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＞1，,Δ＝（2k）2－4（1－k2）×（－2）＞0，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＞1，,－\r(2)＜k＜\r(2)，))所以1故k的取值范围是(1，eq \r(2))．故填(1，eq \r(2))．
(６)(2018·山西太原五中月考)已知F1，F2是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝eq \f(2π,3)，则eq \f(S△AF1F2,S△ABF2)＝ ( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.1
解：如图所示，由双曲线定义可知|AF2|－|AF1|＝2a.又|AF1|＝2a，


所以|AF2|＝4a，因为∠F1AF2＝eq \f(2π,3)，所以S△AF1F2＝eq \f(1,2)|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2＝eq \f(1,2)×2a×4a×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)a2.设|BF2|＝m，由双曲线定义可知|BF1|－|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又知|BF1|＝2a＋|BA|，所以|BA|＝|BF2|.又知∠BAF2＝eq \f(π,3)，所以△BAF2为等边三角形，边长为4a，所以S△ABF2＝eq \f(\r(3),4)|AB|2＝eq \f(\r(3),4)×(4a)2＝4eq \r(3)a2，所以eq \f(S△AF1F2,S△ABF2)＝eq \f(2\r(3)a2,4\r(3)a2)＝eq \f(1,2).故选B.

课后作业
1．(天津市河北区2019届高三一模)在平面直角坐标系中，过点(2eq \r(2)，－eq \r(2))且渐近线方程为y＝±eq \r(2)x的双曲线的标准方程为 ( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,7)－eq \f(y2,14)＝1
C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,6)＝1 D.eq \f(y2,14)－eq \f(x2,7)＝1
解：因为双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r(2)x，所以设所求双曲线的标准方程为2x2－y2＝k.又点(2eq \r(2)，－eq \r(2))在双曲线上，则k＝16－2＝14，即双曲线的方程为2x2－y2＝14，所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,7)－eq \f(y2,14)＝1.故选B.
2．(陕西西北工业大学附中2019届高三考前模拟)已知双曲线C：eq \f(y2,m)－eq \f(x2,4)＝1(m＞0)的渐近线方程为eq \r(3)x±y＝0，则双曲线C的离心率为 ( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(2\r(3),3) C.eq \r(3) D.2
解：已知双曲线C的渐近线方程为eq \r(3)x±y＝0，且m＞0，所以eq \f(\r(m),2)＝eq \r(3)，得m＝12.a＝2eq \r(3)，c＝eq \r(m＋4)＝4，所以双曲线C的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(4,2\r(3))＝eq \f(2\r(3),3).故选B.
3．(陕西汉中2020届高三上五检)方程eq \f(x2,m＋2)＋eq \f(y2,m－3)＝1表示双曲线的一个充分不必要条件是
( )
A.－3＜m＜0 B.－1＜m＜3
C.－3＜m＜4 D.－2＜m＜3
解：方程eq \f(x2,m＋2)＋eq \f(y2,m－3)＝1表示双曲线⇔(m＋2)(m－3)＜0⇔－2＜m＜3，
结合选项知，仅B符合．故选B.
4．(河南2019届高三考前仿真测试)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，以OF为直径的圆与双曲线C的渐近线交于不同于原点O的A，B两点，若四边形AOBF的面积为eq \f(1,2)(a2＋b2)，则双曲线C的渐近线方程为 ( )
A.y＝±eq \f(\r(2),2)x B.y＝±eq \r(2)x
C.y＝±x D.y＝±2x
解：根据题意，OA⊥AF，双曲线C的焦点F到C的一条渐近线y＝±eq \f(b,a)x的距离为eq \f(bc,\r(a2＋b2))＝b，则|AF|＝b，所以|OA|＝a，所以ab＝eq \f(1,2)(a2＋b2)，所以eq \f(b,a)＝1，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.故选C.
5．(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为 ( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.2 D.eq \r(5)
解：设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQ⊥x轴，


又因为|PQ|＝|OF|＝c，所以|PA|＝eq \f(c,2)，所以PA为以OF为直径的圆的半径，
所以|OA|＝|PA|＝eq \f(c,2)，所以P(eq \f(c,2)，eq \f(c,2))，
又P点在圆x2＋y2＝a2上，所以eq \f(c2,4)＋eq \f(c2,4)＝a2，即eq \f(c2,2)＝a2，所以e2＝eq \f(c2,a2)＝2，所以e＝eq \r(2).故选A.
6．设F1，F2分别为离心率e＝eq \r(5)的双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点，以F1，F2为直径的圆交双曲线的渐近线l于M，N两点，若四边形MA2NA1的面积为4，则b＝ ( )
A.2 B.2eq \r(2) C.4 D.4eq \r(2)
解：由e＝eq \r(5)＝eq \f(c,a)，得eq \f(b,a)＝2，故渐近线方程为y＝2x，以F1，F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝c2,y＝2x))，得y＝±eq \f(2c,\r(5))，由双曲线与圆的对称性知四边形MA2NA1为平行四边形，不妨设yM＝eq \f(2c,\r(5))，则四边形MA2NA1的面积S＝2a×eq \f(2c,\r(5))＝4，得ac＝eq \r(5)，又eq \f(c,a)＝eq \r(5)，则a＝1，c＝eq \r(5)，b＝2.故选A.
7．(宁夏回族自治区银川市一中2019－2020学年高三12月月考)已知双曲线an－1y2－anx2＝an－1an(n≥2，n∈N*)的焦点在y轴上，一条渐近线方程是y＝eq \r(2)x，其中数列{an}是以4为首项的正项数列，则数列{an}的通项公式是 ( )
A.an＝23－n B.an＝22n
C.an＝23n－1 D.an＝2n＋1
解：由题意可得，双曲线an－1y2－anx2＝an－1an的标准方程是eq \f(y2,an)－eq \f(x2,an－1)＝1，
所以a2＝an，b2＝an－1，所以a＝eq \r(an)，b＝eq \r(an－1)，
因为双曲线的一条渐近线方程是y＝eq \r(2)x，所以eq \f(\r(an),\r(an－1))＝eq \r(2)(n≥2，n∈N*)，
所以eq \f(an,an－1)＝2(n≥2，n∈N*)，所以数列{an}是等比数列，公比是2，
因为数列{an}的首项是4，所以an＝4×2n－1＝2n＋1.
故选D.
8．【多选题】已知F1、F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点P，若点P在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值可能为 ( )
A.1 B.2 C.4 D.5
解：不妨设过点F2(c，0)与双曲线的一条渐近线平行的直线为y＝eq \f(b,a)(x－c)，与双曲线另一条渐近线y＝－eq \f(b,a)x的交点为P(eq \f(c,2)，－eq \f(bc,2a))，因为点P在以线段F1F2为直径的圆外，所以eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＞0，即(－eq \f(3c,2)，eq \f(bc,2a))·(eq \f(c,2)，eq \f(bc,2a))＞0，－eq \f(3c2,4)＋eq \f(b2c2,4a2)＞0，－3a2＋b2＞0，－3a2＋c2－a2＞0，e2＞4，所以e＞2.故选CD.
9．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点与抛物线y2＝20x的焦点重合，且其渐近线方程为y＝±eq \f(3,4)x，则该双曲线的方程为 ．
解：因为抛物线y2＝20x的焦点为(5，0)，所以双曲线C的右焦点也为(5，0)，则有c＝5，
因为双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(3,4)x，所以可设其方程为eq \f(x2,16t)－eq \f(y2,9t)＝1，t＞0，因为c＝5，则16t＋9t＝25，解得t＝1，则双曲线的方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1.故填eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1.
10．(厦门外国语学校2019届高三最后一模)双曲线M的焦点是F1，F2，若双曲线M上存在点P，使△PF1F2是有一个内角为eq \f(2π,3)的等腰三角形，则M的离心率是 ．
解：根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的两个腰应为PF2与F1F2或PF1与F1F2，
不妨设等腰三角形的腰为PF2与F1F2，且点P在第一象限，
故|PF2|＝2c，等腰△PF1F2有一内角为eq \f(2π,3)，即∠PF2F1＝eq \f(2π,3)，由余弦定理可得，
|PF1|＝eq \r(（2c）2＋（2c）2－2·2c·2c·cs\f(2π,3))＝2eq \r(3)c，
由双曲线的定义可得，|PF1|－|PF2|＝2eq \r(3)c－2c＝2a，即(eq \r(3)－1)c＝a，解得e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3)＋1,2).故填eq \f(\r(3)＋1,2).
11．已知双曲线Г：x2－eq \f(y2,b2)＝1(b＞0)．
(1)若Г的一条渐近线方程为y＝2x，求Г的方程；
(2)设F1，F2是Г的两个焦点，P为Г上一点，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为9，求b的值．
解：(1)因为双曲线Г：x2－eq \f(y2,b2)＝1(b＞0)的一条渐近线方程为y＝2x，所以b＝2，
因此Г的方程为x2－eq \f(y2,4)＝1.
(2)由双曲线定义可得：||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
又PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为9，
所以|PF1||PF2|＝18，且|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
所以4c2＝|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|＝40，即c2＝10，
所以b2＝10－1＝9，因此b＝3.
12．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程．
(2)若点M在双曲线上，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6eq \r(3)，试判断△MF1F2的形状．
解：(1)椭圆方程可化为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，焦点在x轴上，且c＝eq \r(9－4)＝eq \r(5).
设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(9,a2)－\f(4,b2)＝1，,a2＋b2＝5，))解得a2＝3，b2＝2，
故双曲线的标准方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1.
(2)不妨设M在双曲线的右支上，
则有|MF1|－|MF2|＝2eq \r(3)，
又|MF1|＋|MF2|＝6eq \r(3)，
解得|MF1|＝4eq \r(3)，|MF2|＝2eq \r(3)，又|F1F2|＝2c＝2eq \r(5)，
所以在△MF1F2中，边MF1最长，
由余弦定理可得cs∠MF2F1＝eq \f(12＋20－48,2×2\r(3)×2\r(5))＜0，
所以∠MF2F1为钝角，
故△MF1F2是钝角三角形．
13．(2019·河北武邑中学月考)已知∀m∈R，直线l：y＝x＋m与双曲线C：eq \f(x2,2)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)恒有公共点．
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2)若直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线交于P，Q两点，并且满足eq \(FP,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)eq \(FQ,\s\up6(→))，求双曲线C的方程．
解：(1)联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋m，,\f(x2,2)－\f(y2,b2)＝1，))消去y，整理得(b2－2)x2－4mx－2(m2＋b2)＝0.
当b2＝2，m＝0时，易知直线l是双曲线C的一条渐近线，不满足题意，故b2≠2，易得e≠eq \r(2).
当b2≠2时，由题意知Δ＝16m2＋8(b2－2)(m2＋b2)≥0，即b2≥2－m2，故b2>2，
则e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝eq \f(2＋b2,2)>2，e>eq \r(2).
综上可知，e的取值范围为(eq \r(2)，＋∞)．
(2)由题意知F(c，0)，直线l：y＝x－c，与双曲线C的方程联立，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x－c，,\f(x2,2)－\f(y2,b2)＝1，))消去x，化简得(b2－2)y2＋2cb2y＋b2c2－2b2＝0，
当b2＝2时，易知直线l平行于双曲线C的一条渐近线，与双曲线C只有一个交点，不满足题意，故b2≠2.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝\f(－2cb2,b2－2)，①,y1y2＝\f(b2c2－2b2,b2－2)，②))
因为eq \(FP,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)eq \(FQ,\s\up6(→))，所以y1＝eq \f(1,5)y2，③
由①③可得y1＝eq \f(－cb2,3（b2－2）)，y2＝eq \f(－5cb2,3（b2－2）)，代入②整理得5c2b2＝9(b2－2)(c2－2)，
又c2＝b2＋2，所以b2＝7.所以双曲线C的方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,7)＝1.
附加题 (2018·天津卷)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为 ( )
A.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1 B.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 D.eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1
解：设双曲线的右焦点坐标为F(c，0)，则xA＝xB＝c，由eq \f(c2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1可得y＝±eq \f(b2,a)，不妨设A(c，eq \f(b2,a))，B(c，－eq \f(b2,a))，双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，则d1＝eq \f(|bc－b2|,\r(a2＋b2))＝eq \f(bc－b2,c)，d2＝eq \f(|bc＋b2|,\r(a2＋b2))＝eq \f(bc＋b2,c)，则d1＋d2＝eq \f(2bc,c)＝2b＝6，则b＝3，b2＝9，又双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(1＋\f(9,a2))＝2，则a2＝3，则双曲线的方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1.故选A.A．2或
B．2
C．
D．
A.
B．2
C.
D.
A．
B．
C．
D．
A.
B.
C. 2
D.
A．
B．
C．
D．
A.
B．
C.
D.