抽样调查与样本估计总体专题训练

这是一份抽样调查与样本估计总体专题训练，共26页。
解：方法一(抽签法)
①编号，将这60名学生编号为1，2，…，60；
②制签，将这60个号码分别写在60张大小、形状相同的纸片上；
③搅拌，将这60张纸片放到一个不透明的盒子里搅拌均匀；
④抽签入样，抽出一张记下上面的号码(不放回)，然后再搅拌均匀，接着抽取第2张，记下号码．重复这个过程直到取到10个号码为止．
这样，与这10个号码对应的10名学生就构成了一个简单的随机样本．
方法二(随机数表法)
①将60名学生编号，可以编为00，01，02，…，59；
②选定随机数表中的起始数，任选一方向作为读数方向，如指定从随机数表中的第2行第2个数7开始；
③从选定的起始数7开始向右每次读取两位，凡不在00～59中的数或已读过的数，都跳过不作记录，直至取得10个不同号码．
于是得到抽取的样本号码是42，46，24，28，11，45，04，25，33，23，这样，与这10个号码对应的10名学生就构成了一个简单的随机样本．
点拨 考虑到总体中个体数较少，利用抽签法或随机数表法很容易获取样本，但须按这两种抽样方法的操作步骤进行．注意掌握随机数表的使用方法．应用随机数表法的三个关键点：一是确定以表中的哪个数(哪行哪列)为起点，以哪个方向为读数的方向；二是读数时注意结合编号特点进行读取，若编号为两位数字，则两位两位地读取，若编号是三位数字，则三位三位地读取；三是注意筛选，超出编号范围的不取，重复的不取．
(2)某企业共有5个分布在不同区域的工厂，职工3万人，其中职工比例为3∶2∶5∶2∶3.现从3万人中抽取一个300人的样本，分析员工的生产效率．已知生产效率与不同的地理位置的生活习俗及文化传统有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．
解：应采取分层抽样的方法．过程如下：
①将3万人分为五层，其中一个工厂为一层．
②按照样本容量的比例随机抽取各工厂应抽取的样本：
300×eq \f(3,15)＝60(人)；300×eq \f(2,15)＝40(人)；
300×eq \f(5,15)＝100(人)；300×eq \f(2,15)＝40(人)；
300×eq \f(3,15)＝60(人)．
因此各工厂应抽取的人数分别为60人，40人，100人，40人，60人．
③将300人组到一起即得到一个样本．
点拨 分层抽样的实质为按比例抽取，当总体由差异明显的几部分组成时，多用分层抽样．解决分层抽样的关键：先确定抽样比，然后把各层个体数乘抽样比，即得各层要抽样的个体数，常用公式：①抽样比＝eq \f(样本容量,总体容量)＝eq \f(各层样本容量,各层总量)；②层1的容量∶层2的容量∶层3的容量＝样本中层1的容量∶样本中层2的容量∶样本中层3的容量．
变式1 (1)某颁奖典礼准备邀请20名艺人参与演出，其中从30名舞蹈艺人中随机挑选10人，从18名歌唱艺人中随机挑选6人，从10名相声艺人中随机挑选4人．试用抽签法确定选中的艺人，并确定他们的表演顺序．
解：第一步，先确定艺人：①将30名舞蹈艺人从01～30编号，然后用相同的纸条做成30个号签，分别写上这些编号，再放入一个不透明小盒中摇匀，从中抽出10个号签，则相应编号的艺人参加演出．②运用相同的办法分别从10名相声艺人中抽取4人，从18名歌唱艺人中抽取6人．
第二步，确定演出顺序：确定了演出人员后，再用相同的纸条做成20个号签，上面写上1～20这20个数字，代表演出的顺序，放在暗盒中搅匀后让每个艺人抽一张，每人抽到的号签上的数字就是这位艺人的演出顺序，再汇总即可．
(2)(2018·南宁市第二中学高三6月考试)如图，某学校共有教师120人，现用分层抽样的方法从中选出一个30人的样本，则其中被选出的青年女教师的人数为 ( )


A.12 B.6 C.4 D.3
解：青年教师的人数为120×30%＝36人，所以青年女教师为12人，故青年女教师被选出的人数为12×eq \f(30,120)＝3.故选D.
(3)(四川2018届高三春季诊断)我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”依分层抽样的方法，则北乡共有________人．
解：设北乡有x人，则eq \f(108,x)＝eq \f(300－108,7 488＋6 912)，解得x＝8 100.Ｚ故填8 100.
考点二 数字特征及其应用
例2 (1)某科研所共有职工20人，其年龄统计表如下：
由于电脑故障，有两个数字在表格中不能显示出来，则下列说法正确的是 ( )
A.年龄数据的中位数是40，众数是38
B.年龄数据的中位数和众数一定相等
C.年龄数据的平均数∈(39，40)
D.年龄数据的平均数一定大于中位数
解：根据表中数据，得eq \f(1,20)(5×38＋10×39＋3×41＋2×42)＜＜eq \f(1,20)(5×38＋10×40＋3×41＋2×42)，解得39.35＜＜39.85，所以∈(39，40)．故选C.
(2)(2019·葫芦岛期末)若样本x1＋1，x2＋1，…，xn＋1的平均数为10，其方差为2，则对于样本2x1＋2，2x2＋2，…，2xn＋2，下列结论正确的是( )
A.平均数为20，方差为8
B.平均数为20，方差为10
C.平均数为21，方差为8
D.平均数为21，方差为10
解：若样本x1＋1，x2＋1，…，xn＋1的平均数为10，其方差为2，则对于样本2x1＋2，2x2＋2，…，2xn＋2，
其平均数为2×10＝20，方差为22×2＝8.
故选A.
点拨 若数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则数据mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a，方差为m2s2.
变式2 (1)某校高一年级开设了丰富多彩的校本课程，现从甲、乙两个班随机抽取了5名学生校本课程的学分，统计如表：
用seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2)分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的方差，计算seq \\al(2,1)＝ ，成绩更稳定的班级是 班．
解：甲班学生学分的平均数1＝eq \f(1,5)(8＋11＋14＋15＋22)＝14，
所以甲班学生学分的方差seq \\al(2,1)＝eq \f(1,5)[(8－14)2＋(11－14)2＋(14－14)2＋(15－14)2＋(22－14)2]＝22；
乙班学生学分的平均数2＝eq \f(1,5)(6＋7＋10＋23＋24)＝14，
所以乙班学生学分的方差seq \\al(2,2)＝eq \f(1,5)[(6－14)2＋(7－14)2＋(10－14)2＋(23－14)2＋(24－14)2]＝62.
所以seq \\al(2,2)＝62，由seq \\al(2,1)＜seq \\al(2,2)可判断成绩更稳定的班级是甲班．
故填22；甲．
(2)已知某8个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为，方差为s2，则 ( )
A. ＝5，s2＞3 B. ＝5，s2＜3
C. ＞5，s2＜3 D. ＞5，s2＞3
解：＝5，s2＝eq \f(1,9)(8×3＋02)＜3.故选B.
类型三 频率分布表、频率分布直方图及其应用
例3 (1)(2018·全国卷Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
(Ⅰ)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；


(Ⅱ)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；
(Ⅲ)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．)
解：(Ⅰ)


(Ⅱ)根据以上数据，该家庭使用水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为
0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.
(Ⅲ)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
1＝eq \f(1,50)(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
2＝eq \f(1,50)(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.
估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3)．
(2)(eq \a\vs4\al(重庆八中2019届高三5月月考))某种产品的质量按照其质量指标值M进行等级划分，具体如下表.
现从某企业生产的这种产品中随机抽取了100件作为样本，对其质量指标值M进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图．

(Ⅰ)记A表示事件“一件这种产品为二等品或一等品”，试估计事件A的概率；
(Ⅱ)已知该企业的这种产品每件一等品、二等品、三等品的利润分别为10元、6元、2元，试估计该企业销售10000件该产品的利润；
(Ⅲ)根据该产品质量指标值M的频率分布直方图，求质量指标值M的中位数的估计值(精确到0.01)．
解：(Ⅰ)记B表示事件“一件这种产品为二等品”，C表示事件“一件这种产品为一等品”，则事件B，C互斥，
且由频率分布直方图估计P(B)＝0.2＋0.3＋0.15＝0.65，P(C)＝0.1＋0.09＝0.19，
又P(A)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.84，
所以事件A的概率估计为0.84.
另解：先由频率分布直方图估计P()＝0.06＋0.1＝0.16，故P(A)＝1－P()＝0.84.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值分别为0.19，0.65，
故任取一件产品是三等品的概率估计值为0.16.
从而10000件产品估计有一等品、二等品、三等品分别为1900，6500，1600件，
故利润估计为1900×10＋6500×6＋1600×2＝61200元．
(Ⅲ)因为在产品质量指标值M的频率分布直方图中，
质量指标值M