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圆的方程专题训练
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这是一份圆的方程专题训练，共26页。
例1 求满足下列条件的各圆的方程：
(1)圆心在原点，半径是3；
【答案】
(2)经过点，圆心在点．
【答案】∵圆心在点，故设圆的方程为
又∵点在圆上，∴，∴
∴所求圆的方程是.
例2 圆心在直线上，且圆过两点.
【答案】∵圆心在直线y=0上，
∴设圆心坐标为C（a，0），则|AC|=|BC|，
即，即，
解得a=―1，即圆心为（―1，0），半径，
则圆的标准方程为 .
例3 (1)过点A(4，1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为 ．
解法一：由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3.①
过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，②
联立①②，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝0，))所以圆心坐标为(3，0)，半径r＝eq \r(（4－3）2＋（1－0）2)＝eq \r(2)，
所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.
解法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
因为点A(4，1)，B(2，1)在圆上，
故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（4－a）2＋（1－b）2＝r2，,（2－a）2＋（1－b）2＝r2，))
又因为eq \f(b－1,a－2)＝－1，解得a＝3，b＝0，r＝eq \r(2)，
故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.
故填(x－3)2＋y2＝2.
(2)经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程为 ．
解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将P，Q两点的坐标分别代入得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2D－4E－F＝20，①,3D－E＋F＝－10.②))
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③
设x1，x2是方程③的两根，则x1＋x2＝－D，x1x2＝F.
由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36，④
由①②④解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝－4，,F＝－8，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝－6，,E＝－8，,F＝0.))
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.
故填x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.
变式1 (1) 求下列各圆的标准方程：
(Ⅰ) 圆心在点C（3，4）上，半径是；
【答案】(x―3)2+(y―4)2=5；
(Ⅱ)圆心是，且过点；
【答案】(x―4)2+(y+1)2=10
(2)求圆心在直线上，且过点的圆的标准方程．
【答案】 (x+1)2+(y+2)2=10
【解析】设圆的标准方程为，则
解得：
所以所求圆的标准方程是：(x+1)2+(y+2)2=10．
(3)对于a∈R，直线(1－a)x＋y＋2a－1＝0恒过定点P，则以P为圆心，2为半径的圆的方程是 ( )
A.x2＋y2－4x＋2y＋1＝0
B.x2＋y2－4x＋2y＋3＝0
C.x2＋y2＋4x－2y＋1＝0
D.x2＋y2＋4x－2y＋3＝0
解：由条件知(1－a)x＋y＋2a－1＝0，可以整理为x＋y－1＋(2－x)a＝0，故直线过定点P(2，－1)，所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4，化为一般方程为x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.故选A.
(4)在平面直角坐标系xOy中，过点A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线x－2y－1＝0上的圆的标准方程为 ．
解：根据题意，圆经过点A(1，3)，B(4，6)，则圆心在线段AB的垂直平分线上，
又由点A(1，3)，B(4，6)，则线段AB的垂直平分线方程为x＋y－7＝0，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y－1＝0，,x＋y－7＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝2，))即圆心为(5，2)，
圆的半径r满足r2＝(5－1)2＋(2－3)2＝17，
故圆的方程为(x－5)2＋(y－2)2＝17.
故填(x－5)2＋(y－2)2＝17.
考点二 直线与圆的位置关系
例4 (1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是 ( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
解：因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝eq \f(|a·0＋b·0－1|,\r(a2＋b2))＝eq \f(1,\r(a2＋b2))<1，所以直线与圆相交．故选B.
(2)圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为 ( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.以上都有可能
解：直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，
因为12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，
所以点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内．
所以直线与圆相交．故选C.
点拨 判断直线与圆的位置关系常见的方法：①几何法：利用d与r的关系．②代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．③点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交；若点在圆上，直线与圆可能相切，也可能相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法更适用于动直线问题．
变式2 (1)若直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是 ( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
解：因为圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2，1)，半径为eq \r(2).因为直线l与圆C相切，所以eq \f(|－2k－1＋1|,\r(k2＋1))＝eq \r(2)，解得k＝±1，因为k<0，所以k＝－1，所以直线l的方程为x＋y－1＝0.圆心D(2，0)到直线l的距离d＝eq \f(|2＋0－1|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)(2)直线l：(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆C：x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置关系是 ( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
解：把直线l的方程化为x－y＋a(x＋y＋2)＝0，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝0，,x＋y＋2＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－1，))即直线l过定点 (－1，－1)，
又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7＝ －5＜0，
则点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的内部，则直线l与圆C相交．故选B.
例5 (1)已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
(Ⅰ)与直线l：x－2y＋4＝0垂直；
(Ⅱ)过点A(4，－1)．
解：(Ⅰ)设切线方程为2x＋y＋m＝0，
则eq \f(|2－2＋m|,\r(5))＝eq \r(10)，所以m＝±5eq \r(2)，
所以切线方程为2x＋y±5eq \r(2)＝0.
(Ⅱ)可知点A(4，－1)在圆上，故其为切点．
因为kAC＝eq \f(－2＋1,1－4)＝eq \f(1,3)，
所以过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，
所以切线方程为y＋1＝－3(x－4)，
即3x＋y－11＝0.
点拨 求过定点的圆的切线方程时，首先要判断定点在圆上还是在圆外，若在圆上，则该点为切点，切线仅有一条；若在圆外，切线应该有两条；若用切线的点斜式方程，不要忽略斜率不存在的情况．求切线长要利用切线的性质：过切点的半径垂直于切线．
(2)过点P(3,4)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A、B，则线段AB的长为__________．
解析：如图所示，|OP|＝eq \r(32＋42)＝5，|OB|＝1，则|PB|＝eq \r(52－12)＝2eq \r(6)，从而|BC|＝eq \f(|OB|·|PB|,|OP|)＝eq \f(2\r(6),5)，|AB|＝2|BC|＝eq \f(4\r(6),5).答案：eq \f(4\r(6),5)
(2)若直线与曲线有公共点，则的值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式3 (1)过点P(2，4)引圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为________.
解：当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝eq \f(|k－1＋4－2k|,\r(k2＋（－1）2))＝eq \f(|3－k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq \f(4,3)，
∴所求切线方程为eq \f(4,3)x－y＋4－2×eq \f(4,3)＝0，即4x－3y＋4＝0.
综上，切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
(2)过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为________.
解：将圆的方程化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5，则圆心为(3，4)，半径长为eq \r(5).
由题意可设切线的方程为y＝kx，则圆心(3，4)到直线y＝kx的距离等于半径长eq \r(5)，即eq \f(|3k－4|,\r(k2＋1))＝eq \r(5)，解得k＝eq \f(1,2)或k＝eq \f(11,2)，则切线的方程为y＝eq \f(1,2)x或y＝eq \f(11,2)x.联立切线方程与圆的方程，解得两切点坐标分别为(4，2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(22,5)))，此即为P，Q的坐标，由两点间的距离公式得|PQ|＝4.
(3)若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的值范围是
答案：
例6 (2019·合肥质检)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过点(0，3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2eq \r(3)，则直线l的方程为 ( )
A.3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B.3x＋4y－12＝0或x＝0
C.4x－3y＋9＝0或x＝0
D.3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
解：当直线l的斜率不存在时，即直线l的方程为x＝0时，弦长为2eq \r(3)，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为2eq \r(3)，半径为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有eq \f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq \f(3,4)，所以直线l的方程为y＝－eq \f(3,4)x＋3，即3x＋4y－12＝0.
综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0.故选B.
变式4 (1) (厦门市双十中学2020届高三上期中)已知两条平行直线l1，l2之间的距离为1，l1与圆C：x2＋y2＝4相切，l2与C相交于A，B两点，则|AB|＝ ( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.3 D.2eq \r(3)
解：根据题意，l1与圆C：x2＋y2＝4相切，则圆心C到直线l1的距离为2，
又由两条平行直线l1，l2之间的距离为1，则圆心C到直线l2的距离d＝2－1＝1，
则|AB|＝2×eq \r(4－1)＝2eq \r(3).故选D.
(2)(2018·合肥测试)过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________.
解：设P(3，1)，圆心C(2，2)，则|PC|＝eq \r(2)，半径r＝2，由题意知最短的弦过P(3，1)且与PC垂直，所以最短弦长为2eq \r(22－（\r(2)）2)＝2eq \r(2).
(3) (2016·全国Ⅰ卷)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2eq \r(3)，则圆C的面积为________.
解：圆C：x2＋y2－2ay－2＝0,即C:x2＋(y－a)2＝a2＋2,圆心为C(0，a)，C到直线y＝x＋2a的距离为d＝eq \f(|0－a＋2a|,\r(2))＝eq \f(|a|,\r(2)).又由|AB|＝2eq \r(3)，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|a|,\r(2))))eq \s\up12(2)＝a2＋2，解得a2＝2，所以圆的面积为π(a2＋2)＝4π.
考点三 圆与圆的位置关系
例7 (1)已知原点到直线l的距离为1，圆(x－2)2＋(y－eq \r(5))2＝4与直线l相切，则满足条件的直线l有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解：圆(x－2)2＋(y－eq \r(5))2＝4的圆心坐标为C(2，eq \r(5))，半径r＝2，
由圆C与直线l相切，得圆心C到直线l的距离d＝2.
又过圆x2＋y2＝1上任意一点作切线l，直线l满足与原点的距离为1，则满足条件的直线l即为圆O：x2＋y2＝1和圆(x－2)2＋(y－eq \r(5))2＝4的公切线，
因为|OC|＝eq \r(（2－0）2＋（\r(5)－0）2)＝3，即两圆圆心距等于两圆半径之和，所以两圆外切，即这两个圆有3条公切线．故选C.
(2)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq \r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是 ( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
解：由垂径定理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(2))))eq \s\up12(2)＋(eq \r(2))2＝a2，解得a2＝4，所以圆M：x2＋(y－2)2＝4，所以圆M与圆N的圆心距d＝eq \r(（0－1）2＋（2－1）2)＝eq \r(2).因为2－1变式5 (1)若圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)内切，则ab的最大值为 ( )
A.eq \r(2) B.2 C.4 D.2eq \r(2)
解：圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)，
化为(x－a)2＋y2＝9，圆心坐标为(a，0)，半径为3.
圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)，
化为x2＋(y＋b)2＝1，圆心坐标为(0，－b)，半径为1，
因为两圆内切，所以eq \r(a2＋b2)＝3－1，即a2＋b2＝4，ab≤eq \f(1,2)(a2＋b2)＝2.当且仅当a＝b＝±eq \r(2)时取“＝”.
所以ab的最大值为2.故选B.
(2)如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是 ．
解：圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2.
依题意得0所以a∈(－2eq \r(2)，0)∪(0，2eq \r(2))．
故填(－2eq \r(2)，0)∪(0，2eq \r(2))．
例8 求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．
解：联立两圆的方程得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2－2x＋10y－24＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))两式相减整理得x－2y＋4＝0，所以两圆公共弦所在直线的方程为x－2y＋4＝0.下求公共弦长．
解法一：设两圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＋4＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝－4，,y1＝0))
或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝0，,y2＝2.))所以|AB|＝eq \r(（0＋4）2＋（2－0）2)＝2eq \r(5)，即公共弦长为2eq \r(5).
解法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径r＝5eq \r(2)，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离d＝eq \f(|1－2×（－5）＋4|,\r(1＋（－2）2))＝3eq \r(5).
设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝(3eq \r(5))2＋l2，解得l＝eq \r(5)，故公共弦长2l＝2eq \r(5).
例9 若圆：与圆：有三条公切线，则（ ）
【答案】：圆C1的方程：，圆心C1（0，0），半径 为1，
圆C2：，化为：，圆心C2（3，4），半径为，两圆的圆心距为5，
∵圆C1：与圆C2有三条公切线，
∴5=1+，∴m=9，故选：C．
变式6 已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)两圆外切时m的值；
(2)两圆内切时m的值；
(3)m＝45时，两圆的公共弦所在直线的方程及公共弦长．
解：两圆的标准方程分别为：(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，半径分别为eq \r(11)和eq \r(61－m).
(1)当两圆外切时，eq \r(（5－1）2＋（6－3）2)＝eq \r(11)＋eq \r(61－m)，解得m＝25＋10eq \r(11).
(2)当两圆内切时，因为定圆的半径eq \r(11)小于两圆的圆心距5，故只有eq \r(61－m)－eq \r(11)＝5，解得m＝25－10eq \r(11).
(3)当m＝45时，两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，
即4x＋3y－23＝0.所以公共弦长为
2eq \r(（\r(11)）2－（\f(|4×1＋3×3－23|,\r(42＋32))）2)＝2eq \r(7).
变式7 (1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq \r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
(2)(2020·九江模拟)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1 相外切，则ab的最大值为( )
A.eq \f(\r(6),2) B.eq \f(3,2) C.eq \f(9,4) D.2eq \r(3)
解析 (1)∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2，∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝eq \f(|a|,\r(2))，由几何知识得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|a|,\r(2))))eq \s\up12(2)＋(eq \r(2))2＝a2，解得a＝2.∴M(0，2)，r1＝2.又圆N的圆心坐标N(1，1)，半径r2＝1，
∴|MN|＝eq \r(（1－0）2＋（1－2）2)＝eq \r(2)，r1＋r2＝3，r1－r2＝1.
∴r1－r2＜|MN|＜r1＋r2，∴两圆相交，故选B.
(2)由圆C1与圆C2相外切，可得eq \r(（a＋b）2＋（－2＋2）2)＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，根据基本不等式可知ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(9,4)，
当且仅当a＝b时等号成立.
答案 (1)B (2)C
变式8 已知圆：，圆：，则圆与圆的公切线条数是（ ）
【答案】：圆M：，即，表示以M（0，2）为圆心，半径等于2的圆．
圆N：，表示以N（1，1）为圆心，半径等于1的圆．
两圆的圆心距等于|MN|=，小于半径之和，大于半径之差的绝对值，
故两圆相交，故两圆的公切线的条数为2，故选：B．
考点四 与圆有关的最值问题
例10 已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上．
(1)求x＋y的最大值和最小值；
(2)求eq \f(y,x)的最大值和最小值；
(3)求eq \r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值和最小值．
解：(1)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，所以x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线在y轴上的截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距．
由eq \f(|2＋（－3）－t|,\r(2))＝1，解得t＝eq \r(2)－1或t＝ －eq \r(2)－1.
所以x＋y的最大值为eq \r(2)－1，最小值为－eq \r(2)－1.
(2)eq \f(y,x)可视为点(x，y)与原点连线的斜率，eq \f(y,x)的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．
设过原点的直线的方程为y＝kx，由eq \f(|2k＋3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－2＋eq \f(2\r(3),3)或k＝－2－eq \f(2\r(3),3).
所以eq \f(y,x)的最大值为－2＋eq \f(2\r(3),3)，最小值为－2－eq \f(2\r(3),3).
(3)eq \r(x2＋y2＋2x－4y＋5)＝eq \r(（x＋1）2＋（y－2）2)，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1，2)的距离为eq \r(34)，
所以eq \r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值为eq \r(34)＋1，最小值为eq \r(34)－1.
变式9 (1)(2018·兰州模拟)设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为 ( )
A.6 B.25 C.26 D.36
解：因为圆(x－2)2＋y2＝1的半径为1，圆心坐标为(2，0)，该圆心到点(5，－4)的距离为eq \r(（2－5）2＋（0＋4）2)＝5，所以圆(x－2)2＋y2＝1上的点到(5，－4)距离的最大值为5＋1＝6，即(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为36.故选D.
(2) 设点P是函数y＝－eq \r(4－（x－1）2)图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为________.
解析 函数y＝－eq \r(4－（x－1）2)的图象表示圆(x－1)2＋y2＝4在x轴及下方的部分，令点Q的坐标为(x，y)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2a，,y＝a－3，))得y＝eq \f(x,2)－3，即x－2y－6＝0，作出图象如图所示，
由于圆心(1，0)到直线x－2y－6＝0的距离d＝eq \f(|1－2×0－6|,\r(12＋（－2）2))＝eq \r(5)>2，所以直线x－2y－6＝0与圆(x－1)2＋y2＝4相离，因此|PQ|的最小值是eq \r(5)－2.
答案 eq \r(5)－2
考点五 与圆有关的轨迹问题
例11 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
解：(1)解法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC的斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝eq \f(y,x＋1)，kBC＝eq \f(y,x－3)，所以eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－3)＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
解法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝eq \f(1,2)|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝eq \f(x0＋3,2)，
y＝eq \f(y0＋0,2)，所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
变式4 已知定点M(－3，4)，设动点N在圆x2＋y2＝4上运动，点O是坐标原点，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
解：因为四边形MONP为平行四边形，
所以eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))，
设点P(x，y)，点N(x0，y0)，则
eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→))＝(x，y)－(－3，4)＝(x＋3，y－4)＝(x0，y0)．
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝x＋3，,y0＝y－4，))代入xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝4得(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
又当OM与ON共线时，O、M、N、P构不成平行四边形，此时联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－\f(4,3)x，,（x＋3）2＋（y－4）2＝4，))得eq \f(25,9)x2＋eq \f(50,3)x＋21＝0.
解得x1＝－eq \f(9,5)，x2＝－eq \f(21,5).
则点(－eq \f(9,5)，eq \f(12,5))和(－eq \f(21,5)，eq \f(28,5))不满足题意．
故动点P的轨迹是圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4且除去点(－eq \f(9,5)，eq \f(12,5))和(－eq \f(21,5)，eq \f(28,5))．
课后作业A
1．(云南师大附中2020届高三上11月月考改编)若直线x＋y＋a＝0是圆x2＋y2－2x＝0的一条对称轴，则a的值为 ( )
A.1 B.－1 C.2 D.－2
解：由题意得，圆x2＋y2－2x＝0的圆心(1，0)在直线x＋y＋a＝0上，则1＋a＝0，a＝－1.故选B.
2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是 ( )
A.(－∞，－2)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，0))
C.(－2，0]
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(2,3)))
解：D2＋E2－4F＝－3a2－4a＋4>0，所以3a2＋4a－4<0⇒－23.经过三点A(－1，0)，B(3，0)，C(1，2)的圆的面积是 ( )
A.π B.2π C.3π D.4π
解：如图，
根据A，B，C三点的坐标可以得出|AC|＝|BC|＝2eq \r(2)，|AB|＝4，所以AC⊥BC，所以AB为过A，B，C三点的圆的直径，且该圆的圆心坐标为(1，0)，圆的半径为2，所以圆的面积为S＝πR2＝π×22＝4π.故选D.
4．(2020·太原模拟)两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，则实数a的取值范围是 ( )
A.(－eq \f(1,5)，1)
B.(－∞，－eq \f(1,5))∪(1，＋∞)
C.[－eq \f(1,5)，1)
D.(－∞，－eq \f(1,5)]∪[1，＋∞)
解：联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋2a，,y＝2x＋a，))解得P(a，3a)，所以(a－1)2＋(3a－1)2＜4，所以－eq \f(1,5)＜a＜1.故选A.
5．已知点Q(－1，m)，P是圆C：(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝4上任意一点，若线段PQ的中点的轨迹方程为x2＋(y－1)2＝1，则m的值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解：设P(x，y)，PQ的中点为M(x0，y0)，则由中点坐标公式得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝\f(x－1,2)，,y0＝\f(y＋m,2).))因为点M(x0，y0)在圆x2＋(y－1)2＝1上，所以(eq \f(x－1,2))2＋(eq \f(y＋m,2)－1)2＝1，即(x－1)2＋(y＋m－2)2＝4.将此方程与方程(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝4比较可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,2a－4＝－（m－2），))解得m＝4.故选D.
6．与直线x－y－4＝0和圆x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是 ( )
A.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B.(x－1)2＋(y＋1)2＝4
C.(x－1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
解：圆x2＋y2＋2x－2y＝0的圆心坐标为(－1，1)，半径为eq \r(2)，
过圆心(－1，1)与直线x－y－4＝0垂直的直线方程为x＋y＝0，所求圆的圆心在此直线上，
又圆心(－1，1)到直线x－y－4＝0的距离为eq \f(6,\r(2))＝3eq \r(2)，则所求圆的半径为eq \r(2)，
设所求圆的圆心为(a，b)，且圆心在直线x－y－4＝0的左上方，
则eq \f(|a－b－4|,\r(2))＝eq \r(2)，且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1(a＝3，b＝－3不符合题意，舍去)，
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故选C.
7．已知圆C：x2＋y2－2x－2eq \r(3)y＋3＝0，点A(0，m)(m＞0)，A，B两点关于x轴对称．若圆C上存在点M，使得eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))＝0，则当m取得最大值时，点M的坐标是 ( )
A.(eq \f(3,2)，eq \f(3\r(2),2)) B.(eq \f(3\r(2),2)，eq \f(3,2))
C.(eq \f(3,2)，eq \f(3\r(3),2)) D.(eq \f(3\r(3),2)，eq \f(3,2))
解：由题得圆C的方程为(x－1)2＋(y－eq \r(3))2＝1，B(0，－m)，设M(x，y)，由于eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))＝0，所以(x，y－m)·(x，y＋m)＝0，所以x2＋y2－m2＝0，所以m2＝x2＋y2，由于x2＋y2表示圆C上的点到原点距离的平方，所以连接OC，并延长和圆C相交，交点即为所求M，此时m2最大，m也最大．
|OM|＝1＋2＝3，∠MOx＝60°，所以xM＝3×cs60°＝eq \f(3,2)，yM＝3×sin60°＝eq \f(3\r(3),2).故选C.
8．【多选题】设有一组圆Ck：(x－1)2＋(y－k)2＝k4(k∈N*)，下列四个命题正确的是 ( )
A.存在k，使圆与x轴相切
B.存在一条直线与所有的圆均相交
C.存在一条直线与所有的圆均不相交
D.所有的圆均不经过原点
解：根据题意得圆的圆心为(1，k)，半径为k2，
选项A，当k＝k2，即k＝1时，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆与x轴相切，故正确；
选项B，直线x＝1过圆的圆心(1，k)，x＝1与所有圆都相交，故正确；
选项C，圆Ck：圆心(1，k)，半径为k2，圆Ck＋1：圆心(1，k＋1)，半径为(k＋1)2，
两圆的圆心距d＝1，两圆的半径之差R－r＝2k＋1，R－r＞d，Ck含于Ck＋1之中，
若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，故错误；
选项D，将(0，0)代入圆的方程，则有1＋k2＝k4，不存在k∈N*使上式成立，即所有圆不过原点，正确．
故选ABD.
9．圆心在y轴上，且过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是 ．
解：根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则32＋(r－1)2＝r2，解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0.
故填x2＋y2－10y＝0.
10．若圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，则eq \f(2,a)＋eq \f(6,b)的最小值是 ．
解：因为圆关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，
所以该直线经过圆心(－2，6)，即－2a－6b＋6＝0，所以a＋3b＝3(a>0，b>0)，
所以eq \f(2,a)＋eq \f(6,b)＝eq \f(2,3)(a＋3b)(eq \f(1,a)＋eq \f(3,b))＝eq \f(2,3)(1＋eq \f(3a,b)＋eq \f(3b,a)＋9)≥eq \f(2,3)(10＋2eq \r(\f(3a,b)·\f(3b,a)))＝eq \f(32,3)，当且仅当eq \f(3b,a)＝eq \f(3a,b)，即a＝b时取等号．故填eq \f(32,3).
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．
解：(1)圆M的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心M(6，7)，半径r＝5，
由题意，设圆N的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b>0)．
且eq \r(（6－6）2＋（b－7）2)＝b＋5.
解得b＝1，所以圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)因为kOA＝2，所以可设l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0.
又|BC|＝|OA|＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5).
由题意，圆M的圆心M(6，7)到直线l的距离为d＝eq \r(52－（\f(|BC|,2)）2)＝eq \r(25－5)＝2eq \r(5).
即eq \f(|2×6－7＋m|,\r(22＋（－1）2))＝2eq \r(5)，解得m＝5或m＝－15.
所以直线l的方程为y＝2x＋5或y＝2x－15.
12．已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，
(1)求eq \f(y,x)的最大值和最小值；
(2)求x＋y的最大值和最小值．
解：方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可变形为(x－3)2＋(y－3)2＝4，则圆C的半径为2.
(1)(转化为斜率的最值问题求解)
eq \f(y,x)表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然当PO(O为原点)与圆C相切时，斜率最大或最小，如图所示．
设切线方程为y＝kx，即kx－y＝0，由圆心C(3，3)到切线的距离等于圆C的半径，
可得eq \f(|3k－3|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq \f(9±2\r(14),5).所以eq \f(y,x)的最大值为eq \f(9＋2\r(14),5)，最小值为eq \f(9－2\r(14),5).
(2)(转化为截距的最值问题求解)
设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，显然当动直线y＝－x＋b与圆C相切时，b取得最大值或最小值，如图所示．
由圆心C(3，3)到切线x＋y＝b的距离等于圆C的半径，可得
eq \f(|3＋3－b|,\r(12＋12))＝2，即|b－6|＝2eq \r(2)，解得b＝6±2eq \r(2)，
所以x＋y的最大值为6＋2eq \r(2)，最小值为6－2eq \r(2).
13．已知圆C：(x＋2)2＋y2＝5，直线l：mx－y＋1＋2m＝0，m∈R.
(1)求证：直线l与圆C总有两个不同的交点A，B；
(2)求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线．
解：(1)证明：证法一：圆C：(x＋2)2＋y2＝5的圆心为C(－2，0)，半径为eq \r(5)，
所以圆心C到直线l：mx－y＋1＋2m＝0的距离eq \f(|－2m＋1＋2m|,\r(1＋m2))＝eq \f(1,\r(1＋m2))＜eq \r(5).
所以直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同的交点．
证法二：直线l：mx－y＋1＋2m＝0的方程可化为m(x＋2)＋(1－y)＝0，无论m怎么变化，直线l过定点(－2，1)．
由于(－2＋2)2＋12＝1＜5，所以点(－2，1)是圆C内一点，
故直线l与圆C总有两个不同的交点．
(2)设中点为M(x，y)，因为直线l：mx－y＋1＋2m＝0恒过定点P(－2，1)，且斜率存在，
所以eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(PM,\s\up6(→))＝0，即(x＋2)(x＋2)＋y(y－1)＝0，
(x＋2)2＋(y－eq \f(1,2))2＝eq \f(1,4)，因为直线l的斜率存在，
所以除去点(－2，0)．
所以M的轨迹方程是(x＋2)2＋(y－eq \f(1,2))2＝eq \f(1,4)(y≠0)，
它是以(－2，eq \f(1,2))为圆心，eq \f(1,2)为半径除去点(－2，0)的圆．
附加题 已知动点P(x，y)满足x2＋y2－2|x|－2|y|＝0，O为坐标原点，则eq \r(x2＋y2)的最大值为．
解：eq \r(x2＋y2)表示曲线上的任意一点(x，y)到原点的距离．
当x≥0，y≥0时，x2＋y2－2x－2y＝0化为(x－1)2＋(y－1)2＝2，
曲线上的点到原点的距离的最大值为2×eq \r(2)＝2eq \r(2)，
当x<0，y<0时，x2＋y2＋2x＋2y＝0化为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2，
曲线上的点到原点的距离的最大值为2×eq \r(2)＝2eq \r(2)，
当x≥0，y<0时，x2＋y2－2x＋2y＝0化为(x－1)2＋(y＋1)2＝2，
曲线上的点到原点的距离的最大值为2×eq \r(2)＝2eq \r(2)，
当x<0，y≥0时，x2＋y2＋2x－2y＝0化为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，
曲线上的点到原点的距离的最大值为2×eq \r(2)＝2eq \r(2).
综上可知，eq \r(x2＋y2)的最大值为2eq \r(2).故填2eq \r(2).A．
B．
C．
D．
A．1
B．2
C．3
D．4
课后作业B
1．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0A.原点在圆上 B.原点在圆外
C.原点在圆内 D.不确定
解：因为00，所以原点在圆外．故选B.
2．(沈阳2020届高三教学质量监测)“k＝eq \f(\r(3),3)”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解：因为直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切，
所以eq \f(|2k|,\r(k2＋1))＝1，所以k＝±eq \f(\r(3),3).
所以前者是后者的充分不必要条件．
故选A.
3．(重庆南开中学2019届高三第四次教学检测)若直线y＝mx＋1与圆C：x2＋y2＋2x＋2y＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则m＝ ( )
A.－1 B.－eq \f(1,2) C.eq \f(3,4) D.eq \f(3,2)
解：圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝2，因为AC⊥BC，所以圆心C到直线y＝mx＋1的距离为1，则eq \f(|2－m|,\r(m2＋1))＝1，解得m＝eq \f(3,4).故选C.
4．(吉林大学附属中学2019届高三七模)已知圆C：(x－eq \r(3))2＋(y－1)2＝1和两点A(－t，0)，B(t，0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝0，则t的最小值为 ( )
A.3 B.2 C.eq \r(3) D.1
解：由题意可得点P的轨迹是以AB为直径的圆，当两圆外切时，有eq \r(（\r(3)）2＋12)＝tmin＋1⇒tmin＝1，即t的最小值为1.故选D.
5．(福建省龙岩市2019届高三第一学期期末质检)若直线y＝x＋m与曲线y＝eq \r(1－x2)有且只有一个公共点，则实数m的取值范围为 ( )
A.(－1，1]∪{－eq \r(2)} B.{－eq \r(2)，eq \r(2)}
C.[－1，1)∪{eq \r(2)} D.(1，eq \r(2)]
解：y＝eq \r(1－x2)表示半圆，如图所示，
因为直线y＝x＋m与曲线y＝eq \r(1－x2)有且只有一个公共点，
①d＝eq \f(|m|,\r(12＋（－1）2))＝1，解得m＝eq \r(2)，m＝－eq \r(2)(舍去)；
②代入(－1，0)可得0＝－1＋m，m＝1，代入(1，0)可得0＝1＋m，m＝－1.
综上，结合图象可得－1≤m<1或m＝eq \r(2).
故选C.
6．两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)的最小值为 ( )
A.1 B.3 C.eq \f(1,9) D.eq \f(4,9)
解：两圆化为标准方程，即(x＋a)2＋y2＝4，x2＋(y－2b)2＝1.依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径之和，则eq \r(a2＋（2b）2)＝1＋2＝3，即a2＋4b2＝9，所以eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)＝eq \f(1,9)(a2＋4b2)(eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2))＝eq \f(1,9)(5＋eq \f(a2,b2)＋eq \f(4b2,a2))≥eq \f(1,9)(5＋2eq \r(\f(a2,b2)·\f(4b2,a2)))＝1，当且仅当a2＝3，b2＝eq \f(3,2)时取等号．故选A.
7．(四川省百校2019年高三模拟冲刺)在平面直角坐标系xOy中，两动圆O1，O2均过定点(1，0)，它们的圆心分别为(a1，0)，(a2，0)(a1≠0，a2≠0)，且与y轴正半轴分别交于(0，y1)，(0，y2)．若y1＝eq \f(1,y2)，则eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＝ ( )
A.eq \f(1,2) B.－eq \f(1,2) C.2 D.－2
解：由题圆O1，O2方程分别为(x－a1)2＋y2＝(1－a1)2，(x－a2)2＋y2＝(1－a2)2，两动圆O1，O2均过定点(1，0)，故req \\al(2,1)＝(1－a1)2＝aeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)，得yeq \\al(2,1)＝1－2a1，同理yeq \\al(2,2)＝1－2a2，
又y1＝eq \f(1,y2)，所以y1y2＝1，即(1－2a1)(1－2a2)＝1，整理得a1＋a2＝2a1a2，故eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＝2.故选C.
8．【多选题】在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解：x2＋y2－4x＝0，所以(x－2)2＋y2＝4，
P所作的圆的两条切线相互垂直，所以P，圆心C，两切点构成正方形．
PC＝2eq \r(2)，即(x－2)2＋y2＝8，P在直线y＝k(x＋1)上，圆心距d＝eq \f(|2k－0＋k|,\r(1＋k2))≤2eq \r(2).
计算得到－2eq \r(2)≤k≤2eq \r(2).故选AB.
9．(2019·浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝ ，r＝ .
解：由题意可知kAC＝－eq \f(1,2)，则直线AC：y＋1＝－eq \f(1,2)(x＋2)，把C(0，m)代入直线AC的方程得m＝－2，此时r＝|AC|＝eq \r(4＋1)＝eq \r(5).故填－2；eq \r(5).
10．(2020·泰安一调)设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为 ．
解：圆x2＋y2＝4的圆心O(0，0)，半径r＝2，
圆心到直线l的距离d＝eq \f(|－1|,\r(m2＋n2))＝eq \r(22－12)，即m2＋n2＝eq \f(1,3).直线l与x轴相交于点A(eq \f(1,m)，0)，与y轴相交于点B(0，eq \f(1,n))，所以△AOB的面积为S△AOB＝eq \f(1,2)|eq \f(1,mn)|≥eq \f(1,2)·eq \f(2,m2＋n2)＝3.
当且仅当|m|＝|n|＝eq \f(\r(6),6)时，S△AOB取得最小值，最小值为3.
故填3.
11．已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.
(1)证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．
解法一：(1)证明：
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,（x－1）2＋（y＋1）2＝12，))
消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，
因为Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)＞0恒成立，
所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
(2)设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由(1)知x1＋x2＝eq \f(2－4k,k2＋1)，x1x2＝－eq \f(7,k2＋1)，
则直线l被圆C截得的弦长
|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)
＝2eq \r(\f(8－4k＋11k2,1＋k2))＝2eq \r(11－\f(4k＋3,1＋k2))，
令t＝eq \f(4k＋3,1＋k2)，则tk2－4k＋(t－3)＝0，
当t＝0时，k＝－eq \f(3,4)，当t≠0时，因为k∈R，
所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，
故t＝eq \f(4k＋3,1＋k2)的最大值为4，此时弦长|AB|最小为2eq \r(7).
解法二：(1)证明：因为不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，而|PC|＝eq \r(5)＜2eq \r(3)，所以点P(0，1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P.
所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
(2)由平面几何知识知过圆内定点P(0，1)的弦，只有和PC垂直时才最短，而此时点P(0，1)为弦AB的中点，又|PC|＝eq \r(5)，所以|AB|＝2eq \r(（2\r(3)）2－（\r(5)）2)＝2eq \r(7)，即直线l被圆C截得的最短弦长为2eq \r(7).
12．(2019·广东省省际名校联考)已知圆C1：(x－2)2＋(y－2)2＝2内有一动弦AB，且|AB|＝2，以AB为斜边作等腰直角△PAB，点P在圆外．
(1)求点P的轨迹C2的方程；
(2)从原点O作圆C1的两条切线，分别交C2于E，F，G，H四点，求以这四点为顶点的四边形的面积S.
解：(1)连接C1A，C1B(图略)，
因为|C1A|＝|C1B|＝eq \r(2)，|AB|＝2，
所以△C1AB为等腰直角三角形．
因为△PAB为等腰直角三角形，
所以四边形PAC1B为正方形．
所以|PC1|＝2，所以点P的轨迹是以C1为圆心，2为半径的圆，则C2的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.
(2)如图，C1N⊥OF于点N，连接C1E，C1F，C1O，EH.
在Rt△OC1N中，因为|OC1|＝2eq \r(2)，|C1N|＝eq \r(2)，|ON|＝eq \r(6).所以sin∠C1ON＝eq \f(1,2)，所以∠C1ON＝30°.
所以△OEH与△OFG均为正三角形．
因为△C1EN≌△C1FN，且|C1E|＝|C1F|＝2，
所以|NE|＝|NF|＝eq \r(2).
所以四边形EFGH的面积S＝S△OFG－S△OEH＝eq \f(\r(3),4)(eq \r(6)＋eq \r(2))2－eq \f(\r(3),4)(eq \r(6)－eq \r(2))2＝6.
13．已知点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
解：(1)联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x－1，,y＝2x－4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝2，))
所以圆心C的坐标为(3，2)．
由题意知切线斜率存在，设切线方程为y＝kx＋3，可得圆心到切线的距离d＝eq \f(|3k＋3－2|,\r(1＋k2))＝1，
解得k＝0或k＝－eq \f(3,4)，
则所求切线的方程为y＝3或y＝－eq \f(3,4)x＋3.
(2)设点M(x，y)，由|MA|＝2|MO|，
知eq \r(x2＋（y－3）2)＝2eq \r(x2＋y2)，
化简得x2＋(y＋1)2＝4，
所以点M在以(0，－1)为圆心，2为半径的圆上，记该圆的圆心为D.
又因为点M在圆C上，且圆心为C(a，2a－4)，
所以圆C与圆D的关系为相交或相切，
所以1≤|CD|≤3，其中|CD|＝eq \r(a2＋（2a－3）2)，
所以1≤eq \r(a2＋（2a－3）2)≤3，解得0≤a≤eq \f(12,5)，
即圆心C的横坐标a的取值范围是[0，eq \f(12,5)]．
附加题 (江苏徐州2020年高三考前模拟)已知A，B为圆O：x2＋y2＝5上的两个动点，AB＝4，M为线段AB的中点，点P为直线l：x＋y－6＝0上一动点，则eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最小值为 ．
解：因为AB＝4，BM＝2，取BM的中点N，连接OM，PN，
则eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝(eq \(PN,\s\up6(→))－eq \(NB,\s\up6(→)))·(eq \(PN,\s\up6(→))＋eq \(NB,\s\up6(→)))＝eq \(PN,\s\up6(→))2－1，
又|OM|2＋|MB|2＝5，故|OM|＝1，所以|ON|2＝12＋12＝2，|ON|＝eq \r(2)，
又|PN|≥|OP|－|ON|，而|OP|≥eq \f(|0＋0－6|,\r(2))＝3eq \r(2)，所以|PN|≥2eq \r(2)，当且仅当OP垂直于直线l且O，N，P三点共线时等号成立，所以eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最小值为8－1＝7.故填7.
例1 求满足下列条件的各圆的方程：
(1)圆心在原点，半径是3；
【答案】
(2)经过点，圆心在点．
【答案】∵圆心在点，故设圆的方程为
又∵点在圆上，∴，∴
∴所求圆的方程是.
例2 圆心在直线上，且圆过两点.
【答案】∵圆心在直线y=0上，
∴设圆心坐标为C（a，0），则|AC|=|BC|，
即，即，
解得a=―1，即圆心为（―1，0），半径，
则圆的标准方程为 .
例3 (1)过点A(4，1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为 ．
解法一：由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3.①
过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，②
联立①②，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝0，))所以圆心坐标为(3，0)，半径r＝eq \r(（4－3）2＋（1－0）2)＝eq \r(2)，
所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.
解法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
因为点A(4，1)，B(2，1)在圆上，
故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（4－a）2＋（1－b）2＝r2，,（2－a）2＋（1－b）2＝r2，))
又因为eq \f(b－1,a－2)＝－1，解得a＝3，b＝0，r＝eq \r(2)，
故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.
故填(x－3)2＋y2＝2.
(2)经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程为 ．
解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将P，Q两点的坐标分别代入得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2D－4E－F＝20，①,3D－E＋F＝－10.②))
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③
设x1，x2是方程③的两根，则x1＋x2＝－D，x1x2＝F.
由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36，④
由①②④解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝－4，,F＝－8，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝－6，,E＝－8，,F＝0.))
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.
故填x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.
变式1 (1) 求下列各圆的标准方程：
(Ⅰ) 圆心在点C（3，4）上，半径是；
【答案】(x―3)2+(y―4)2=5；
(Ⅱ)圆心是，且过点；
【答案】(x―4)2+(y+1)2=10
(2)求圆心在直线上，且过点的圆的标准方程．
【答案】 (x+1)2+(y+2)2=10
【解析】设圆的标准方程为，则
解得：
所以所求圆的标准方程是：(x+1)2+(y+2)2=10．
(3)对于a∈R，直线(1－a)x＋y＋2a－1＝0恒过定点P，则以P为圆心，2为半径的圆的方程是 ( )
A.x2＋y2－4x＋2y＋1＝0
B.x2＋y2－4x＋2y＋3＝0
C.x2＋y2＋4x－2y＋1＝0
D.x2＋y2＋4x－2y＋3＝0
解：由条件知(1－a)x＋y＋2a－1＝0，可以整理为x＋y－1＋(2－x)a＝0，故直线过定点P(2，－1)，所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4，化为一般方程为x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.故选A.
(4)在平面直角坐标系xOy中，过点A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线x－2y－1＝0上的圆的标准方程为 ．
解：根据题意，圆经过点A(1，3)，B(4，6)，则圆心在线段AB的垂直平分线上，
又由点A(1，3)，B(4，6)，则线段AB的垂直平分线方程为x＋y－7＝0，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y－1＝0，,x＋y－7＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝2，))即圆心为(5，2)，
圆的半径r满足r2＝(5－1)2＋(2－3)2＝17，
故圆的方程为(x－5)2＋(y－2)2＝17.
故填(x－5)2＋(y－2)2＝17.
考点二 直线与圆的位置关系
例4 (1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是 ( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
解：因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝eq \f(|a·0＋b·0－1|,\r(a2＋b2))＝eq \f(1,\r(a2＋b2))<1，所以直线与圆相交．故选B.
(2)圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为 ( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.以上都有可能
解：直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，
因为12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，
所以点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内．
所以直线与圆相交．故选C.
点拨 判断直线与圆的位置关系常见的方法：①几何法：利用d与r的关系．②代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．③点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交；若点在圆上，直线与圆可能相切，也可能相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法更适用于动直线问题．
变式2 (1)若直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是 ( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
解：因为圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2，1)，半径为eq \r(2).因为直线l与圆C相切，所以eq \f(|－2k－1＋1|,\r(k2＋1))＝eq \r(2)，解得k＝±1，因为k<0，所以k＝－1，所以直线l的方程为x＋y－1＝0.圆心D(2，0)到直线l的距离d＝eq \f(|2＋0－1|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
解：把直线l的方程化为x－y＋a(x＋y＋2)＝0，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝0，,x＋y＋2＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－1，))即直线l过定点 (－1，－1)，
又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7＝ －5＜0，
则点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的内部，则直线l与圆C相交．故选B.
例5 (1)已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
(Ⅰ)与直线l：x－2y＋4＝0垂直；
(Ⅱ)过点A(4，－1)．
解：(Ⅰ)设切线方程为2x＋y＋m＝0，
则eq \f(|2－2＋m|,\r(5))＝eq \r(10)，所以m＝±5eq \r(2)，
所以切线方程为2x＋y±5eq \r(2)＝0.
(Ⅱ)可知点A(4，－1)在圆上，故其为切点．
因为kAC＝eq \f(－2＋1,1－4)＝eq \f(1,3)，
所以过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，
所以切线方程为y＋1＝－3(x－4)，
即3x＋y－11＝0.
点拨 求过定点的圆的切线方程时，首先要判断定点在圆上还是在圆外，若在圆上，则该点为切点，切线仅有一条；若在圆外，切线应该有两条；若用切线的点斜式方程，不要忽略斜率不存在的情况．求切线长要利用切线的性质：过切点的半径垂直于切线．
(2)过点P(3,4)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A、B，则线段AB的长为__________．
解析：如图所示，|OP|＝eq \r(32＋42)＝5，|OB|＝1，则|PB|＝eq \r(52－12)＝2eq \r(6)，从而|BC|＝eq \f(|OB|·|PB|,|OP|)＝eq \f(2\r(6),5)，|AB|＝2|BC|＝eq \f(4\r(6),5).答案：eq \f(4\r(6),5)
(2)若直线与曲线有公共点，则的值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式3 (1)过点P(2，4)引圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为________.
解：当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝eq \f(|k－1＋4－2k|,\r(k2＋（－1）2))＝eq \f(|3－k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq \f(4,3)，
∴所求切线方程为eq \f(4,3)x－y＋4－2×eq \f(4,3)＝0，即4x－3y＋4＝0.
综上，切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
(2)过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为________.
解：将圆的方程化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5，则圆心为(3，4)，半径长为eq \r(5).
由题意可设切线的方程为y＝kx，则圆心(3，4)到直线y＝kx的距离等于半径长eq \r(5)，即eq \f(|3k－4|,\r(k2＋1))＝eq \r(5)，解得k＝eq \f(1,2)或k＝eq \f(11,2)，则切线的方程为y＝eq \f(1,2)x或y＝eq \f(11,2)x.联立切线方程与圆的方程，解得两切点坐标分别为(4，2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(22,5)))，此即为P，Q的坐标，由两点间的距离公式得|PQ|＝4.
(3)若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的值范围是
答案：
例6 (2019·合肥质检)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过点(0，3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2eq \r(3)，则直线l的方程为 ( )
A.3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B.3x＋4y－12＝0或x＝0
C.4x－3y＋9＝0或x＝0
D.3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
解：当直线l的斜率不存在时，即直线l的方程为x＝0时，弦长为2eq \r(3)，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为2eq \r(3)，半径为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有eq \f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq \f(3,4)，所以直线l的方程为y＝－eq \f(3,4)x＋3，即3x＋4y－12＝0.
综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0.故选B.
变式4 (1) (厦门市双十中学2020届高三上期中)已知两条平行直线l1，l2之间的距离为1，l1与圆C：x2＋y2＝4相切，l2与C相交于A，B两点，则|AB|＝ ( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.3 D.2eq \r(3)
解：根据题意，l1与圆C：x2＋y2＝4相切，则圆心C到直线l1的距离为2，
又由两条平行直线l1，l2之间的距离为1，则圆心C到直线l2的距离d＝2－1＝1，
则|AB|＝2×eq \r(4－1)＝2eq \r(3).故选D.
(2)(2018·合肥测试)过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________.
解：设P(3，1)，圆心C(2，2)，则|PC|＝eq \r(2)，半径r＝2，由题意知最短的弦过P(3，1)且与PC垂直，所以最短弦长为2eq \r(22－（\r(2)）2)＝2eq \r(2).
(3) (2016·全国Ⅰ卷)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2eq \r(3)，则圆C的面积为________.
解：圆C：x2＋y2－2ay－2＝0,即C:x2＋(y－a)2＝a2＋2,圆心为C(0，a)，C到直线y＝x＋2a的距离为d＝eq \f(|0－a＋2a|,\r(2))＝eq \f(|a|,\r(2)).又由|AB|＝2eq \r(3)，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|a|,\r(2))))eq \s\up12(2)＝a2＋2，解得a2＝2，所以圆的面积为π(a2＋2)＝4π.
考点三 圆与圆的位置关系
例7 (1)已知原点到直线l的距离为1，圆(x－2)2＋(y－eq \r(5))2＝4与直线l相切，则满足条件的直线l有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解：圆(x－2)2＋(y－eq \r(5))2＝4的圆心坐标为C(2，eq \r(5))，半径r＝2，
由圆C与直线l相切，得圆心C到直线l的距离d＝2.
又过圆x2＋y2＝1上任意一点作切线l，直线l满足与原点的距离为1，则满足条件的直线l即为圆O：x2＋y2＝1和圆(x－2)2＋(y－eq \r(5))2＝4的公切线，
因为|OC|＝eq \r(（2－0）2＋（\r(5)－0）2)＝3，即两圆圆心距等于两圆半径之和，所以两圆外切，即这两个圆有3条公切线．故选C.
(2)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq \r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是 ( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
解：由垂径定理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(2))))eq \s\up12(2)＋(eq \r(2))2＝a2，解得a2＝4，所以圆M：x2＋(y－2)2＝4，所以圆M与圆N的圆心距d＝eq \r(（0－1）2＋（2－1）2)＝eq \r(2).因为2－1
A.eq \r(2) B.2 C.4 D.2eq \r(2)
解：圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)，
化为(x－a)2＋y2＝9，圆心坐标为(a，0)，半径为3.
圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)，
化为x2＋(y＋b)2＝1，圆心坐标为(0，－b)，半径为1，
因为两圆内切，所以eq \r(a2＋b2)＝3－1，即a2＋b2＝4，ab≤eq \f(1,2)(a2＋b2)＝2.当且仅当a＝b＝±eq \r(2)时取“＝”.
所以ab的最大值为2.故选B.
(2)如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是 ．
解：圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2.
依题意得0
故填(－2eq \r(2)，0)∪(0，2eq \r(2))．
例8 求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．
解：联立两圆的方程得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2－2x＋10y－24＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))两式相减整理得x－2y＋4＝0，所以两圆公共弦所在直线的方程为x－2y＋4＝0.下求公共弦长．
解法一：设两圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＋4＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝－4，,y1＝0))
或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝0，,y2＝2.))所以|AB|＝eq \r(（0＋4）2＋（2－0）2)＝2eq \r(5)，即公共弦长为2eq \r(5).
解法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径r＝5eq \r(2)，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离d＝eq \f(|1－2×（－5）＋4|,\r(1＋（－2）2))＝3eq \r(5).
设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝(3eq \r(5))2＋l2，解得l＝eq \r(5)，故公共弦长2l＝2eq \r(5).
例9 若圆：与圆：有三条公切线，则（ ）
【答案】：圆C1的方程：，圆心C1（0，0），半径 为1，
圆C2：，化为：，圆心C2（3，4），半径为，两圆的圆心距为5，
∵圆C1：与圆C2有三条公切线，
∴5=1+，∴m=9，故选：C．
变式6 已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)两圆外切时m的值；
(2)两圆内切时m的值；
(3)m＝45时，两圆的公共弦所在直线的方程及公共弦长．
解：两圆的标准方程分别为：(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，半径分别为eq \r(11)和eq \r(61－m).
(1)当两圆外切时，eq \r(（5－1）2＋（6－3）2)＝eq \r(11)＋eq \r(61－m)，解得m＝25＋10eq \r(11).
(2)当两圆内切时，因为定圆的半径eq \r(11)小于两圆的圆心距5，故只有eq \r(61－m)－eq \r(11)＝5，解得m＝25－10eq \r(11).
(3)当m＝45时，两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，
即4x＋3y－23＝0.所以公共弦长为
2eq \r(（\r(11)）2－（\f(|4×1＋3×3－23|,\r(42＋32))）2)＝2eq \r(7).
变式7 (1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq \r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
(2)(2020·九江模拟)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1 相外切，则ab的最大值为( )
A.eq \f(\r(6),2) B.eq \f(3,2) C.eq \f(9,4) D.2eq \r(3)
解析 (1)∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2，∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝eq \f(|a|,\r(2))，由几何知识得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|a|,\r(2))))eq \s\up12(2)＋(eq \r(2))2＝a2，解得a＝2.∴M(0，2)，r1＝2.又圆N的圆心坐标N(1，1)，半径r2＝1，
∴|MN|＝eq \r(（1－0）2＋（1－2）2)＝eq \r(2)，r1＋r2＝3，r1－r2＝1.
∴r1－r2＜|MN|＜r1＋r2，∴两圆相交，故选B.
(2)由圆C1与圆C2相外切，可得eq \r(（a＋b）2＋（－2＋2）2)＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，根据基本不等式可知ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(9,4)，
当且仅当a＝b时等号成立.
答案 (1)B (2)C
变式8 已知圆：，圆：，则圆与圆的公切线条数是（ ）
【答案】：圆M：，即，表示以M（0，2）为圆心，半径等于2的圆．
圆N：，表示以N（1，1）为圆心，半径等于1的圆．
两圆的圆心距等于|MN|=，小于半径之和，大于半径之差的绝对值，
故两圆相交，故两圆的公切线的条数为2，故选：B．
考点四 与圆有关的最值问题
例10 已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上．
(1)求x＋y的最大值和最小值；
(2)求eq \f(y,x)的最大值和最小值；
(3)求eq \r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值和最小值．
解：(1)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，所以x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线在y轴上的截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距．
由eq \f(|2＋（－3）－t|,\r(2))＝1，解得t＝eq \r(2)－1或t＝ －eq \r(2)－1.
所以x＋y的最大值为eq \r(2)－1，最小值为－eq \r(2)－1.
(2)eq \f(y,x)可视为点(x，y)与原点连线的斜率，eq \f(y,x)的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．
设过原点的直线的方程为y＝kx，由eq \f(|2k＋3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－2＋eq \f(2\r(3),3)或k＝－2－eq \f(2\r(3),3).
所以eq \f(y,x)的最大值为－2＋eq \f(2\r(3),3)，最小值为－2－eq \f(2\r(3),3).
(3)eq \r(x2＋y2＋2x－4y＋5)＝eq \r(（x＋1）2＋（y－2）2)，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1，2)的距离为eq \r(34)，
所以eq \r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值为eq \r(34)＋1，最小值为eq \r(34)－1.
变式9 (1)(2018·兰州模拟)设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为 ( )
A.6 B.25 C.26 D.36
解：因为圆(x－2)2＋y2＝1的半径为1，圆心坐标为(2，0)，该圆心到点(5，－4)的距离为eq \r(（2－5）2＋（0＋4）2)＝5，所以圆(x－2)2＋y2＝1上的点到(5，－4)距离的最大值为5＋1＝6，即(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为36.故选D.
(2) 设点P是函数y＝－eq \r(4－（x－1）2)图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为________.
解析 函数y＝－eq \r(4－（x－1）2)的图象表示圆(x－1)2＋y2＝4在x轴及下方的部分，令点Q的坐标为(x，y)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2a，,y＝a－3，))得y＝eq \f(x,2)－3，即x－2y－6＝0，作出图象如图所示，
由于圆心(1，0)到直线x－2y－6＝0的距离d＝eq \f(|1－2×0－6|,\r(12＋（－2）2))＝eq \r(5)>2，所以直线x－2y－6＝0与圆(x－1)2＋y2＝4相离，因此|PQ|的最小值是eq \r(5)－2.
答案 eq \r(5)－2
考点五 与圆有关的轨迹问题
例11 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
解：(1)解法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC的斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝eq \f(y,x＋1)，kBC＝eq \f(y,x－3)，所以eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－3)＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
解法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝eq \f(1,2)|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝eq \f(x0＋3,2)，
y＝eq \f(y0＋0,2)，所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
变式4 已知定点M(－3，4)，设动点N在圆x2＋y2＝4上运动，点O是坐标原点，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
解：因为四边形MONP为平行四边形，
所以eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))，
设点P(x，y)，点N(x0，y0)，则
eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→))＝(x，y)－(－3，4)＝(x＋3，y－4)＝(x0，y0)．
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝x＋3，,y0＝y－4，))代入xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝4得(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
又当OM与ON共线时，O、M、N、P构不成平行四边形，此时联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－\f(4,3)x，,（x＋3）2＋（y－4）2＝4，))得eq \f(25,9)x2＋eq \f(50,3)x＋21＝0.
解得x1＝－eq \f(9,5)，x2＝－eq \f(21,5).
则点(－eq \f(9,5)，eq \f(12,5))和(－eq \f(21,5)，eq \f(28,5))不满足题意．
故动点P的轨迹是圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4且除去点(－eq \f(9,5)，eq \f(12,5))和(－eq \f(21,5)，eq \f(28,5))．
课后作业A
1．(云南师大附中2020届高三上11月月考改编)若直线x＋y＋a＝0是圆x2＋y2－2x＝0的一条对称轴，则a的值为 ( )
A.1 B.－1 C.2 D.－2
解：由题意得，圆x2＋y2－2x＝0的圆心(1，0)在直线x＋y＋a＝0上，则1＋a＝0，a＝－1.故选B.
2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是 ( )
A.(－∞，－2)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，0))
C.(－2，0]
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(2,3)))
解：D2＋E2－4F＝－3a2－4a＋4>0，所以3a2＋4a－4<0⇒－2
A.π B.2π C.3π D.4π
解：如图，
根据A，B，C三点的坐标可以得出|AC|＝|BC|＝2eq \r(2)，|AB|＝4，所以AC⊥BC，所以AB为过A，B，C三点的圆的直径，且该圆的圆心坐标为(1，0)，圆的半径为2，所以圆的面积为S＝πR2＝π×22＝4π.故选D.
4．(2020·太原模拟)两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，则实数a的取值范围是 ( )
A.(－eq \f(1,5)，1)
B.(－∞，－eq \f(1,5))∪(1，＋∞)
C.[－eq \f(1,5)，1)
D.(－∞，－eq \f(1,5)]∪[1，＋∞)
解：联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋2a，,y＝2x＋a，))解得P(a，3a)，所以(a－1)2＋(3a－1)2＜4，所以－eq \f(1,5)＜a＜1.故选A.
5．已知点Q(－1，m)，P是圆C：(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝4上任意一点，若线段PQ的中点的轨迹方程为x2＋(y－1)2＝1，则m的值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解：设P(x，y)，PQ的中点为M(x0，y0)，则由中点坐标公式得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝\f(x－1,2)，,y0＝\f(y＋m,2).))因为点M(x0，y0)在圆x2＋(y－1)2＝1上，所以(eq \f(x－1,2))2＋(eq \f(y＋m,2)－1)2＝1，即(x－1)2＋(y＋m－2)2＝4.将此方程与方程(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝4比较可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,2a－4＝－（m－2），))解得m＝4.故选D.
6．与直线x－y－4＝0和圆x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是 ( )
A.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B.(x－1)2＋(y＋1)2＝4
C.(x－1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
解：圆x2＋y2＋2x－2y＝0的圆心坐标为(－1，1)，半径为eq \r(2)，
过圆心(－1，1)与直线x－y－4＝0垂直的直线方程为x＋y＝0，所求圆的圆心在此直线上，
又圆心(－1，1)到直线x－y－4＝0的距离为eq \f(6,\r(2))＝3eq \r(2)，则所求圆的半径为eq \r(2)，
设所求圆的圆心为(a，b)，且圆心在直线x－y－4＝0的左上方，
则eq \f(|a－b－4|,\r(2))＝eq \r(2)，且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1(a＝3，b＝－3不符合题意，舍去)，
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故选C.
7．已知圆C：x2＋y2－2x－2eq \r(3)y＋3＝0，点A(0，m)(m＞0)，A，B两点关于x轴对称．若圆C上存在点M，使得eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))＝0，则当m取得最大值时，点M的坐标是 ( )
A.(eq \f(3,2)，eq \f(3\r(2),2)) B.(eq \f(3\r(2),2)，eq \f(3,2))
C.(eq \f(3,2)，eq \f(3\r(3),2)) D.(eq \f(3\r(3),2)，eq \f(3,2))
解：由题得圆C的方程为(x－1)2＋(y－eq \r(3))2＝1，B(0，－m)，设M(x，y)，由于eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))＝0，所以(x，y－m)·(x，y＋m)＝0，所以x2＋y2－m2＝0，所以m2＝x2＋y2，由于x2＋y2表示圆C上的点到原点距离的平方，所以连接OC，并延长和圆C相交，交点即为所求M，此时m2最大，m也最大．
|OM|＝1＋2＝3，∠MOx＝60°，所以xM＝3×cs60°＝eq \f(3,2)，yM＝3×sin60°＝eq \f(3\r(3),2).故选C.
8．【多选题】设有一组圆Ck：(x－1)2＋(y－k)2＝k4(k∈N*)，下列四个命题正确的是 ( )
A.存在k，使圆与x轴相切
B.存在一条直线与所有的圆均相交
C.存在一条直线与所有的圆均不相交
D.所有的圆均不经过原点
解：根据题意得圆的圆心为(1，k)，半径为k2，
选项A，当k＝k2，即k＝1时，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆与x轴相切，故正确；
选项B，直线x＝1过圆的圆心(1，k)，x＝1与所有圆都相交，故正确；
选项C，圆Ck：圆心(1，k)，半径为k2，圆Ck＋1：圆心(1，k＋1)，半径为(k＋1)2，
两圆的圆心距d＝1，两圆的半径之差R－r＝2k＋1，R－r＞d，Ck含于Ck＋1之中，
若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，故错误；
选项D，将(0，0)代入圆的方程，则有1＋k2＝k4，不存在k∈N*使上式成立，即所有圆不过原点，正确．
故选ABD.
9．圆心在y轴上，且过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是 ．
解：根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则32＋(r－1)2＝r2，解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0.
故填x2＋y2－10y＝0.
10．若圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，则eq \f(2,a)＋eq \f(6,b)的最小值是 ．
解：因为圆关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，
所以该直线经过圆心(－2，6)，即－2a－6b＋6＝0，所以a＋3b＝3(a>0，b>0)，
所以eq \f(2,a)＋eq \f(6,b)＝eq \f(2,3)(a＋3b)(eq \f(1,a)＋eq \f(3,b))＝eq \f(2,3)(1＋eq \f(3a,b)＋eq \f(3b,a)＋9)≥eq \f(2,3)(10＋2eq \r(\f(3a,b)·\f(3b,a)))＝eq \f(32,3)，当且仅当eq \f(3b,a)＝eq \f(3a,b)，即a＝b时取等号．故填eq \f(32,3).
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．
解：(1)圆M的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心M(6，7)，半径r＝5，
由题意，设圆N的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b>0)．
且eq \r(（6－6）2＋（b－7）2)＝b＋5.
解得b＝1，所以圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)因为kOA＝2，所以可设l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0.
又|BC|＝|OA|＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5).
由题意，圆M的圆心M(6，7)到直线l的距离为d＝eq \r(52－（\f(|BC|,2)）2)＝eq \r(25－5)＝2eq \r(5).
即eq \f(|2×6－7＋m|,\r(22＋（－1）2))＝2eq \r(5)，解得m＝5或m＝－15.
所以直线l的方程为y＝2x＋5或y＝2x－15.
12．已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，
(1)求eq \f(y,x)的最大值和最小值；
(2)求x＋y的最大值和最小值．
解：方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可变形为(x－3)2＋(y－3)2＝4，则圆C的半径为2.
(1)(转化为斜率的最值问题求解)
eq \f(y,x)表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然当PO(O为原点)与圆C相切时，斜率最大或最小，如图所示．
设切线方程为y＝kx，即kx－y＝0，由圆心C(3，3)到切线的距离等于圆C的半径，
可得eq \f(|3k－3|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq \f(9±2\r(14),5).所以eq \f(y,x)的最大值为eq \f(9＋2\r(14),5)，最小值为eq \f(9－2\r(14),5).
(2)(转化为截距的最值问题求解)
设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，显然当动直线y＝－x＋b与圆C相切时，b取得最大值或最小值，如图所示．
由圆心C(3，3)到切线x＋y＝b的距离等于圆C的半径，可得
eq \f(|3＋3－b|,\r(12＋12))＝2，即|b－6|＝2eq \r(2)，解得b＝6±2eq \r(2)，
所以x＋y的最大值为6＋2eq \r(2)，最小值为6－2eq \r(2).
13．已知圆C：(x＋2)2＋y2＝5，直线l：mx－y＋1＋2m＝0，m∈R.
(1)求证：直线l与圆C总有两个不同的交点A，B；
(2)求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线．
解：(1)证明：证法一：圆C：(x＋2)2＋y2＝5的圆心为C(－2，0)，半径为eq \r(5)，
所以圆心C到直线l：mx－y＋1＋2m＝0的距离eq \f(|－2m＋1＋2m|,\r(1＋m2))＝eq \f(1,\r(1＋m2))＜eq \r(5).
所以直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同的交点．
证法二：直线l：mx－y＋1＋2m＝0的方程可化为m(x＋2)＋(1－y)＝0，无论m怎么变化，直线l过定点(－2，1)．
由于(－2＋2)2＋12＝1＜5，所以点(－2，1)是圆C内一点，
故直线l与圆C总有两个不同的交点．
(2)设中点为M(x，y)，因为直线l：mx－y＋1＋2m＝0恒过定点P(－2，1)，且斜率存在，
所以eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(PM,\s\up6(→))＝0，即(x＋2)(x＋2)＋y(y－1)＝0，
(x＋2)2＋(y－eq \f(1,2))2＝eq \f(1,4)，因为直线l的斜率存在，
所以除去点(－2，0)．
所以M的轨迹方程是(x＋2)2＋(y－eq \f(1,2))2＝eq \f(1,4)(y≠0)，
它是以(－2，eq \f(1,2))为圆心，eq \f(1,2)为半径除去点(－2，0)的圆．
附加题 已知动点P(x，y)满足x2＋y2－2|x|－2|y|＝0，O为坐标原点，则eq \r(x2＋y2)的最大值为．
解：eq \r(x2＋y2)表示曲线上的任意一点(x，y)到原点的距离．
当x≥0，y≥0时，x2＋y2－2x－2y＝0化为(x－1)2＋(y－1)2＝2，
曲线上的点到原点的距离的最大值为2×eq \r(2)＝2eq \r(2)，
当x<0，y<0时，x2＋y2＋2x＋2y＝0化为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2，
曲线上的点到原点的距离的最大值为2×eq \r(2)＝2eq \r(2)，
当x≥0，y<0时，x2＋y2－2x＋2y＝0化为(x－1)2＋(y＋1)2＝2，
曲线上的点到原点的距离的最大值为2×eq \r(2)＝2eq \r(2)，
当x<0，y≥0时，x2＋y2＋2x－2y＝0化为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，
曲线上的点到原点的距离的最大值为2×eq \r(2)＝2eq \r(2).
综上可知，eq \r(x2＋y2)的最大值为2eq \r(2).故填2eq \r(2).A．
B．
C．
D．
A．1
B．2
C．3
D．4
课后作业B
1．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0
C.原点在圆内 D.不确定
解：因为0
2．(沈阳2020届高三教学质量监测)“k＝eq \f(\r(3),3)”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解：因为直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切，
所以eq \f(|2k|,\r(k2＋1))＝1，所以k＝±eq \f(\r(3),3).
所以前者是后者的充分不必要条件．
故选A.
3．(重庆南开中学2019届高三第四次教学检测)若直线y＝mx＋1与圆C：x2＋y2＋2x＋2y＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则m＝ ( )
A.－1 B.－eq \f(1,2) C.eq \f(3,4) D.eq \f(3,2)
解：圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝2，因为AC⊥BC，所以圆心C到直线y＝mx＋1的距离为1，则eq \f(|2－m|,\r(m2＋1))＝1，解得m＝eq \f(3,4).故选C.
4．(吉林大学附属中学2019届高三七模)已知圆C：(x－eq \r(3))2＋(y－1)2＝1和两点A(－t，0)，B(t，0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝0，则t的最小值为 ( )
A.3 B.2 C.eq \r(3) D.1
解：由题意可得点P的轨迹是以AB为直径的圆，当两圆外切时，有eq \r(（\r(3)）2＋12)＝tmin＋1⇒tmin＝1，即t的最小值为1.故选D.
5．(福建省龙岩市2019届高三第一学期期末质检)若直线y＝x＋m与曲线y＝eq \r(1－x2)有且只有一个公共点，则实数m的取值范围为 ( )
A.(－1，1]∪{－eq \r(2)} B.{－eq \r(2)，eq \r(2)}
C.[－1，1)∪{eq \r(2)} D.(1，eq \r(2)]
解：y＝eq \r(1－x2)表示半圆，如图所示，
因为直线y＝x＋m与曲线y＝eq \r(1－x2)有且只有一个公共点，
①d＝eq \f(|m|,\r(12＋（－1）2))＝1，解得m＝eq \r(2)，m＝－eq \r(2)(舍去)；
②代入(－1，0)可得0＝－1＋m，m＝1，代入(1，0)可得0＝1＋m，m＝－1.
综上，结合图象可得－1≤m<1或m＝eq \r(2).
故选C.
6．两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)的最小值为 ( )
A.1 B.3 C.eq \f(1,9) D.eq \f(4,9)
解：两圆化为标准方程，即(x＋a)2＋y2＝4，x2＋(y－2b)2＝1.依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径之和，则eq \r(a2＋（2b）2)＝1＋2＝3，即a2＋4b2＝9，所以eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)＝eq \f(1,9)(a2＋4b2)(eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2))＝eq \f(1,9)(5＋eq \f(a2,b2)＋eq \f(4b2,a2))≥eq \f(1,9)(5＋2eq \r(\f(a2,b2)·\f(4b2,a2)))＝1，当且仅当a2＝3，b2＝eq \f(3,2)时取等号．故选A.
7．(四川省百校2019年高三模拟冲刺)在平面直角坐标系xOy中，两动圆O1，O2均过定点(1，0)，它们的圆心分别为(a1，0)，(a2，0)(a1≠0，a2≠0)，且与y轴正半轴分别交于(0，y1)，(0，y2)．若y1＝eq \f(1,y2)，则eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＝ ( )
A.eq \f(1,2) B.－eq \f(1,2) C.2 D.－2
解：由题圆O1，O2方程分别为(x－a1)2＋y2＝(1－a1)2，(x－a2)2＋y2＝(1－a2)2，两动圆O1，O2均过定点(1，0)，故req \\al(2,1)＝(1－a1)2＝aeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)，得yeq \\al(2,1)＝1－2a1，同理yeq \\al(2,2)＝1－2a2，
又y1＝eq \f(1,y2)，所以y1y2＝1，即(1－2a1)(1－2a2)＝1，整理得a1＋a2＝2a1a2，故eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＝2.故选C.
8．【多选题】在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解：x2＋y2－4x＝0，所以(x－2)2＋y2＝4，
P所作的圆的两条切线相互垂直，所以P，圆心C，两切点构成正方形．
PC＝2eq \r(2)，即(x－2)2＋y2＝8，P在直线y＝k(x＋1)上，圆心距d＝eq \f(|2k－0＋k|,\r(1＋k2))≤2eq \r(2).
计算得到－2eq \r(2)≤k≤2eq \r(2).故选AB.
9．(2019·浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝ ，r＝ .
解：由题意可知kAC＝－eq \f(1,2)，则直线AC：y＋1＝－eq \f(1,2)(x＋2)，把C(0，m)代入直线AC的方程得m＝－2，此时r＝|AC|＝eq \r(4＋1)＝eq \r(5).故填－2；eq \r(5).
10．(2020·泰安一调)设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为 ．
解：圆x2＋y2＝4的圆心O(0，0)，半径r＝2，
圆心到直线l的距离d＝eq \f(|－1|,\r(m2＋n2))＝eq \r(22－12)，即m2＋n2＝eq \f(1,3).直线l与x轴相交于点A(eq \f(1,m)，0)，与y轴相交于点B(0，eq \f(1,n))，所以△AOB的面积为S△AOB＝eq \f(1,2)|eq \f(1,mn)|≥eq \f(1,2)·eq \f(2,m2＋n2)＝3.
当且仅当|m|＝|n|＝eq \f(\r(6),6)时，S△AOB取得最小值，最小值为3.
故填3.
11．已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.
(1)证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．
解法一：(1)证明：
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,（x－1）2＋（y＋1）2＝12，))
消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，
因为Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)＞0恒成立，
所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
(2)设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由(1)知x1＋x2＝eq \f(2－4k,k2＋1)，x1x2＝－eq \f(7,k2＋1)，
则直线l被圆C截得的弦长
|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)
＝2eq \r(\f(8－4k＋11k2,1＋k2))＝2eq \r(11－\f(4k＋3,1＋k2))，
令t＝eq \f(4k＋3,1＋k2)，则tk2－4k＋(t－3)＝0，
当t＝0时，k＝－eq \f(3,4)，当t≠0时，因为k∈R，
所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，
故t＝eq \f(4k＋3,1＋k2)的最大值为4，此时弦长|AB|最小为2eq \r(7).
解法二：(1)证明：因为不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，而|PC|＝eq \r(5)＜2eq \r(3)，所以点P(0，1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P.
所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
(2)由平面几何知识知过圆内定点P(0，1)的弦，只有和PC垂直时才最短，而此时点P(0，1)为弦AB的中点，又|PC|＝eq \r(5)，所以|AB|＝2eq \r(（2\r(3)）2－（\r(5)）2)＝2eq \r(7)，即直线l被圆C截得的最短弦长为2eq \r(7).
12．(2019·广东省省际名校联考)已知圆C1：(x－2)2＋(y－2)2＝2内有一动弦AB，且|AB|＝2，以AB为斜边作等腰直角△PAB，点P在圆外．
(1)求点P的轨迹C2的方程；
(2)从原点O作圆C1的两条切线，分别交C2于E，F，G，H四点，求以这四点为顶点的四边形的面积S.
解：(1)连接C1A，C1B(图略)，
因为|C1A|＝|C1B|＝eq \r(2)，|AB|＝2，
所以△C1AB为等腰直角三角形．
因为△PAB为等腰直角三角形，
所以四边形PAC1B为正方形．
所以|PC1|＝2，所以点P的轨迹是以C1为圆心，2为半径的圆，则C2的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.
(2)如图，C1N⊥OF于点N，连接C1E，C1F，C1O，EH.
在Rt△OC1N中，因为|OC1|＝2eq \r(2)，|C1N|＝eq \r(2)，|ON|＝eq \r(6).所以sin∠C1ON＝eq \f(1,2)，所以∠C1ON＝30°.
所以△OEH与△OFG均为正三角形．
因为△C1EN≌△C1FN，且|C1E|＝|C1F|＝2，
所以|NE|＝|NF|＝eq \r(2).
所以四边形EFGH的面积S＝S△OFG－S△OEH＝eq \f(\r(3),4)(eq \r(6)＋eq \r(2))2－eq \f(\r(3),4)(eq \r(6)－eq \r(2))2＝6.
13．已知点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
解：(1)联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x－1，,y＝2x－4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝2，))
所以圆心C的坐标为(3，2)．
由题意知切线斜率存在，设切线方程为y＝kx＋3，可得圆心到切线的距离d＝eq \f(|3k＋3－2|,\r(1＋k2))＝1，
解得k＝0或k＝－eq \f(3,4)，
则所求切线的方程为y＝3或y＝－eq \f(3,4)x＋3.
(2)设点M(x，y)，由|MA|＝2|MO|，
知eq \r(x2＋（y－3）2)＝2eq \r(x2＋y2)，
化简得x2＋(y＋1)2＝4，
所以点M在以(0，－1)为圆心，2为半径的圆上，记该圆的圆心为D.
又因为点M在圆C上，且圆心为C(a，2a－4)，
所以圆C与圆D的关系为相交或相切，
所以1≤|CD|≤3，其中|CD|＝eq \r(a2＋（2a－3）2)，
所以1≤eq \r(a2＋（2a－3）2)≤3，解得0≤a≤eq \f(12,5)，
即圆心C的横坐标a的取值范围是[0，eq \f(12,5)]．
附加题 (江苏徐州2020年高三考前模拟)已知A，B为圆O：x2＋y2＝5上的两个动点，AB＝4，M为线段AB的中点，点P为直线l：x＋y－6＝0上一动点，则eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最小值为 ．
解：因为AB＝4，BM＝2，取BM的中点N，连接OM，PN，
则eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝(eq \(PN,\s\up6(→))－eq \(NB,\s\up6(→)))·(eq \(PN,\s\up6(→))＋eq \(NB,\s\up6(→)))＝eq \(PN,\s\up6(→))2－1，
又|OM|2＋|MB|2＝5，故|OM|＝1，所以|ON|2＝12＋12＝2，|ON|＝eq \r(2)，
又|PN|≥|OP|－|ON|，而|OP|≥eq \f(|0＋0－6|,\r(2))＝3eq \r(2)，所以|PN|≥2eq \r(2)，当且仅当OP垂直于直线l且O，N，P三点共线时等号成立，所以eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最小值为8－1＝7.故填7.
