人教版2021届一轮复习打地基练习 空间中线与线之间的关系

这是一份人教版2021届一轮复习打地基练习 空间中线与线之间的关系，共29页。试卷主要包含了直线l⊥平面α，直线m⊂α，则等内容，欢迎下载使用。
人教版2021届一轮复习打地基练习 空间中线与线之间的关系
一．选择题（共9小题）
1．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）
A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β B．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n
C．m⊥α，m⊥n⇒n∥α D．m∥n，n⊥α⇒m⊥α
2．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则（　　）
A．l⊥m B．l可能和m平行
C．l和m相交 D．l和m不相交
3．已知a，b为直线，α为平面，若b⊥α，a与b相交，则a与α的位置关系不可能为（　　）
A．相交 B．平行 C．a在α内 D．垂直
4．已知三条不同的直线a，b，c，且a⊥b，c⊥b，则a与c的位置关系是（　　）
A．a∥c B．a与c相交于一点
C．a与c异面 D．前三个答案都有可能
5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，则A1B与D1E所成角的余弦值为（　　）
A．510 B．1010 C．55 D．105
6．如图，等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（　　）

A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上
B．恒有平面A′GF⊥平面BCED
C．三棱锥A′﹣EFD的体积有最大值
D．异面直线A′E与BD不可能垂直
7．与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（　　）
A．有且只有1个 B．有且只有2个
C．有且只有3个 D．有无数个
8．设a，b为两条异面直线，空间一点P不在a，b上，则过点P必定存在（　　）
A．唯一的直线l与a，b都相交
B．唯一的直线l与a，b都垂直
C．唯一的平面α与a，b都平行
D．唯一的平面α与a，b都垂直
9．如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（　　）

A．平行 B．相交 C．异面 D．相交成60°
二．多选题（共3小题）
10．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的为（　　）

A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（　　）

A．直线D1D与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为92
D．点A1和点D到平面AEF的距离相等
12．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1，若AB＝BC，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中成立的是（　　）

A．EF与BB1垂直 B．EF⊥平面BDD1B1
C．EF与C1D所成的角为45° D．EF∥平面A1B1C1D1
三．填空题（共14小题）
13．已知a，b，c是不重合的直线，α，β是不重合的平面，以下结论正确的是　 　（将正确的序号均填上）．
①若a∥b，b⊂α，则a∥α；　　　
②若a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂a，则a⊥α；
③若a⊥α，a⊂β，则α⊥β；　　　
④若a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，则α∥β．
14．已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：（1）m⊥n；（2）α⊥β （3）n⊥β （4）m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：　 　．
15．分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是　 　．
16．已知平面α，β，直线a，b，l，若α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩b＝M，则点M与直线l的位置关系是　 　．
17．设m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：
①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；
②若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；
③若m⊥n，m⊥α，α∥β，则n∥β；
④若α⊥β，α∩β＝l，m∥α，m⊥l，则m⊥β．
其中正确的是　 　（填序号）．
18．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体对角线AC1与棱CD所在直线的位置关系是　 　．
19．在四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC且AD＝AA′＝2BC．过A′，C，D三点的平面与BB′交于点E，F，G分别为CC′，A′D′的中点（如图所示）给出以下判断：
①E为BB′的中点；
②直线A′E和直线FG是异面直线；
③直线FG∥平面A′CD；
④若AD⊥CD，则平面ABF⊥平面A′CD；
⑤几何体EBC﹣A′AD是棱台．
其中正确的结论是　 　．（将正确的结论的序号全填上）

20．定义侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），当底面四边形ABCD满足条件　 　时，有BD1⊥A1C1．
（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）

21．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列三个结论：
①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．
其中，正确结论的序号为　 　．
22．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列说法正确的是　 　．
①AD1∥平面BC1；
②AC与BC1相交；
③点A1、D1到平面BCC1B1的距离相等；
④与AB平行的面只有一个，与AB垂直的面有两个．
23．空间中两条直线位置关系有相交、平行和　 　．
24．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是线段AB1，BC1的中点，以下结论：
①直线MN⊥直线AA1；
②直线MN∥直线A1C1；
③MN=12AC．
其中正确的是　 　．

25．如果a，b是异面直线，b，c也是异面直线，则直线a，c的位置关系是　 　．
26．平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是m′和n′，给出下列四个命题：（1）m′⊥n′⇒m⊥n；（2）m⊥n⇒m′⊥n′；（3）m′与n′相交⇒m与n相交或重合；（4）m′与n′平行⇒m与n平行或重合．其中不正确的命题是　 　．
四．解答题（共5小题）
27．在矩形ABCD中，已知AD＝2AB＝2，点E是AD得中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使平面D′EC⊥平面BEC．
（1）证明：BE⊥CD′；
（2）求点E到平面D′EC的距离．

28．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1，
（1）求证：A1C⊥CC1；
（2）若AB＝2，AC=3，BC=7，问AA1为何值时，三棱柱ABC﹣A1B1C1体积最大，并求此最大值．

29．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知E，F，G分别是CC1，A1C1，CD的中点．证明：
（1）AB1∥GE，AB1⊥EF；
（2）直线GF与直线BA1不平行．
30．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，CC1＝4，M为棱CC1上一点．
（1）若C1M＝1，求异面直线A1M和C1D1所成角的正切值；
（2）若C1M＝2，求证BM⊥平面A1B1M．

31．如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上．
（Ⅰ）求证：AE⊥BE；
（Ⅱ）求三棱锥D﹣AEC的体积．


人教版2021届一轮复习打地基练习 空间中线与线之间的关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）
A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β B．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n
C．m⊥α，m⊥n⇒n∥α D．m∥n，n⊥α⇒m⊥α
【分析】利用空间直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，判断选项的正误即可．
【解答】解：m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，
对于A，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β，也可能相交，所以A不正确；
对于B，α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n也可能异面，所以B不正确；
对于C，m⊥α，m⊥n⇒n∥α有可能n⊂α，所以C不正确；
对于D，m∥n，n⊥α⇒m⊥α，满足直线与平面垂直的性质，所以D正确．
故选：D．
2．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则（　　）
A．l⊥m B．l可能和m平行
C．l和m相交 D．l和m不相交
【分析】由l⊥平面α知，l垂直于平面内任何一条直线，则l⊥m．
【解答】解：∵l⊥平面α，直线m⊂α，∴l⊥m．
故选：A．
3．已知a，b为直线，α为平面，若b⊥α，a与b相交，则a与α的位置关系不可能为（　　）
A．相交 B．平行 C．a在α内 D．垂直
【分析】当a⊥α时，a∥b．与a与b相交矛盾．
【解答】解：∵a，b为直线，α为平面，b⊥α，a与b相交，
∴a与α相交且不垂直、平行或a⊂α，
a与α不可能垂直，
当a⊥α时，a∥b，与a与b相交矛盾．
故选：D．
4．已知三条不同的直线a，b，c，且a⊥b，c⊥b，则a与c的位置关系是（　　）
A．a∥c B．a与c相交于一点
C．a与c异面 D．前三个答案都有可能
【分析】由a⊥b，c⊥b，直接可得a与c平行、相交或异面．
【解答】解：由a⊥b，c⊥b，可得a与c有三种位置关系，
即a∥c，a与c相交于一点，a与c异面，如图：

故选：D．

5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，则A1B与D1E所成角的余弦值为（　　）
A．510 B．1010 C．55 D．105
【分析】在正方体、长方体中往往可以建立空间直角坐标系，利用向量法解决问题．
【解答】解：如图，以D为坐标系原点，AB为单位长，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立坐标系，
易见A1B→=(0，1，−1)，D1E→=(1，12，0)，
所以cos＜A1B→，D1E→＞
=(0，1，−1)⋅(1，12，0)|(0，1，−1)|⋅|(1，12，0)|
=122⋅54
=1010，
故选：B．

6．如图，等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（　　）

A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上
B．恒有平面A′GF⊥平面BCED
C．三棱锥A′﹣EFD的体积有最大值
D．异面直线A′E与BD不可能垂直
【分析】由斜线的射影定理可判断A正确；由面面垂直的判定定理，可判断B正确；由三棱锥的体积公式，可判断C正确；由异面直线所成的角的概念可判断D不正确
【解答】解：∵A′D＝A′E，△ABC是正三角形，
∴A′在平面ABC上的射影在线段AF上，故A正确；
由A知，平面A′GF一定过平面BCED的垂线，
∴恒有平面A′GF⊥平面BCED，故B正确；
三棱锥A′﹣FED的底面积是定值，体积由高即A′到底面的距离决定，
当平面A′DE⊥平面BCED时，三棱锥A′﹣FED的体积有最大值，故C正确；
当（A′E）2+EF2＝（A′F）2时，面直线A′E与BD垂直，故④错误．
故选：D．
7．与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（　　）
A．有且只有1个 B．有且只有2个
C．有且只有3个 D．有无数个
【分析】由于点D、B1显然满足要求，猜想B1D上任一点都满足要求，然后想办法证明结论．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系，
并设该正方体的棱长为1，连接B1D，并在B1D上任取一点P，
因为DB1→=（1，1，1），
所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．
作PE⊥平面A1D，垂足为E，再作EF⊥A1D1，垂足为F，
则PF是点P到直线A1D1的距离．
所以PF=a2+(1−a)2；
同理点P到直线AB、CC1的距离也是a2+(1−a)2．
所以B1D上任一点与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等，
所以与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个．
故选：D．

8．设a，b为两条异面直线，空间一点P不在a，b上，则过点P必定存在（　　）
A．唯一的直线l与a，b都相交
B．唯一的直线l与a，b都垂直
C．唯一的平面α与a，b都平行
D．唯一的平面α与a，b都垂直
【分析】过点P的直线与直线a相交，但不与直线b相交，可能异面，可判断A；与a，b的公垂线平行的直线有且只有一条，可判断B；过P的平面α与a，b中的一条平行，可判断C；由线面垂直的性质定理，可判断D．
【解答】解：过点P的直线与直线a相交，但不与直线b相交，可能异面，故A错误；
由于直线a，b的公垂线有且只有一条，过P与a，b都垂直的直线l有且只有一条，故B正确；
过P的平面α不一定与a，b都平行，可能与其中的一条平行，而经过另一条，故C错误；
如果平面α与a，b都垂直，可得a，b平行，这与a，b异面矛盾，故D错误．
故选：B．
9．如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（　　）

A．平行 B．相交 C．异面 D．相交成60°
【分析】将正方体的展开图还原为正方体，得到对应的A，B，C，D的位置，然后判断AB，CD的位置关系即可．
【解答】解：将无盖正方体纸盒还原后，A，B，C，D在正方体中的位置如图所示，
连结AC，则△ABC为等边三角形，
所以∠ABC＝60°，
所以直线AB，CD在原正方体中的位置关系是相交成60°．
故选：D．

二．多选题（共3小题）
10．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的为（　　）

A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
【分析】首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，这样就把AC、BD平移到正方形内，即可利用平面图形知识做出判断．
【解答】解：因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，
则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，
所以PQ∥AC，QM∥BD，
由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；
由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；
异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，故D正确；
综上C是错误的．
故选：ABD．
11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（　　）

A．直线D1D与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为92
D．点A1和点D到平面AEF的距离相等
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系
则A（2，0，0），E（1，2，0），F（0，2，1），D（0，0，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），G（2，2，1），
对于A，D1D→=（0，0，﹣2），AF→=（﹣2，2，1），
∵DD1→⋅AF→=−2≠0，∴直线D1D与直线AF不垂直，故A错误；
对于B，A1G→=（0，2，﹣1），AE→=（﹣1，2，0），AF→=（﹣2，2，1），
设平面AEF的法向量n→=（x，y，z），
则n→⋅AE→=−x+2y=0n→⋅AF→=−2x+2y+z=0，取y＝1，得n→=（2，1，2），
∵A1G→⋅n→=0，A1G⊄平面AEF，
∴直线A1G与平面AEF平行，故B正确；
对于C，连接AD1，FD1，∵E，F分别是BC，CC1的中点，
∴面AEF截正方体所得的截面为梯形AEFD1，
∴面AEF截正方体所得的截面面积为：
S=AD1+EF2×AB=4+4+124+42×(4+1)−(22)2=92，故C正确；
对于D，由B知平面AEF的法向量n→=（2，1，2），
∴点A1到平面AEF的距离h=|AA1→⋅n→||n→|=49=43，
点D到平面AEF的距离d=|DA→⋅n→||n→|=49=43，
∴点A1和点D到平面AEF的距离相等，故D正确．
故选：BCD．

12．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1，若AB＝BC，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中成立的是（　　）

A．EF与BB1垂直 B．EF⊥平面BDD1B1
C．EF与C1D所成的角为45° D．EF∥平面A1B1C1D1
【分析】连接A1B，运用中位线定理推出EF∥A1C1，结合线面平行和垂直的判定定理和性质定理，分析判断A，B，D正确；再由异面直线所成的角的概念判断C错误．
【解答】解：连A1B，A1C1，则A1B交AB1于E，又F为BC1中点，
可得EF∥A1C1，由B1B⊥平面A1B1C1D1，可得B1B⊥A1C1，可得B1B⊥EF，故A正确；
连接D1B1，EF∥A1C1，A1C1⊥平面BDD1B1，可得EF⊥平面BDD1B1，故B正确；
EF与C1D所成角就是∠A1C1D，∵AA1的长度不确定，∴∠A1C1D的大小不确定，故C错误；
由E，F分别是AB1，BC1的中点，得EF∥A1C1，可得EF∥平面A1B1C1D1，故D正确．
故选：ABD．

三．填空题（共14小题）
13．已知a，b，c是不重合的直线，α，β是不重合的平面，以下结论正确的是　③　（将正确的序号均填上）．
①若a∥b，b⊂α，则a∥α；　　　
②若a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂a，则a⊥α；
③若a⊥α，a⊂β，则α⊥β；　　　
④若a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，则α∥β．
【分析】由线面平行的判定定理，即可判断①；由线面垂直的判定定理，即可判断②；
由面面垂直的判定定理，即可判断③；由面面平行的判定定理，即可判断④．
【解答】解：对于①，若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故①错；
对于②，若a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂a，且b，c相交，则a⊥α，故②错；
对于③，若a⊥α，a⊂β，由面面垂直的判定定理，即可得到α⊥β，故③对；
对于④，若a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，且a，b相交，则α∥β，故④错．
故答案为：③．
14．已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：（1）m⊥n；（2）α⊥β （3）n⊥β （4）m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：　m⊥α，n⊥β，α⊥β⇒m⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥β⇒α⊥β　．
【分析】m⊥α，n⊥β，α⊥β，由面面垂直的性质定理得m⊥n；m⊥n，m⊥α，n⊥β，由面面垂直的判定定理得α⊥β．
【解答】解：m⊥α，n⊥β，α⊥β⇒m⊥n，由面面垂直的性质定理得m⊥n正确；
m⊥n，m⊥α，n⊥β⇒α⊥β，由面面垂直的判定定理得α⊥β正确；
α⊥β，n⊥β，m⊥n⇒m⊥α，这里m与α相交、平行或m⊂α，故m⊥α不正确；
m⊥n，α⊥β，m⊥α⇒n⊥β，这里n与β相交、平行或n⊂β，故n⊥β不正确．
故答案为：m⊥α，n⊥β，α⊥β⇒m⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥β⇒α⊥β．
15．分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是　相交或异面　．
【分析】画出草图，当点D与点B重合时，两条直线相交，当点D与点B不重合时，两条直线异面，即可得到结论．
【解答】解：已知直线a与b是异面直线，直线AB与直线CD分别与两条直线a与直线b相交于点A，B，C，D，

根据题意可得当点D与点B重合时，两条直线相交，当点D与点B不重合时，两条直线异面．
故答案为：相交或异面
16．已知平面α，β，直线a，b，l，若α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩b＝M，则点M与直线l的位置关系是　M∈l　．
【分析】由已知直接证明M∈l．
【解答】解：∵a∩b＝M，∴M∈a，M∈b，
又a⊂α，b⊂β，∴M∈α，M∈β，
又α∩β＝l，∴M∈l．
∴点M与直线l的位置关系是M∈l．
故答案为：M∈l．
17．设m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：
①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；
②若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；
③若m⊥n，m⊥α，α∥β，则n∥β；
④若α⊥β，α∩β＝l，m∥α，m⊥l，则m⊥β．
其中正确的是　②④　（填序号）．
【分析】在①中，m与n相交、平行或异面；在②中，由面面垂直的性质定理得m∥α；在③中，n∥β或n⊂β；在④中，线面垂直的判定定理得m⊥β．
【解答】解：由m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．知：
在①中，若m∥α，n∥β，α∥β，则m与n相交、平行或异面，故①错误；
在②中，若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则由面面垂直的性质定理得m∥α，故②正确；
在③中，若m⊥n，m⊥α，α∥β，则n∥β或n⊂β，故③错误；
在④中，若α⊥β，α∩β＝l，m∥α，m⊥l，则线面垂直的判定定理得m⊥β，故④正确．
故选：②④．
18．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体对角线AC1与棱CD所在直线的位置关系是　异面直线　．
【分析】由异面直线判定定理得：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体对角线AC1与棱CD所在直线的位置关系是异面直线．
【解答】解：∵AC1∩平面CDD1C1＝C1，
CD⊂平面CDD1C1，且C1∉CD，
∴由异面直线判定定理得：
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体对角线AC1与棱CD所在直线的位置关系是异面直线．
故答案为：异面直线．

19．在四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC且AD＝AA′＝2BC．过A′，C，D三点的平面与BB′交于点E，F，G分别为CC′，A′D′的中点（如图所示）给出以下判断：
①E为BB′的中点；
②直线A′E和直线FG是异面直线；
③直线FG∥平面A′CD；
④若AD⊥CD，则平面ABF⊥平面A′CD；
⑤几何体EBC﹣A′AD是棱台．
其中正确的结论是　①③④⑤　．（将正确的结论的序号全填上）

【分析】利用四棱柱的性质，结合线面关系、面面关系定理对选项分别分析解答．
【解答】解：对于①，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，
∴平面EBC∥平面A1D1DA，
∴平面A1CD与面EBC、平面A1D1DA的交线平行，∴EC∥A1D
∴△EBC∽△A1AD，
∴BEBB1=BEAA1=BCAD=12，
∴E为BB1的中点；
故①正确；
对于②，因为E，F都是棱的中点，所以EF∥B'C'，又B'C'∥A'D'，
所以EF∥A'D'，所以A'E，FG都在平面EFD'A'中；故②错误；
对于③，由②可得EF∥A'G，EF＝A'G，所以四边形A'EFG是平行四边形，所以FG∥A'E，又A'E⊂平面A'CD中，FG⊄平面A'CD，所以直线FG∥平面A′CD正确；
对于④，连接AD'，容易得到BF∥AD'，所以ABFD'四点共面，因为AD⊥CD，AD'在底面的射影为AD，所以CD⊥AD'，又AD'⊥BF，所以BF⊥CD，又BF⊥CE，所以BF⊥平面A'CD，
BF⊂平面ABFD'，所以平面ABF⊥平面A′CD；故④正确；
对于⑤，由④得到，AB与D'F，DC交于一点，所以几何体EBC﹣A′AD是棱台．故⑤正确；
故答案为：①③④⑤．
20．定义侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），当底面四边形ABCD满足条件　BD⊥AC　时，有BD1⊥A1C1．
（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）

【分析】根据题意，由A1C⊥B1D1，结合直棱柱的性质，分析底面四边形ABCD得到BD⊥AC，进而验证即可得答案．
【解答】解：∵四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD是直棱柱，
∴B1D1⊥A1A，若A1C⊥B1D1，
则B1D1⊥平面A1AC1C，
∴B1D1⊥AC，
又由B1D1∥BD，
则有BD⊥AC，
反之，由BD⊥AC亦可得到A1C⊥B1D1，
故答案为：BD⊥AC．
21．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列三个结论：
①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．
其中，正确结论的序号为　①②　．
【分析】由同垂直于同一平面的两直线平行，可判断①；由同垂直于同一直线的两平面平行，可判断②；考虑墙角处的三个平面两两垂直，可判断③．
【解答】解：α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，
对于①，若m⊥α，n⊥α，由同垂直于同一平面的两直线平行，可得m∥n，故①正确；
对于②，若m⊥α，m⊥β，由同垂直于同一直线的两平面平行，可得α∥β，故②正确；
对于③，若α⊥γ，β⊥γ，考虑墙角处的三个平面两两垂直，可判断α、β相交，则α∥β不正确．
故答案为：①②．
22．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列说法正确的是　①③　．
①AD1∥平面BC1；
②AC与BC1相交；
③点A1、D1到平面BCC1B1的距离相等；
④与AB平行的面只有一个，与AB垂直的面有两个．
【分析】由面面平行的性质定理可判断①；结合图形可知AC与BC1是异面直线，可判断②，由直线A1D1∥平面BCC1B1，可判断③；与AB平行的面有两个，可判断④．
【解答】解：对于①，因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1，AD1⊂平面ADD1A1，
所以AD1∥平面BCC1B1，故①正确；
对于②，AC与BC1是异面直线，故②错误；
对于③，因为直线A1D1∥平面BCC1B1，所以点A1、D1到平面BCC1B1的距离相等，故③正确；
对于④，与AB平行的面有两个，分别为平面A1B1C1D1，平面DCC1D1．
故正确的是①③．
故答案为：①③．

23．空间中两条直线位置关系有相交、平行和　异面　．
【分析】直接由空间中两直线的位置关系得答案．
【解答】解：由定义可知，空间中两条直线位置关系有相交、平行和异面．
故答案为：异面．
24．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是线段AB1，BC1的中点，以下结论：
①直线MN⊥直线AA1；
②直线MN∥直线A1C1；
③MN=12AC．
其中正确的是　①②③　．

【分析】过点M作MF⊥AB，交AB于点F，过点N作NE⊥BC，交BC于点E连接EF、AC、BD、B1D1，推导出四边形MNEF为矩形，由中位线定理得MN∥=EF，从而MN＝EF=12AC，由此能求出结果．
【解答】解：过点M作MF⊥AB，交AB于点F，过点N作NE⊥BC，交BC于点E，
连接EF、AC、BD、B1D1，
∵M，N分别是线段AB1，BC1的中点，
∴NE∥=12CC1∥=12BB1∥=MF，
∴四边形MNEF为矩形，
∴直线MN⊥直线AA1，直线MN∥直线A1C1，故①②正确；
对于③，由中位线定理得MN∥=EF，∴MN＝EF=12AC，故③正确．
故答案为：①②③．

25．如果a，b是异面直线，b，c也是异面直线，则直线a，c的位置关系是　相交、平行或异面　．
【分析】在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，分别找出满足条件直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线的直线，借助正方体的几何特征易分析出答案．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，
令直线a为AA′，直线b为CD，直线c为BB′，
满足直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，此时直线a与c平行；
令直线a为AA′，直线b为CD，直线c为AB′，
满足直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，此时直线a与c相交；
令直线a为AA′，直线b为CD，直线c为DB′，
满足直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，此时直线a与c异面；
故直线a与c可能平行，可能相交，也可能异面．
故答案为：相交、平行或异面．

26．平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是m′和n′，给出下列四个命题：（1）m′⊥n′⇒m⊥n；（2）m⊥n⇒m′⊥n′；（3）m′与n′相交⇒m与n相交或重合；（4）m′与n′平行⇒m与n平行或重合．其中不正确的命题是　（1）（2）（3）（4）　．
【分析】利用投影的概念分析把握好两直线位置关系和其投影位置关系是解决本题的关键．可以利用长方体这一直观图形把握好这些线之间的位置关系．
【解答】解：如图的正方体模型底面ABCD即为平面α．对于
（1），AB，BC分别是A'B，BC'在底面ABCD内的射影，有AB⊥BC，但是A'B不垂直于BC'，它们成60°角；
（2）BC'，B'C是两条垂直的直线，但是其射影是同一条直线BC；
（3）AD，BD分别是EF，BD'的射影（E，F分别是AA'，DD'的中点），射影相交，但是EF，BD'不相交；
（4）AD，BC分别是A'D，BC'在底面的射影，射影平行，但是两直线异面；
故答案为（1）（2）（3）（4）．

四．解答题（共5小题）
27．在矩形ABCD中，已知AD＝2AB＝2，点E是AD得中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使平面D′EC⊥平面BEC．
（1）证明：BE⊥CD′；
（2）求点E到平面D′EC的距离．

【分析】（1）利用面面垂直的性质证明线面垂直，即BE⊥面D'EC，利用线面垂直的性质，可得结论；
（2）设点E到平面D′BC的距离为h先计算V三棱锥B﹣D′EC=13×12×2=26，V三棱锥E﹣D′BC=13×32×h，利用V三棱锥E﹣D′BC＝V三棱锥B﹣D′EC，即可求得结论．
【解答】（1）证明：∵AD＝2AB＝2，E是AD的中点，
∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，BE⊥EC．…（3分）
∵平面D'EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC＝EC
∴BE⊥面D'EC，
∵CD′⊂面D'EC，
∴BE⊥CD′． …（7分）
（2）解：设点E到平面D′BC的距离为h．
由（1）可知BE⊥面D'EC，且BE=2，
∵S△D′EC＝S△DEC=12×1×1=12，∴V三棱锥B﹣D′EC=13×12×2=26． …（9分）
∵BE⊥面D'EC，D′C⊂面D'EC，∴BE⊥D'C．
在△D′BC中，BC＝2，D'C＝DC＝1，∴D′B=3，
∴S△D′BC=12×3×1=32，∴V三棱锥E﹣D′BC=13×32×h …（12分）
由V三棱锥E﹣D′BC＝V三棱锥B﹣D′EC，得h=63．
所以，点E到平面D′BC的距离为63． …（14分）

28．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1，
（1）求证：A1C⊥CC1；
（2）若AB＝2，AC=3，BC=7，问AA1为何值时，三棱柱ABC﹣A1B1C1体积最大，并求此最大值．

【分析】（1）通过证明直线CC1与平面BA1C垂直，即可证明A1C⊥CC1；
（2）作AO⊥BC 于O，连结A1O，说明∠AA1O＝90°，设A1A＝h，求出A1O的表达式，以及三棱柱ABC﹣A1B1C1体积V的表达式，利用二次函数的最值，求最大值．
【解答】解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
∴A1A∥CC1∥BB1，
∵AA1⊥BC，∴CC1⊥BC，
∵A1B⊥BB1，∴A1B⊥CC1，
∵BC∩BA1＝B，
∴CC1⊥平面BA1C，A1C⊂平面BA1C
∴A1C⊥CC1；
（2）作AO⊥BC于O，连结A1O，由（1）可知∠AA1O＝90°，∵AB＝2，AC=3，BC=7，∴AB⊥AC，
∴AO=237，
设A1A＝h，A1O=(237)2−ℎ2=127−ℎ2，
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1体积V=S△A1BC⋅ℎ=12×7×127−ℎ2⋅ℎ=1212ℎ2−7ℎ4，
当h2=67，即h=427时，即AA1=427时棱柱的体积最大，
最大值为：377．

29．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知E，F，G分别是CC1，A1C1，CD的中点．证明：
（1）AB1∥GE，AB1⊥EF；
（2）直线GF与直线BA1不平行．
【分析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AB1∥GE，AB1⊥EF．
（2）求出GF→=（1，0，2），BA1→=（0，﹣2，2），由此能证明直线GF与直线BA1不平行．
【解答】证明：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，
则A（2，0，0），B1（2，2，2），G（0，1，0），E（0，2，1），F（1，1，2），
AB1→=（0，2，2），GE→=（0，1，1），EF→=（1，﹣1，1），
∵AB1→=2GE→，∴AB1∥GE，
∵AB1→•EF→=0，∴AB1⊥EF．
（2）B（2，2，0），A1（2，0，2），GF→=（1，0，2），BA1→=（0，﹣2，2），
∵GF→，BA1→之间没有等量关系，
∴直线GF与直线BA1不平行．

30．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，CC1＝4，M为棱CC1上一点．
（1）若C1M＝1，求异面直线A1M和C1D1所成角的正切值；
（2）若C1M＝2，求证BM⊥平面A1B1M．

【分析】（1）由C1D1∥B1A1，得∠B1A1M是异面直线A1M和C1D1所成角，由此能示出异面直线A1M和C1D1所成角的正切值．
（2）C1M＝2时，由勾股定理得B1M⊥BM，A1M⊥BM，由此能证明BM⊥平面A1B1M．
【解答】（1）解：∵C1D1∥B1A1，
∴∠B1A1M是异面直线A1M和C1D1所成角，
∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BCC1B1，
∴A1B1⊥B1M，
∵AB＝2，BC＝2，CC1＝4，M为棱CC1上一点，C1M＝1，
∴B1M=B1C12+MC12=4+1=5，
∴tan∠B1A1M=B1MA1B1=52，
∴异面直线A1M和C1D1所成角的正切值为52．
（2）证明：C1M＝2时，B1M＝BM=BC2+CM2=22，
∴B1M2+BM2=BB12，∴B1M⊥BM．
∵A1M2=A1C12+MC12=4+4+4＝12，
A1B2=16+4=20，
∴A1M2+BM2=A1B2，
∴A1M⊥BM，
又A1M∩B1M＝M，∴BM⊥平面A1B1M．
31．如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上．
（Ⅰ）求证：AE⊥BE；
（Ⅱ）求三棱锥D﹣AEC的体积．

【分析】（Ⅰ）由题意证明BC⊥平面ABE，得AE⊥BC，再结合条件证明AE⊥平面BCE，再证出AE⊥BE；
（Ⅱ）利用题意得到平面ACD⊥平面ABE，作出交线的垂线，利用换低求三棱锥体积．
【解答】（Ⅰ）证明：由题意知，AD⊥平面ABE，且AD∥BC
∴BC⊥平面ABE，∵AE⊂平面ABE
∴AE⊥BC，
∵BF⊥平面ACE，且AE⊂平面ABE
∴BF⊥AE，又BC∩BF＝B，
∴AE⊥平面BCE，
又∵BE⊂平面BCE，
∴AE⊥BE．

（Ⅱ）在△ABE中，过点E作EH⊥AB于点H，
∵AD⊥平面ABE，且AD⊂平面ACD，
∴平面ACD⊥平面ABE，∴EH⊥平面ACD．
由已知及（Ⅰ）得EH=12AB=2，S△ADC＝22．
故VD﹣ABC＝VE﹣ADC=13×22×2=43．