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人教版2021届一轮复习打地基练习 空间中直线与平面间的关系
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这是一份人教版2021届一轮复习打地基练习 空间中直线与平面间的关系，共20页。试卷主要包含了已知a，b，c是直线，α是平面，下列命题中正确的是 等内容，欢迎下载使用。
人教版2021届一轮复习打地基练习 空间中直线与平面间的关系
一．选择题（共4小题）
1．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，n⊥α，则m⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
2．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
3．已知m，n为空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若n⊥α，n⊥β，m⊂β，则m∥α
B．若m⊥α，α⊥β，则m∥β
C．若m，n在γ内的射影互相平行，则m∥n
D．若m⊥l，α∩β＝l，则m⊥α
4．已知α、β是两个不同平面，m，n，l是三条不同直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若m∥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥β B．若m⊂α，n⊂α，l⊥n，则l⊥α
C．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n D．若l⊥α且l⊥β，则α∥β
二．填空题（共15小题）
5．已知a，b，c是直线，α是平面．
（1）若a⊥α，a∥b，则b与α的位置关系是 ．
（2）若b⊥α，a⊥b，则a与α的位置关系是 ．
6．已知a，b表示两条不同直线，α，β，γ表示三个不同平面，给出下列命题：
①若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；
②若a⊂α，a垂直于β内的任意一条直线，则α⊥β；
③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b；
④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内的无数条直线；
⑤若a⊥α，a⊥β，则α∥β．
上述五个命题中，正确命题的序号是 ．
7．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：
①若a⊥b，a⊥α，则b∥α；②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；
③若a⊥β，α⊥β，则a∥α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β．
其中正确的命题序号是 ．
8．设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：
①若m∥α，m∥β，则α∥β； ②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；
③若m∥α，m∥n，则n∥α； ④若m⊥α，α∥β，则m⊥β．
其中的正确命题序号是 ．
9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱A1B1，BB1，B1C1的中点，则下列结论中：
①FG⊥BD；②B1D⊥面EFG；
③面EFG∥面ACC1A1；④EF∥面CDD1C1．
正确结论的序号是 ．
10．下列命题中正确的是 （填序号）．
①若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；
②若两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条一定与该平面相交；
③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面．
11．下列命题：
①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l不垂直于平面α，则平面α内没有与l垂直的直线；
④如果直线l不垂直于平面α，则平面α内也可以有无数条直线与l垂直．
其中，正确的是 ．（将你认为正确的序号都填上）
12．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是 ．
①若m∥α，m⊥n，则n⊥α；
②若m⊥α，n∥α，则m⊥n；
③若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β；
④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面．
13．设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中是真命题的是 （填上正确命题的序号）．
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；
④若m∥α，m∥β，m∥n，则α∥β．
14．给出下列命题：
（1）若平面α内有两条直线分别平行于平面β，则α∥β；
（2）若平面α内任意一条直线与平面β平行，则α∥β；
（3）过已知平面外一条直线，必能作出一个平面与已知平面平行；
（4）不重合的平面α，β，γ，若α∥γ，β∥γ，则有α∥β．
其中正确的命题是 ．（填写序号）
15．若点M是两条异面直线a，b外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面有 个．
16．如图把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下面结论：
①AC⊥BD；
②CD⊥平面ABC；
③AB与BC成60°角；
④AB与平面BCD成45°角．
则其中正确的结论的序号为 ．
17．已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中假命题的有 ．
①若a∥b，则α∥β；②若α⊥β，则a⊥b；③若a、b相交，则α、β相交；④若α、β相交，则a，b相交．
18．已知直线a、b和平面α，若a∥b，b⊂α，则a与α的关系是 ．
19．若直线a与平面α垂直，则a与平面α内的所有直线都垂直． （判断对错）
三．解答题（共6小题）
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．
（1）求证：DC⊥平面PAC；
（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；
（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．
21．（1）已知平面外的一条直线上有两点到这个平面距离相等，试判断这条直线与该平面的位置关系；
（2）已知一个平面内有三点到另一平面距离相等，试判断这两个平面的位置关系．
22．如图，已知∠BAC在平面α内，P∉α，∠PAB＝∠PAC，求证：点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．α
23．如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是AC的中点．
（1）求证：AD1∥平面DOC1；
（2）求异面直线AD1和DC1所成角．
24．如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l．
（1）判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；
（2）判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论．
25．已知等腰梯形ADCE中，AD∥EC，EC＝2AD＝2AE＝4，∠E=π3，B为EC的中点，如图1，将三角形ABE沿AB折起到ABE（E∉平面ABCD），如图2
（1）点F为线段AE的中点，判断直线DF与平面BCE′的位置关系，并说明理由
（2）当△BCE′的面积最大时，求DE′的长．
人教版2021届一轮复习打地基练习 空间中直线与平面间的关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，n⊥α，则m⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：对于A，若m∥α，n∥α，则m∥n，或m，n相交、异面，故不正确；
对于B，若m∥α，m∥β，则α∥β或α，β相交，故不正确；
对于C，因为如果两条平行线中有一条和一个平面垂直，则另一条一定和这个平面垂直，故正确；
对于D，若m∥α，α⊥β，则m、β相交或平行，或m⊂β，故不正确．
故选：C．
2．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
【分析】通过举反例可得A、B、C不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D正确，从而得出结论．
【解答】解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；
B、α，β 垂直于同一个平面γ，故α，β 可能相交，可能平行，故B错误；
C、α，β平行于同一条直线m，故α，β 可能相交，可能平行，故C错误；
D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．
故选：D．
3．已知m，n为空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若n⊥α，n⊥β，m⊂β，则m∥α
B．若m⊥α，α⊥β，则m∥β
C．若m，n在γ内的射影互相平行，则m∥n
D．若m⊥l，α∩β＝l，则m⊥α
【分析】根据空间线面位置关系的定义及性质判断或举反例说明．
【解答】解：对于A，若n⊥α，n⊥β，则α∥β，
又m⊂β，∴m∥α，故A正确；
对于B，若m⊂β，显然结论错误；故B错误；
对于C，设α⊥γ，β⊥γ，且α∥β，
设m为α内任意一条不与γ垂直的直线，n为β内任意一条不与γ垂直的直线，
则若m，n在γ内的射影互相平行，显然m与n不一定平行，故C错误；
对于D，若m⊂α，显然结论错误；故D错误；
故选：A．
4．已知α、β是两个不同平面，m，n，l是三条不同直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若m∥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥β B．若m⊂α，n⊂α，l⊥n，则l⊥α
C．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n D．若l⊥α且l⊥β，则α∥β
【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，l与α相交、平行或l⊂α；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，由面面平行的性质定理得α∥β．
【解答】解：由α、β是两个不同平面，m，n，l是三条不同直线，知：
在A中，若m∥α，n⊥β且m⊥n，则α与β相交或平行，故A错误；
在B中，若m⊂α，n⊂α，l⊥n，则l与α相交、平行或l⊂α，故B错误；
在C中，若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故选C；
在D中，若l⊥α且l⊥β，则由面面平行的性质定理得α∥β，故D正确．
故选：D．
二．填空题（共15小题）
5．已知a，b，c是直线，α是平面．
（1）若a⊥α，a∥b，则b与α的位置关系是 b⊥α ．
（2）若b⊥α，a⊥b，则a与α的位置关系是 a⊂α或a∥α ．
【分析】（1）由直线与平面垂直的性质判断；
（2）由直线与平面垂直、直线与直线垂直分析a与α的位置关系．
【解答】解：（1）若a⊥α，a∥b，由直线与平面垂直的性质可得b⊥α；
（2）若b⊥α，a⊥b，则a与α的位置关系是a⊂α或a∥α．
故答案为：（1）b⊥α；（2）a⊂α或a∥α．
6．已知a，b表示两条不同直线，α，β，γ表示三个不同平面，给出下列命题：
①若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；
②若a⊂α，a垂直于β内的任意一条直线，则α⊥β；
③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b；
④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内的无数条直线；
⑤若a⊥α，a⊥β，则α∥β．
上述五个命题中，正确命题的序号是 ②⑤ ．
【分析】对于①③，根据线面垂直的判断定理，对于②④⑤线面垂直的性质定理，判断即可．
【解答】解：对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确，
对于②a⊂α，a垂直于β内的任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到a⊥β，又a⊂α，则α⊥β，故正确，
对于③α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b或a∥b，或相交，故不正确，
对于④若a不垂直于平面α，则a可能垂直于平面α内的无数条直线，故不正确，
对于⑤根据线面垂直的性质，若a⊥α，a⊥β，则α∥β，故正确
故答案为：②⑤
7．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：
①若a⊥b，a⊥α，则b∥α；②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；
③若a⊥β，α⊥β，则a∥α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β．
其中正确的命题序号是 ④ ．
【分析】对于①，b∥α或b⊂α；对于②，a与β相交、平行或a⊂β；对于③，a∥α或a⊂α；对于④，由面面垂直的判定定理得α⊥β．
【解答】解：设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则：
对于①，若a⊥b，a⊥α，则b∥α或b⊂α，故A错误；
对于②，若a∥α，α⊥β，则a与β相交、平行或a⊂β，故②错误；
对于③，若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α，故③错误；
对于④，若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故④正确．
故答案为：④．
8．设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：
①若m∥α，m∥β，则α∥β； ②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；
③若m∥α，m∥n，则n∥α； ④若m⊥α，α∥β，则m⊥β．
其中的正确命题序号是 ②④ ．
【分析】在①中，α与β相交或平行；在②中，由面面垂直的判断定理得α⊥β；在③中，n∥α或n⊂α；在④中，由线面垂直的判定定理得m⊥β．
【解答】解：由m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，知：
在①中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故①错误；
在②中，若m⊥α，m∥β，则由面面垂直的判断定理得α⊥β，故②正确；
在③中，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故③错误；
在④中，若m⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故④正确．
故答案为：②④．
9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱A1B1，BB1，B1C1的中点，则下列结论中：
①FG⊥BD；②B1D⊥面EFG；
③面EFG∥面ACC1A1；④EF∥面CDD1C1．
正确结论的序号是 ②④ ．
【分析】对于①，推导出FG∥BC1，BC1与BD所成角为60°，从而FG与BD异面，且所成角为60°；对于②，由BD1⊥平面BA1C1，平面BA1C1∥平面FEG，得到B1D⊥面EFG；对于③，面EFG与面ACC1A1相交；对于④，由EF∥D1C，得到EF∥面CDD1C1．
【解答】解：对于①，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱A1B1，BB1，B1C1的中点，
∴FG∥BC1，∵BC1与BD所成角为60°，∴FG与BD异面，且所成角为60°，故①错误；
对于②，∵BD1⊥平面BA1C1，平面BA1C1∥平面FEG，∴B1D⊥面EFG，故②正确；
对于③，∵平面BA1C1∥平面FEG，平面平面BA1C1∩面ACC1A1＝A1C1，
∴面EFG与面ACC1A1相交，故③错误；
对于④，∵EF∥A1B，A1B∥D1C，∴EF∥D1C，
∵EF⊄面CDD1C1，D1C⊂面CDD1C1，
∴EF∥面CDD1C1．故④正确．
故答案为：②④．
10．下列命题中正确的是 ③ （填序号）．
①若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；
②若两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条一定与该平面相交；
③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面．
【分析】在①中，l与平面α内的任意直线是异面直线或相交；在②中，另一条直线一定与该平面平行、相交或在该平面内；在③中，由直线与平行平行的性质得l与平面α内的直线平行或异面．
【解答】在①中，若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线是异面直线或相交，故错误；
在②中，如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，
则另一条直线一定与该平面平行、相交或在该平面内，故错误；
在③中，若直线l与平面α平行，则由直线与平行平行的性质得l与平面α内的直线平行或异面，故正确．
故答案为：③．
11．下列命题：
①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l不垂直于平面α，则平面α内没有与l垂直的直线；
④如果直线l不垂直于平面α，则平面α内也可以有无数条直线与l垂直．
其中，正确的是 ④ ．（将你认为正确的序号都填上）
【分析】由直线与平面垂直的定义及直线与平面垂直的性质逐一核对四个命题得答案．
【解答】解：如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l∥α或l⊂α或l与α相交，相交可能垂直也可能不垂直，故①错误；
如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l就与α内的无数条直线垂直，可得l∥α或l⊂α或l与α相交，相交可能垂直也可能不垂直，故②错误；
如果直线l不垂直于平面α，但平面α内仍有无数条与l垂直的直线，故③错误；④正确．
故答案为：④．
12．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是 ②③④ ．
①若m∥α，m⊥n，则n⊥α；
②若m⊥α，n∥α，则m⊥n；
③若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β；
④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面．
【分析】对于①，n与α相交、平行或n⊂α；对于②，由线面垂直的性质得m⊥n；对于③，由面面平行的判定定理得α∥β；对于④，由线面垂直的性质得m与n不可能垂直于同一平面．
【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：
对于①，若m∥α，m⊥n，则n与α相交、平行或n⊂α，故①错误；
对于②，若m⊥α，n∥α，则由线面垂直的性质得m⊥n，故②正确；
对于③，若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则由面面平行的判定定理得α∥β，故③正确；
对于④，若m，n不平行，则由线面垂直的性质得m与n不可能垂直于同一平面，故④正确．
故答案为：②③④．
13．设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中是真命题的是 ② （填上正确命题的序号）．
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；
④若m∥α，m∥β，m∥n，则α∥β．
【分析】对于①，m与n相交或平行；对于②，由线面垂直的判定定理得m⊥γ；对于③，m∥β或m⊂β；对于④，α与β相交或平行．
【解答】解：m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，
对于①，若m⊂α，n∥α，则m与n相交或平行，故①错误；
对于②，若α∥β，β∥γ，则α∥γ，又m⊥α，则由线面垂直的判定定理得m⊥γ，故②正确；
对于③，若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β或m⊂β，故③错误；
对于④，若m∥α，m∥β，m∥n，则α与β相交或平行，故④错误．
故答案为：②．
14．给出下列命题：
（1）若平面α内有两条直线分别平行于平面β，则α∥β；
（2）若平面α内任意一条直线与平面β平行，则α∥β；
（3）过已知平面外一条直线，必能作出一个平面与已知平面平行；
（4）不重合的平面α，β，γ，若α∥γ，β∥γ，则有α∥β．
其中正确的命题是 （2）（4） ．（填写序号）
【分析】由平面与平面平行的判定判断（1）；由平面与平面平行的定义判断（2）与（3）；由平面平行的传递性判断（4）．
【解答】解：（1）由平面与平面平行的判定可知，若平面α内有两条相交直线分别平行于平面β，则α∥β，故（1）错误；
（2）由平面与平面平行的定义可知，若平面α内任意一条直线与平面β平行，则α∥β，故（2）正确；
（3）当平面外的一条直线与平面相交时，过已知平面外一条直线，不能作出一个平面与已知平面平行，故（3）错误；
（4）不重合的平面α，β，γ，若α∥γ，β∥γ，由平面与平面平行的传递性可得α∥β，故（4）正确．
故答案为：（2）（4）．
15．若点M是两条异面直线a，b外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面有 0或1 个．
【分析】设a⊂α，b⊂β，且α∥β，讨论M与α，β的关系得出结论．
【解答】解：设a⊂α，b⊂β，且α∥β，
若M∈α或M∈β，则不存在平面使得该平面与a，b都平行；
若M∉α且M∉β，则过M只有1个平面使得该平面与a，b都平行．
故答案为：0或1．
16．如图把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下面结论：
①AC⊥BD；
②CD⊥平面ABC；
③AB与BC成60°角；
④AB与平面BCD成45°角．
则其中正确的结论的序号为 ①③④ ．
【分析】逐一判断正误，①垂直平面内两条相交直线，则垂直平面；②平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③求角一般要解三角形；④线面角的求法．
【解答】解：取BD的中点为O连接OC、OA．易证BD⊥平面AOC，（1）正确；
把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，AO⊥平面BCD，所以CD⊥BC、CD⊥OA⇒CD不垂直AC，（2）不正确；
易证：△AOC≌△BOC，△ABC是正三角形，（3）正确．
AB与平面BCD成的角是∠ABO＝45°（4）正确．
故答案为：①③④．
17．已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中假命题的有 ④ ．
①若a∥b，则α∥β；②若α⊥β，则a⊥b；③若a、b相交，则α、β相交；④若α、β相交，则a，b相交．
【分析】根据空间空间中线面关系的判定及性质定理逐个分析题目中的4个结论，即可求出答案．由面面平行的判定方法，我们易得①正确；由面面垂直的性质及线线垂直的判定方法我们易得②正确；而由a、b相交，我们用反证法易得α、β也相交，分析即可得到结论．
【解答】解：由a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，
若a∥b，我们可得a⊥α且a⊥β，由垂直于同一直线的两个平面平行，可得α∥β，故①正确；
若α⊥β，则a∥β或a⊂β，此时a⊥b，故②正确；
若a、b相交，则表示a，b不平行，则α，β也不平行，则α、β相交，故③正确；
若α、β相交，则a、b既可以是相交直线，也可以是异面直线．故④错误
故答案为：④
18．已知直线a、b和平面α，若a∥b，b⊂α，则a与α的关系是 a∥α或a⊂α ．
【分析】由题意画图说明a∥α或a⊂α，再由反证法说明a与α不相交．
【解答】解：如图，
由a∥b，b⊂α，可得a∥α或a⊂α，
a与α不可能相交，若a与α相交，则a与b相交或异面，与a∥b矛盾．
故答案为：a∥α或a⊂α．
19．若直线a与平面α垂直，则a与平面α内的所有直线都垂直． 正确 （判断对错）
【分析】线面垂直的性质得a与平面α内的所有直线都垂直．
【解答】解：∵直线a与平面α垂直，
∴由线面垂直的性质得a与平面α内的所有直线都垂直．
故答案为：正确．
三．解答题（共6小题）
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．
（1）求证：DC⊥平面PAC；
（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；
（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明DC⊥平面PAC；
（2）利用线面垂直的判定定理证明AB⊥平面PAC，即可证明平面PAB⊥平面PAC；
（3）在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．利用线面平行的判定定理证明．
【解答】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，
∴PC⊥DC，
∵DC⊥AC，PC∩AC＝C，
∴DC⊥平面PAC；
（2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC，
∴AB⊥AC，
∵PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PC⊥AB，
∵PC∩AC＝C，
∴AB⊥平面PAC，
∵AB⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAC；
（3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．
∵点E为AB的中点，
∴EF∥PA，
∵PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，
∴PA∥平面CEF．
21．（1）已知平面外的一条直线上有两点到这个平面距离相等，试判断这条直线与该平面的位置关系；
（2）已知一个平面内有三点到另一平面距离相等，试判断这两个平面的位置关系．
【分析】（1）考虑平面外的一条直线上的两点在平面的同侧或两侧，可得这条直线与该平面的位置关系；
（2）考虑平面内的三个点都在另一个平面的同侧、平面内的有两个点在另一个平面的同侧，另一个点在另一个平面的另一侧，可判断这两个平面的位置关系．
【解答】解：（1）由平面外的一条直线上有两点到这个平面距离相等，
若平面外的一条直线上的两点在平面的同侧，可得直线和平面平行；
若平面外的一条直线上的两点在平面的两侧，可得直线和平面相交．
综上可得，这条直线和该平面平行或相交；
（2）由一个平面内有三点到另一平面距离相等，
若平面内的三个点都在另一个平面的同侧，可得这两个平面平行；
若平面内的有两个点在另一个平面的同侧，另一个点在另一个平面的另一侧，可得这两个平面相交．
故这两个平面平行或相交．
22．如图，已知∠BAC在平面α内，P∉α，∠PAB＝∠PAC，求证：点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．α
【分析】作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连接OE，OF，OA，推导出AB⊥OE，AC⊥OF．从而Rt△AOE≌Rt△AOF，进而∠EAO＝∠FAO，由此能证明点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．
【解答】证明：作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，
垂足分别为O，E，F，连接OE，OF，OA，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠PAE＝∠PAF，PA＝PA，
∴Rt△PAE≌Rt△PAF，∴AE＝AF，
∵PO⊥α，AB⊂α，∴AB⊥PO，
又∵AB⊥PE，PO∩PE＝P，
∴AB⊥平面PEO，
∴AB⊥OE，同理AC⊥OF．
在Rt△AOE和Rt△AOF，AE＝AF，OA＝OA，
∴Rt△AOE≌Rt△AOF，∴∠EAO＝∠FAO，
∴点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．
23．如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是AC的中点．
（1）求证：AD1∥平面DOC1；
（2）求异面直线AD1和DC1所成角．
【分析】（1）连接D1C交DC1于点O1，连接OO1．结合三角形中位线定理，可线面平行的判定定理，可得AD1∥平面DOC1；
（2）由OO1∥AD1知AD1和DC1所成的角等于OO1和DC1所成的角．解△OO1D可得答案．
【解答】（1）证明：如图，连接D1C交DC1于点O1，连接OO1．
∵O、O1分别是AC和D1C的中点，
∴OO1∥AD1．
又OO1⊂平面DOC1，AD1⊄平面DOC1，
∴AD1∥平面DOC1．
（2）解：由OO1∥AD1知AD1和DC1所成的角等于OO1和DC1所成的角．
在△OO1D中，由题设可得OD＝O1D＝OO1，
故异面直线AD1和DC1所成的角为60°．
24．如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l．
（1）判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；
（2）判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论．
【分析】（1）由AD∥BC，可得BC∥平面PAD，再利用线面平行的性质可得BC∥l；
（2）取CD的中点Q，连接MQ、NQ，可证平面MNQ∥平面PAD，再由面面平行的性质得线面平行．
【解答】解：（1）结论：BC∥l．
证明：∵AD∥BC，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴BC∥平面PAD．
又∵BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC＝l，
∴BC∥l．
（2）结论：MN∥平面PAD．
证明：取CD的中点Q，连结NQ，MQ，
则NQ∥PD，MQ∥AD，又∵NQ∩MQ＝Q，PD∩AD＝D，
∴平面MNQ∥平面PAD．又∵MN⊂平面MNQ，
∴MN∥平面PAD．
25．已知等腰梯形ADCE中，AD∥EC，EC＝2AD＝2AE＝4，∠E=π3，B为EC的中点，如图1，将三角形ABE沿AB折起到ABE（E∉平面ABCD），如图2
（1）点F为线段AE的中点，判断直线DF与平面BCE′的位置关系，并说明理由
（2）当△BCE′的面积最大时，求DE′的长．
【分析】（1）若DF∥平面BCE′，设平面DCF∩BCE′＝CM，则DF∥CM，CM与CD不重合，由此推导出直线DF与平面BCE'相交．
（2）取AB的中点O，连结E′O，BD，则E′O⊥AB，DO⊥AB，AB∥DC，AO⊥平面E′OD，E′D⊥AO，E′D⊥DC，由此能求出当△BCE的面积最大时，DE的长
【解答】解：（1）直线DF与平面BCE'相交．理由如下：
∵E′∉平面ABCD，
∴D∉平面BCE′．
若DF∥平面BCE′，设平面DCF∩BCE′＝CM，则DF∥CM，
∴CM与CD不重合，
∵AD∥BC，∴平面ADE′∥平面BCE′，矛盾，
∴直线DF与平面BCE'相交．
证明：（2）取AB的中点O，连结E′O，BD，
由等腰梯形ADCE中，AD∥EC，EC＝2AD＝2AE＝4，∠E=π3，得E′O⊥AB，DO⊥AB，AB∥DC，
∴AO⊥平面E′OD，∴E′D⊥AO，∴E′D⊥DC，
∵△BCE′的面积为12⋅BE′⋅BC⋅sin∠E′BC=2sin∠E′BC，
∴当△BCE′的面积最大时，∠E′BC＝90°，
∴E′C=E′B2+BC2=22，
∴E′D=E′C2−DC2=2．
人教版2021届一轮复习打地基练习 空间中直线与平面间的关系
一．选择题（共4小题）
1．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，n⊥α，则m⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
2．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
3．已知m，n为空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若n⊥α，n⊥β，m⊂β，则m∥α
B．若m⊥α，α⊥β，则m∥β
C．若m，n在γ内的射影互相平行，则m∥n
D．若m⊥l，α∩β＝l，则m⊥α
4．已知α、β是两个不同平面，m，n，l是三条不同直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若m∥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥β B．若m⊂α，n⊂α，l⊥n，则l⊥α
C．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n D．若l⊥α且l⊥β，则α∥β
二．填空题（共15小题）
5．已知a，b，c是直线，α是平面．
（1）若a⊥α，a∥b，则b与α的位置关系是 ．
（2）若b⊥α，a⊥b，则a与α的位置关系是 ．
6．已知a，b表示两条不同直线，α，β，γ表示三个不同平面，给出下列命题：
①若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；
②若a⊂α，a垂直于β内的任意一条直线，则α⊥β；
③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b；
④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内的无数条直线；
⑤若a⊥α，a⊥β，则α∥β．
上述五个命题中，正确命题的序号是 ．
7．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：
①若a⊥b，a⊥α，则b∥α；②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；
③若a⊥β，α⊥β，则a∥α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β．
其中正确的命题序号是 ．
8．设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：
①若m∥α，m∥β，则α∥β； ②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；
③若m∥α，m∥n，则n∥α； ④若m⊥α，α∥β，则m⊥β．
其中的正确命题序号是 ．
9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱A1B1，BB1，B1C1的中点，则下列结论中：
①FG⊥BD；②B1D⊥面EFG；
③面EFG∥面ACC1A1；④EF∥面CDD1C1．
正确结论的序号是 ．
10．下列命题中正确的是 （填序号）．
①若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；
②若两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条一定与该平面相交；
③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面．
11．下列命题：
①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l不垂直于平面α，则平面α内没有与l垂直的直线；
④如果直线l不垂直于平面α，则平面α内也可以有无数条直线与l垂直．
其中，正确的是 ．（将你认为正确的序号都填上）
12．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是 ．
①若m∥α，m⊥n，则n⊥α；
②若m⊥α，n∥α，则m⊥n；
③若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β；
④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面．
13．设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中是真命题的是 （填上正确命题的序号）．
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；
④若m∥α，m∥β，m∥n，则α∥β．
14．给出下列命题：
（1）若平面α内有两条直线分别平行于平面β，则α∥β；
（2）若平面α内任意一条直线与平面β平行，则α∥β；
（3）过已知平面外一条直线，必能作出一个平面与已知平面平行；
（4）不重合的平面α，β，γ，若α∥γ，β∥γ，则有α∥β．
其中正确的命题是 ．（填写序号）
15．若点M是两条异面直线a，b外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面有 个．
16．如图把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下面结论：
①AC⊥BD；
②CD⊥平面ABC；
③AB与BC成60°角；
④AB与平面BCD成45°角．
则其中正确的结论的序号为 ．
17．已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中假命题的有 ．
①若a∥b，则α∥β；②若α⊥β，则a⊥b；③若a、b相交，则α、β相交；④若α、β相交，则a，b相交．
18．已知直线a、b和平面α，若a∥b，b⊂α，则a与α的关系是 ．
19．若直线a与平面α垂直，则a与平面α内的所有直线都垂直． （判断对错）
三．解答题（共6小题）
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．
（1）求证：DC⊥平面PAC；
（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；
（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．
21．（1）已知平面外的一条直线上有两点到这个平面距离相等，试判断这条直线与该平面的位置关系；
（2）已知一个平面内有三点到另一平面距离相等，试判断这两个平面的位置关系．
22．如图，已知∠BAC在平面α内，P∉α，∠PAB＝∠PAC，求证：点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．α
23．如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是AC的中点．
（1）求证：AD1∥平面DOC1；
（2）求异面直线AD1和DC1所成角．
24．如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l．
（1）判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；
（2）判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论．
25．已知等腰梯形ADCE中，AD∥EC，EC＝2AD＝2AE＝4，∠E=π3，B为EC的中点，如图1，将三角形ABE沿AB折起到ABE（E∉平面ABCD），如图2
（1）点F为线段AE的中点，判断直线DF与平面BCE′的位置关系，并说明理由
（2）当△BCE′的面积最大时，求DE′的长．
人教版2021届一轮复习打地基练习 空间中直线与平面间的关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，n⊥α，则m⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：对于A，若m∥α，n∥α，则m∥n，或m，n相交、异面，故不正确；
对于B，若m∥α，m∥β，则α∥β或α，β相交，故不正确；
对于C，因为如果两条平行线中有一条和一个平面垂直，则另一条一定和这个平面垂直，故正确；
对于D，若m∥α，α⊥β，则m、β相交或平行，或m⊂β，故不正确．
故选：C．
2．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
【分析】通过举反例可得A、B、C不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D正确，从而得出结论．
【解答】解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；
B、α，β 垂直于同一个平面γ，故α，β 可能相交，可能平行，故B错误；
C、α，β平行于同一条直线m，故α，β 可能相交，可能平行，故C错误；
D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．
故选：D．
3．已知m，n为空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若n⊥α，n⊥β，m⊂β，则m∥α
B．若m⊥α，α⊥β，则m∥β
C．若m，n在γ内的射影互相平行，则m∥n
D．若m⊥l，α∩β＝l，则m⊥α
【分析】根据空间线面位置关系的定义及性质判断或举反例说明．
【解答】解：对于A，若n⊥α，n⊥β，则α∥β，
又m⊂β，∴m∥α，故A正确；
对于B，若m⊂β，显然结论错误；故B错误；
对于C，设α⊥γ，β⊥γ，且α∥β，
设m为α内任意一条不与γ垂直的直线，n为β内任意一条不与γ垂直的直线，
则若m，n在γ内的射影互相平行，显然m与n不一定平行，故C错误；
对于D，若m⊂α，显然结论错误；故D错误；
故选：A．
4．已知α、β是两个不同平面，m，n，l是三条不同直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若m∥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥β B．若m⊂α，n⊂α，l⊥n，则l⊥α
C．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n D．若l⊥α且l⊥β，则α∥β
【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，l与α相交、平行或l⊂α；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，由面面平行的性质定理得α∥β．
【解答】解：由α、β是两个不同平面，m，n，l是三条不同直线，知：
在A中，若m∥α，n⊥β且m⊥n，则α与β相交或平行，故A错误；
在B中，若m⊂α，n⊂α，l⊥n，则l与α相交、平行或l⊂α，故B错误；
在C中，若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故选C；
在D中，若l⊥α且l⊥β，则由面面平行的性质定理得α∥β，故D正确．
故选：D．
二．填空题（共15小题）
5．已知a，b，c是直线，α是平面．
（1）若a⊥α，a∥b，则b与α的位置关系是 b⊥α ．
（2）若b⊥α，a⊥b，则a与α的位置关系是 a⊂α或a∥α ．
【分析】（1）由直线与平面垂直的性质判断；
（2）由直线与平面垂直、直线与直线垂直分析a与α的位置关系．
【解答】解：（1）若a⊥α，a∥b，由直线与平面垂直的性质可得b⊥α；
（2）若b⊥α，a⊥b，则a与α的位置关系是a⊂α或a∥α．
故答案为：（1）b⊥α；（2）a⊂α或a∥α．
6．已知a，b表示两条不同直线，α，β，γ表示三个不同平面，给出下列命题：
①若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；
②若a⊂α，a垂直于β内的任意一条直线，则α⊥β；
③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b；
④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内的无数条直线；
⑤若a⊥α，a⊥β，则α∥β．
上述五个命题中，正确命题的序号是 ②⑤ ．
【分析】对于①③，根据线面垂直的判断定理，对于②④⑤线面垂直的性质定理，判断即可．
【解答】解：对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确，
对于②a⊂α，a垂直于β内的任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到a⊥β，又a⊂α，则α⊥β，故正确，
对于③α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b或a∥b，或相交，故不正确，
对于④若a不垂直于平面α，则a可能垂直于平面α内的无数条直线，故不正确，
对于⑤根据线面垂直的性质，若a⊥α，a⊥β，则α∥β，故正确
故答案为：②⑤
7．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：
①若a⊥b，a⊥α，则b∥α；②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；
③若a⊥β，α⊥β，则a∥α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β．
其中正确的命题序号是 ④ ．
【分析】对于①，b∥α或b⊂α；对于②，a与β相交、平行或a⊂β；对于③，a∥α或a⊂α；对于④，由面面垂直的判定定理得α⊥β．
【解答】解：设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则：
对于①，若a⊥b，a⊥α，则b∥α或b⊂α，故A错误；
对于②，若a∥α，α⊥β，则a与β相交、平行或a⊂β，故②错误；
对于③，若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α，故③错误；
对于④，若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故④正确．
故答案为：④．
8．设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：
①若m∥α，m∥β，则α∥β； ②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；
③若m∥α，m∥n，则n∥α； ④若m⊥α，α∥β，则m⊥β．
其中的正确命题序号是 ②④ ．
【分析】在①中，α与β相交或平行；在②中，由面面垂直的判断定理得α⊥β；在③中，n∥α或n⊂α；在④中，由线面垂直的判定定理得m⊥β．
【解答】解：由m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，知：
在①中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故①错误；
在②中，若m⊥α，m∥β，则由面面垂直的判断定理得α⊥β，故②正确；
在③中，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故③错误；
在④中，若m⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故④正确．
故答案为：②④．
9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱A1B1，BB1，B1C1的中点，则下列结论中：
①FG⊥BD；②B1D⊥面EFG；
③面EFG∥面ACC1A1；④EF∥面CDD1C1．
正确结论的序号是 ②④ ．
【分析】对于①，推导出FG∥BC1，BC1与BD所成角为60°，从而FG与BD异面，且所成角为60°；对于②，由BD1⊥平面BA1C1，平面BA1C1∥平面FEG，得到B1D⊥面EFG；对于③，面EFG与面ACC1A1相交；对于④，由EF∥D1C，得到EF∥面CDD1C1．
【解答】解：对于①，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱A1B1，BB1，B1C1的中点，
∴FG∥BC1，∵BC1与BD所成角为60°，∴FG与BD异面，且所成角为60°，故①错误；
对于②，∵BD1⊥平面BA1C1，平面BA1C1∥平面FEG，∴B1D⊥面EFG，故②正确；
对于③，∵平面BA1C1∥平面FEG，平面平面BA1C1∩面ACC1A1＝A1C1，
∴面EFG与面ACC1A1相交，故③错误；
对于④，∵EF∥A1B，A1B∥D1C，∴EF∥D1C，
∵EF⊄面CDD1C1，D1C⊂面CDD1C1，
∴EF∥面CDD1C1．故④正确．
故答案为：②④．
10．下列命题中正确的是 ③ （填序号）．
①若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；
②若两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条一定与该平面相交；
③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面．
【分析】在①中，l与平面α内的任意直线是异面直线或相交；在②中，另一条直线一定与该平面平行、相交或在该平面内；在③中，由直线与平行平行的性质得l与平面α内的直线平行或异面．
【解答】在①中，若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线是异面直线或相交，故错误；
在②中，如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，
则另一条直线一定与该平面平行、相交或在该平面内，故错误；
在③中，若直线l与平面α平行，则由直线与平行平行的性质得l与平面α内的直线平行或异面，故正确．
故答案为：③．
11．下列命题：
①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l不垂直于平面α，则平面α内没有与l垂直的直线；
④如果直线l不垂直于平面α，则平面α内也可以有无数条直线与l垂直．
其中，正确的是 ④ ．（将你认为正确的序号都填上）
【分析】由直线与平面垂直的定义及直线与平面垂直的性质逐一核对四个命题得答案．
【解答】解：如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l∥α或l⊂α或l与α相交，相交可能垂直也可能不垂直，故①错误；
如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l就与α内的无数条直线垂直，可得l∥α或l⊂α或l与α相交，相交可能垂直也可能不垂直，故②错误；
如果直线l不垂直于平面α，但平面α内仍有无数条与l垂直的直线，故③错误；④正确．
故答案为：④．
12．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是 ②③④ ．
①若m∥α，m⊥n，则n⊥α；
②若m⊥α，n∥α，则m⊥n；
③若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β；
④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面．
【分析】对于①，n与α相交、平行或n⊂α；对于②，由线面垂直的性质得m⊥n；对于③，由面面平行的判定定理得α∥β；对于④，由线面垂直的性质得m与n不可能垂直于同一平面．
【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：
对于①，若m∥α，m⊥n，则n与α相交、平行或n⊂α，故①错误；
对于②，若m⊥α，n∥α，则由线面垂直的性质得m⊥n，故②正确；
对于③，若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则由面面平行的判定定理得α∥β，故③正确；
对于④，若m，n不平行，则由线面垂直的性质得m与n不可能垂直于同一平面，故④正确．
故答案为：②③④．
13．设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中是真命题的是 ② （填上正确命题的序号）．
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；
④若m∥α，m∥β，m∥n，则α∥β．
【分析】对于①，m与n相交或平行；对于②，由线面垂直的判定定理得m⊥γ；对于③，m∥β或m⊂β；对于④，α与β相交或平行．
【解答】解：m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，
对于①，若m⊂α，n∥α，则m与n相交或平行，故①错误；
对于②，若α∥β，β∥γ，则α∥γ，又m⊥α，则由线面垂直的判定定理得m⊥γ，故②正确；
对于③，若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β或m⊂β，故③错误；
对于④，若m∥α，m∥β，m∥n，则α与β相交或平行，故④错误．
故答案为：②．
14．给出下列命题：
（1）若平面α内有两条直线分别平行于平面β，则α∥β；
（2）若平面α内任意一条直线与平面β平行，则α∥β；
（3）过已知平面外一条直线，必能作出一个平面与已知平面平行；
（4）不重合的平面α，β，γ，若α∥γ，β∥γ，则有α∥β．
其中正确的命题是 （2）（4） ．（填写序号）
【分析】由平面与平面平行的判定判断（1）；由平面与平面平行的定义判断（2）与（3）；由平面平行的传递性判断（4）．
【解答】解：（1）由平面与平面平行的判定可知，若平面α内有两条相交直线分别平行于平面β，则α∥β，故（1）错误；
（2）由平面与平面平行的定义可知，若平面α内任意一条直线与平面β平行，则α∥β，故（2）正确；
（3）当平面外的一条直线与平面相交时，过已知平面外一条直线，不能作出一个平面与已知平面平行，故（3）错误；
（4）不重合的平面α，β，γ，若α∥γ，β∥γ，由平面与平面平行的传递性可得α∥β，故（4）正确．
故答案为：（2）（4）．
15．若点M是两条异面直线a，b外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面有 0或1 个．
【分析】设a⊂α，b⊂β，且α∥β，讨论M与α，β的关系得出结论．
【解答】解：设a⊂α，b⊂β，且α∥β，
若M∈α或M∈β，则不存在平面使得该平面与a，b都平行；
若M∉α且M∉β，则过M只有1个平面使得该平面与a，b都平行．
故答案为：0或1．
16．如图把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下面结论：
①AC⊥BD；
②CD⊥平面ABC；
③AB与BC成60°角；
④AB与平面BCD成45°角．
则其中正确的结论的序号为 ①③④ ．
【分析】逐一判断正误，①垂直平面内两条相交直线，则垂直平面；②平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③求角一般要解三角形；④线面角的求法．
【解答】解：取BD的中点为O连接OC、OA．易证BD⊥平面AOC，（1）正确；
把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，AO⊥平面BCD，所以CD⊥BC、CD⊥OA⇒CD不垂直AC，（2）不正确；
易证：△AOC≌△BOC，△ABC是正三角形，（3）正确．
AB与平面BCD成的角是∠ABO＝45°（4）正确．
故答案为：①③④．
17．已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中假命题的有 ④ ．
①若a∥b，则α∥β；②若α⊥β，则a⊥b；③若a、b相交，则α、β相交；④若α、β相交，则a，b相交．
【分析】根据空间空间中线面关系的判定及性质定理逐个分析题目中的4个结论，即可求出答案．由面面平行的判定方法，我们易得①正确；由面面垂直的性质及线线垂直的判定方法我们易得②正确；而由a、b相交，我们用反证法易得α、β也相交，分析即可得到结论．
【解答】解：由a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，
若a∥b，我们可得a⊥α且a⊥β，由垂直于同一直线的两个平面平行，可得α∥β，故①正确；
若α⊥β，则a∥β或a⊂β，此时a⊥b，故②正确；
若a、b相交，则表示a，b不平行，则α，β也不平行，则α、β相交，故③正确；
若α、β相交，则a、b既可以是相交直线，也可以是异面直线．故④错误
故答案为：④
18．已知直线a、b和平面α，若a∥b，b⊂α，则a与α的关系是 a∥α或a⊂α ．
【分析】由题意画图说明a∥α或a⊂α，再由反证法说明a与α不相交．
【解答】解：如图，
由a∥b，b⊂α，可得a∥α或a⊂α，
a与α不可能相交，若a与α相交，则a与b相交或异面，与a∥b矛盾．
故答案为：a∥α或a⊂α．
19．若直线a与平面α垂直，则a与平面α内的所有直线都垂直． 正确 （判断对错）
【分析】线面垂直的性质得a与平面α内的所有直线都垂直．
【解答】解：∵直线a与平面α垂直，
∴由线面垂直的性质得a与平面α内的所有直线都垂直．
故答案为：正确．
三．解答题（共6小题）
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．
（1）求证：DC⊥平面PAC；
（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；
（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明DC⊥平面PAC；
（2）利用线面垂直的判定定理证明AB⊥平面PAC，即可证明平面PAB⊥平面PAC；
（3）在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．利用线面平行的判定定理证明．
【解答】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，
∴PC⊥DC，
∵DC⊥AC，PC∩AC＝C，
∴DC⊥平面PAC；
（2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC，
∴AB⊥AC，
∵PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PC⊥AB，
∵PC∩AC＝C，
∴AB⊥平面PAC，
∵AB⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAC；
（3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．
∵点E为AB的中点，
∴EF∥PA，
∵PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，
∴PA∥平面CEF．
21．（1）已知平面外的一条直线上有两点到这个平面距离相等，试判断这条直线与该平面的位置关系；
（2）已知一个平面内有三点到另一平面距离相等，试判断这两个平面的位置关系．
【分析】（1）考虑平面外的一条直线上的两点在平面的同侧或两侧，可得这条直线与该平面的位置关系；
（2）考虑平面内的三个点都在另一个平面的同侧、平面内的有两个点在另一个平面的同侧，另一个点在另一个平面的另一侧，可判断这两个平面的位置关系．
【解答】解：（1）由平面外的一条直线上有两点到这个平面距离相等，
若平面外的一条直线上的两点在平面的同侧，可得直线和平面平行；
若平面外的一条直线上的两点在平面的两侧，可得直线和平面相交．
综上可得，这条直线和该平面平行或相交；
（2）由一个平面内有三点到另一平面距离相等，
若平面内的三个点都在另一个平面的同侧，可得这两个平面平行；
若平面内的有两个点在另一个平面的同侧，另一个点在另一个平面的另一侧，可得这两个平面相交．
故这两个平面平行或相交．
22．如图，已知∠BAC在平面α内，P∉α，∠PAB＝∠PAC，求证：点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．α
【分析】作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连接OE，OF，OA，推导出AB⊥OE，AC⊥OF．从而Rt△AOE≌Rt△AOF，进而∠EAO＝∠FAO，由此能证明点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．
【解答】证明：作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，
垂足分别为O，E，F，连接OE，OF，OA，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠PAE＝∠PAF，PA＝PA，
∴Rt△PAE≌Rt△PAF，∴AE＝AF，
∵PO⊥α，AB⊂α，∴AB⊥PO，
又∵AB⊥PE，PO∩PE＝P，
∴AB⊥平面PEO，
∴AB⊥OE，同理AC⊥OF．
在Rt△AOE和Rt△AOF，AE＝AF，OA＝OA，
∴Rt△AOE≌Rt△AOF，∴∠EAO＝∠FAO，
∴点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．
23．如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是AC的中点．
（1）求证：AD1∥平面DOC1；
（2）求异面直线AD1和DC1所成角．
【分析】（1）连接D1C交DC1于点O1，连接OO1．结合三角形中位线定理，可线面平行的判定定理，可得AD1∥平面DOC1；
（2）由OO1∥AD1知AD1和DC1所成的角等于OO1和DC1所成的角．解△OO1D可得答案．
【解答】（1）证明：如图，连接D1C交DC1于点O1，连接OO1．
∵O、O1分别是AC和D1C的中点，
∴OO1∥AD1．
又OO1⊂平面DOC1，AD1⊄平面DOC1，
∴AD1∥平面DOC1．
（2）解：由OO1∥AD1知AD1和DC1所成的角等于OO1和DC1所成的角．
在△OO1D中，由题设可得OD＝O1D＝OO1，
故异面直线AD1和DC1所成的角为60°．
24．如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l．
（1）判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；
（2）判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论．
【分析】（1）由AD∥BC，可得BC∥平面PAD，再利用线面平行的性质可得BC∥l；
（2）取CD的中点Q，连接MQ、NQ，可证平面MNQ∥平面PAD，再由面面平行的性质得线面平行．
【解答】解：（1）结论：BC∥l．
证明：∵AD∥BC，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴BC∥平面PAD．
又∵BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC＝l，
∴BC∥l．
（2）结论：MN∥平面PAD．
证明：取CD的中点Q，连结NQ，MQ，
则NQ∥PD，MQ∥AD，又∵NQ∩MQ＝Q，PD∩AD＝D，
∴平面MNQ∥平面PAD．又∵MN⊂平面MNQ，
∴MN∥平面PAD．
25．已知等腰梯形ADCE中，AD∥EC，EC＝2AD＝2AE＝4，∠E=π3，B为EC的中点，如图1，将三角形ABE沿AB折起到ABE（E∉平面ABCD），如图2
（1）点F为线段AE的中点，判断直线DF与平面BCE′的位置关系，并说明理由
（2）当△BCE′的面积最大时，求DE′的长．
【分析】（1）若DF∥平面BCE′，设平面DCF∩BCE′＝CM，则DF∥CM，CM与CD不重合，由此推导出直线DF与平面BCE'相交．
（2）取AB的中点O，连结E′O，BD，则E′O⊥AB，DO⊥AB，AB∥DC，AO⊥平面E′OD，E′D⊥AO，E′D⊥DC，由此能求出当△BCE的面积最大时，DE的长
【解答】解：（1）直线DF与平面BCE'相交．理由如下：
∵E′∉平面ABCD，
∴D∉平面BCE′．
若DF∥平面BCE′，设平面DCF∩BCE′＝CM，则DF∥CM，
∴CM与CD不重合，
∵AD∥BC，∴平面ADE′∥平面BCE′，矛盾，
∴直线DF与平面BCE'相交．
证明：（2）取AB的中点O，连结E′O，BD，
由等腰梯形ADCE中，AD∥EC，EC＝2AD＝2AE＝4，∠E=π3，得E′O⊥AB，DO⊥AB，AB∥DC，
∴AO⊥平面E′OD，∴E′D⊥AO，∴E′D⊥DC，
∵△BCE′的面积为12⋅BE′⋅BC⋅sin∠E′BC=2sin∠E′BC，
∴当△BCE′的面积最大时，∠E′BC＝90°，
∴E′C=E′B2+BC2=22，
∴E′D=E′C2−DC2=2．
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