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人教版2021届一轮复习打地基练习 直线的一般式与直线的性质
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这是一份人教版2021届一轮复习打地基练习 直线的一般式与直线的性质，共27页。试卷主要包含了直线l过点，对于直线l，已知点A，过点，已知平面上一点M，若直线l1，若三直线l1，直线l1等内容，欢迎下载使用。
人教版2021届一轮复习打地基练习 直线的一般式与直线的性质
一．选择题（共15小题）
1．直线2x+y﹣2＝0在x轴上的截距为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
2．直线l过点（﹣4，0）且与圆（x+1）2+（y﹣2）2＝25交于A、B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为（ ）
A．5x+12y+20＝0 B．5x﹣12y+20＝0或x+4＝0
C．5x﹣12y+20＝0 D．5x+12y+20＝0或x+4＝0
3．对于直线l：ax+ay﹣＝0（a≠0），下列说法不正确的是（ ）
A．无论a如何变化，直线l的倾斜角的大小不变
B．无论a如何变化，直线l一定不经过第三象限
C．无论a如何变化，直线l必经过第一、二、三象限
D．当a取不同数值时，可得到一组平行直线
4．已知点A（1，m）在直线x﹣y+1＝0上，则实数m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．过点（﹣3，0）和（0，4）的直线的一般式方程为（ ）
A．4x+3y+12＝0 B．4x+3y﹣12＝0 C．4x﹣3y+12＝0 D．4x﹣3y﹣12＝0
6．已知平面上一点M（5，0），若直线上存在点P使得|PM|＝4，则称直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是（ ）
①y＝x+1； ②y＝2； ③4x﹣3y＝0； ④y＝2x+1．
A．①③ B．①② C．②③ D．③④
7．下列四个判断中，正确判断的个数为（ ）
①经过定点P（x0，y0）的直线都可以用y﹣y0＝k（x﹣x0）表示；
②经过定点P（0，b）的直线都可以用y＝kx+b表示；
③不经过原点的直线都可以用表示；
④任意直线都可以用Ax+By+C＝0（A，B不同时为零）表示．
A．0 B．1 C．2 D．3
8．若直线l1：2x﹣ay﹣1＝0过点（2，1），l2：x+2y＝0，则直线l1和l2（ ）
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．相交于点（2，﹣1）
9．若三直线l1：ax﹣y+1＝0，l2：x+y＝0，l3：x﹣y＝1经过同一个点，则a＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
10．直线l1：y＝ax+b与直线l2：y＝bx+a（ab≠0）在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．直线3x﹣4y﹣12＝0在x轴上的截距为（ ）
A．7 B．1 C．4 D．3
12．直线Ax+By﹣1＝0在y轴上的截距为﹣1，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（ ）
A．，B＝﹣1 B．，B＝﹣1 C．，B＝1 D．，B＝1
13．直线l：2x+3y﹣6＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．6 B．1 C． D．3
14．过直线3x+y﹣1＝0与x+2y﹣7＝0的交点，且与第一条直线垂直的直线l的方程是（ ）
A．x﹣3y+7＝0 B．x﹣3y+13＝0 C．2x﹣y+7＝0 D．3x﹣y﹣5＝0
15．过点（1，1）且斜率不存在的直线方程为（ ）
A．y＝1 B．x＝1 C．y＝x D．y＝x+1
二．填空题（共18小题）
16．在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（4，0）．若直线x﹣y+m＝0上存在点P使得PB＝2PA，则实数m的取值范围是 ．
17．已知直线（2m+1）x+（1﹣m）y﹣3（1+m）＝0，与两坐标轴分别交于A、B两点．当△OAB的面积取最小值时（O为坐标原点），则m的值为 ．
18．已知0＜a＜2，直线l1：ax﹣2y＝2a﹣4和l2：2x+a2y＝2a2+4与坐标轴围成一个四边形，则当a＝ 时，四边形的面积有最小值，该四边形的面积的最小值为 ．
19．三条直线l1：x+y﹣1＝0，l2：x﹣2y+3＝0，l3：x﹣my﹣5＝0围成一个三角形，则m的取值范围是 ．
20．已知直线l1：ax﹣2y＝2a﹣4，l2：2x+a2y＝2a2+4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝ ．
21．经过原点O有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2＝0与l2：x+y+3＝0之间的线段恰好被点O平分，则直线l的方程为 ．
22．已知直线l过点P（1，2），法向量，则其点方向式方程为 ．
23．设两直线（m+2）x﹣y﹣2+m＝0，x+y＝0与x轴构成三角形，则m的取值范围为 ．
24．已知M，N为直线3x+4y﹣10＝0上两点，O为坐标原点，若，则△MON的周长最小值为 ．
25．在直角坐标系中，直线x+y﹣3＝0的倾斜角是 ．
26．已知△ABC的三个顶点分别是A（0，3），B（4，2），C（2，1）．若直线l过点A，且将△ABC分割成面积相等的两部分，则直线l的方程是 ．
27．经过点A（4，2），且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的3倍的直线l的方程的一般式为 ．
28．过点P（2020，2020）且在两坐标轴上截距相等的直线的一般式方程为 ．
29．过点（2，3）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB（O为坐标原点）面积最小时，直线l的方程为 ．
30．将一张坐标纸折叠一次，使得点P（1，2）与点Q（﹣2，1）重合，则直线y＝x+4关于折痕对称的直线为 ．
31．已知直线l：x+2y﹣1＝0，则原点O关于直线l对称的点是 ；经过点P（2，1）且纵横截距相等的直线方程是 ．
32．经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是 ．
33．斜率为﹣3，在x轴上截距为2的直线的一般式方程是 ．
三．解答题（共8小题）
34．已知直线l过点（﹣2，1）．
（1）若直线l不经过第四象限，求直线l的斜率k的取值范围；
（2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，△AOB的面积为S，其中O为坐标原点，求S的最小值，并求此时直线l的一般式方程．
35．已知直线l：y＝k（x﹣1）交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y＝x于点C，
（1）若k＝3，求的值；
（2）若|BC|＝2|AC|，求直线l的方程．
36．已知△ABC的顶点A（4，﹣5），AB边上的中线CM所在直线方程为4x﹣y﹣5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣4y﹣1＝0，求：
（1）顶点C的坐标；
（2）直线BC的方程．
37．△ABC的三个顶点为A（﹣4，0），B（2，4），C（﹣2，6）．
（1）已知直线l1过B、C两点，求直线l1的方程；
（2）已知直线l2经过A点并且经过BC中点D，求直线l2的方程；
（3）已知直线l3经过C点，且倾斜角是l2倾斜角的2倍，求直线l3的方程．
38．已知△ABC的三个顶点是A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．
（1）求BC边上的高所在直线的方程；（一般式）
（2）求△ABC的面积S；
（3）求过点A且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程（一般式）．
39．已知△ABC的三个顶点A（m，n）、B（2，1）、C（﹣2，3）．
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）BC边上中线AD的方程为2x﹣3y+6＝0，且S△ABC＝7，求点A的坐标．
40．如图，抛物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴负半轴上．
过点M（0，﹣2）作直线l与抛物线相交于A，B两点，且满足．
（Ⅰ）求直线l和抛物线的方程；
（Ⅱ）当抛物线上一动点P从点A向点B运动时，求△ABP面积的最大值．
41．在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD的顶点A（﹣1，2）和C（5，4），AB所在直线的方程为x﹣y+3＝0，
（1）求对角线BD所在直线的方程；
（2）求AD所在直线的方程．
人教版2021届一轮复习打地基练习 直线的一般式与直线的性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．直线2x+y﹣2＝0在x轴上的截距为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【分析】直线方程为2x+y﹣2＝0令y＝0得x＝1，得到直线2x+y﹣2＝0在x轴上的截距即可．
【解答】解：因为直线方程为2x+y﹣2＝0，
令y＝0得x＝1
所以直线2x+y﹣2＝0在x轴上的截距为1，
故选：C．
2．直线l过点（﹣4，0）且与圆（x+1）2+（y﹣2）2＝25交于A、B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为（ ）
A．5x+12y+20＝0 B．5x﹣12y+20＝0或x+4＝0
C．5x﹣12y+20＝0 D．5x+12y+20＝0或x+4＝0
【分析】当切线的斜率不存在时，求出直线l的方程，当斜率存在时，由弦心距、半弦长、半径三者间的关系可得弦心距等于3，解出 k值，即得直线l的方程．
【解答】解：当切线的斜率不存在时，直线l的方程为 x+4＝0，经检验，此直线和圆相切，满足条件．
当切线的斜率存在时，设直线l的方程为 y﹣0＝k （x+4 ），即 kx﹣y+4k＝0，
则圆心（﹣1，2）到直线l的距离为 d＝＝．再由 d2+＝r2，
得 ＝3，∴k＝﹣，∴直线l的方程为 y﹣0＝﹣（x+4），
即 5x+12y+20＝0．
故选：D．
3．对于直线l：ax+ay﹣＝0（a≠0），下列说法不正确的是（ ）
A．无论a如何变化，直线l的倾斜角的大小不变
B．无论a如何变化，直线l一定不经过第三象限
C．无论a如何变化，直线l必经过第一、二、三象限
D．当a取不同数值时，可得到一组平行直线
【分析】直线l：ax+ay﹣＝0（a≠0），化为：y＝﹣x+，根据斜率与在y轴上的截距的意义即可判断出正误．
【解答】解：直线l：ax+ay﹣＝0（a≠0），化为：y＝﹣x+，
可得斜率k＝﹣1，在y轴上的截距为＞0，
因此无论a如何变化，直线l必经过第一、二、四象限，直线l一定不经过第三象限，直线l的倾斜角的大小不变，当a取不同数值时，可得到一组平行直线．
故选：C．
4．已知点A（1，m）在直线x﹣y+1＝0上，则实数m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】把点A（1，m）代入直线x﹣y+1＝0可得：m．
【解答】解：点A（1，m）在直线x﹣y+1＝0上，代入可得：1﹣m+1＝0，解得m＝2．
故选：A．
5．过点（﹣3，0）和（0，4）的直线的一般式方程为（ ）
A．4x+3y+12＝0 B．4x+3y﹣12＝0 C．4x﹣3y+12＝0 D．4x﹣3y﹣12＝0
【分析】写出过这两点的截距式方程，再化为一般式方程．
【解答】解：过点（﹣3，0）和（0，4）的直线方程为+＝1，
化为一般式方程为4x﹣3y+12＝0．
故选：C．
6．已知平面上一点M（5，0），若直线上存在点P使得|PM|＝4，则称直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是（ ）
①y＝x+1； ②y＝2； ③4x﹣3y＝0； ④y＝2x+1．
A．①③ B．①② C．②③ D．③④
【分析】由题意得，“切割型直线”即点M（5，0）到直线的距离小于或等于4．求出点M到各条直线的距离，可得答案．
【解答】解：要使直线为“切割型直线”，则直线上存在点P使得|PM|＝4，
即圆（x﹣5）2+y2＝16 和直线有交点，
即点M（5，0）到直线的距离小于或等于4．
点M（5，0）到直线①y＝x+1的距离为 3＞4，不满足条件；
点M（5，0）到直线②y＝2的距离为 2＜4，故满足条件；
点M（5，0）到直线③4x﹣3y＝0的距离为 ＝4，故满足条件；
点M（5，0）到直线④y＝2x+1的距离为＝＞4，故不满足条件，
故选：C．
7．下列四个判断中，正确判断的个数为（ ）
①经过定点P（x0，y0）的直线都可以用y﹣y0＝k（x﹣x0）表示；
②经过定点P（0，b）的直线都可以用y＝kx+b表示；
③不经过原点的直线都可以用表示；
④任意直线都可以用Ax+By+C＝0（A，B不同时为零）表示．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据与x轴垂直的直线没有斜率，可知①②都是不正确的；根据直线截距式的大前提，可知③不正确；根据直线方程的一般式的含义，可得④是正确的．由此可得本题答案．
【解答】解：由于过点P（x0，y0）且垂直于x轴的直线不能用y﹣y0＝k（x﹣x0）表示，故①不正确；
由于过点P（0，b）且垂直于x轴的直线不能用y＝kx+b表示，故②不正确；
当一条直线不经过原点，但是它与x轴（或y轴）平行时，
不能用截距式表示，故③不正确；
根据直线方程的一般式的含义，可得任意直线都可以用Ax+By+C＝0（A，B不同时为零）表示，故④正确．
综上所述，正确的项只有④
故选：B．
8．若直线l1：2x﹣ay﹣1＝0过点（2，1），l2：x+2y＝0，则直线l1和l2（ ）
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．相交于点（2，﹣1）
【分析】直线l1：2x﹣ay﹣1＝0过点（2，1），可得：4﹣a﹣1＝0，解得a，进而判断出位置关系．
【解答】解：直线l1：2x﹣ay﹣1＝0过点（2，1），可得：4﹣a﹣1＝0，解得a＝3．化为：2x﹣3y﹣1＝0．
由1×（﹣3）﹣2×2＝﹣7≠0，可知两条直线相交不垂直．
故选：B．
9．若三直线l1：ax﹣y+1＝0，l2：x+y＝0，l3：x﹣y＝1经过同一个点，则a＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【分析】三直线经过同一个点，其中两条直线的交点也在第三条直线上，从而求得a的值．
【解答】解：∵三直线l1：ax﹣y+1＝0，l2：x+y＝0，l3：x﹣y＝1经过同一个点，
故l2：x+y＝0，l3：x﹣y＝1的交点（，﹣）在直线l1：ax﹣y+1＝0上，
故有 ++1＝0，求的a＝﹣3，
故选：D．
10．直线l1：y＝ax+b与直线l2：y＝bx+a（ab≠0）在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用直线的单调性与系数的关系进行判断求解．
【解答】解：对于A选项，由直线l1：y＝ax+b得a＞0，b＜0，
由直线l2：y＝bx+a得a＞0，b＞0，矛盾，故A错误；
对于B，由直线l1：y＝ax+b得a＜0，b＞0，
由直线l2：y＝bx+a得a＞0，b＞0，矛盾，故B错误；
对于C，由直线l1：y＝ax+b得a＞0，b＜0，
由直线l2：y＝bx+a得a＜0，b＞0，矛盾，故C错误；
对于D，由直线l1：y＝ax+b得a＞0，b＞0，
由直线l2：y＝bx+a得a＞0，b＞0，故D正确．
故选：D．
11．直线3x﹣4y﹣12＝0在x轴上的截距为（ ）
A．7 B．1 C．4 D．3
【分析】结合直线的截距的定义即可直接求解．
【解答】解：由3x﹣4y﹣12＝0，
令y＝0可得x＝4，
故选：C．
12．直线Ax+By﹣1＝0在y轴上的截距为﹣1，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（ ）
A．，B＝﹣1 B．，B＝﹣1 C．，B＝1 D．，B＝1
【分析】根据线的斜率，算出它倾斜角α＝60°，从而得出直线Ax+By﹣1＝0的倾斜角为120°，得直线Ax+By﹣1＝0的斜率为﹣，由此写出所求直线方程斜截式方程，化简即可得到本题答案．
【解答】解：∵直线的斜率k＝
∴直线的倾斜角α满足tanα＝，得α＝60°
由此可得直线Ax+By﹣1＝0的倾斜角为β＝2α＝120°
直线Ax+By﹣1＝0的斜率k＝tan120°＝﹣
∵直线Ax+By﹣1＝0在y轴上的截距为﹣1，
∴直线Ax+By﹣1＝0的斜截式方程为y＝﹣x﹣1，化简得﹣x﹣y﹣1＝0
可得，B＝﹣1
故选：A．
13．直线l：2x+3y﹣6＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．6 B．1 C． D．3
【分析】求得直线与坐标轴的交点，由三角形的面积公式可得所求．
【解答】解：直线l：2x+3y﹣6＝0与x，y轴的交点为（3，0），（0，2），
则围成的三角形的面积为×3×2＝3．
故选：D．
14．过直线3x+y﹣1＝0与x+2y﹣7＝0的交点，且与第一条直线垂直的直线l的方程是（ ）
A．x﹣3y+7＝0 B．x﹣3y+13＝0 C．2x﹣y+7＝0 D．3x﹣y﹣5＝0
【分析】联立已知两条直线求出交点坐标，然后求出第一条直线的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1求出所求直线的斜率，然后写出直线的一般式方程即可．
【解答】解：由可得两直线交点P（﹣1，4），
由第一条直线的斜率为﹣3，得到直线l的斜率，
∴所求直线l方程为：，即x﹣3y+13＝0，
故选：B．
15．过点（1，1）且斜率不存在的直线方程为（ ）
A．y＝1 B．x＝1 C．y＝x D．y＝x+1
【分析】根据题意，斜率不存在的直线与x轴垂直，据此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，斜率不存在的直线与x轴垂直，倾斜角为90°，
又由要求直线经过点（1，1），则其方程为x＝1；
故选：B．
二．填空题（共18小题）
16．在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（4，0）．若直线x﹣y+m＝0上存在点P使得PB＝2PA，则实数m的取值范围是 [﹣2，2] ．
【分析】设P（x，x+m），由2PA＝PB，可得4|PA|2＝|PB|2，利用两点之间的距离公式化为：（x+m）2＝4﹣x2，可得：m＝﹣x±，x∈[﹣2，2]．通过三角函数代换即可得出．
【解答】解：设P（x，x+m），
∵2PA＝PB，
∴4|PA|2＝|PB|2，
∴4（x﹣1）2+4（x+m）2＝（x﹣4）2+（x+m）2，
化为（x+m）2＝4﹣x2，
∴4﹣x2≥0，解得x∈[﹣2，2]，
∴m＝﹣x±，令x＝2cosθ，θ∈[0，π]，
∴m＝﹣2cosθ±2sinθ
＝±2sin（θ±）∈[﹣2，2]，
实数m的取值范围是[﹣2，2]，
故答案为[﹣2，2]．
17．已知直线（2m+1）x+（1﹣m）y﹣3（1+m）＝0，与两坐标轴分别交于A、B两点．当△OAB的面积取最小值时（O为坐标原点），则m的值为 ﹣ ．
【分析】由直线（2m+1）x+（1﹣m）y﹣3（1+m）＝0，，可得A（，0），B（0，），利用三角形面积计算公式、二次函数的单调性、反比例函数的单调性即可得出．
【解答】解：由直线（2m+1）x+（1﹣m）y﹣3（1+m）＝0，，
可得A（，0），B（0，），
∴当△OAB的面积S＝××＝×，
令1+m＝t∈（，），∴S＝×＝×，
∴当t＝，即m＝﹣时，S取得最小值．
故答案为：﹣．
18．已知0＜a＜2，直线l1：ax﹣2y＝2a﹣4和l2：2x+a2y＝2a2+4与坐标轴围成一个四边形，则当a＝ 时，四边形的面积有最小值，该四边形的面积的最小值为 ．
【分析】0＜a＜2，联立，解得交点E．分别求出直线l1：ax﹣2y＝2a﹣4，直线l2：2x+a2y＝2a2+4与坐标轴的交点，即可四边形OCEA的面积S，利用二次函数的单调性即可得出结论．
【解答】解：0＜a＜2，联立，解得．∴E（2，2），
直线l1：ax﹣2y＝2a﹣4与坐标轴分别交于B（2﹣，0），A（0，2﹣a），
直线l2：2x+a2y＝2a2+4与坐标轴分别交于D（0，2+），C（a2+2，0），
四边形OCEA的面积S＝（a2+2﹣2+）×2﹣（﹣2）（2﹣a）
＝a2﹣a+4
＝+≥
当a＝时取等号，
∴l1，l2与坐标轴围成的四边形面积的最小值为．
故答案为：，．
19．三条直线l1：x+y﹣1＝0，l2：x﹣2y+3＝0，l3：x﹣my﹣5＝0围成一个三角形，则m的取值范围是 （﹣∞，﹣4）∪（﹣4，﹣1）∪（﹣1，2）∪（2，+∞） ．
【分析】由三条直线中的任意两条平行求得m的值，再由三条直线相交于一点求得m的值，则l1，l2，l3不能围成一个三角形的m的所有取值组成的集合可求．
【解答】解：当直线l1：x+y﹣1＝0 平行于 l3：x﹣my﹣5＝0时，m＝﹣1．
当直线l2：x﹣2y+3＝0 平行于 l3：x﹣my﹣5＝0时，m＝2，
当三条直线经过同一个点时，由解得直线l1与l2的交点（﹣，）
代入l3：x﹣my﹣5＝0，解得m＝﹣4；
综上，m为﹣1或2或﹣4．三条直线不能构成三角形．
故当三条直线围成三角形时，m的取值范围（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，﹣1）∪（﹣1，2）∪（2，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，﹣1）∪（﹣1，2）∪（2，+∞），
20．已知直线l1：ax﹣2y＝2a﹣4，l2：2x+a2y＝2a2+4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝ ．
【分析】直接利用直线的方程，三角形的面积公式，二次函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：根据题意，如图所示：
由于直线l1：ax﹣2y＝2a﹣4，
当x＝0时，y＝2﹣a，
即直线l1和y轴交于点A（0，2﹣a），
由于直线l2：2x﹣a2y＝2a2+4，
由于l2与x轴交于点C（a2+2，0），
易知：l1和l2均经过定点（2，2），
即两直线交于点B（2，2）．
则四边形AOBC的面积S＝S△AOB+S△BOC＝，
即当a＝时，．
故答案为：．
21．经过原点O有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2＝0与l2：x+y+3＝0之间的线段恰好被点O平分，则直线l的方程为 y＝． ．
【分析】当斜率不存在时，不合题意；当斜率存在时，设所求的直线方程为y＝kx，进而得出交点，根据点O为两交点的中点建立等式，求出k的值，从而求出所求．
【解答】解：如果所求直线斜率不存在，则此直线方程为x＝0，不合题意．
∴设所求的直线方程为y＝kx，
∴联立直线，可得x＝，y＝，
可得，x＝﹣，y＝，
由题意可得，﹣＝0，
解可得，k＝，此时直线为y＝．
故答案为：y＝．
22．已知直线l过点P（1，2），法向量，则其点方向式方程为 3（x﹣1）﹣4（y﹣2）＝0 ．
【分析】利用直线的点法向式方程直接求解．
【解答】解：∵直线l过点P（1，2），法向量，
∴该直线的点法向式方程为3（x﹣1）﹣4（y﹣2）＝0．
故答案为：3（x﹣1）﹣4（y﹣2）＝0．
23．设两直线（m+2）x﹣y﹣2+m＝0，x+y＝0与x轴构成三角形，则m的取值范围为 {m|m≠﹣3且 m≠±2} ．
【分析】由题意根据三条直线能够成三角形的条件，求出m的范围．
【解答】解：由于直线（m+2）x﹣y﹣2+m＝0，x+y＝0与x轴构成三角形，
故直线（m+2）x﹣y﹣2+m＝0不能与x+y＝0、x轴平行，且直线（m+2）x﹣y﹣2+m＝0不经过原点．
∴，求得m≠﹣3且 m≠﹣2 且m≠2，
故答案为：{m|m≠﹣3且 m≠±2}．
24．已知M，N为直线3x+4y﹣10＝0上两点，O为坐标原点，若，则△MON的周长最小值为 4 ．
【分析】直接利用点到直线的距离公式的应用和三角形的周长公式的应用求出结果．
【解答】解：在△MON中，由余弦定理得：，
化简得：|OM||ON|＝|OM|2+|ON|2﹣|MN|2，
由基本不等式|OM|2+|ON|2≥2|OM||ON|，
当且仅当|OM|＝|ON|时，等号成立．
所以|OM|•|ON|≥2|OM|•|ON|﹣|MN|2，
所以|MN|2≥|OM||ON|，
故，
所以|OM|+|ON|+|MN|，由于∠MON＝，所以|OM|+|ON|+|MN|，取“＝”号时△MON为等边三角形．
则正三角形的高为O为坐标原点（0，0）到直线3x+4y﹣10＝0的距离d＝．
所以当△MON为等边三角形时：设OM＝2x，所以（2x）2＝22+x2，解得，故，
所以．
故答案为：4．
25．在直角坐标系中，直线x+y﹣3＝0的倾斜角是 150° ．
【分析】由已知方程得到直线的斜率，根据斜率对于得到倾斜角．
【解答】解：由已知直线的方程得到直线的斜率为，设倾斜角为α，则tanα＝，α∈[0，180°），所以α＝150°；
故答案为：150°．
26．已知△ABC的三个顶点分别是A（0，3），B（4，2），C（2，1）．若直线l过点A，且将△ABC分割成面积相等的两部分，则直线l的方程是 x+2y﹣6＝0 ．
【分析】若直线l过点A且将三角形分成面积相等的两部分，则直线l过BC的中点，求出BC中点的坐标，求出直线l的方程，计算可得答案．
【解答】解：若直线l过点A且将三角形分成面积相等的两部分，则直线l过BC的中点，
设BC的中点为D，则D（3，），
又由A（0，3），则Kl＝＝﹣，
直线l的方程为y﹣3＝﹣（x﹣0），即x+2y﹣6＝0．
故答案为：x+2y﹣6＝0．
27．经过点A（4，2），且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的3倍的直线l的方程的一般式为 x+3y﹣10＝0或x﹣2y＝0 ．
【分析】直线l可以经过原点，此时方程为：y＝x．直线l不经过原点时，设此时方程为：＝1，把点（4，2）代入即可得出．
【解答】解：直线l可以经过原点，此时方程为：y＝x，即x﹣2y＝0．
直线l不经过原点时，设此时方程为：＝1，
把点（4，2）代入可得：＝1，解得a＝．
∴直线l的方程为：x+3y﹣10＝0．
故答案为：x+3y﹣10＝0或x﹣2y＝0．
28．过点P（2020，2020）且在两坐标轴上截距相等的直线的一般式方程为 x﹣y＝0或x+y﹣4040＝0 ．
【分析】当直线过原点时，易求出方程，当直线不过原点时，设直线方程为，代入点P的坐标即可求出a的值，从而求出直线方程．
【解答】解：①当直线过原点时，在两坐标轴上截距都为0，符合题意，
此时直线方程为：y＝x，即x﹣y＝0；
②当直线不过原点时，设直线方程为，
∵过点P（2020，2020），∴，
解得a＝4040，
∴直线方程为，整理得：x+y﹣4040＝0，
综上所述，直线的一般方程为x﹣y＝0或x+y﹣4040＝0．
29．过点（2，3）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB（O为坐标原点）面积最小时，直线l的方程为 3x+2y﹣12＝0 ．
【分析】可设出直线的斜率为k，根据题意可知k＜0，又过（2，3）得到直线方程为y﹣3＝k（x﹣2），则分别令y＝0和x＝0求出A和B两点坐标，然后表示出面积的关系式，求出面积最小时k的值，然后代入得到直线l的方程即可．
【解答】解：设直线的斜率为k，且由直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A、B两点得到k＜0，
所以直线l的方程为：y﹣3＝k（x﹣2）即kx﹣y+3﹣2k＝0，令x＝0，得到y＝3﹣2k，
所以B（0，3﹣2k）；令y＝0，得到x＝2﹣，所以A（2﹣，0）
由k＜0，则三角形AOB的面积为S＝（3﹣2k）（2﹣）
＝（6+6﹣﹣4k）≥[12+2]＝12，当且仅当k＝﹣，
所以直线方程为3x+2y﹣12＝0
故答案为：3x+2y﹣12＝0
30．将一张坐标纸折叠一次，使得点P（1，2）与点Q（﹣2，1）重合，则直线y＝x+4关于折痕对称的直线为 x+7y﹣20＝0 ．
【分析】先求出P，Q的中点坐标，结合直线垂直与对称的性质求出对称方程，结合直线所成角的公式建立方程求出对应直线的斜率即可．
【解答】解：P，Q的中点坐标为M（，），即M（﹣，），
PQ的斜率k＝＝，
则对称直线和直线PQ垂直，
则对称直线的斜率k＝﹣3，
则对应的方程为y﹣＝﹣3（x+），即y＝﹣3x，
由得，即交点坐标为N（﹣1，3），
设直线y＝x+4关于折痕对称的直线斜率为k，
则由直线到角公式得＝，
得＝＝2，
得k+3＝2﹣6k，
得k＝﹣，对折直线过N（﹣1，3），
则对应直线方程为y﹣3＝﹣（x+1）．
即x+7y﹣20＝0，
故答案为：x+7y﹣20＝0．
31．已知直线l：x+2y﹣1＝0，则原点O关于直线l对称的点是 （，） ；经过点P（2，1）且纵横截距相等的直线方程是 x﹣2y＝0，或 x+y﹣3＝0 ．
【分析】（1）利用中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出；
（2）当直线过原点时，方程为 y＝x，当直线不过原点时，设直线的方程为：x+y＝k，把点（2，1）代入直线的方程可得k值，即得所求的直线方程．
【解答】解：（1）设原点（0，0）关于直线x+2y﹣1＝0对称的点的坐标是（a，b），
则 ，解得a＝，b＝，
∴要求的对称的点的坐标是（，）；
（2）当直线过原点时，方程为：y＝x，即 x﹣2y＝0；
当直线不过原点时，设直线的方程为：x+y＝k，
把点（2，1）代入直线的方程可得 k＝3，
故直线方程是 x+y﹣3＝0．
综上可得所求的直线方程为：x﹣2y＝0，或 x+y﹣3＝0，
故答案为：（，）；x﹣2y＝0，或 x+y﹣3＝0．
32．经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是 x+y＝2或y＝x ．
【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x+y＝a，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y＝kx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．
【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y＝a，
把（1，1）代入所设的方程得：a＝2，则所求直线的方程为x+y＝2；
②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y＝kx，
把（1，1）代入所求的方程得：k＝1，则所求直线的方程为y＝x．
综上，所求直线的方程为：x+y＝2或y＝x．
故答案为：x+y＝2或y＝x
33．斜率为﹣3，在x轴上截距为2的直线的一般式方程是 3x+y﹣6＝0 ．
【分析】由已知条件知，直线经过点（2，0），又斜率为﹣3，可用点斜式写出直线方程，并化为一般式．
【解答】解：在x轴上的截距为2的直线经过点（2，0），
又斜率为﹣3，
点斜式可得直线的方程为：y﹣0＝﹣3（x﹣2），
即 3x+y﹣6＝0，
故答案是：3x+y﹣6＝0．
三．解答题（共8小题）
34．已知直线l过点（﹣2，1）．
（1）若直线l不经过第四象限，求直线l的斜率k的取值范围；
（2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，△AOB的面积为S，其中O为坐标原点，求S的最小值，并求此时直线l的一般式方程．
【分析】（1）设出直线方程，表示出截距，得到关于k的不等式组，解出即可；
（2）设直线l的方程为y﹣1＝m（x+2），表示出A，B的坐标，求出m的范围，表示出△AOB的面积，求出其最小值，求出m的值，求出直线方程即可．
【解答】解：（1）当直线的斜率k＝0时，直线为y＝1，符合题意，
当k≠0时，直线l的方程为y﹣1＝k（x+2），
直线在x轴上的截距为﹣，在y轴上的截距为1+2k，
要使直线不经过第四象限，
则有，解得：k＞0，
综上，直线l的斜率k的取值范围是[0，+∞）；
（2）设直线l的方程为y﹣1＝m（x+2），
由题意可知m≠0，
再由l的方程得：A（﹣，0），B（0，1+2m），
由题意得，解得：m＞0，
又S＝•|OA|•|OB|
＝•|﹣|•|1+2m|
＝•
＝（4m++4）
＝[（2﹣）2+8]
≥4（当且仅当2＝即m＝时取“＝”），
故当m＝时，S取得最小值且Smin＝4，
此时直线l的方程为：x﹣2y+4＝0．
35．已知直线l：y＝k（x﹣1）交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y＝x于点C，
（1）若k＝3，求的值；
（2）若|BC|＝2|AC|，求直线l的方程．
【分析】（1）求出A，B，C的坐标，即可求的值；
（2）直线l的方程为y＝k（x﹣1），若|BC|＝2|AC|，则|xB﹣xC|＝2|xA﹣xC|，求出k，即可求直线l的方程．
【解答】解：（1）直线l的方程为y＝3（x﹣1）．
令y＝0，得A（1，0）．…（1分），令x＝0，得B（0，﹣3）．…（2分）
由得…（3分）
…（5分）
（2）直线l的方程为y＝k（x﹣1）．
令y＝0，得A（1，0）．令x＝0，得B（0，﹣k）．…（6分）
由得…（7分）
若|BC|＝2|AC|，则|xB﹣xC|＝2|xA﹣xC|…（8分）
∴…（9分）
∴解得k＝±2…（11分）
∴所求直线l的方程为：2x﹣y﹣2＝0或2x+y﹣2＝0．…（12分）
36．已知△ABC的顶点A（4，﹣5），AB边上的中线CM所在直线方程为4x﹣y﹣5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣4y﹣1＝0，求：
（1）顶点C的坐标；
（2）直线BC的方程．
【分析】（1）设出C的坐标，解方程组求得方程组的解，可得顶点C的坐标．
（2）设出B的坐标，解方程组求得方程组的解，可得顶点B的坐标，再利用点斜式求直线BC的方程．
【解答】解：（1）设 C（m，n），由已知得：，解得 ．
即：C（2，3）．
（2）设 B（a，b），则，解得 ，∴B（﹣3，﹣1），
∴．
∴直线 BC 的方程为 ，即为 4x﹣5y+7＝0．
37．△ABC的三个顶点为A（﹣4，0），B（2，4），C（﹣2，6）．
（1）已知直线l1过B、C两点，求直线l1的方程；
（2）已知直线l2经过A点并且经过BC中点D，求直线l2的方程；
（3）已知直线l3经过C点，且倾斜角是l2倾斜角的2倍，求直线l3的方程．
【分析】（1）求出直线l1的斜率，根据点斜式即可求出直线方程，
（2）先求出中点坐标，再根据截距式求出直线方程，
（3）根据正切函数的二倍角公式，求出直线的斜率，根据点斜式即可求出直线方程
【解答】解：（1）直线l1的斜率，所以直线l1的方程为，即x+2y﹣10＝0；
（2）因为D是BC中点，所以D（0，5），所以直线l2的方程为，即5x﹣4y+20＝0；
（3）设直线l2的倾斜角为θ，则，所以l3的斜率，
所以直线l3的方程为，即40x+9y+26＝0
38．已知△ABC的三个顶点是A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．
（1）求BC边上的高所在直线的方程；（一般式）
（2）求△ABC的面积S；
（3）求过点A且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程（一般式）．
【分析】（1）设BC边的高所在直线为l，由斜率公式求出kBC，根据垂直关系得到直线l的斜率 kl，用点斜式求出直线l的方程，并化为一般式；
（2）由点到直线的距离公式求出点A（﹣1，4）到BC的距离d，由两点间的距离公式求出|BC|，代入△ABC的面积公式求出面积S的值；
（3）分两种情况讨论，当当直线过原点和当直线不过原点时，设出直线方程，代入点A坐标，即可得解．
【解答】解 （1）设BC边上的高所在直线为l，由题意知kBC＝＝1，则kl＝＝﹣1．
又点A（﹣1，4）在直线l上，所以直线l的方程为y﹣4＝﹣（x+1），
即x+y﹣3＝0，即BC边上的高所在直线的方程为x+y﹣3＝0．
（2）BC边所在直线的方程为y+1＝x+2，
即x﹣y+1＝0．点A（﹣1，4）到直线BC的距离d＝＝2．
又|BC|＝＝4，所以S△ABC＝•|BC|•d＝×4×2＝8．
（3）当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，代入A点得k＝﹣4，直线方程4x+y＝0；
当直线在坐标轴上的截距都不为0时，设直线方程为，代入A点得b＝，所以直线方程为x+2y﹣7＝0．
所以直线方程为4x+y＝0或x+2y﹣7＝0．
39．已知△ABC的三个顶点A（m，n）、B（2，1）、C（﹣2，3）．
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）BC边上中线AD的方程为2x﹣3y+6＝0，且S△ABC＝7，求点A的坐标．
【分析】（1）由两点的斜率公式，算出BC的斜率k＝﹣，再由直线方程的点斜式列式，化简即得BC边所在直线方程；
（2）由两点的距离公式，算出|BC|＝2，结合S△ABC＝7得到点A到BC的距离等于，由此建立关于m、n的方程组，解之即可得到m，n的值．
【解答】解：（1）∵B（2，1），C（﹣2，3），
∴kBC＝＝﹣，
可得直线BC方程为y﹣3＝﹣（x+2）
化简，得BC边所在直线方程为x+2y﹣4＝0；
（2）由题意，得|BC|＝2，
∴S△ABC＝|BC|•h＝7，解之得h＝，
由点到直线的距离公式，
得 ＝，
化简得m+2n＝11或m+2n＝﹣3，
∴或 ，
解得m＝3，n＝4或m＝﹣3，n＝0，
故A（3，4）或（﹣3，0）．
40．如图，抛物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴负半轴上．
过点M（0，﹣2）作直线l与抛物线相交于A，B两点，且满足．
（Ⅰ）求直线l和抛物线的方程；
（Ⅱ）当抛物线上一动点P从点A向点B运动时，求△ABP面积的最大值．
【分析】（Ⅰ）由题意设出直线和抛物线的方程，联立方程用根与系数法和向量相等求出p，k的值；
（Ⅱ）由题意AB为定长，只要AB边上的高最大，则三角形的面积最大；过点P的切线与l平行时，△APB得面积最大，求出P点的坐标，再求P点到直线AB的距离和AB的长，再求出面积．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意可设直线l的方程为y＝kx﹣2，抛物线方程为x2＝﹣2py（p＞0）（2分）
有得x2+2pkx﹣4p＝0 （3分）
设点A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2＝﹣2pk，y1+y2＝k（x1+x2）﹣4＝﹣2pk2﹣4
∴（4分）
∵，
∴，解得（5分）
故直线l的方程为y＝2x﹣2，抛物线方程为x2＝﹣2y． （6分）
（Ⅱ）据题意，当抛物线过点P的切线与l平行时，△APB得面积最大（7分）
设点P（x0，y0），由y'＝﹣x，故由﹣x0＝2得x0＝﹣2，则
∴P（﹣2，﹣2）（9分）
∴点P到直线l的距离（10分）
由，得x2+4x﹣4＝0 （11分）
∴（12分）
∴△ABP的面积的最大值为（14分）
41．在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD的顶点A（﹣1，2）和C（5，4），AB所在直线的方程为x﹣y+3＝0，
（1）求对角线BD所在直线的方程；
（2）求AD所在直线的方程．
【分析】（1）根据题意画出图形，结合图形求出AC的中点和斜率，
从而求得BD的斜率和直线方程；
（2）由直线AB和BD求点B，再根据对称求出点D，
利用两点式写出直线AD的方程．
【解答】解：（1）如图所示，
菱形ABCD的顶点A（﹣1，2）和C（5，4），所以AC的中点M（2，3），
直线AC的斜率为kAC＝＝，
BD的斜率为kBD＝﹣3，
所以直线BD的方程为：y﹣3＝﹣3（x﹣2），
即3x+y﹣9＝0；
（2）由直线AB的方程和直线BD的方程联立，得，
解得，即点B（，）；
设点D（a，b），则＝2，＝3，
解得a＝，b＝，
所以点D（，）；
又A（﹣1，2），则AD的直线方程为＝，
化为一般形式是x+7y﹣13＝0．
人教版2021届一轮复习打地基练习 直线的一般式与直线的性质
一．选择题（共15小题）
1．直线2x+y﹣2＝0在x轴上的截距为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
2．直线l过点（﹣4，0）且与圆（x+1）2+（y﹣2）2＝25交于A、B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为（ ）
A．5x+12y+20＝0 B．5x﹣12y+20＝0或x+4＝0
C．5x﹣12y+20＝0 D．5x+12y+20＝0或x+4＝0
3．对于直线l：ax+ay﹣＝0（a≠0），下列说法不正确的是（ ）
A．无论a如何变化，直线l的倾斜角的大小不变
B．无论a如何变化，直线l一定不经过第三象限
C．无论a如何变化，直线l必经过第一、二、三象限
D．当a取不同数值时，可得到一组平行直线
4．已知点A（1，m）在直线x﹣y+1＝0上，则实数m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．过点（﹣3，0）和（0，4）的直线的一般式方程为（ ）
A．4x+3y+12＝0 B．4x+3y﹣12＝0 C．4x﹣3y+12＝0 D．4x﹣3y﹣12＝0
6．已知平面上一点M（5，0），若直线上存在点P使得|PM|＝4，则称直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是（ ）
①y＝x+1； ②y＝2； ③4x﹣3y＝0； ④y＝2x+1．
A．①③ B．①② C．②③ D．③④
7．下列四个判断中，正确判断的个数为（ ）
①经过定点P（x0，y0）的直线都可以用y﹣y0＝k（x﹣x0）表示；
②经过定点P（0，b）的直线都可以用y＝kx+b表示；
③不经过原点的直线都可以用表示；
④任意直线都可以用Ax+By+C＝0（A，B不同时为零）表示．
A．0 B．1 C．2 D．3
8．若直线l1：2x﹣ay﹣1＝0过点（2，1），l2：x+2y＝0，则直线l1和l2（ ）
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．相交于点（2，﹣1）
9．若三直线l1：ax﹣y+1＝0，l2：x+y＝0，l3：x﹣y＝1经过同一个点，则a＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
10．直线l1：y＝ax+b与直线l2：y＝bx+a（ab≠0）在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．直线3x﹣4y﹣12＝0在x轴上的截距为（ ）
A．7 B．1 C．4 D．3
12．直线Ax+By﹣1＝0在y轴上的截距为﹣1，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（ ）
A．，B＝﹣1 B．，B＝﹣1 C．，B＝1 D．，B＝1
13．直线l：2x+3y﹣6＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．6 B．1 C． D．3
14．过直线3x+y﹣1＝0与x+2y﹣7＝0的交点，且与第一条直线垂直的直线l的方程是（ ）
A．x﹣3y+7＝0 B．x﹣3y+13＝0 C．2x﹣y+7＝0 D．3x﹣y﹣5＝0
15．过点（1，1）且斜率不存在的直线方程为（ ）
A．y＝1 B．x＝1 C．y＝x D．y＝x+1
二．填空题（共18小题）
16．在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（4，0）．若直线x﹣y+m＝0上存在点P使得PB＝2PA，则实数m的取值范围是 ．
17．已知直线（2m+1）x+（1﹣m）y﹣3（1+m）＝0，与两坐标轴分别交于A、B两点．当△OAB的面积取最小值时（O为坐标原点），则m的值为 ．
18．已知0＜a＜2，直线l1：ax﹣2y＝2a﹣4和l2：2x+a2y＝2a2+4与坐标轴围成一个四边形，则当a＝ 时，四边形的面积有最小值，该四边形的面积的最小值为 ．
19．三条直线l1：x+y﹣1＝0，l2：x﹣2y+3＝0，l3：x﹣my﹣5＝0围成一个三角形，则m的取值范围是 ．
20．已知直线l1：ax﹣2y＝2a﹣4，l2：2x+a2y＝2a2+4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝ ．
21．经过原点O有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2＝0与l2：x+y+3＝0之间的线段恰好被点O平分，则直线l的方程为 ．
22．已知直线l过点P（1，2），法向量，则其点方向式方程为 ．
23．设两直线（m+2）x﹣y﹣2+m＝0，x+y＝0与x轴构成三角形，则m的取值范围为 ．
24．已知M，N为直线3x+4y﹣10＝0上两点，O为坐标原点，若，则△MON的周长最小值为 ．
25．在直角坐标系中，直线x+y﹣3＝0的倾斜角是 ．
26．已知△ABC的三个顶点分别是A（0，3），B（4，2），C（2，1）．若直线l过点A，且将△ABC分割成面积相等的两部分，则直线l的方程是 ．
27．经过点A（4，2），且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的3倍的直线l的方程的一般式为 ．
28．过点P（2020，2020）且在两坐标轴上截距相等的直线的一般式方程为 ．
29．过点（2，3）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB（O为坐标原点）面积最小时，直线l的方程为 ．
30．将一张坐标纸折叠一次，使得点P（1，2）与点Q（﹣2，1）重合，则直线y＝x+4关于折痕对称的直线为 ．
31．已知直线l：x+2y﹣1＝0，则原点O关于直线l对称的点是 ；经过点P（2，1）且纵横截距相等的直线方程是 ．
32．经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是 ．
33．斜率为﹣3，在x轴上截距为2的直线的一般式方程是 ．
三．解答题（共8小题）
34．已知直线l过点（﹣2，1）．
（1）若直线l不经过第四象限，求直线l的斜率k的取值范围；
（2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，△AOB的面积为S，其中O为坐标原点，求S的最小值，并求此时直线l的一般式方程．
35．已知直线l：y＝k（x﹣1）交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y＝x于点C，
（1）若k＝3，求的值；
（2）若|BC|＝2|AC|，求直线l的方程．
36．已知△ABC的顶点A（4，﹣5），AB边上的中线CM所在直线方程为4x﹣y﹣5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣4y﹣1＝0，求：
（1）顶点C的坐标；
（2）直线BC的方程．
37．△ABC的三个顶点为A（﹣4，0），B（2，4），C（﹣2，6）．
（1）已知直线l1过B、C两点，求直线l1的方程；
（2）已知直线l2经过A点并且经过BC中点D，求直线l2的方程；
（3）已知直线l3经过C点，且倾斜角是l2倾斜角的2倍，求直线l3的方程．
38．已知△ABC的三个顶点是A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．
（1）求BC边上的高所在直线的方程；（一般式）
（2）求△ABC的面积S；
（3）求过点A且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程（一般式）．
39．已知△ABC的三个顶点A（m，n）、B（2，1）、C（﹣2，3）．
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）BC边上中线AD的方程为2x﹣3y+6＝0，且S△ABC＝7，求点A的坐标．
40．如图，抛物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴负半轴上．
过点M（0，﹣2）作直线l与抛物线相交于A，B两点，且满足．
（Ⅰ）求直线l和抛物线的方程；
（Ⅱ）当抛物线上一动点P从点A向点B运动时，求△ABP面积的最大值．
41．在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD的顶点A（﹣1，2）和C（5，4），AB所在直线的方程为x﹣y+3＝0，
（1）求对角线BD所在直线的方程；
（2）求AD所在直线的方程．
人教版2021届一轮复习打地基练习 直线的一般式与直线的性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．直线2x+y﹣2＝0在x轴上的截距为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【分析】直线方程为2x+y﹣2＝0令y＝0得x＝1，得到直线2x+y﹣2＝0在x轴上的截距即可．
【解答】解：因为直线方程为2x+y﹣2＝0，
令y＝0得x＝1
所以直线2x+y﹣2＝0在x轴上的截距为1，
故选：C．
2．直线l过点（﹣4，0）且与圆（x+1）2+（y﹣2）2＝25交于A、B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为（ ）
A．5x+12y+20＝0 B．5x﹣12y+20＝0或x+4＝0
C．5x﹣12y+20＝0 D．5x+12y+20＝0或x+4＝0
【分析】当切线的斜率不存在时，求出直线l的方程，当斜率存在时，由弦心距、半弦长、半径三者间的关系可得弦心距等于3，解出 k值，即得直线l的方程．
【解答】解：当切线的斜率不存在时，直线l的方程为 x+4＝0，经检验，此直线和圆相切，满足条件．
当切线的斜率存在时，设直线l的方程为 y﹣0＝k （x+4 ），即 kx﹣y+4k＝0，
则圆心（﹣1，2）到直线l的距离为 d＝＝．再由 d2+＝r2，
得 ＝3，∴k＝﹣，∴直线l的方程为 y﹣0＝﹣（x+4），
即 5x+12y+20＝0．
故选：D．
3．对于直线l：ax+ay﹣＝0（a≠0），下列说法不正确的是（ ）
A．无论a如何变化，直线l的倾斜角的大小不变
B．无论a如何变化，直线l一定不经过第三象限
C．无论a如何变化，直线l必经过第一、二、三象限
D．当a取不同数值时，可得到一组平行直线
【分析】直线l：ax+ay﹣＝0（a≠0），化为：y＝﹣x+，根据斜率与在y轴上的截距的意义即可判断出正误．
【解答】解：直线l：ax+ay﹣＝0（a≠0），化为：y＝﹣x+，
可得斜率k＝﹣1，在y轴上的截距为＞0，
因此无论a如何变化，直线l必经过第一、二、四象限，直线l一定不经过第三象限，直线l的倾斜角的大小不变，当a取不同数值时，可得到一组平行直线．
故选：C．
4．已知点A（1，m）在直线x﹣y+1＝0上，则实数m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】把点A（1，m）代入直线x﹣y+1＝0可得：m．
【解答】解：点A（1，m）在直线x﹣y+1＝0上，代入可得：1﹣m+1＝0，解得m＝2．
故选：A．
5．过点（﹣3，0）和（0，4）的直线的一般式方程为（ ）
A．4x+3y+12＝0 B．4x+3y﹣12＝0 C．4x﹣3y+12＝0 D．4x﹣3y﹣12＝0
【分析】写出过这两点的截距式方程，再化为一般式方程．
【解答】解：过点（﹣3，0）和（0，4）的直线方程为+＝1，
化为一般式方程为4x﹣3y+12＝0．
故选：C．
6．已知平面上一点M（5，0），若直线上存在点P使得|PM|＝4，则称直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是（ ）
①y＝x+1； ②y＝2； ③4x﹣3y＝0； ④y＝2x+1．
A．①③ B．①② C．②③ D．③④
【分析】由题意得，“切割型直线”即点M（5，0）到直线的距离小于或等于4．求出点M到各条直线的距离，可得答案．
【解答】解：要使直线为“切割型直线”，则直线上存在点P使得|PM|＝4，
即圆（x﹣5）2+y2＝16 和直线有交点，
即点M（5，0）到直线的距离小于或等于4．
点M（5，0）到直线①y＝x+1的距离为 3＞4，不满足条件；
点M（5，0）到直线②y＝2的距离为 2＜4，故满足条件；
点M（5，0）到直线③4x﹣3y＝0的距离为 ＝4，故满足条件；
点M（5，0）到直线④y＝2x+1的距离为＝＞4，故不满足条件，
故选：C．
7．下列四个判断中，正确判断的个数为（ ）
①经过定点P（x0，y0）的直线都可以用y﹣y0＝k（x﹣x0）表示；
②经过定点P（0，b）的直线都可以用y＝kx+b表示；
③不经过原点的直线都可以用表示；
④任意直线都可以用Ax+By+C＝0（A，B不同时为零）表示．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据与x轴垂直的直线没有斜率，可知①②都是不正确的；根据直线截距式的大前提，可知③不正确；根据直线方程的一般式的含义，可得④是正确的．由此可得本题答案．
【解答】解：由于过点P（x0，y0）且垂直于x轴的直线不能用y﹣y0＝k（x﹣x0）表示，故①不正确；
由于过点P（0，b）且垂直于x轴的直线不能用y＝kx+b表示，故②不正确；
当一条直线不经过原点，但是它与x轴（或y轴）平行时，
不能用截距式表示，故③不正确；
根据直线方程的一般式的含义，可得任意直线都可以用Ax+By+C＝0（A，B不同时为零）表示，故④正确．
综上所述，正确的项只有④
故选：B．
8．若直线l1：2x﹣ay﹣1＝0过点（2，1），l2：x+2y＝0，则直线l1和l2（ ）
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．相交于点（2，﹣1）
【分析】直线l1：2x﹣ay﹣1＝0过点（2，1），可得：4﹣a﹣1＝0，解得a，进而判断出位置关系．
【解答】解：直线l1：2x﹣ay﹣1＝0过点（2，1），可得：4﹣a﹣1＝0，解得a＝3．化为：2x﹣3y﹣1＝0．
由1×（﹣3）﹣2×2＝﹣7≠0，可知两条直线相交不垂直．
故选：B．
9．若三直线l1：ax﹣y+1＝0，l2：x+y＝0，l3：x﹣y＝1经过同一个点，则a＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【分析】三直线经过同一个点，其中两条直线的交点也在第三条直线上，从而求得a的值．
【解答】解：∵三直线l1：ax﹣y+1＝0，l2：x+y＝0，l3：x﹣y＝1经过同一个点，
故l2：x+y＝0，l3：x﹣y＝1的交点（，﹣）在直线l1：ax﹣y+1＝0上，
故有 ++1＝0，求的a＝﹣3，
故选：D．
10．直线l1：y＝ax+b与直线l2：y＝bx+a（ab≠0）在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用直线的单调性与系数的关系进行判断求解．
【解答】解：对于A选项，由直线l1：y＝ax+b得a＞0，b＜0，
由直线l2：y＝bx+a得a＞0，b＞0，矛盾，故A错误；
对于B，由直线l1：y＝ax+b得a＜0，b＞0，
由直线l2：y＝bx+a得a＞0，b＞0，矛盾，故B错误；
对于C，由直线l1：y＝ax+b得a＞0，b＜0，
由直线l2：y＝bx+a得a＜0，b＞0，矛盾，故C错误；
对于D，由直线l1：y＝ax+b得a＞0，b＞0，
由直线l2：y＝bx+a得a＞0，b＞0，故D正确．
故选：D．
11．直线3x﹣4y﹣12＝0在x轴上的截距为（ ）
A．7 B．1 C．4 D．3
【分析】结合直线的截距的定义即可直接求解．
【解答】解：由3x﹣4y﹣12＝0，
令y＝0可得x＝4，
故选：C．
12．直线Ax+By﹣1＝0在y轴上的截距为﹣1，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（ ）
A．，B＝﹣1 B．，B＝﹣1 C．，B＝1 D．，B＝1
【分析】根据线的斜率，算出它倾斜角α＝60°，从而得出直线Ax+By﹣1＝0的倾斜角为120°，得直线Ax+By﹣1＝0的斜率为﹣，由此写出所求直线方程斜截式方程，化简即可得到本题答案．
【解答】解：∵直线的斜率k＝
∴直线的倾斜角α满足tanα＝，得α＝60°
由此可得直线Ax+By﹣1＝0的倾斜角为β＝2α＝120°
直线Ax+By﹣1＝0的斜率k＝tan120°＝﹣
∵直线Ax+By﹣1＝0在y轴上的截距为﹣1，
∴直线Ax+By﹣1＝0的斜截式方程为y＝﹣x﹣1，化简得﹣x﹣y﹣1＝0
可得，B＝﹣1
故选：A．
13．直线l：2x+3y﹣6＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．6 B．1 C． D．3
【分析】求得直线与坐标轴的交点，由三角形的面积公式可得所求．
【解答】解：直线l：2x+3y﹣6＝0与x，y轴的交点为（3，0），（0，2），
则围成的三角形的面积为×3×2＝3．
故选：D．
14．过直线3x+y﹣1＝0与x+2y﹣7＝0的交点，且与第一条直线垂直的直线l的方程是（ ）
A．x﹣3y+7＝0 B．x﹣3y+13＝0 C．2x﹣y+7＝0 D．3x﹣y﹣5＝0
【分析】联立已知两条直线求出交点坐标，然后求出第一条直线的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1求出所求直线的斜率，然后写出直线的一般式方程即可．
【解答】解：由可得两直线交点P（﹣1，4），
由第一条直线的斜率为﹣3，得到直线l的斜率，
∴所求直线l方程为：，即x﹣3y+13＝0，
故选：B．
15．过点（1，1）且斜率不存在的直线方程为（ ）
A．y＝1 B．x＝1 C．y＝x D．y＝x+1
【分析】根据题意，斜率不存在的直线与x轴垂直，据此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，斜率不存在的直线与x轴垂直，倾斜角为90°，
又由要求直线经过点（1，1），则其方程为x＝1；
故选：B．
二．填空题（共18小题）
16．在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（4，0）．若直线x﹣y+m＝0上存在点P使得PB＝2PA，则实数m的取值范围是 [﹣2，2] ．
【分析】设P（x，x+m），由2PA＝PB，可得4|PA|2＝|PB|2，利用两点之间的距离公式化为：（x+m）2＝4﹣x2，可得：m＝﹣x±，x∈[﹣2，2]．通过三角函数代换即可得出．
【解答】解：设P（x，x+m），
∵2PA＝PB，
∴4|PA|2＝|PB|2，
∴4（x﹣1）2+4（x+m）2＝（x﹣4）2+（x+m）2，
化为（x+m）2＝4﹣x2，
∴4﹣x2≥0，解得x∈[﹣2，2]，
∴m＝﹣x±，令x＝2cosθ，θ∈[0，π]，
∴m＝﹣2cosθ±2sinθ
＝±2sin（θ±）∈[﹣2，2]，
实数m的取值范围是[﹣2，2]，
故答案为[﹣2，2]．
17．已知直线（2m+1）x+（1﹣m）y﹣3（1+m）＝0，与两坐标轴分别交于A、B两点．当△OAB的面积取最小值时（O为坐标原点），则m的值为 ﹣ ．
【分析】由直线（2m+1）x+（1﹣m）y﹣3（1+m）＝0，，可得A（，0），B（0，），利用三角形面积计算公式、二次函数的单调性、反比例函数的单调性即可得出．
【解答】解：由直线（2m+1）x+（1﹣m）y﹣3（1+m）＝0，，
可得A（，0），B（0，），
∴当△OAB的面积S＝××＝×，
令1+m＝t∈（，），∴S＝×＝×，
∴当t＝，即m＝﹣时，S取得最小值．
故答案为：﹣．
18．已知0＜a＜2，直线l1：ax﹣2y＝2a﹣4和l2：2x+a2y＝2a2+4与坐标轴围成一个四边形，则当a＝ 时，四边形的面积有最小值，该四边形的面积的最小值为 ．
【分析】0＜a＜2，联立，解得交点E．分别求出直线l1：ax﹣2y＝2a﹣4，直线l2：2x+a2y＝2a2+4与坐标轴的交点，即可四边形OCEA的面积S，利用二次函数的单调性即可得出结论．
【解答】解：0＜a＜2，联立，解得．∴E（2，2），
直线l1：ax﹣2y＝2a﹣4与坐标轴分别交于B（2﹣，0），A（0，2﹣a），
直线l2：2x+a2y＝2a2+4与坐标轴分别交于D（0，2+），C（a2+2，0），
四边形OCEA的面积S＝（a2+2﹣2+）×2﹣（﹣2）（2﹣a）
＝a2﹣a+4
＝+≥
当a＝时取等号，
∴l1，l2与坐标轴围成的四边形面积的最小值为．
故答案为：，．
19．三条直线l1：x+y﹣1＝0，l2：x﹣2y+3＝0，l3：x﹣my﹣5＝0围成一个三角形，则m的取值范围是 （﹣∞，﹣4）∪（﹣4，﹣1）∪（﹣1，2）∪（2，+∞） ．
【分析】由三条直线中的任意两条平行求得m的值，再由三条直线相交于一点求得m的值，则l1，l2，l3不能围成一个三角形的m的所有取值组成的集合可求．
【解答】解：当直线l1：x+y﹣1＝0 平行于 l3：x﹣my﹣5＝0时，m＝﹣1．
当直线l2：x﹣2y+3＝0 平行于 l3：x﹣my﹣5＝0时，m＝2，
当三条直线经过同一个点时，由解得直线l1与l2的交点（﹣，）
代入l3：x﹣my﹣5＝0，解得m＝﹣4；
综上，m为﹣1或2或﹣4．三条直线不能构成三角形．
故当三条直线围成三角形时，m的取值范围（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，﹣1）∪（﹣1，2）∪（2，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，﹣1）∪（﹣1，2）∪（2，+∞），
20．已知直线l1：ax﹣2y＝2a﹣4，l2：2x+a2y＝2a2+4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝ ．
【分析】直接利用直线的方程，三角形的面积公式，二次函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：根据题意，如图所示：
由于直线l1：ax﹣2y＝2a﹣4，
当x＝0时，y＝2﹣a，
即直线l1和y轴交于点A（0，2﹣a），
由于直线l2：2x﹣a2y＝2a2+4，
由于l2与x轴交于点C（a2+2，0），
易知：l1和l2均经过定点（2，2），
即两直线交于点B（2，2）．
则四边形AOBC的面积S＝S△AOB+S△BOC＝，
即当a＝时，．
故答案为：．
21．经过原点O有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2＝0与l2：x+y+3＝0之间的线段恰好被点O平分，则直线l的方程为 y＝． ．
【分析】当斜率不存在时，不合题意；当斜率存在时，设所求的直线方程为y＝kx，进而得出交点，根据点O为两交点的中点建立等式，求出k的值，从而求出所求．
【解答】解：如果所求直线斜率不存在，则此直线方程为x＝0，不合题意．
∴设所求的直线方程为y＝kx，
∴联立直线，可得x＝，y＝，
可得，x＝﹣，y＝，
由题意可得，﹣＝0，
解可得，k＝，此时直线为y＝．
故答案为：y＝．
22．已知直线l过点P（1，2），法向量，则其点方向式方程为 3（x﹣1）﹣4（y﹣2）＝0 ．
【分析】利用直线的点法向式方程直接求解．
【解答】解：∵直线l过点P（1，2），法向量，
∴该直线的点法向式方程为3（x﹣1）﹣4（y﹣2）＝0．
故答案为：3（x﹣1）﹣4（y﹣2）＝0．
23．设两直线（m+2）x﹣y﹣2+m＝0，x+y＝0与x轴构成三角形，则m的取值范围为 {m|m≠﹣3且 m≠±2} ．
【分析】由题意根据三条直线能够成三角形的条件，求出m的范围．
【解答】解：由于直线（m+2）x﹣y﹣2+m＝0，x+y＝0与x轴构成三角形，
故直线（m+2）x﹣y﹣2+m＝0不能与x+y＝0、x轴平行，且直线（m+2）x﹣y﹣2+m＝0不经过原点．
∴，求得m≠﹣3且 m≠﹣2 且m≠2，
故答案为：{m|m≠﹣3且 m≠±2}．
24．已知M，N为直线3x+4y﹣10＝0上两点，O为坐标原点，若，则△MON的周长最小值为 4 ．
【分析】直接利用点到直线的距离公式的应用和三角形的周长公式的应用求出结果．
【解答】解：在△MON中，由余弦定理得：，
化简得：|OM||ON|＝|OM|2+|ON|2﹣|MN|2，
由基本不等式|OM|2+|ON|2≥2|OM||ON|，
当且仅当|OM|＝|ON|时，等号成立．
所以|OM|•|ON|≥2|OM|•|ON|﹣|MN|2，
所以|MN|2≥|OM||ON|，
故，
所以|OM|+|ON|+|MN|，由于∠MON＝，所以|OM|+|ON|+|MN|，取“＝”号时△MON为等边三角形．
则正三角形的高为O为坐标原点（0，0）到直线3x+4y﹣10＝0的距离d＝．
所以当△MON为等边三角形时：设OM＝2x，所以（2x）2＝22+x2，解得，故，
所以．
故答案为：4．
25．在直角坐标系中，直线x+y﹣3＝0的倾斜角是 150° ．
【分析】由已知方程得到直线的斜率，根据斜率对于得到倾斜角．
【解答】解：由已知直线的方程得到直线的斜率为，设倾斜角为α，则tanα＝，α∈[0，180°），所以α＝150°；
故答案为：150°．
26．已知△ABC的三个顶点分别是A（0，3），B（4，2），C（2，1）．若直线l过点A，且将△ABC分割成面积相等的两部分，则直线l的方程是 x+2y﹣6＝0 ．
【分析】若直线l过点A且将三角形分成面积相等的两部分，则直线l过BC的中点，求出BC中点的坐标，求出直线l的方程，计算可得答案．
【解答】解：若直线l过点A且将三角形分成面积相等的两部分，则直线l过BC的中点，
设BC的中点为D，则D（3，），
又由A（0，3），则Kl＝＝﹣，
直线l的方程为y﹣3＝﹣（x﹣0），即x+2y﹣6＝0．
故答案为：x+2y﹣6＝0．
27．经过点A（4，2），且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的3倍的直线l的方程的一般式为 x+3y﹣10＝0或x﹣2y＝0 ．
【分析】直线l可以经过原点，此时方程为：y＝x．直线l不经过原点时，设此时方程为：＝1，把点（4，2）代入即可得出．
【解答】解：直线l可以经过原点，此时方程为：y＝x，即x﹣2y＝0．
直线l不经过原点时，设此时方程为：＝1，
把点（4，2）代入可得：＝1，解得a＝．
∴直线l的方程为：x+3y﹣10＝0．
故答案为：x+3y﹣10＝0或x﹣2y＝0．
28．过点P（2020，2020）且在两坐标轴上截距相等的直线的一般式方程为 x﹣y＝0或x+y﹣4040＝0 ．
【分析】当直线过原点时，易求出方程，当直线不过原点时，设直线方程为，代入点P的坐标即可求出a的值，从而求出直线方程．
【解答】解：①当直线过原点时，在两坐标轴上截距都为0，符合题意，
此时直线方程为：y＝x，即x﹣y＝0；
②当直线不过原点时，设直线方程为，
∵过点P（2020，2020），∴，
解得a＝4040，
∴直线方程为，整理得：x+y﹣4040＝0，
综上所述，直线的一般方程为x﹣y＝0或x+y﹣4040＝0．
29．过点（2，3）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB（O为坐标原点）面积最小时，直线l的方程为 3x+2y﹣12＝0 ．
【分析】可设出直线的斜率为k，根据题意可知k＜0，又过（2，3）得到直线方程为y﹣3＝k（x﹣2），则分别令y＝0和x＝0求出A和B两点坐标，然后表示出面积的关系式，求出面积最小时k的值，然后代入得到直线l的方程即可．
【解答】解：设直线的斜率为k，且由直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A、B两点得到k＜0，
所以直线l的方程为：y﹣3＝k（x﹣2）即kx﹣y+3﹣2k＝0，令x＝0，得到y＝3﹣2k，
所以B（0，3﹣2k）；令y＝0，得到x＝2﹣，所以A（2﹣，0）
由k＜0，则三角形AOB的面积为S＝（3﹣2k）（2﹣）
＝（6+6﹣﹣4k）≥[12+2]＝12，当且仅当k＝﹣，
所以直线方程为3x+2y﹣12＝0
故答案为：3x+2y﹣12＝0
30．将一张坐标纸折叠一次，使得点P（1，2）与点Q（﹣2，1）重合，则直线y＝x+4关于折痕对称的直线为 x+7y﹣20＝0 ．
【分析】先求出P，Q的中点坐标，结合直线垂直与对称的性质求出对称方程，结合直线所成角的公式建立方程求出对应直线的斜率即可．
【解答】解：P，Q的中点坐标为M（，），即M（﹣，），
PQ的斜率k＝＝，
则对称直线和直线PQ垂直，
则对称直线的斜率k＝﹣3，
则对应的方程为y﹣＝﹣3（x+），即y＝﹣3x，
由得，即交点坐标为N（﹣1，3），
设直线y＝x+4关于折痕对称的直线斜率为k，
则由直线到角公式得＝，
得＝＝2，
得k+3＝2﹣6k，
得k＝﹣，对折直线过N（﹣1，3），
则对应直线方程为y﹣3＝﹣（x+1）．
即x+7y﹣20＝0，
故答案为：x+7y﹣20＝0．
31．已知直线l：x+2y﹣1＝0，则原点O关于直线l对称的点是 （，） ；经过点P（2，1）且纵横截距相等的直线方程是 x﹣2y＝0，或 x+y﹣3＝0 ．
【分析】（1）利用中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出；
（2）当直线过原点时，方程为 y＝x，当直线不过原点时，设直线的方程为：x+y＝k，把点（2，1）代入直线的方程可得k值，即得所求的直线方程．
【解答】解：（1）设原点（0，0）关于直线x+2y﹣1＝0对称的点的坐标是（a，b），
则 ，解得a＝，b＝，
∴要求的对称的点的坐标是（，）；
（2）当直线过原点时，方程为：y＝x，即 x﹣2y＝0；
当直线不过原点时，设直线的方程为：x+y＝k，
把点（2，1）代入直线的方程可得 k＝3，
故直线方程是 x+y﹣3＝0．
综上可得所求的直线方程为：x﹣2y＝0，或 x+y﹣3＝0，
故答案为：（，）；x﹣2y＝0，或 x+y﹣3＝0．
32．经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是 x+y＝2或y＝x ．
【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x+y＝a，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y＝kx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．
【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y＝a，
把（1，1）代入所设的方程得：a＝2，则所求直线的方程为x+y＝2；
②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y＝kx，
把（1，1）代入所求的方程得：k＝1，则所求直线的方程为y＝x．
综上，所求直线的方程为：x+y＝2或y＝x．
故答案为：x+y＝2或y＝x
33．斜率为﹣3，在x轴上截距为2的直线的一般式方程是 3x+y﹣6＝0 ．
【分析】由已知条件知，直线经过点（2，0），又斜率为﹣3，可用点斜式写出直线方程，并化为一般式．
【解答】解：在x轴上的截距为2的直线经过点（2，0），
又斜率为﹣3，
点斜式可得直线的方程为：y﹣0＝﹣3（x﹣2），
即 3x+y﹣6＝0，
故答案是：3x+y﹣6＝0．
三．解答题（共8小题）
34．已知直线l过点（﹣2，1）．
（1）若直线l不经过第四象限，求直线l的斜率k的取值范围；
（2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，△AOB的面积为S，其中O为坐标原点，求S的最小值，并求此时直线l的一般式方程．
【分析】（1）设出直线方程，表示出截距，得到关于k的不等式组，解出即可；
（2）设直线l的方程为y﹣1＝m（x+2），表示出A，B的坐标，求出m的范围，表示出△AOB的面积，求出其最小值，求出m的值，求出直线方程即可．
【解答】解：（1）当直线的斜率k＝0时，直线为y＝1，符合题意，
当k≠0时，直线l的方程为y﹣1＝k（x+2），
直线在x轴上的截距为﹣，在y轴上的截距为1+2k，
要使直线不经过第四象限，
则有，解得：k＞0，
综上，直线l的斜率k的取值范围是[0，+∞）；
（2）设直线l的方程为y﹣1＝m（x+2），
由题意可知m≠0，
再由l的方程得：A（﹣，0），B（0，1+2m），
由题意得，解得：m＞0，
又S＝•|OA|•|OB|
＝•|﹣|•|1+2m|
＝•
＝（4m++4）
＝[（2﹣）2+8]
≥4（当且仅当2＝即m＝时取“＝”），
故当m＝时，S取得最小值且Smin＝4，
此时直线l的方程为：x﹣2y+4＝0．
35．已知直线l：y＝k（x﹣1）交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y＝x于点C，
（1）若k＝3，求的值；
（2）若|BC|＝2|AC|，求直线l的方程．
【分析】（1）求出A，B，C的坐标，即可求的值；
（2）直线l的方程为y＝k（x﹣1），若|BC|＝2|AC|，则|xB﹣xC|＝2|xA﹣xC|，求出k，即可求直线l的方程．
【解答】解：（1）直线l的方程为y＝3（x﹣1）．
令y＝0，得A（1，0）．…（1分），令x＝0，得B（0，﹣3）．…（2分）
由得…（3分）
…（5分）
（2）直线l的方程为y＝k（x﹣1）．
令y＝0，得A（1，0）．令x＝0，得B（0，﹣k）．…（6分）
由得…（7分）
若|BC|＝2|AC|，则|xB﹣xC|＝2|xA﹣xC|…（8分）
∴…（9分）
∴解得k＝±2…（11分）
∴所求直线l的方程为：2x﹣y﹣2＝0或2x+y﹣2＝0．…（12分）
36．已知△ABC的顶点A（4，﹣5），AB边上的中线CM所在直线方程为4x﹣y﹣5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣4y﹣1＝0，求：
（1）顶点C的坐标；
（2）直线BC的方程．
【分析】（1）设出C的坐标，解方程组求得方程组的解，可得顶点C的坐标．
（2）设出B的坐标，解方程组求得方程组的解，可得顶点B的坐标，再利用点斜式求直线BC的方程．
【解答】解：（1）设 C（m，n），由已知得：，解得 ．
即：C（2，3）．
（2）设 B（a，b），则，解得 ，∴B（﹣3，﹣1），
∴．
∴直线 BC 的方程为 ，即为 4x﹣5y+7＝0．
37．△ABC的三个顶点为A（﹣4，0），B（2，4），C（﹣2，6）．
（1）已知直线l1过B、C两点，求直线l1的方程；
（2）已知直线l2经过A点并且经过BC中点D，求直线l2的方程；
（3）已知直线l3经过C点，且倾斜角是l2倾斜角的2倍，求直线l3的方程．
【分析】（1）求出直线l1的斜率，根据点斜式即可求出直线方程，
（2）先求出中点坐标，再根据截距式求出直线方程，
（3）根据正切函数的二倍角公式，求出直线的斜率，根据点斜式即可求出直线方程
【解答】解：（1）直线l1的斜率，所以直线l1的方程为，即x+2y﹣10＝0；
（2）因为D是BC中点，所以D（0，5），所以直线l2的方程为，即5x﹣4y+20＝0；
（3）设直线l2的倾斜角为θ，则，所以l3的斜率，
所以直线l3的方程为，即40x+9y+26＝0
38．已知△ABC的三个顶点是A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．
（1）求BC边上的高所在直线的方程；（一般式）
（2）求△ABC的面积S；
（3）求过点A且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程（一般式）．
【分析】（1）设BC边的高所在直线为l，由斜率公式求出kBC，根据垂直关系得到直线l的斜率 kl，用点斜式求出直线l的方程，并化为一般式；
（2）由点到直线的距离公式求出点A（﹣1，4）到BC的距离d，由两点间的距离公式求出|BC|，代入△ABC的面积公式求出面积S的值；
（3）分两种情况讨论，当当直线过原点和当直线不过原点时，设出直线方程，代入点A坐标，即可得解．
【解答】解 （1）设BC边上的高所在直线为l，由题意知kBC＝＝1，则kl＝＝﹣1．
又点A（﹣1，4）在直线l上，所以直线l的方程为y﹣4＝﹣（x+1），
即x+y﹣3＝0，即BC边上的高所在直线的方程为x+y﹣3＝0．
（2）BC边所在直线的方程为y+1＝x+2，
即x﹣y+1＝0．点A（﹣1，4）到直线BC的距离d＝＝2．
又|BC|＝＝4，所以S△ABC＝•|BC|•d＝×4×2＝8．
（3）当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，代入A点得k＝﹣4，直线方程4x+y＝0；
当直线在坐标轴上的截距都不为0时，设直线方程为，代入A点得b＝，所以直线方程为x+2y﹣7＝0．
所以直线方程为4x+y＝0或x+2y﹣7＝0．
39．已知△ABC的三个顶点A（m，n）、B（2，1）、C（﹣2，3）．
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）BC边上中线AD的方程为2x﹣3y+6＝0，且S△ABC＝7，求点A的坐标．
【分析】（1）由两点的斜率公式，算出BC的斜率k＝﹣，再由直线方程的点斜式列式，化简即得BC边所在直线方程；
（2）由两点的距离公式，算出|BC|＝2，结合S△ABC＝7得到点A到BC的距离等于，由此建立关于m、n的方程组，解之即可得到m，n的值．
【解答】解：（1）∵B（2，1），C（﹣2，3），
∴kBC＝＝﹣，
可得直线BC方程为y﹣3＝﹣（x+2）
化简，得BC边所在直线方程为x+2y﹣4＝0；
（2）由题意，得|BC|＝2，
∴S△ABC＝|BC|•h＝7，解之得h＝，
由点到直线的距离公式，
得 ＝，
化简得m+2n＝11或m+2n＝﹣3，
∴或 ，
解得m＝3，n＝4或m＝﹣3，n＝0，
故A（3，4）或（﹣3，0）．
40．如图，抛物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴负半轴上．
过点M（0，﹣2）作直线l与抛物线相交于A，B两点，且满足．
（Ⅰ）求直线l和抛物线的方程；
（Ⅱ）当抛物线上一动点P从点A向点B运动时，求△ABP面积的最大值．
【分析】（Ⅰ）由题意设出直线和抛物线的方程，联立方程用根与系数法和向量相等求出p，k的值；
（Ⅱ）由题意AB为定长，只要AB边上的高最大，则三角形的面积最大；过点P的切线与l平行时，△APB得面积最大，求出P点的坐标，再求P点到直线AB的距离和AB的长，再求出面积．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意可设直线l的方程为y＝kx﹣2，抛物线方程为x2＝﹣2py（p＞0）（2分）
有得x2+2pkx﹣4p＝0 （3分）
设点A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2＝﹣2pk，y1+y2＝k（x1+x2）﹣4＝﹣2pk2﹣4
∴（4分）
∵，
∴，解得（5分）
故直线l的方程为y＝2x﹣2，抛物线方程为x2＝﹣2y． （6分）
（Ⅱ）据题意，当抛物线过点P的切线与l平行时，△APB得面积最大（7分）
设点P（x0，y0），由y'＝﹣x，故由﹣x0＝2得x0＝﹣2，则
∴P（﹣2，﹣2）（9分）
∴点P到直线l的距离（10分）
由，得x2+4x﹣4＝0 （11分）
∴（12分）
∴△ABP的面积的最大值为（14分）
41．在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD的顶点A（﹣1，2）和C（5，4），AB所在直线的方程为x﹣y+3＝0，
（1）求对角线BD所在直线的方程；
（2）求AD所在直线的方程．
【分析】（1）根据题意画出图形，结合图形求出AC的中点和斜率，
从而求得BD的斜率和直线方程；
（2）由直线AB和BD求点B，再根据对称求出点D，
利用两点式写出直线AD的方程．
【解答】解：（1）如图所示，
菱形ABCD的顶点A（﹣1，2）和C（5，4），所以AC的中点M（2，3），
直线AC的斜率为kAC＝＝，
BD的斜率为kBD＝﹣3，
所以直线BD的方程为：y﹣3＝﹣3（x﹣2），
即3x+y﹣9＝0；
（2）由直线AB的方程和直线BD的方程联立，得，
解得，即点B（，）；
设点D（a，b），则＝2，＝3，
解得a＝，b＝，
所以点D（，）；
又A（﹣1，2），则AD的直线方程为＝，
化为一般形式是x+7y﹣13＝0．
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