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人教版2021届一轮复习打地基练习 圆的切线方程
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这是一份人教版2021届一轮复习打地基练习 圆的切线方程，共24页。试卷主要包含了已知圆O，过点，已知过点C，由直线x﹣y+4＝0上的点向圆，已知圆心为，与圆x2+等内容，欢迎下载使用。
人教版2021届一轮复习打地基练习 圆的切线方程
一．选择题（共9小题）
1．已知圆的方程是x2+y2＝1，则在y轴上截距为的切线方程为（ ）
A．y＝x+ B．y＝﹣x+
C．y＝x+或y＝﹣x+ D．x＝1或y＝x+
2．已知圆O：x2+y2＝5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．5 B．10 C． D．
3．过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为（ ）
A．2x+y﹣5＝0 B．2x+y﹣7＝0 C．x﹣2y﹣5＝0 D．x﹣2y﹣7＝0
4．已知过点C（6，﹣8）作圆x2+y2＝25的切线，切点分别为A，B，那么点C到直线AB的距离为（ ）
A．15 B．10 C． D．5
5．垂直于直线y＝x+1且与圆x2+y2＝1相切于第一象限的直线方程是（ ）
A． B．x+y+1＝0 C．x+y﹣1＝0 D．
6．由直线x﹣y+4＝0上的点向圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1引切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
7．已知圆心为（2，0）的圆C与直线y＝x相切，求切点到原点的距离（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．若直线ax+y+1＝0与圆x2+y2﹣2x＝0相切，则a的值为（ ）
A．±1 B．±2 C．﹣1 D．0
9．与圆x2+（y﹣1）2＝5相切于点（2，2）的直线的斜率为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
二．填空题（共16小题）
10．已知圆C的圆心坐标是（0，m），若直线2x﹣y+3＝0与圆C相切于点A（2，7），则圆C的标准方程为 ．
11．过直线2x﹣y+3＝0上点M作圆（x﹣2）2+y2＝5的两条切线，若这两条切线的夹角为90°，则点M的横坐标是 ．
12．已知正数x，y满足x+2y＝3，当xy取得最大值时，过点P（x，y）引圆：（x﹣）2+（y+）2＝的切线，则此切线段的长度为 ．
13．一条光线从点P（2，3）射出，经x轴反射，与圆（x+3）2+（y﹣2）2＝1相切，则反射光线所在直线的方程是 ．
14．过直线3x+4y﹣5＝0上的一点P向圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4作两条切线l1，l2．设l1与l2的夹角为θ，则θ的最大值为 ．
15．已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，则a＝ ．
16．已知直线l1与直线l2：3x+4y+1＝0平行且与圆C：x2+y2+2y﹣3＝0相切，则直线l1的方程是 ．
17．已知直线y＝kx+b（k＞0）与圆x2+y2＝1和圆（x﹣4）2+y2＝1均相切，则k＝ ，b＝ ．
18．过点A（4，2 ）作圆（x﹣2）2+（y+1）2＝4的切线l，则切线l的方程为 ．
19．已知圆O的圆心为原点，且与直线x+y+4＝0相切，过点P（8，6）引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 ．
20．过点P（3，1）作圆C：（x﹣1）2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则|PA|＝ ；直线AB的方程为 ．
21．若过点M（1，1）可作圆x2+y2﹣4my+4m2+4m﹣3＝0的两条切线，则实数m的取值范围为 ．
22．若过直线3x﹣4y﹣25＝0上的一个动点P作圆x2+y2＝1的切线，切点为A，B，设原点为O，则四边形PAOB的面积的最小值为 ．
23．设点P是直线3x﹣4y+7＝0上的动点，过点P引圆（x﹣1）2+y2＝r2（r＞0）的切线PA，PB（切点为AB），若∠APB的最大值为，则该圆的半径r等于 ．
24．已知圆C：x2+y2＝20，则过点P（2，4）的圆的切线方程是 ．
25．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣2）2+y2＝4，点A是直线x﹣y+2＝0上的一个动点，直线AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是 ．
三．解答题（共8小题）
26．求过点M（3，1）且与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4相切的直线方程．
27．已知圆C的圆心在直线2x﹣y﹣2＝0上，且与直线l：3x+4y﹣28＝0相切于点P（4，4）．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点Q（6，﹣15）与圆C相切的直线方程．
28．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2＝1，P为直线l：x＝上一点．
（1）若点P在第一象限，且OP＝，求过点P圆O的切线方程；
（2）若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；
（3）设直线l动点Q，⊙Q与⊙O相外切，⊙Q交L于M、N两点，对于任意直径MN，平面上是否存在不在直线L上的定点A，使得∠MAN为定值？若存在，直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
29．已知圆C经过点A（﹣1，3），B（3，3）两点，且圆心C在直线x﹣y+1＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）求经过圆上一点A（﹣1，3）的切线方程．
30．已知直线l：x+y+2＝0，圆C：（x﹣2）2+y2＝4和点M（4，5）．
（1）求过点M的圆C的切线方程；
（2）直线l分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆C上，求△ABP的面积的取值范围．
31．已知圆C的圆心在y轴上，且过（0，0），（0，2）两点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l经过点P（2，2），且与圆C相切，求直线l的方程．
32．①圆心C在直线l：2x﹣7y+8＝0上，且B（1，5）是圆上的点；
②圆心C在直线x﹣2y＝0上，但不经过点（4，2），并且直线4x﹣3y＝0与圆C相交所得的弦长为4
③圆C过直线l：2x+y+4＝0和圆x2+y2+2x﹣4y﹣16＝0的交点，
在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，
问题：平面直角坐标系xOy中，圆C过点A（6，0），且_____．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求过点A的圆C的切线方程．
33．已知圆C：x2+y2﹣4x+ay+1＝0（a∈R），过定点P（0，1）作斜率为﹣1的直线交圆C于A、B两点，P为AB的中点．
（1）求实数a的值；
（2）从圆外一点M向圆C引一条切线，切点为N，且有MN＝MP，求MN的最小值．
人教版2021届一轮复习打地基练习 圆的切线方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．已知圆的方程是x2+y2＝1，则在y轴上截距为的切线方程为（ ）
A．y＝x+ B．y＝﹣x+
C．y＝x+或y＝﹣x+ D．x＝1或y＝x+
【分析】用斜截式设切线方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，列方程求出待定系数，从而得到切线方程．
【解答】解：在y轴上截距为且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y＝kx+，
则＝1，∴k＝±1，故所求切线方程为y＝x+，或y＝﹣x+．故选 C．
2．已知圆O：x2+y2＝5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．5 B．10 C． D．
【分析】判断点A在圆上，用点斜式写出切线方程，求出切线在坐标轴上的截距，从而求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
【解答】解：由题意知，点A在圆上，则A为切点，
则OA的斜率k＝2，
则切线斜率为﹣，
则切线方程为：y﹣2＝﹣（x﹣1），
即x+2y﹣5＝0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，
所以，所求面积为＝．
故选：D．
3．过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为（ ）
A．2x+y﹣5＝0 B．2x+y﹣7＝0 C．x﹣2y﹣5＝0 D．x﹣2y﹣7＝0
【分析】由题意画出图形，可得点（3，1）在圆（x﹣1）2+y2＝r2上，求出圆心与切点连线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案．
【解答】解：如图，
∵过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2＝r2的切线有且只有一条，
∴点（3，1）在圆（x﹣1）2+y2＝r2上，
连接圆心与切点连线的斜率为k＝，
∴切线的斜率为﹣2，
则圆的切线方程为y﹣1＝﹣2（x﹣3），即2x+y﹣7＝0．
故选：B．
4．已知过点C（6，﹣8）作圆x2+y2＝25的切线，切点分别为A，B，那么点C到直线AB的距离为（ ）
A．15 B．10 C． D．5
【分析】由圆的切线性质以及直角三角形中的边角关系可得∠ACO＝30°，CA＝＝5，根据cos30°＝，求出h值，即为所求．
【解答】解：如图所示：直角三角形CAO中，CO＝10，半径OA＝5，
∴∠ACO＝30°，CA＝＝5．
设点C到直线AB的距离为h＝CD，
直角三角形ACD中，cos∠ACO＝cos30°＝＝，
∴h＝CA•cos30°＝，
故选：C．
5．垂直于直线y＝x+1且与圆x2+y2＝1相切于第一象限的直线方程是（ ）
A． B．x+y+1＝0 C．x+y﹣1＝0 D．
【分析】设所求的直线为l，根据直线l垂直于y＝x+1，设l方程为y＝﹣x+b，即x+y+b＝0．根据直线l与圆x2+y2＝1相切，得圆心O到直线l的距离等于1，由点到直线的距离公式建立关于b的方程，解之可得b＝±，最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程．
【解答】解：设所求的直线为l，
∵直线l垂直于直线y＝x+1，可得直线l的斜率为k＝﹣1
∴设直线l方程为y＝﹣x+b，即x+y﹣b＝0
∵直线l与圆x2+y2＝1相切，
∴圆心到直线的距离d＝，解之得b＝±
当b＝﹣时，可得切点坐标（﹣，﹣），切点在第三象限；
当b＝时，可得切点坐标（，），切点在第一象限；
∵直线l与圆x2+y2＝1的切点在第一象限，
∴b＝﹣不符合题意，可得b＝，直线方程为x+y﹣＝0
故选：A．
6．由直线x﹣y+4＝0上的点向圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1引切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求得切线长的最小值．
【解答】解：圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1的圆心坐标为C（1，1），半径为1，
由直线x﹣y+4＝0上的点P向圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1引切线，要使切线长最小，
则|PC|最小，此时，
∴切线长的最小值为．
故选：A．
7．已知圆心为（2，0）的圆C与直线y＝x相切，求切点到原点的距离（ ）
A．1 B． C．2 D．
【分析】由题意画出图形，求出圆的半径，则切点到原点的距离可求．
【解答】解：如图，
设圆心为C，切点为A，
圆的半径r＝，||OC＝2，
∴切点到原点的距离＝．
故选：B．
8．若直线ax+y+1＝0与圆x2+y2﹣2x＝0相切，则a的值为（ ）
A．±1 B．±2 C．﹣1 D．0
【分析】由直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x＝0的圆心坐标为（1，0），半径为1，
∵直线ax+y+1＝0与圆x2+y2﹣2x＝0相切，
∴圆心（1，0）到直线的距离d＝r，
即＝1，
解得：a＝0．
故选：D．
9．与圆x2+（y﹣1）2＝5相切于点（2，2）的直线的斜率为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
【分析】根据题意，求出圆的圆心坐标，设圆心为C，切点（2，2）为P，求出PC的斜率，由切线的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆x2+（y﹣1）2＝5，其圆心为（0，1），设圆心为C，切点（2，2）为P，
则KPC＝＝，
则切线的斜率k＝﹣2，
故选：A．
二．填空题（共16小题）
10．已知圆C的圆心坐标是（0，m），若直线2x﹣y+3＝0与圆C相切于点A（2，7），则圆C的标准方程为 x2+（y﹣8）2＝5 ．
【分析】由题意画出图形，利用圆心与切点的连线与切线垂直求得m，再求半径，即可写出圆的方程．
【解答】解：如图所示，
由圆心C（0，m）与切点A的连线与切线垂直，得＝﹣，解得m＝8．
所以圆心为（0，8），半径为r＝＝．
所以圆C的标准方程为x2+（y﹣8）2＝5．
故答案为：x2+（y﹣8）2＝5．
11．过直线2x﹣y+3＝0上点M作圆（x﹣2）2+y2＝5的两条切线，若这两条切线的夹角为90°，则点M的横坐标是 ﹣1或 ．
【分析】求出圆的圆心与半径，求出圆心到直线的距离，利用两条切线的夹角为90°，说明M以及两个切点和圆心组成正方形，设出M的坐标，通过圆心与M的距离等于，即可求出M的横坐标．
【解答】解：圆的圆心坐标（2，0），半径为，
过直线2x﹣y+3＝0上点M作圆（x﹣2）2+y2＝5的两条切线，若这两条切线的夹角为90°，
此时M以及两个切点和圆心组成正方形，因为半径为，
则M到圆心的距离为，
圆的圆心到直线的距离为：＝＜，
设M（x，2x+3），则，此时两条切线的夹角为90°，
解方程得，x＝﹣1或x＝﹣．
故答案为：﹣1或．
12．已知正数x，y满足x+2y＝3，当xy取得最大值时，过点P（x，y）引圆：（x﹣）2+（y+）2＝的切线，则此切线段的长度为 ．
【分析】利用基本不等式的性质可得P的坐标，再利用直线与圆相切的性质、勾股定理即可得出．
【解答】解：正数x，y满足x+2y＝3，∴3≥2，可得：xy≤，当且仅当x＝2y＝时取等号．
当xy取得最大值时，点P．
则切线段的长度为＝．
故答案为：．
13．一条光线从点P（2，3）射出，经x轴反射，与圆（x+3）2+（y﹣2）2＝1相切，则反射光线所在直线的方程是 4x+3y+1＝0或3x+4y+6＝0 ．
【分析】求出圆心与半径，点P（﹣2，3）关于x轴的对称点P'的坐标，设出过P'与圆相切的直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求得结论．
【解答】解：圆（x+3）2+（y﹣2）2＝1的圆心坐标为（﹣3，2），半径为1，
点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为P'（2，﹣3），
设反射光线为y+3＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣3＝0．
∵光线从点P（2，3）射出，经过x轴反射后，与圆（x+3）2+（y﹣2）2＝1相切，
∴d＝＝1，
解得k＝﹣或k＝﹣．
则反射光线所在直线的方程是4x+3y+1＝0或3x+4y+6＝0．
故答案是：4x+3y+1＝0或3x+4y+6＝0．
14．过直线3x+4y﹣5＝0上的一点P向圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4作两条切线l1，l2．设l1与l2的夹角为θ，则θ的最大值为 ．
【分析】设圆心为O，设切线l1，l2的切点为A和B，则OA⊥PA，∠APB即为θ，若∠APB最大，需∠APO最大，即|OP|最短，此时OP最小值为圆心O到直线3x+4y﹣5＝0的距离，由sin∠APO＝即可求得夹角θ的最大值．
【解答】解：设圆心为O，设切线l1，l2的切点为A和B，
则OA⊥PA，∠APB即为θ，
∠APB＝2∠APO，
所以求∠APO最大值即可，
圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4的圆心为（3，4），半径为2，
所以sin∠APO＝＝，
因为OP最小值为圆心O到直线3x+4y﹣5＝0的距离＝＝4，
所以sin∠APO的最大值为，
所以∠APO的最大值为，
所以夹角θ的最大值为．
故答案为：．
15．已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，则a＝ 2 ．
【分析】由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1＝0的斜率，然后求出a的值即可．
【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2＝5的方程，所以P在圆上，
又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，
所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1＝0平行，
所以直线ax﹣y+1＝0的斜率为：a＝＝2．
故答案为：2．
16．已知直线l1与直线l2：3x+4y+1＝0平行且与圆C：x2+y2+2y﹣3＝0相切，则直线l1的方程是 3x+4y+14＝0或3x+4y﹣6＝0． ．
【分析】根据直线l1与直线l2：3x+4y+1＝0平行，设出方程为3x+4y+C＝0，利用圆心到直线的距离等于半径，可得C．
【解答】解：直线l1与直线l2：3x+4y+1＝0平行，设直线l1的方程为3x+4y+C＝0，
直线l1的方程与圆C：x2+y2+2y﹣3＝0相切，其圆心为（0，﹣1），半径r＝2．
圆心到直线的距离d＝，
可得C＝14或﹣6，
则直线l1的方程为：3x+4y+14＝0或3x+4y﹣6＝0．
故答案为：3x+4y+14＝0或3x+4y﹣6＝0．
17．已知直线y＝kx+b（k＞0）与圆x2+y2＝1和圆（x﹣4）2+y2＝1均相切，则k＝ ，b＝ ﹣ ．
【分析】根据直线l与两圆都相切，分别列出方程d1＝＝1，d2＝＝1，解得即可．
【解答】解：由条件得C1（0，0），r1＝1，C2（4，0），r2＝1，
因为直线l与C1，C2都相切，
故有d1＝＝1，d2＝＝1，
则有＝，故可得b2＝（4k+b）2，整理得k（2k+b）＝0，
因为k＞0，所以2k+b＝0，即b＝﹣2k，
代入d1＝＝1，解得k＝，则b＝﹣，
故答案为：；﹣．
18．过点A（4，2 ）作圆（x﹣2）2+（y+1）2＝4的切线l，则切线l的方程为 x＝4或5x﹣12y+4＝0 ．
【分析】先根据圆的标准方程写出圆心和半径，再利用直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径求解，注意需要讨论直线斜率是否存在．
【解答】解：∵圆（x﹣2）2+（y+1）2＝4，∴圆心为（2，﹣1），半径为2，
①当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝4．
圆心（2，﹣1）到直线x＝4的距离为2，与半径相等，所以直线x＝4是一条切线方程．
②当直线l的斜率存在时，设方程为y﹣2＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k+2＝0．
∵直线l与圆相切
∴圆心（2，﹣1）到直线l的距离为，解得，
∴即5x﹣12y+4＝0，
综上所述，切线l的方程为x＝4或5x﹣12y+4＝0．
19．已知圆O的圆心为原点，且与直线x+y+4＝0相切，过点P（8，6）引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 4x+3y﹣8＝0 ．
【分析】由点到直线的距离公式求出圆O的半径，得到圆O的方程，再求出以OP为直径的圆的方程，联立两圆的方程即可求得过两切点AB的直线方程．
【解答】解：设圆O的半径为r，则r＝，则圆O的方程为x2+y2＝16，①
又OP的中点坐标为（4，3），|OP|＝，
∴以OP为直径的圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25，
即x2+y2﹣8x﹣6y＝0，②
联立①②，可得直线AB的方程为4x+3y﹣8＝0．
故答案为：4x+3y﹣8＝0．
20．过点P（3，1）作圆C：（x﹣1）2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则|PA|＝ 2 ；直线AB的方程为 2x+y﹣3＝0 ．
【分析】根据题意，求出PC的长，由切线长公式可得|PA|的值，即可得答案，由|PA|＝|PB|＝2可得点A、B都在以P为圆心，半径为2的圆上，求出该圆的方程，则有直线AB即两圆公共弦所在的直线，由圆与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C：（x﹣1）2+y2＝1，其圆心为（1，0），半径r＝1，
则|PC|＝＝，
则|PA|＝＝2，
则有|PA|＝|PB|＝2，则点A、B都在以P为圆心，半径为2的圆上，则该圆为圆P，其方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝4，
直线AB即两圆公共弦所在的直线，
圆C（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2﹣2x＝0 ①，
圆P（x﹣3）2+（y﹣1）2＝4，即x2+y2﹣6x﹣2y+6＝0，②
联立可得：2x+y﹣3＝0，即直线AB的方程为2x+y﹣3＝0．
21．若过点M（1，1）可作圆x2+y2﹣4my+4m2+4m﹣3＝0的两条切线，则实数m的取值范围为 ．
【分析】根据题意，由二元二次方程表示圆的条件可得（﹣4m）2﹣4（4m2+4m﹣3）＞0，又由点与圆的位置关系可得点M在圆外，则有1+1﹣4m+4m2+4m﹣3＞0，联立两式解可得m的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，方程x2+y2﹣4my+4m2+4m﹣3＝0表示圆，则有（﹣4m）2﹣4（4m2+4m﹣3）＞0，
解可得：﹣4（4m﹣3）＞0，解可得m＜，
若过点M（1，1）可作圆x2+y2﹣4my+4m2+4m﹣3＝0的两条切线，则点M在圆外，则有，
综合可得：，
故答案为：．
22．若过直线3x﹣4y﹣25＝0上的一个动点P作圆x2+y2＝1的切线，切点为A，B，设原点为O，则四边形PAOB的面积的最小值为 2 ．
【分析】结合切线的对称性，得到四边形PAOB的面积的S＝2S△AOP，求出S△AOP的最小值．
【解答】解：由题意得OA⊥PA，则四边形PAOB的面积的S＝2S△AOP，
要使四边形的面积最小，则只需要S△AOP的最小值，
∵OA＝1，∴只需要AP最小，即OP最小即可，
此时OP的最小值为O到直线的距离，即OP垂直直线3x﹣4y﹣25＝0，
设点O到直线3x﹣4y﹣25＝0的距离为d，
则，则AP的最小值为＝＝2，
则S△AOP＝＝，
即四边形PAOB的面积的最小值S＝2S△AOP＝2．
故答案为：2
23．设点P是直线3x﹣4y+7＝0上的动点，过点P引圆（x﹣1）2+y2＝r2（r＞0）的切线PA，PB（切点为AB），若∠APB的最大值为，则该圆的半径r等于 1 ．
【分析】利用∠APB最大，则∠APC也最大，再利用直角三角形的边角关系得到，从而确定∠APC最大，则PC最小时，利用点C到直线3x﹣4y+7＝0的距离公式列式求解即可，
【解答】解：圆（x﹣1）2+y2＝r2（r＞0）的圆心为C（1，0），半径为r，
若∠APB最大时，则∠APB＝∠APC也最大，又，
故∠APC最大，则PC最小，
因为点P是直线3x﹣4y+7＝0上的动点，C为圆心，
故PC的最小值即为点C到直线3x﹣4y+7＝0的距离，
所以，故r＝1．
故答案为：1．
24．已知圆C：x2+y2＝20，则过点P（2，4）的圆的切线方程是 x+2y＝10 ．
【分析】根据题意，可得点P在圆上，求出直线CP的斜率后，得到切线的斜率，再求出切线方程．
【解答】解：根据题意，圆C：x2+y2＝20，而点P（2，4），满足22+42＝10，则点P在圆上，
则CP的斜率k＝＝2，所以切线的斜率k＝﹣，
所以切线的方程为y＝4＝﹣（x﹣2），即x+2y＝10．
故答案为：x+2y＝10．
25．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣2）2+y2＝4，点A是直线x﹣y+2＝0上的一个动点，直线AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是 [，4） ．
【分析】依题意画出图形，求出圆心C到直线的距离，设AC＝x，则x，由切割弦定理把PQ用含有x的关系式表示，由x的范围可得线段PQ长的取值范围．
【解答】解：如图，
圆C：（x﹣2）2+y2＝4的圆心到直线x﹣y+2＝0的距离d＝．
设AC＝x，则x．
由PC⊥AP，可知AP＝，
∵AC垂直平分PQ，
∴PQ＝2＝2•＝．
∴当x＝时，PQ取得最小值，
又，∴线段PQ长的取值范围是[，4）．
故答案为：[，4）．
三．解答题（共8小题）
26．求过点M（3，1）且与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4相切的直线方程．
【分析】讨论切线的斜率是否存在，结合圆心到直线的距离等于半径，进行求解即可．
【解答】解：圆心坐标C（1，2），半径R＝2，
若直线斜率不存在，则对应方程为x＝3，此时圆心到直线的距离d＝3﹣1＝2＝R，满足条件．
若直线斜率存在，设为k，
则方程为y﹣1＝k（x﹣3），即kx﹣y+1﹣3k＝0，
圆心到直线的距离d＝＝＝2，
即|2k+1|＝2，平方得4k2+4k+1＝4+4k2，即4k＝3，
得k＝，
则直线方程为x﹣y+1﹣3×＝0，
即3x﹣4y﹣5＝0，
综上切线为3x﹣4y﹣5＝0或x＝3．
27．已知圆C的圆心在直线2x﹣y﹣2＝0上，且与直线l：3x+4y﹣28＝0相切于点P（4，4）．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点Q（6，﹣15）与圆C相切的直线方程．
【分析】（1）由圆的切线性质可知，过点P且与l垂直的直线过圆心，结合圆心在直线2x﹣y﹣2＝0上，联立可解出圆心坐标，然后半径可求，即可得解；
（2）根据直线和圆相切的等价条件即可求过点Q（6，﹣15）且与圆C相切的切线方程．
【解答】解：（1）过点P（4，4）与直线l：3x+4y﹣28＝0垂直的直线m的斜率为k＝，
所以直线m的方程为y﹣4＝（x﹣4），即4x﹣3y﹣4＝0．
由，解得C（1，0）．
所以r＝＝5．
故圆C的方程为：（x﹣1）2+y2＝25．
（2）①若过点Q（6，﹣15）的直线斜率不存在，即直线是x＝6，与圆相切，符合题意；
②若过点Q（6，﹣15）的直线斜率存在，设直线方程为y+15＝k（x﹣6），即kx﹣y﹣6k﹣15＝0，
若直线与圆C相切，则有＝5
解得k＝﹣．
此时直线的方程为﹣x﹣y﹣7＝0，即4x+3y+21＝0．
综上，切线的方程为x＝6或4x+3y+21＝0．
28．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2＝1，P为直线l：x＝上一点．
（1）若点P在第一象限，且OP＝，求过点P圆O的切线方程；
（2）若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；
（3）设直线l动点Q，⊙Q与⊙O相外切，⊙Q交L于M、N两点，对于任意直径MN，平面上是否存在不在直线L上的定点A，使得∠MAN为定值？若存在，直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出设点P的坐标．易知过点P的圆O的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k，切线为y﹣1＝k（x﹣），即kx﹣y+1﹣k＝0，利用点到直线间的距离公式可解得k，从而可得过点P的圆O的切线方程．
（2）设A（x，y），则B（，），因为点A、B均在圆O上，所以有圆x2+y2＝1与圆（x+）2+（y+y0）2＝4有公共点，继而可得点P纵坐标的取值范围；
（3）存在，点A的坐标为（，0）．
【解答】解：（1）设点P的坐标为（，y0）．
因OP＝，所以（）+y02＝（）2，解得y0＝±1．
又点P在第一象限，所以y0＝1，即P的坐标为（，1）．
易知过点P的圆O的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k，
则切线为y﹣1＝k（x﹣），即kx﹣y+1﹣k＝0，于是有＝1，解得k＝0或k＝．
因此过点P的圆O的切线方程为：y＝1或24x﹣7y﹣25＝0．
（2）设A（x，y），则B（，），因为点A、B均在圆O上，所以有圆x2+y2＝1与圆（x+）2+（y+y0）2＝4有公共点．
于是1≤≤3，解得﹣≤y0≤，即点P纵坐标的取值范围是[﹣，]．
（3）存在，点A的坐标为（，0）．（写出存在两字给2分）
29．已知圆C经过点A（﹣1，3），B（3，3）两点，且圆心C在直线x﹣y+1＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）求经过圆上一点A（﹣1，3）的切线方程．
【分析】（1）根据题意，设圆心的坐标为（a，b），则有a﹣b+1＝0，由AB的坐标可得AB的垂直平分线的方程，联立两直线方程可得圆心的坐标，则有r2＝|AC|2，计算可得圆的半径，由圆的标准方程的形式分析可得答案；
（2）根据题意，A（﹣1，3）在圆C上，求出AC的斜率，分析可得切线的斜率，由直线的点斜式方程即可得切线的方程．
【解答】解：（1）根据题意，设圆心的坐标为（a，b），
圆心C在直线x﹣y+1＝0上，则有a﹣b+1＝0，
圆C经过点A（﹣1，3），B（3，3）两点，则AB的垂直平分线的方程为x＝1，则有a＝1，
则有，解可得b＝2；
则圆心的坐标为（1，2），半径r2＝|AC|2＝4+1＝5，
则圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5；
（2）根据题意，圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5，有A（﹣1，3）在圆C上，则有KAC＝＝﹣，
则切线的斜率k＝2，
则切线的方程为y﹣3＝2（x+1），变形可得2x﹣y+5＝0．
30．已知直线l：x+y+2＝0，圆C：（x﹣2）2+y2＝4和点M（4，5）．
（1）求过点M的圆C的切线方程；
（2）直线l分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆C上，求△ABP的面积的取值范围．
【分析】（1）当斜率不存在时，直接得到切线方程，当斜率存在时，设切线方程，再由圆心到切线的距离等于半径求解斜率，则切线方程可求．
（2）求出AB|，利用点到直线的距离h，根据几何性质求出h的范围，代入面积公式即可．
【解答】解：（1）如图，
当直线的斜率不存在时，切线方程为x＝4；
当直线的斜率存在时，设切线方程为y﹣5＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k+5＝0，
由＝2，解得k＝．
∴切线方程为21x﹣20y+19＝0．
综上所述，过点M（4，5）的圆C的切线方程为x＝4或21x﹣20y+19＝0；
（2）由题可得A（﹣2，0），B（0，﹣2），则AB＝2，
记P到直线l的距离为h，则S△ABP＝AB•h＝h，
又圆心C到l的距离d＝＝2，
∴d﹣r≤h≤d+r，即≤h≤3，
代入得：2≤S△ABP≤6．
31．已知圆C的圆心在y轴上，且过（0，0），（0，2）两点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l经过点P（2，2），且与圆C相切，求直线l的方程．
【分析】（Ⅰ）根据题意，设C的坐标为（0，b），可得圆C的方程为x2+（y﹣b）2＝r2，将两个点的坐标代入，计算可得b、r的值，即可得答案；
（Ⅱ）根据题意，设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+2＝0，由直线与圆相切的判断方法可得．解可得k的值，将k的值代入直线的方程，即可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，因为圆C的圆心在y轴上，则设C的坐标为（0，b），
则圆C的方程为x2+（y﹣b）2＝r2，
因为圆C过（0，0），（0，2）两点，
所以解得
所以圆C的方程是x2+（y﹣1）2＝1；
（Ⅱ）依题意，知直线l的斜率存在，又由直线l经过点P（2，2），
所以设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+2＝0；
因为直线l与圆C相切，则有．解得k＝0，或；
所以直线l的方程是y＝2或．
32．①圆心C在直线l：2x﹣7y+8＝0上，且B（1，5）是圆上的点；
②圆心C在直线x﹣2y＝0上，但不经过点（4，2），并且直线4x﹣3y＝0与圆C相交所得的弦长为4
③圆C过直线l：2x+y+4＝0和圆x2+y2+2x﹣4y﹣16＝0的交点，
在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，
问题：平面直角坐标系xOy中，圆C过点A（6，0），且_____．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求过点A的圆C的切线方程．
【分析】（1）选①条件，方法一：设所求圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，列方程组，即可求得参数值，从而可求得圆的标准方程；方法二：求出线段AB的垂直平分线m的方程，与直线l联立，即可求得圆心C的坐标，求出|CA|即为半径，从而可得圆的标准方程；
选②条件，设所求圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，由已知可得a＝2b，利用垂径定理可求得b值，从而可求得圆的标准方程；
选③条件，根据已知可设圆C的方程为x2+y2+2x﹣4y﹣16+λ（2x+y+4）＝0，代入点A，求得λ，从而可求得圆的标准方程；
（2）求出直线AC的斜率，从而可得切线斜率，利用点斜式即可求得切线方程．
【解答】解：选 ①条件
（1）（方法一）设所求圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，
由题意得，解得a＝3，b＝2，r2＝13，
所以所求圆的方程是（x﹣3）2+（y﹣2）2＝13．
（方法二）设线段AB的垂直平分线为m，则圆心C在直线上且在直线l上，即C是m与l的交点，
直线AB的斜率是﹣1，直线m的斜率是1，AB中点为，
所以直线m：x﹣y﹣1＝0，联立方程组，解得，
所以圆心C（3，2）且
所以所求圆的方程是（x﹣3）2+（y﹣2）2＝13．
（2）∵A在圆C上，，过点A的切线斜率为，
∴过点A的切线方程是，即3x﹣2y﹣18＝0．
选②条件
（1）设所求圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，由题意得a＝2b，
设圆心C到直线4x﹣3y＝0距离为d，r2＝（a﹣6）2+b2，由垂径定理可知r2＝d2+22，
即，将a＝2b代入得，b1＝2，b2＝4，
又因为圆C不经过点（4，2），所以a＝8，b＝4，r2＝20，
所以所求圆的方程是（x﹣8）2+（y﹣4）2＝20．
（2）∵A在圆C上，kAC＝2，过点A的切线斜率为，
∴过点A的切线方程是，即x+2y﹣6＝0．
选 ③条件
（1）设所求圆C的方程为x2+y2+2x﹣4y﹣16+λ（2x+y+4）＝0
代入点A（6，0）得λ＝﹣2
所以所求圆的方程为x2+y2﹣2x﹣6y﹣32＝0，即（x﹣1）2+（y﹣3）2＝42．
（2））∵A在圆C上，kAC＝﹣，过点A的切线斜率为，
∴过点A的切线方程是y＝（x﹣6），即5x﹣3y﹣30＝0．
33．已知圆C：x2+y2﹣4x+ay+1＝0（a∈R），过定点P（0，1）作斜率为﹣1的直线交圆C于A、B两点，P为AB的中点．
（1）求实数a的值；
（2）从圆外一点M向圆C引一条切线，切点为N，且有MN＝MP，求MN的最小值．
【分析】（1）根据点在圆内和垂直关系，列方程求出即可；
（2）根据勾股定理和MN＝MP，得到（x+2）2+（y+1）2＝4，求出P到此圆的圆心距离得到MP的最小值，即可求出MN的最小值．
【解答】解：（1）x2+y2﹣4x+ay+1＝0（a∈R），得C（2，﹣），
因为P为AB的中点，P在圆内且CP⊥AB，
所以，解得a＝﹣6，
（2）由（1）得x2+y2﹣4x﹣6y+1＝0，即（x﹣2）2+（y﹣3）2＝12，
圆心C（2，3），半径r＝2，
设M（x，y），MN⊥CN，
所以MN2＝MC2﹣r2＝MC2﹣12，
又MN＝MP，所以2MP2＝MC2﹣12，则2x2+2（y﹣1）2＝（x﹣2）2+（y﹣3）2﹣12，
得（x+2）2+（y+1）2＝4，由MN＝MP，
故MN取最小值即MP取最小值，
点P（0，1）到圆（x+2）2+（y+1）2＝4的圆心距离d＝，
所以MP的最小值为2﹣2，所以MN的最小值为4﹣2．
人教版2021届一轮复习打地基练习 圆的切线方程
一．选择题（共9小题）
1．已知圆的方程是x2+y2＝1，则在y轴上截距为的切线方程为（ ）
A．y＝x+ B．y＝﹣x+
C．y＝x+或y＝﹣x+ D．x＝1或y＝x+
2．已知圆O：x2+y2＝5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．5 B．10 C． D．
3．过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为（ ）
A．2x+y﹣5＝0 B．2x+y﹣7＝0 C．x﹣2y﹣5＝0 D．x﹣2y﹣7＝0
4．已知过点C（6，﹣8）作圆x2+y2＝25的切线，切点分别为A，B，那么点C到直线AB的距离为（ ）
A．15 B．10 C． D．5
5．垂直于直线y＝x+1且与圆x2+y2＝1相切于第一象限的直线方程是（ ）
A． B．x+y+1＝0 C．x+y﹣1＝0 D．
6．由直线x﹣y+4＝0上的点向圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1引切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
7．已知圆心为（2，0）的圆C与直线y＝x相切，求切点到原点的距离（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．若直线ax+y+1＝0与圆x2+y2﹣2x＝0相切，则a的值为（ ）
A．±1 B．±2 C．﹣1 D．0
9．与圆x2+（y﹣1）2＝5相切于点（2，2）的直线的斜率为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
二．填空题（共16小题）
10．已知圆C的圆心坐标是（0，m），若直线2x﹣y+3＝0与圆C相切于点A（2，7），则圆C的标准方程为 ．
11．过直线2x﹣y+3＝0上点M作圆（x﹣2）2+y2＝5的两条切线，若这两条切线的夹角为90°，则点M的横坐标是 ．
12．已知正数x，y满足x+2y＝3，当xy取得最大值时，过点P（x，y）引圆：（x﹣）2+（y+）2＝的切线，则此切线段的长度为 ．
13．一条光线从点P（2，3）射出，经x轴反射，与圆（x+3）2+（y﹣2）2＝1相切，则反射光线所在直线的方程是 ．
14．过直线3x+4y﹣5＝0上的一点P向圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4作两条切线l1，l2．设l1与l2的夹角为θ，则θ的最大值为 ．
15．已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，则a＝ ．
16．已知直线l1与直线l2：3x+4y+1＝0平行且与圆C：x2+y2+2y﹣3＝0相切，则直线l1的方程是 ．
17．已知直线y＝kx+b（k＞0）与圆x2+y2＝1和圆（x﹣4）2+y2＝1均相切，则k＝ ，b＝ ．
18．过点A（4，2 ）作圆（x﹣2）2+（y+1）2＝4的切线l，则切线l的方程为 ．
19．已知圆O的圆心为原点，且与直线x+y+4＝0相切，过点P（8，6）引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 ．
20．过点P（3，1）作圆C：（x﹣1）2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则|PA|＝ ；直线AB的方程为 ．
21．若过点M（1，1）可作圆x2+y2﹣4my+4m2+4m﹣3＝0的两条切线，则实数m的取值范围为 ．
22．若过直线3x﹣4y﹣25＝0上的一个动点P作圆x2+y2＝1的切线，切点为A，B，设原点为O，则四边形PAOB的面积的最小值为 ．
23．设点P是直线3x﹣4y+7＝0上的动点，过点P引圆（x﹣1）2+y2＝r2（r＞0）的切线PA，PB（切点为AB），若∠APB的最大值为，则该圆的半径r等于 ．
24．已知圆C：x2+y2＝20，则过点P（2，4）的圆的切线方程是 ．
25．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣2）2+y2＝4，点A是直线x﹣y+2＝0上的一个动点，直线AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是 ．
三．解答题（共8小题）
26．求过点M（3，1）且与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4相切的直线方程．
27．已知圆C的圆心在直线2x﹣y﹣2＝0上，且与直线l：3x+4y﹣28＝0相切于点P（4，4）．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点Q（6，﹣15）与圆C相切的直线方程．
28．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2＝1，P为直线l：x＝上一点．
（1）若点P在第一象限，且OP＝，求过点P圆O的切线方程；
（2）若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；
（3）设直线l动点Q，⊙Q与⊙O相外切，⊙Q交L于M、N两点，对于任意直径MN，平面上是否存在不在直线L上的定点A，使得∠MAN为定值？若存在，直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
29．已知圆C经过点A（﹣1，3），B（3，3）两点，且圆心C在直线x﹣y+1＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）求经过圆上一点A（﹣1，3）的切线方程．
30．已知直线l：x+y+2＝0，圆C：（x﹣2）2+y2＝4和点M（4，5）．
（1）求过点M的圆C的切线方程；
（2）直线l分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆C上，求△ABP的面积的取值范围．
31．已知圆C的圆心在y轴上，且过（0，0），（0，2）两点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l经过点P（2，2），且与圆C相切，求直线l的方程．
32．①圆心C在直线l：2x﹣7y+8＝0上，且B（1，5）是圆上的点；
②圆心C在直线x﹣2y＝0上，但不经过点（4，2），并且直线4x﹣3y＝0与圆C相交所得的弦长为4
③圆C过直线l：2x+y+4＝0和圆x2+y2+2x﹣4y﹣16＝0的交点，
在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，
问题：平面直角坐标系xOy中，圆C过点A（6，0），且_____．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求过点A的圆C的切线方程．
33．已知圆C：x2+y2﹣4x+ay+1＝0（a∈R），过定点P（0，1）作斜率为﹣1的直线交圆C于A、B两点，P为AB的中点．
（1）求实数a的值；
（2）从圆外一点M向圆C引一条切线，切点为N，且有MN＝MP，求MN的最小值．
人教版2021届一轮复习打地基练习 圆的切线方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．已知圆的方程是x2+y2＝1，则在y轴上截距为的切线方程为（ ）
A．y＝x+ B．y＝﹣x+
C．y＝x+或y＝﹣x+ D．x＝1或y＝x+
【分析】用斜截式设切线方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，列方程求出待定系数，从而得到切线方程．
【解答】解：在y轴上截距为且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y＝kx+，
则＝1，∴k＝±1，故所求切线方程为y＝x+，或y＝﹣x+．故选 C．
2．已知圆O：x2+y2＝5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．5 B．10 C． D．
【分析】判断点A在圆上，用点斜式写出切线方程，求出切线在坐标轴上的截距，从而求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
【解答】解：由题意知，点A在圆上，则A为切点，
则OA的斜率k＝2，
则切线斜率为﹣，
则切线方程为：y﹣2＝﹣（x﹣1），
即x+2y﹣5＝0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，
所以，所求面积为＝．
故选：D．
3．过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为（ ）
A．2x+y﹣5＝0 B．2x+y﹣7＝0 C．x﹣2y﹣5＝0 D．x﹣2y﹣7＝0
【分析】由题意画出图形，可得点（3，1）在圆（x﹣1）2+y2＝r2上，求出圆心与切点连线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案．
【解答】解：如图，
∵过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2＝r2的切线有且只有一条，
∴点（3，1）在圆（x﹣1）2+y2＝r2上，
连接圆心与切点连线的斜率为k＝，
∴切线的斜率为﹣2，
则圆的切线方程为y﹣1＝﹣2（x﹣3），即2x+y﹣7＝0．
故选：B．
4．已知过点C（6，﹣8）作圆x2+y2＝25的切线，切点分别为A，B，那么点C到直线AB的距离为（ ）
A．15 B．10 C． D．5
【分析】由圆的切线性质以及直角三角形中的边角关系可得∠ACO＝30°，CA＝＝5，根据cos30°＝，求出h值，即为所求．
【解答】解：如图所示：直角三角形CAO中，CO＝10，半径OA＝5，
∴∠ACO＝30°，CA＝＝5．
设点C到直线AB的距离为h＝CD，
直角三角形ACD中，cos∠ACO＝cos30°＝＝，
∴h＝CA•cos30°＝，
故选：C．
5．垂直于直线y＝x+1且与圆x2+y2＝1相切于第一象限的直线方程是（ ）
A． B．x+y+1＝0 C．x+y﹣1＝0 D．
【分析】设所求的直线为l，根据直线l垂直于y＝x+1，设l方程为y＝﹣x+b，即x+y+b＝0．根据直线l与圆x2+y2＝1相切，得圆心O到直线l的距离等于1，由点到直线的距离公式建立关于b的方程，解之可得b＝±，最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程．
【解答】解：设所求的直线为l，
∵直线l垂直于直线y＝x+1，可得直线l的斜率为k＝﹣1
∴设直线l方程为y＝﹣x+b，即x+y﹣b＝0
∵直线l与圆x2+y2＝1相切，
∴圆心到直线的距离d＝，解之得b＝±
当b＝﹣时，可得切点坐标（﹣，﹣），切点在第三象限；
当b＝时，可得切点坐标（，），切点在第一象限；
∵直线l与圆x2+y2＝1的切点在第一象限，
∴b＝﹣不符合题意，可得b＝，直线方程为x+y﹣＝0
故选：A．
6．由直线x﹣y+4＝0上的点向圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1引切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求得切线长的最小值．
【解答】解：圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1的圆心坐标为C（1，1），半径为1，
由直线x﹣y+4＝0上的点P向圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1引切线，要使切线长最小，
则|PC|最小，此时，
∴切线长的最小值为．
故选：A．
7．已知圆心为（2，0）的圆C与直线y＝x相切，求切点到原点的距离（ ）
A．1 B． C．2 D．
【分析】由题意画出图形，求出圆的半径，则切点到原点的距离可求．
【解答】解：如图，
设圆心为C，切点为A，
圆的半径r＝，||OC＝2，
∴切点到原点的距离＝．
故选：B．
8．若直线ax+y+1＝0与圆x2+y2﹣2x＝0相切，则a的值为（ ）
A．±1 B．±2 C．﹣1 D．0
【分析】由直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x＝0的圆心坐标为（1，0），半径为1，
∵直线ax+y+1＝0与圆x2+y2﹣2x＝0相切，
∴圆心（1，0）到直线的距离d＝r，
即＝1，
解得：a＝0．
故选：D．
9．与圆x2+（y﹣1）2＝5相切于点（2，2）的直线的斜率为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
【分析】根据题意，求出圆的圆心坐标，设圆心为C，切点（2，2）为P，求出PC的斜率，由切线的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆x2+（y﹣1）2＝5，其圆心为（0，1），设圆心为C，切点（2，2）为P，
则KPC＝＝，
则切线的斜率k＝﹣2，
故选：A．
二．填空题（共16小题）
10．已知圆C的圆心坐标是（0，m），若直线2x﹣y+3＝0与圆C相切于点A（2，7），则圆C的标准方程为 x2+（y﹣8）2＝5 ．
【分析】由题意画出图形，利用圆心与切点的连线与切线垂直求得m，再求半径，即可写出圆的方程．
【解答】解：如图所示，
由圆心C（0，m）与切点A的连线与切线垂直，得＝﹣，解得m＝8．
所以圆心为（0，8），半径为r＝＝．
所以圆C的标准方程为x2+（y﹣8）2＝5．
故答案为：x2+（y﹣8）2＝5．
11．过直线2x﹣y+3＝0上点M作圆（x﹣2）2+y2＝5的两条切线，若这两条切线的夹角为90°，则点M的横坐标是 ﹣1或 ．
【分析】求出圆的圆心与半径，求出圆心到直线的距离，利用两条切线的夹角为90°，说明M以及两个切点和圆心组成正方形，设出M的坐标，通过圆心与M的距离等于，即可求出M的横坐标．
【解答】解：圆的圆心坐标（2，0），半径为，
过直线2x﹣y+3＝0上点M作圆（x﹣2）2+y2＝5的两条切线，若这两条切线的夹角为90°，
此时M以及两个切点和圆心组成正方形，因为半径为，
则M到圆心的距离为，
圆的圆心到直线的距离为：＝＜，
设M（x，2x+3），则，此时两条切线的夹角为90°，
解方程得，x＝﹣1或x＝﹣．
故答案为：﹣1或．
12．已知正数x，y满足x+2y＝3，当xy取得最大值时，过点P（x，y）引圆：（x﹣）2+（y+）2＝的切线，则此切线段的长度为 ．
【分析】利用基本不等式的性质可得P的坐标，再利用直线与圆相切的性质、勾股定理即可得出．
【解答】解：正数x，y满足x+2y＝3，∴3≥2，可得：xy≤，当且仅当x＝2y＝时取等号．
当xy取得最大值时，点P．
则切线段的长度为＝．
故答案为：．
13．一条光线从点P（2，3）射出，经x轴反射，与圆（x+3）2+（y﹣2）2＝1相切，则反射光线所在直线的方程是 4x+3y+1＝0或3x+4y+6＝0 ．
【分析】求出圆心与半径，点P（﹣2，3）关于x轴的对称点P'的坐标，设出过P'与圆相切的直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求得结论．
【解答】解：圆（x+3）2+（y﹣2）2＝1的圆心坐标为（﹣3，2），半径为1，
点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为P'（2，﹣3），
设反射光线为y+3＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣3＝0．
∵光线从点P（2，3）射出，经过x轴反射后，与圆（x+3）2+（y﹣2）2＝1相切，
∴d＝＝1，
解得k＝﹣或k＝﹣．
则反射光线所在直线的方程是4x+3y+1＝0或3x+4y+6＝0．
故答案是：4x+3y+1＝0或3x+4y+6＝0．
14．过直线3x+4y﹣5＝0上的一点P向圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4作两条切线l1，l2．设l1与l2的夹角为θ，则θ的最大值为 ．
【分析】设圆心为O，设切线l1，l2的切点为A和B，则OA⊥PA，∠APB即为θ，若∠APB最大，需∠APO最大，即|OP|最短，此时OP最小值为圆心O到直线3x+4y﹣5＝0的距离，由sin∠APO＝即可求得夹角θ的最大值．
【解答】解：设圆心为O，设切线l1，l2的切点为A和B，
则OA⊥PA，∠APB即为θ，
∠APB＝2∠APO，
所以求∠APO最大值即可，
圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4的圆心为（3，4），半径为2，
所以sin∠APO＝＝，
因为OP最小值为圆心O到直线3x+4y﹣5＝0的距离＝＝4，
所以sin∠APO的最大值为，
所以∠APO的最大值为，
所以夹角θ的最大值为．
故答案为：．
15．已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，则a＝ 2 ．
【分析】由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1＝0的斜率，然后求出a的值即可．
【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2＝5的方程，所以P在圆上，
又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，
所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1＝0平行，
所以直线ax﹣y+1＝0的斜率为：a＝＝2．
故答案为：2．
16．已知直线l1与直线l2：3x+4y+1＝0平行且与圆C：x2+y2+2y﹣3＝0相切，则直线l1的方程是 3x+4y+14＝0或3x+4y﹣6＝0． ．
【分析】根据直线l1与直线l2：3x+4y+1＝0平行，设出方程为3x+4y+C＝0，利用圆心到直线的距离等于半径，可得C．
【解答】解：直线l1与直线l2：3x+4y+1＝0平行，设直线l1的方程为3x+4y+C＝0，
直线l1的方程与圆C：x2+y2+2y﹣3＝0相切，其圆心为（0，﹣1），半径r＝2．
圆心到直线的距离d＝，
可得C＝14或﹣6，
则直线l1的方程为：3x+4y+14＝0或3x+4y﹣6＝0．
故答案为：3x+4y+14＝0或3x+4y﹣6＝0．
17．已知直线y＝kx+b（k＞0）与圆x2+y2＝1和圆（x﹣4）2+y2＝1均相切，则k＝ ，b＝ ﹣ ．
【分析】根据直线l与两圆都相切，分别列出方程d1＝＝1，d2＝＝1，解得即可．
【解答】解：由条件得C1（0，0），r1＝1，C2（4，0），r2＝1，
因为直线l与C1，C2都相切，
故有d1＝＝1，d2＝＝1，
则有＝，故可得b2＝（4k+b）2，整理得k（2k+b）＝0，
因为k＞0，所以2k+b＝0，即b＝﹣2k，
代入d1＝＝1，解得k＝，则b＝﹣，
故答案为：；﹣．
18．过点A（4，2 ）作圆（x﹣2）2+（y+1）2＝4的切线l，则切线l的方程为 x＝4或5x﹣12y+4＝0 ．
【分析】先根据圆的标准方程写出圆心和半径，再利用直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径求解，注意需要讨论直线斜率是否存在．
【解答】解：∵圆（x﹣2）2+（y+1）2＝4，∴圆心为（2，﹣1），半径为2，
①当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝4．
圆心（2，﹣1）到直线x＝4的距离为2，与半径相等，所以直线x＝4是一条切线方程．
②当直线l的斜率存在时，设方程为y﹣2＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k+2＝0．
∵直线l与圆相切
∴圆心（2，﹣1）到直线l的距离为，解得，
∴即5x﹣12y+4＝0，
综上所述，切线l的方程为x＝4或5x﹣12y+4＝0．
19．已知圆O的圆心为原点，且与直线x+y+4＝0相切，过点P（8，6）引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 4x+3y﹣8＝0 ．
【分析】由点到直线的距离公式求出圆O的半径，得到圆O的方程，再求出以OP为直径的圆的方程，联立两圆的方程即可求得过两切点AB的直线方程．
【解答】解：设圆O的半径为r，则r＝，则圆O的方程为x2+y2＝16，①
又OP的中点坐标为（4，3），|OP|＝，
∴以OP为直径的圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25，
即x2+y2﹣8x﹣6y＝0，②
联立①②，可得直线AB的方程为4x+3y﹣8＝0．
故答案为：4x+3y﹣8＝0．
20．过点P（3，1）作圆C：（x﹣1）2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则|PA|＝ 2 ；直线AB的方程为 2x+y﹣3＝0 ．
【分析】根据题意，求出PC的长，由切线长公式可得|PA|的值，即可得答案，由|PA|＝|PB|＝2可得点A、B都在以P为圆心，半径为2的圆上，求出该圆的方程，则有直线AB即两圆公共弦所在的直线，由圆与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C：（x﹣1）2+y2＝1，其圆心为（1，0），半径r＝1，
则|PC|＝＝，
则|PA|＝＝2，
则有|PA|＝|PB|＝2，则点A、B都在以P为圆心，半径为2的圆上，则该圆为圆P，其方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝4，
直线AB即两圆公共弦所在的直线，
圆C（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2﹣2x＝0 ①，
圆P（x﹣3）2+（y﹣1）2＝4，即x2+y2﹣6x﹣2y+6＝0，②
联立可得：2x+y﹣3＝0，即直线AB的方程为2x+y﹣3＝0．
21．若过点M（1，1）可作圆x2+y2﹣4my+4m2+4m﹣3＝0的两条切线，则实数m的取值范围为 ．
【分析】根据题意，由二元二次方程表示圆的条件可得（﹣4m）2﹣4（4m2+4m﹣3）＞0，又由点与圆的位置关系可得点M在圆外，则有1+1﹣4m+4m2+4m﹣3＞0，联立两式解可得m的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，方程x2+y2﹣4my+4m2+4m﹣3＝0表示圆，则有（﹣4m）2﹣4（4m2+4m﹣3）＞0，
解可得：﹣4（4m﹣3）＞0，解可得m＜，
若过点M（1，1）可作圆x2+y2﹣4my+4m2+4m﹣3＝0的两条切线，则点M在圆外，则有，
综合可得：，
故答案为：．
22．若过直线3x﹣4y﹣25＝0上的一个动点P作圆x2+y2＝1的切线，切点为A，B，设原点为O，则四边形PAOB的面积的最小值为 2 ．
【分析】结合切线的对称性，得到四边形PAOB的面积的S＝2S△AOP，求出S△AOP的最小值．
【解答】解：由题意得OA⊥PA，则四边形PAOB的面积的S＝2S△AOP，
要使四边形的面积最小，则只需要S△AOP的最小值，
∵OA＝1，∴只需要AP最小，即OP最小即可，
此时OP的最小值为O到直线的距离，即OP垂直直线3x﹣4y﹣25＝0，
设点O到直线3x﹣4y﹣25＝0的距离为d，
则，则AP的最小值为＝＝2，
则S△AOP＝＝，
即四边形PAOB的面积的最小值S＝2S△AOP＝2．
故答案为：2
23．设点P是直线3x﹣4y+7＝0上的动点，过点P引圆（x﹣1）2+y2＝r2（r＞0）的切线PA，PB（切点为AB），若∠APB的最大值为，则该圆的半径r等于 1 ．
【分析】利用∠APB最大，则∠APC也最大，再利用直角三角形的边角关系得到，从而确定∠APC最大，则PC最小时，利用点C到直线3x﹣4y+7＝0的距离公式列式求解即可，
【解答】解：圆（x﹣1）2+y2＝r2（r＞0）的圆心为C（1，0），半径为r，
若∠APB最大时，则∠APB＝∠APC也最大，又，
故∠APC最大，则PC最小，
因为点P是直线3x﹣4y+7＝0上的动点，C为圆心，
故PC的最小值即为点C到直线3x﹣4y+7＝0的距离，
所以，故r＝1．
故答案为：1．
24．已知圆C：x2+y2＝20，则过点P（2，4）的圆的切线方程是 x+2y＝10 ．
【分析】根据题意，可得点P在圆上，求出直线CP的斜率后，得到切线的斜率，再求出切线方程．
【解答】解：根据题意，圆C：x2+y2＝20，而点P（2，4），满足22+42＝10，则点P在圆上，
则CP的斜率k＝＝2，所以切线的斜率k＝﹣，
所以切线的方程为y＝4＝﹣（x﹣2），即x+2y＝10．
故答案为：x+2y＝10．
25．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣2）2+y2＝4，点A是直线x﹣y+2＝0上的一个动点，直线AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是 [，4） ．
【分析】依题意画出图形，求出圆心C到直线的距离，设AC＝x，则x，由切割弦定理把PQ用含有x的关系式表示，由x的范围可得线段PQ长的取值范围．
【解答】解：如图，
圆C：（x﹣2）2+y2＝4的圆心到直线x﹣y+2＝0的距离d＝．
设AC＝x，则x．
由PC⊥AP，可知AP＝，
∵AC垂直平分PQ，
∴PQ＝2＝2•＝．
∴当x＝时，PQ取得最小值，
又，∴线段PQ长的取值范围是[，4）．
故答案为：[，4）．
三．解答题（共8小题）
26．求过点M（3，1）且与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4相切的直线方程．
【分析】讨论切线的斜率是否存在，结合圆心到直线的距离等于半径，进行求解即可．
【解答】解：圆心坐标C（1，2），半径R＝2，
若直线斜率不存在，则对应方程为x＝3，此时圆心到直线的距离d＝3﹣1＝2＝R，满足条件．
若直线斜率存在，设为k，
则方程为y﹣1＝k（x﹣3），即kx﹣y+1﹣3k＝0，
圆心到直线的距离d＝＝＝2，
即|2k+1|＝2，平方得4k2+4k+1＝4+4k2，即4k＝3，
得k＝，
则直线方程为x﹣y+1﹣3×＝0，
即3x﹣4y﹣5＝0，
综上切线为3x﹣4y﹣5＝0或x＝3．
27．已知圆C的圆心在直线2x﹣y﹣2＝0上，且与直线l：3x+4y﹣28＝0相切于点P（4，4）．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点Q（6，﹣15）与圆C相切的直线方程．
【分析】（1）由圆的切线性质可知，过点P且与l垂直的直线过圆心，结合圆心在直线2x﹣y﹣2＝0上，联立可解出圆心坐标，然后半径可求，即可得解；
（2）根据直线和圆相切的等价条件即可求过点Q（6，﹣15）且与圆C相切的切线方程．
【解答】解：（1）过点P（4，4）与直线l：3x+4y﹣28＝0垂直的直线m的斜率为k＝，
所以直线m的方程为y﹣4＝（x﹣4），即4x﹣3y﹣4＝0．
由，解得C（1，0）．
所以r＝＝5．
故圆C的方程为：（x﹣1）2+y2＝25．
（2）①若过点Q（6，﹣15）的直线斜率不存在，即直线是x＝6，与圆相切，符合题意；
②若过点Q（6，﹣15）的直线斜率存在，设直线方程为y+15＝k（x﹣6），即kx﹣y﹣6k﹣15＝0，
若直线与圆C相切，则有＝5
解得k＝﹣．
此时直线的方程为﹣x﹣y﹣7＝0，即4x+3y+21＝0．
综上，切线的方程为x＝6或4x+3y+21＝0．
28．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2＝1，P为直线l：x＝上一点．
（1）若点P在第一象限，且OP＝，求过点P圆O的切线方程；
（2）若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；
（3）设直线l动点Q，⊙Q与⊙O相外切，⊙Q交L于M、N两点，对于任意直径MN，平面上是否存在不在直线L上的定点A，使得∠MAN为定值？若存在，直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出设点P的坐标．易知过点P的圆O的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k，切线为y﹣1＝k（x﹣），即kx﹣y+1﹣k＝0，利用点到直线间的距离公式可解得k，从而可得过点P的圆O的切线方程．
（2）设A（x，y），则B（，），因为点A、B均在圆O上，所以有圆x2+y2＝1与圆（x+）2+（y+y0）2＝4有公共点，继而可得点P纵坐标的取值范围；
（3）存在，点A的坐标为（，0）．
【解答】解：（1）设点P的坐标为（，y0）．
因OP＝，所以（）+y02＝（）2，解得y0＝±1．
又点P在第一象限，所以y0＝1，即P的坐标为（，1）．
易知过点P的圆O的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k，
则切线为y﹣1＝k（x﹣），即kx﹣y+1﹣k＝0，于是有＝1，解得k＝0或k＝．
因此过点P的圆O的切线方程为：y＝1或24x﹣7y﹣25＝0．
（2）设A（x，y），则B（，），因为点A、B均在圆O上，所以有圆x2+y2＝1与圆（x+）2+（y+y0）2＝4有公共点．
于是1≤≤3，解得﹣≤y0≤，即点P纵坐标的取值范围是[﹣，]．
（3）存在，点A的坐标为（，0）．（写出存在两字给2分）
29．已知圆C经过点A（﹣1，3），B（3，3）两点，且圆心C在直线x﹣y+1＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）求经过圆上一点A（﹣1，3）的切线方程．
【分析】（1）根据题意，设圆心的坐标为（a，b），则有a﹣b+1＝0，由AB的坐标可得AB的垂直平分线的方程，联立两直线方程可得圆心的坐标，则有r2＝|AC|2，计算可得圆的半径，由圆的标准方程的形式分析可得答案；
（2）根据题意，A（﹣1，3）在圆C上，求出AC的斜率，分析可得切线的斜率，由直线的点斜式方程即可得切线的方程．
【解答】解：（1）根据题意，设圆心的坐标为（a，b），
圆心C在直线x﹣y+1＝0上，则有a﹣b+1＝0，
圆C经过点A（﹣1，3），B（3，3）两点，则AB的垂直平分线的方程为x＝1，则有a＝1，
则有，解可得b＝2；
则圆心的坐标为（1，2），半径r2＝|AC|2＝4+1＝5，
则圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5；
（2）根据题意，圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5，有A（﹣1，3）在圆C上，则有KAC＝＝﹣，
则切线的斜率k＝2，
则切线的方程为y﹣3＝2（x+1），变形可得2x﹣y+5＝0．
30．已知直线l：x+y+2＝0，圆C：（x﹣2）2+y2＝4和点M（4，5）．
（1）求过点M的圆C的切线方程；
（2）直线l分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆C上，求△ABP的面积的取值范围．
【分析】（1）当斜率不存在时，直接得到切线方程，当斜率存在时，设切线方程，再由圆心到切线的距离等于半径求解斜率，则切线方程可求．
（2）求出AB|，利用点到直线的距离h，根据几何性质求出h的范围，代入面积公式即可．
【解答】解：（1）如图，
当直线的斜率不存在时，切线方程为x＝4；
当直线的斜率存在时，设切线方程为y﹣5＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k+5＝0，
由＝2，解得k＝．
∴切线方程为21x﹣20y+19＝0．
综上所述，过点M（4，5）的圆C的切线方程为x＝4或21x﹣20y+19＝0；
（2）由题可得A（﹣2，0），B（0，﹣2），则AB＝2，
记P到直线l的距离为h，则S△ABP＝AB•h＝h，
又圆心C到l的距离d＝＝2，
∴d﹣r≤h≤d+r，即≤h≤3，
代入得：2≤S△ABP≤6．
31．已知圆C的圆心在y轴上，且过（0，0），（0，2）两点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l经过点P（2，2），且与圆C相切，求直线l的方程．
【分析】（Ⅰ）根据题意，设C的坐标为（0，b），可得圆C的方程为x2+（y﹣b）2＝r2，将两个点的坐标代入，计算可得b、r的值，即可得答案；
（Ⅱ）根据题意，设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+2＝0，由直线与圆相切的判断方法可得．解可得k的值，将k的值代入直线的方程，即可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，因为圆C的圆心在y轴上，则设C的坐标为（0，b），
则圆C的方程为x2+（y﹣b）2＝r2，
因为圆C过（0，0），（0，2）两点，
所以解得
所以圆C的方程是x2+（y﹣1）2＝1；
（Ⅱ）依题意，知直线l的斜率存在，又由直线l经过点P（2，2），
所以设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+2＝0；
因为直线l与圆C相切，则有．解得k＝0，或；
所以直线l的方程是y＝2或．
32．①圆心C在直线l：2x﹣7y+8＝0上，且B（1，5）是圆上的点；
②圆心C在直线x﹣2y＝0上，但不经过点（4，2），并且直线4x﹣3y＝0与圆C相交所得的弦长为4
③圆C过直线l：2x+y+4＝0和圆x2+y2+2x﹣4y﹣16＝0的交点，
在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，
问题：平面直角坐标系xOy中，圆C过点A（6，0），且_____．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求过点A的圆C的切线方程．
【分析】（1）选①条件，方法一：设所求圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，列方程组，即可求得参数值，从而可求得圆的标准方程；方法二：求出线段AB的垂直平分线m的方程，与直线l联立，即可求得圆心C的坐标，求出|CA|即为半径，从而可得圆的标准方程；
选②条件，设所求圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，由已知可得a＝2b，利用垂径定理可求得b值，从而可求得圆的标准方程；
选③条件，根据已知可设圆C的方程为x2+y2+2x﹣4y﹣16+λ（2x+y+4）＝0，代入点A，求得λ，从而可求得圆的标准方程；
（2）求出直线AC的斜率，从而可得切线斜率，利用点斜式即可求得切线方程．
【解答】解：选 ①条件
（1）（方法一）设所求圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，
由题意得，解得a＝3，b＝2，r2＝13，
所以所求圆的方程是（x﹣3）2+（y﹣2）2＝13．
（方法二）设线段AB的垂直平分线为m，则圆心C在直线上且在直线l上，即C是m与l的交点，
直线AB的斜率是﹣1，直线m的斜率是1，AB中点为，
所以直线m：x﹣y﹣1＝0，联立方程组，解得，
所以圆心C（3，2）且
所以所求圆的方程是（x﹣3）2+（y﹣2）2＝13．
（2）∵A在圆C上，，过点A的切线斜率为，
∴过点A的切线方程是，即3x﹣2y﹣18＝0．
选②条件
（1）设所求圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，由题意得a＝2b，
设圆心C到直线4x﹣3y＝0距离为d，r2＝（a﹣6）2+b2，由垂径定理可知r2＝d2+22，
即，将a＝2b代入得，b1＝2，b2＝4，
又因为圆C不经过点（4，2），所以a＝8，b＝4，r2＝20，
所以所求圆的方程是（x﹣8）2+（y﹣4）2＝20．
（2）∵A在圆C上，kAC＝2，过点A的切线斜率为，
∴过点A的切线方程是，即x+2y﹣6＝0．
选 ③条件
（1）设所求圆C的方程为x2+y2+2x﹣4y﹣16+λ（2x+y+4）＝0
代入点A（6，0）得λ＝﹣2
所以所求圆的方程为x2+y2﹣2x﹣6y﹣32＝0，即（x﹣1）2+（y﹣3）2＝42．
（2））∵A在圆C上，kAC＝﹣，过点A的切线斜率为，
∴过点A的切线方程是y＝（x﹣6），即5x﹣3y﹣30＝0．
33．已知圆C：x2+y2﹣4x+ay+1＝0（a∈R），过定点P（0，1）作斜率为﹣1的直线交圆C于A、B两点，P为AB的中点．
（1）求实数a的值；
（2）从圆外一点M向圆C引一条切线，切点为N，且有MN＝MP，求MN的最小值．
【分析】（1）根据点在圆内和垂直关系，列方程求出即可；
（2）根据勾股定理和MN＝MP，得到（x+2）2+（y+1）2＝4，求出P到此圆的圆心距离得到MP的最小值，即可求出MN的最小值．
【解答】解：（1）x2+y2﹣4x+ay+1＝0（a∈R），得C（2，﹣），
因为P为AB的中点，P在圆内且CP⊥AB，
所以，解得a＝﹣6，
（2）由（1）得x2+y2﹣4x﹣6y+1＝0，即（x﹣2）2+（y﹣3）2＝12，
圆心C（2，3），半径r＝2，
设M（x，y），MN⊥CN，
所以MN2＝MC2﹣r2＝MC2﹣12，
又MN＝MP，所以2MP2＝MC2﹣12，则2x2+2（y﹣1）2＝（x﹣2）2+（y﹣3）2﹣12，
得（x+2）2+（y+1）2＝4，由MN＝MP，
故MN取最小值即MP取最小值，
点P（0，1）到圆（x+2）2+（y+1）2＝4的圆心距离d＝，
所以MP的最小值为2﹣2，所以MN的最小值为4﹣2．
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