人教版2021届一轮复习打地基练习 平面与平面间的位置关系

这是一份人教版2021届一轮复习打地基练习 平面与平面间的位置关系，共16页。试卷主要包含了已知平面α，β和直线l，等内容，欢迎下载使用。
人教版2021届一轮复习打地基练习 平面与平面间的位置关系
一．选择题（共14小题）
1．已知a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，若a⊥α，b⊥β，a∥β，则下列命题中正确的是（　　）
A．b⊥α B．b∥α C．α⊥β D．α∥β
2．已知平面α与平面β相交，平面β∥平面γ，则平面α与平面γ的位置关系是（　　）
A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或相交
3．已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为3，Q到α的距离为23，则P、Q两点之间距离的最小值为（　　）

A．1 B．2 C．23 D．4
4．已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列错误的是（　　）
A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β D．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
5．已知三个不同的平面α，β，γ，两条不同的直线m，n，则下列命题正确的是（　　）
A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
B．若m⊥α，n⊥β，m⊂γ，n⊂γ，则α⊥β
C．若m∥α，n∥β，m⊂γ，n⊂γ，则α，β平行或相交
D．若m∥α，n∥α，α⊥β，则m∥β，n∥β
6．如果在两个平面内分别有一条直线，它们互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（　　）
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．垂直相交
7．已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α、β，下列命题中正确命题个数为（　　）
①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l⊥m则α⊥β
③若l⊥n，m⊥n，则l∥m④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有（　　）
A．1条或2条 B．2条或3条
C．1条或3条 D．1条或2条或3条
9．已知α，β是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，且α∩β＝l，则下列命题正确的是（　　）
A．若m∥α，n∥β，则m∥n∥l B．若m∥α，n⊥l，则m⊥n
C．若m⊥α，n∥β，则n⊥l D．若m⊥α，n∥l，则m⊥n
10．已知平面α，β和直线l，（　　）
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊂β，则α∥β
C．若l⊥α，l⊂β，则α⊥β D．若l⊥α，l⊥β，则α⊥β
11．已知a、b、c表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，则下列判断正确的是（　　）
A．若a⊥c，b⊥c，则a∥b B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若α⊥a，β⊥a，则α∥β D．若a⊥α，b⊥a，则b∥α
12．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是（　　）
A．平面α内有一条直线与平面B平行
B．平面α内有两条直线与平面β平行
C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D．平面α与平面β不相交
13．已知空间三个平面α，β，γ，下列判断正确的是（　　）
A．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ B．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ
C．若α∥β，α∥γ，则β⊥γ D．若α∥β，α∥γ，则β∥γ
14．设α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，下列说法正确的是（　　）
A．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β B．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n∥β
C．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β D．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n
二．多选题（共3小题）
15．在空间中，如下四个命题正确的有（　　）
A．平行于同一个平面的两条直线是平行直线
B．垂直于同一条直线的两个平面是平行平面
C．若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，则α∥β
D．过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直
16．已知α，β，γ是空间不同的三个平面，则正确的命题是（　　）
A．α∥β，β∥γ⇒α∥γ B．α⊥β，β⊥γ⇒α⊥γ
C．α⊥β，β⊥γ⇒α∥γ D．α∥β，β⊥γ⇒α⊥γ
17．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下面结论正确的是（　　）

A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．平面ACC1A1⊥CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
三．填空题（共2小题）
18．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：
（1）若m⊥α，n∥α，则m⊥n．
（2）若m⊥n，n∥α，则m⊥α．
（3）若m⊥α，α∥β，则m⊥β．
（4）若m⊥α，m⊥β，则α∥β．
其中正确命题的序号是　 　（写出所有正确命题的序号）
19．下列命题正确的序号是　 　．（其中l，m表示直线，α，β，γ表示平面）
（1）若l∥m，l⊥α，m⊂β，则α⊥β；
（2）若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；
（3）若l⊥m，l⊂α，m⊂β，则α⊥β；
（4）若l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β
四．解答题（共2小题）
20．一个正方体的平面展开图及正方体的直观图的示意图如图所示：
（Ⅰ）请将字母E，F，G，H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；
（Ⅱ）在正方体中，判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论．

21．如图，已知直二面角α﹣PQ﹣β，A∈PQ，B∈α，C∈β，∠BAP＝45°，CA＝CB，直线CA和平面α所成的角为30°．
（Ⅰ）证明BC⊥PQ；
（Ⅱ）求二面角B﹣AC﹣P的大小．


人教版2021届一轮复习打地基练习 平面与平面间的位置关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．已知a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，若a⊥α，b⊥β，a∥β，则下列命题中正确的是（　　）
A．b⊥α B．b∥α C．α⊥β D．α∥β
【分析】根据平面与平面之间的位置关系以及空间中直线间的位置关系进行判断
【解答】解：a⊥α，b⊥β，a∥β，
A、b∥α，故本选项不符合题意；
B、b∥α或b⊆α，故本选项不符合题意；
C、α⊥β，故本选项符合题意；
D、α⊥β，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．已知平面α与平面β相交，平面β∥平面γ，则平面α与平面γ的位置关系是（　　）
A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或相交
【分析】利用平面与平面平行的性质，即可得出结论．
【解答】解：∵平面α与平面β相交，平面β∥平面γ，
∴平面α与平面γ相交，且交线平行，
故选：B．
3．已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为3，Q到α的距离为23，则P、Q两点之间距离的最小值为（　　）

A．1 B．2 C．23 D．4
【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ＝∠PBD＝60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．
【解答】解：如图
分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，
连CQ，BD则∠ACQ＝∠PDB＝60°，AQ=23，BP=3，
又∵PQ=AQ2+AP2=12+AP2≥23
当且仅当AP＝0，即点A与点P重合时取最小值．
故选：C．

4．已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列错误的是（　　）
A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β D．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
【分析】在A中，m与n平行或异面；在B中，由面面垂直的判定定理得α∥β；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β正确；在D中，由线面垂直的判定定理得n⊥α．
【解答】解：由α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，知：
在A中，∵m∥α，α∩β＝n，∴m与n平行或异面，故A错误；
在B中，∵m⊥α，m⊥β，∴由面面垂直的判定定理得α∥β，故B正确；
在C中，∵m⊥α，m⊂β，∴由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；
在D中，∵m∥n，m⊥α，∴由线面垂直的判定定理得n⊥α，故D正确．
故选：A．
5．已知三个不同的平面α，β，γ，两条不同的直线m，n，则下列命题正确的是（　　）
A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
B．若m⊥α，n⊥β，m⊂γ，n⊂γ，则α⊥β
C．若m∥α，n∥β，m⊂γ，n⊂γ，则α，β平行或相交
D．若m∥α，n∥α，α⊥β，则m∥β，n∥β
【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，α与β相交或平行；在C中，α，β平行或相交；在D中，m与β相交、平行或m⊂β，n与β相交、平行或n⊂β．
【解答】解：由三个不同的平面α，β，γ，两条不同的直线m，n，知：
在A中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故A错误；
在B中，若m⊥α，n⊥β，m⊂γ，n⊂γ，则α与β相交或平行，故B错误；
在C中，若m∥α，n∥β，m⊂γ，n⊂γ，则α，β平行或相交，故C正确；
在D中，若m∥α，n∥α，α⊥β，则m与β相交、平行或m⊂β，n与β相交、平行或n⊂β，故D错误．
故选：C．
6．如果在两个平面内分别有一条直线，它们互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（　　）
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．垂直相交
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
【解答】解：在两个平面内分别有一条直线，
这两条直线互相平行，
当两个平面相交时，在这两个平面内存在直线，使得这两条直线互相平行．
当两个平面平行时，在这两个平面内存在直线，使得这两条直线互相平行．
故这两个平面有可能相交或平行．
∴这两个平面的位置关系是相交或平行．
故选：C．
7．已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α、β，下列命题中正确命题个数为（　　）
①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l⊥m则α⊥β
③若l⊥n，m⊥n，则l∥m④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①利用线面平行的判定定理即可得出；
②利用面面垂直的判定定理即可判断出；
③利用线线的位置关系即可得出；
④利用面面垂直的性质定理即可得出．
【解答】解：①若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，因此不正确；
②若l⊥α，m⊥β且l⊥m，利用面面垂直的判定定理可得：α⊥β，正确；
③若l⊥n，m⊥n，则l∥m、相交或为异面直线，因此不正确；
④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，利用面面垂直的性质定理即可得出：n⊥α，因此正确．
综上可知：只有②④正确．
故选：B．
8．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有（　　）
A．1条或2条 B．2条或3条
C．1条或3条 D．1条或2条或3条
【分析】分平面β与γ平行和不平行进行讨论，并且以棱柱或棱锥的侧面为例进行研究，即可得到三个平面的交线条数．
【解答】解：①若平面β∥平面γ，平面α与平面β，γ都相交，则它们有2条交线，且这2条交线互相平行；
②若平面β∩平面γ＝a，平面α是经过直线a的平面，则三个平面只有一条交线，即直线a；
③若平面β∩平面γ＝a，平面α与平面β，γ都相交，但交线与直线a不重合，则它们有3条交线，
例如棱柱或棱锥的三个侧面相交于三条直线，即三条侧棱．
综上所述，这三个平面的交线的条数可能是1条、2条或3条．
故选：D．
9．已知α，β是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，且α∩β＝l，则下列命题正确的是（　　）
A．若m∥α，n∥β，则m∥n∥l B．若m∥α，n⊥l，则m⊥n
C．若m⊥α，n∥β，则n⊥l D．若m⊥α，n∥l，则m⊥n
【分析】利用线面平行垂直的判定定理与性质定理即可判断出．
【解答】解：A．由m∥α，n∥β，则m∥n∥l不一定成立；
B．若m∥α，n⊥l，由于n⊥α不一定成立，因此m⊥n不一定成立；
C．若m⊥α，n∥β，则n⊥l不成立；
D．若m⊥α，则m⊥l，又n∥l，则m⊥n，正确．
故选：D．
10．已知平面α，β和直线l，（　　）
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊂β，则α∥β
C．若l⊥α，l⊂β，则α⊥β D．若l⊥α，l⊥β，则α⊥β
【分析】A中，l∥α，l∥β时，α与β相交，或α∥β；
B中，l∥α，l⊂β时，α与β相交，或α∥β；
C中，l⊥α，l⊂β时，α⊥β；
D中，l⊥α，l⊥β时，α∥β．
【解答】解：对于A，当l∥α，l∥β时，则α与β相交，或α∥β，所以A错误；
对于B，当l∥α，l⊂β时，则α与β相交，或α∥β，所以B错误；
对于C，根据平面垂直的判定定理知，l⊥α，l⊂β时，则α⊥β，所以C正确；
对于D，当l⊥α，l⊥β时，则α∥β，所以D错误．
故选：C．
11．已知a、b、c表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，则下列判断正确的是（　　）
A．若a⊥c，b⊥c，则a∥b B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若α⊥a，β⊥a，则α∥β D．若a⊥α，b⊥a，则b∥α
【分析】在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，由平面与平面平行的判定定理得α∥β；在D中，b∥α或b⊂α．
【解答】解：由a、b、c表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，知：
在A中：若a⊥c，b⊥c，则a与b相交、平行或异面，故A错误；
在B中：若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故B错误；
在C中，若α⊥a，β⊥a，则由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故C正确；
在D中，若a⊥α，b⊥a，则b∥α或b⊂α，故D错误．
故选：C．
12．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是（　　）
A．平面α内有一条直线与平面B平行
B．平面α内有两条直线与平面β平行
C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D．平面α与平面β不相交
【分析】根据面面平行的判定定理、平面与平面的位置关系即可判断出结论．
【解答】解：对于A，平面α内有一条直线与平面β平行，则平面α与平面β相交或平行，故A不正确；
对于B，平面α内有两条直线与平面β平行，则平面α与平面β相交或平行，故B不正确；
对于C，平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行，则平面α与平面β相交或平行，故C不正确；
对于D，平面α与平面β不相交，则平面α与平面β平行，故D正确．
故选：D．
13．已知空间三个平面α，β，γ，下列判断正确的是（　　）
A．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ B．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ
C．若α∥β，α∥γ，则β⊥γ D．若α∥β，α∥γ，则β∥γ
【分析】对于A，β与γ相交或平行；对于B，β与γ相交或平行；对于C，β∥γ；对于D，由面面平行的判定定理得β∥γ．
【解答】解：空间三个平面α，β，γ，
对于A，若α⊥β，α⊥γ，则β与γ相交或平行，故A错误；
对于B，若α⊥β，α⊥γ，则β与γ相交或平行，故B错误；
对于C，若α∥β，α∥γ，则β∥γ，故C错误；
对于D，若α∥β，α∥γ，则由面面平行的判定定理得β∥γ，故D正确．
故选：D．
14．设α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，下列说法正确的是（　　）
A．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β B．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n∥β
C．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β D．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n
【分析】对于A，α与β相交或平行；对于B，n与β相交、平行或n⊂β；对于C，由面面垂直的判定定理得α⊥β；对于D，由线面垂直、面面垂直的性质得m⊥n．
【解答】解：α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，
对于A，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α与β相交或平行，故A错误；
对于B，若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n与β相交、平行或n⊂β，故B错误；
对于C，若m∥α，n⊥β，m∥n，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；
对于D，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则由线面垂直、面面垂直的性质得m⊥n，故D错误．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
15．在空间中，如下四个命题正确的有（　　）
A．平行于同一个平面的两条直线是平行直线
B．垂直于同一条直线的两个平面是平行平面
C．若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，则α∥β
D．过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直
【分析】由线面平行的性质判断A；由线面垂直的性质定理判断B；从两平面的位置关系判断C；由射影的条数判断D．
【解答】解：对于A，平行于同一个平面的两条直线相交、平行或异面，故A错误；
对于B，由面面平行的判定定理得垂直于同一条直线的两个平面是平行平面，故B正确；
对于C，若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，则α与β相交或平行，故C错误；
对于D，过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直．正确，
因为一条斜线只有一条射影，只能确定一个平面，故D正确．
故选：BD．
16．已知α，β，γ是空间不同的三个平面，则正确的命题是（　　）
A．α∥β，β∥γ⇒α∥γ B．α⊥β，β⊥γ⇒α⊥γ
C．α⊥β，β⊥γ⇒α∥γ D．α∥β，β⊥γ⇒α⊥γ
【分析】根据空间线面位置关系的定义、性质进行判断．
【解答】解：对于A，若α∥β，β∥γ，则α∥γ，故A正确；
对于B，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ或α与γ相交，故B错误，C错误；
对于D，若α∥β，β⊥γ，则α⊥γ，故D正确．
故选：AD．
17．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下面结论正确的是（　　）

A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．平面ACC1A1⊥CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
【分析】利用正方体侧棱垂直于底面的性质，结合线面平行、线面垂直、面面垂直的判定逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：对于A，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，∴BD∥B1D1，由线面平行的判定可得BD∥面CB1D1，A正确；
对于B，连接AC，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，∴BD⊥AC，且CC1⊥BD，由线面垂直的判定可得BD⊥面ACC1，∴BD⊥AC1，B正确；
对于C，由上可知BD⊥面ACC1，又BD∥B1D1，∴B1D1⊥面ACC1，则平面ACC1A1⊥CB1D1，C正确；
对于D，异面直线AD与CB1所成的角即为直线BC与CB1所成的角，为45°，D错误．
故选：ABC．

三．填空题（共2小题）
18．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：
（1）若m⊥α，n∥α，则m⊥n．
（2）若m⊥n，n∥α，则m⊥α．
（3）若m⊥α，α∥β，则m⊥β．
（4）若m⊥α，m⊥β，则α∥β．
其中正确命题的序号是　（1）（3）（4）　（写出所有正确命题的序号）
【分析】由题意，（1）若m⊥α，n∥α，则m⊥n．此命题由线面垂直判断线线垂直，由性质判断即可
（2）若m⊥n，n∥α，则m⊥α．此命题由线线垂直，线面平行判断线面垂直，由线面垂直的判定定理判断即可；
（3）若m⊥α，α∥β，则m⊥β．此命题由线面垂直与面面平行判断线面垂直，由线面垂直的条件判断即可；
（4）若m⊥α，m⊥β，则α∥β． 此命题由线面垂直判断面面平行，由面面平行的条件判断即可．
【解答】解：（1）若m⊥α，n∥α，则m⊥n．此命题正确，因为n∥α，知在面内必存在一线与n平行，由m⊥α知，此线与m垂直，故可得m⊥n；
（2）若m⊥n，n∥α，则m⊥α．此命题错误，因为m⊥n，n∥α只能得出m与面内有些线垂直，不能得出它垂直于面内任意一条直线，故不正确；
（3）若m⊥α，α∥β，则m⊥β．此命题正确，因为m⊥α，α∥β，一条直线垂直于两平行平面中的一个，必垂直于另一个；
（4）若m⊥α，m⊥β，则α∥β．此命题正确，因为m⊥α，m⊥β，而垂直于同一直线的两个平面必平行故可得结论；
综上（1）（3）（4）是正确命题
故答案为（1）（3）（4）
19．下列命题正确的序号是　（1）（2）（4）　．（其中l，m表示直线，α，β，γ表示平面）
（1）若l∥m，l⊥α，m⊂β，则α⊥β；
（2）若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；
（3）若l⊥m，l⊂α，m⊂β，则α⊥β；
（4）若l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β
【分析】利用空间线面位置关系的判定与性质进行判断，或举出反例说明即可．
【解答】解：对于（1），∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又m⊂β，∴α⊥β，故（1）正确；
对于（2），∵α⊥γ，∴α内存在直线a，使得a⊥γ，
∵β∥γ，∴a⊥β，又a⊂α，∴α⊥β，故（2）正确；
对于（3），若α∥β，直线l在β内的射影为n，
若n⊥m，则l⊥m，显然符合条件，但α与β不垂直，故（3）错误；
对于（4），若l⊥m，l⊥α，则m∥α或m⊂α，
又m⊥β，∴α⊥β．故（4）正确．
故答案为：（1）（2）（4）．
四．解答题（共2小题）
20．一个正方体的平面展开图及正方体的直观图的示意图如图所示：
（Ⅰ）请将字母E，F，G，H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；
（Ⅱ）在正方体中，判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论．

【分析】（Ⅰ）直接标出点F，G，H的位置．
（Ⅱ）先证BCHE为平行四边形，可知BE∥平面ACH，同理可证BG∥平面ACH，即可证明平面BEG∥平面ACH．
【解答】解：（Ⅰ）点E，F，G，H的位置如图所示．
（Ⅱ）平面BEG∥平面ACH，证明如下：
连接AH，AC，CH，BE，BG，EG

∵ABCD﹣EFGH为正方体，
∴BC∥FG，BC＝FG，
又FG∥EH，FG＝EH，
∴BC∥EH，BC＝EH，
∴BCHE为平行四边形．
∴BE∥CH，
又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，
∴BE∥平面ACH，
同理BG∥平面ACH，
又BE∩BG＝B，
∴平面BEG∥平面ACH．

21．如图，已知直二面角α﹣PQ﹣β，A∈PQ，B∈α，C∈β，∠BAP＝45°，CA＝CB，直线CA和平面α所成的角为30°．
（Ⅰ）证明BC⊥PQ；
（Ⅱ）求二面角B﹣AC﹣P的大小．

【分析】（1）在平面β内过点C作CO⊥PQ于点O，连接OB，欲证PQ⊥BC，即证PQ⊥平面OBC，因BO⊥PQ．又CO⊥PQ且BO∩CO＝O，根据线面垂直的判定定理可证PQ⊥平面OBC；
（2）过点O作OH⊥AC于点H，连接BH，由三垂线定理知，BH⊥AC，故∠BHO是二面角B﹣AC﹣P的平面角，然后在Rt△BOH中解出此角即可．
【解答】解：（I）在平面β内过点C作CO⊥PQ于点O，连接OB．
因为α⊥β，α∩β＝PQ，所以CO⊥α，
又因为CA＝CB，所以OA＝OB．
而∠BAO＝45°，所以∠ABO＝45°，∠AOB＝90°．从而BO⊥PQ．又CO⊥PQ，
所以PQ⊥平面OBC．因为BC⊂平面OBC，故PQ⊥BC．
（II）由（I）知，BO⊥PQ，又α⊥β，α∩β＝PQ，BO⊂α，所以BO⊥β．
过点O作OH⊥AC于点H，连接BH，由三垂线定理知，BH⊥AC．
故∠BHO是二面角B﹣AC﹣P的平面角．
由（I）知，CO⊥α，所以∠CAO是CA和平面α所成的角，则∠CAO＝30°，
不妨设AC＝2，则AO=3，OH=AOsin30°=32．
在Rt△OAB中，∠ABO＝∠BAO＝45°，所以BO=AO=3，
于是在Rt△BOH中，tan∠BHO=BOOH=332=2．
故二面角B﹣AC﹣P的大小为arctan2．