人教版2022届一轮复习打地基练习 基本不等式及其应用

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人教版2022届一轮复习打地基练习 基本不等式及其应用
一．选择题（共14小题）
1．已知x＞3，y＝x+1x−3，则y的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知正实数a，b满足a+b＝1，则a2+4a+b2+1b的最小值为（　　）
A．13 B．11 C．10 D．9
3．已知a＞b＞0，则2a+4a+b+1a−b的最小值为（　　）
A．6 B．4 C．23 D．32
4．设2a＝5b＝m，且1a+1b=2，则m等于（　　）
A．10 B．10 C．20 D．100
5．设x+3y＝2，则函数z＝3x+27y的最小值是（　　）
A．12 B．27 C．6 D．30
6．已知x，y为正实数，且xy＝4，则x+4y的最小值是（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
7．已知正实数x，y满足4x+3y＝4，则12x+1+13y+2的最小值为（　　）
A．38+24 B．12+23 C．12+24 D．12+22
8．已知实数m、n满足2m+n＝2，其中mn＞0，则1m+2n的最小值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
9．已知x＞0，y＞0，且x+y＝8，则（1+x）（1+y）的最大值为（　　）
A．16 B．25 C．9 D．36
10．已知正数a，b满足a+b＝2，则aa+1+4bb+1的最大值是（　　）
A．92 B．114 C．1 D．73
11．设a＞0，b＞0，若2是4a与2b的等比中项，则1a+1b的最小值为（　　）
A．1 B．22 C．32+2 D．3+22
12．已知a，b∈R，a+b＝2．则1a2+1+1b2+1的最大值为（　　）
A．1 B．65 C．2+12 D．2
13．已知两个正实数x，y满足x+y＝2，则1x+9y+1的最小值是（　　）
A．163 B．112 C．8 D．3
14．设a，b为实数，且a+b＝3，则2a+2b的最小值是（　　）
A．6 B．42 C．22 D．8
二．多选题（共1小题）
15．下列结论正确的是（　　）
A．若x＜0，则y=x+1x的最大值为﹣2
B．若a＞0，b＞0，则ab≤(a+b2)2
C．若a＞0，b＞0，且a+4b＝1，则1a+1b的最大值为9
D．若x∈[0，2]，则y=x4−x2的最大值为2
三．填空题（共9小题）
16．已知b＞a＞1，且3logab+2logba＝7，则a2+1b−1的最小值为　 　．
17．设a＞0，b＞0，且5ab+b2＝1，则a+b的最小值为　 　．
18．若正实数a、b满足a+b＝ab，则a+ba+64ab的最小值为　 　．
19．函数y=(x+5)(x+2)x+1（x＞﹣1）的最小值为　 　．
20．已知a＞0，b＞0，a+4b＝4，则4a+9b的最小值为　 　．
21．已知正实数x，y满足x+y＝1，则yx+2xy的最小值为　 　．
22．已知x＞2，y＞1，且（x+y﹣3）（x+2y﹣3）＝9，则3x+4y的最小值为　 　．
23．函数f（x）＝aex+be﹣x（a∈R+，b∈R+），已知f（x）的最小值为4，则点（a，b）到直线2x+y−2=0距离的最小值为　 　．
24．设x，y是正实数，且x+y＝1，则x2x+2+y2y+1的最小值是　 　．
四．解答题（共5小题）
25．为保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y=13x3−80x2+5040x，x∈[120，144)12x2−200x+80000，x∈[144，500]，
（1）写出每吨的平均处理成本S与月处理量x（吨）之间的函数关系式；
（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？并求出该最小值．
26．某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元，该船每年捕捞总收入50万元．
（1）问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？
（2）问捕捞几年后年平均利润最大，最大是多少？
27．有一批材料，可以建成长为240米的围墙如图，如果用材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地，中间用同样材料隔成三个相等面积的矩形，怎样围法才可取得最大的面积？并求此面积．

28．党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计．而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑．沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效．通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果．为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低？最低总造价是多少元？
29．设x+y+z＝1，求F＝2x2+3y2+z2的最小值．

人教版2022届一轮复习打地基练习 基本不等式及其应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．已知x＞3，y＝x+1x−3，则y的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】x+1x−3=x﹣3+1x−3+3，由基本不等式可知y≥5，即可得最小值．
【解答】解：因为y＝x+1x−3=x﹣3+1x−3+3，又因为x＞3，所以x﹣3＞0，
所以y≥5，当且仅当x＝4时，等号成立，
故选：D．
2．已知正实数a，b满足a+b＝1，则a2+4a+b2+1b的最小值为（　　）
A．13 B．11 C．10 D．9
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：由a2+4a+b2+1b=a+b+4a+1b=1+4a+1b
∵a+b＝1，
∴4a+1b=（4a+1b）（a+b）＝5+4ba+ab≥24ba×ab+5=9，当且仅当b=13，a=23时取等号．
∴a2+4a+b2+1b的最小值为9+1＝10
故选：C．
3．已知a＞b＞0，则2a+4a+b+1a−b的最小值为（　　）
A．6 B．4 C．23 D．32
【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵a＞b＞0，
∴2a+4a+b+1a−b=（a+b）+4a+b+（a﹣b）+1a−b≥2(a+b)⋅4a+b+2(a−b)⋅1a−b=6，当且仅当a+b=2a−b=1，即a=32，b=12时取等号．
∴2a+4a+b+1a−b的最小值为6．
故选：A．
4．设2a＝5b＝m，且1a+1b=2，则m等于（　　）
A．10 B．10 C．20 D．100
【分析】推导出a＝log2m，b＝log5m，从而1a+1b=logm2+logm5＝logm10＝2，由此能求出结果．
【解答】解：∵2a＝5b＝m，且1a+1b=2，
∴a＝log2m，b＝log5m，
∴1a+1b=logm2+logm5＝logm10＝2，
∴m2＝10，解得m=10．
故选：A．
5．设x+3y＝2，则函数z＝3x+27y的最小值是（　　）
A．12 B．27 C．6 D．30
【分析】利用基本不等式的性质与指数运算的性质即可得出．
【解答】解：∵x+3y＝2，
∴函数z＝3x+27y＝≥23x×27y=23x+3y=6，
当且仅当x＝3y＝1时取等号．
∴函数z＝3x+27y的最小值是6．
故选：C．
6．已知x，y为正实数，且xy＝4，则x+4y的最小值是（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解．
【解答】解：∵x＞0，y＞0
∴x+4y≥24xy=8，
当且仅当x＝4y且xy＝4，即x＝4，y＝1时取等号，
∴x+4y的最小值为8．
故选：B．
7．已知正实数x，y满足4x+3y＝4，则12x+1+13y+2的最小值为（　　）
A．38+24 B．12+23 C．12+24 D．12+22
【分析】将4x+3y＝4变形为含2x+1和3y+2的等式，即2（2x+1）+（3y+2）＝8，再将式子换元，由基本不等式换“1”法求解即可．
【解答】解：由正实数x，y满足4x+3y＝4，可得2（2x+1）+（3y+2）＝8，
令a＝2x+1，b＝3y+2，可得2a+b＝8，
所求12x+1+13y+2=1a+1b=(1a+1b)×(2a+b)×18
=18×(2+2ab+ba+1)≥18×(3+22ab×ba)，
即1a+1b≥18×(3+22)，
即1a+1b≥38+24，当且仅当2ab=ba时取等号，
所以答案为38+24，
故选：A．
8．已知实数m、n满足2m+n＝2，其中mn＞0，则1m+2n的最小值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵实数m、n满足2m+n＝2，其中mn＞0，
∴1m+2n=12(2m+n)(1m+2n)=12(4+nm+4mn)≥12(4+2nm⋅4mn)=12(4+4)=4，当且仅当nm=4mn，2m+n＝2，即n＝2m＝1时取等号．
∴1m+2n的最小值是4．
故选：A．
9．已知x＞0，y＞0，且x+y＝8，则（1+x）（1+y）的最大值为（　　）
A．16 B．25 C．9 D．36
【分析】展开已知条件，利用基本不等式可得（1+x）（1+y）的最大值．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，且x+y＝8，
∴（1+x）（1+y）＝1+（x+y）+xy＝9+xy≤9+(x+y)24=9+16＝25，
当且仅当x＝y＝5时，取等号，
∴（1+x）（1+y）的最大值为25．
故选：B．
10．已知正数a，b满足a+b＝2，则aa+1+4bb+1的最大值是（　　）
A．92 B．114 C．1 D．73
【分析】化简aa+1+4bb+1=5﹣（1a+1+4b+1），从而转化为利用基本不等式求1a+1+4b+1的最值即可．
【解答】解：aa+1+4bb+1=1−1a+1+4−4b+1=5﹣（1a+1+4b+1），
∵a+b＝2，∴a+1+b+1＝4，
1a+1+4b+1=14（1a+1+4b+1）（a+1+b+1）=14（1+4+b+1a+1+4(a+1)b+1），
b+1a+1+4(a+1)b+1≥24=4（当且仅当b+1a+1=4(a+1)b+1，即a=13，b=53时，等号成立），
故14（1+4+b+1a+1+4(a+1)b+1）≥14×9，即1a+1+4b+1≥94，
故aa+1+4bb+1=5﹣（1a+1+4b+1）≤114，
故选：B．
11．设a＞0，b＞0，若2是4a与2b的等比中项，则1a+1b的最小值为（　　）
A．1 B．22 C．32+2 D．3+22
【分析】根据等比中项的性质得到2a+b＝1，利用1的代换，结合基本不等式的应用进行转化求解即可．
【解答】就∵a＞0，b＞0，若2是4a与2b的等比中项，
∴4a•2b＝（2）2＝2，
即22a+b＝2，
即2a+b＝1，
1a+1b=（1a+1b）（2a+b）＝2+1+ba+2ab≥3+2ba⋅2ab=3+22，
当且仅当ba=2ab，即b2＝2a2时取等号，
故1a+1b的最小值为3+22，
故选：D．
12．已知a，b∈R，a+b＝2．则1a2+1+1b2+1的最大值为（　　）
A．1 B．65 C．2+12 D．2
【分析】化简配方可得1a2+1+1b2+1=4−2(ab−1)(ab−1)2+4，令t＝6﹣2ab，t＞0，再由基本不等式计算可得最大值．
【解答】解：a，b∈R，a+b＝2．
则1a2+1+1b2+1=a2+b2+21+a2+b2+(ab)2
=(a+b)2−2ab+21+(a+b)2−2ab+(ab)2=6−2ab5−2ab+(ab)2，
令t＝6﹣2ab，t＞0，则ab=6−t2，
则6−2ab5−2ab+(ab)2=tt−1+(6−t2)2=4tt2−8t+32=4t+32t−8≤482−8=1+22．
当且仅当t＝42时，取得等号，
则1a2+1+1b2+1的最大值为2+12，
故选：C．
13．已知两个正实数x，y满足x+y＝2，则1x+9y+1的最小值是（　　）
A．163 B．112 C．8 D．3
【分析】1x+9y+1=13（1x+9y+1）（x+y+1），展开后结合基本不等式即可直接求解．
【解答】解：因为正实数x，y满足x+y＝2，
则1x+9y+1=13（1x+9y+1）（x+y+1）=13（10+y+1x+9xy+1）≥13(10+2y+1x⋅9xy+1)=163．
当且仅当y+1x=9xy+1且x+y＝2，即x=34，y=54时取等号．
故选：A．
14．设a，b为实数，且a+b＝3，则2a+2b的最小值是（　　）
A．6 B．42 C．22 D．8
【分析】根据基本不等式的性质与幂的运算性质，有2a+2b≥2 2a⋅2b=22a+b，结合题意a+b＝3，代入可得答案．
【解答】解：根据基本不等式的性质，有2a+2b≥2 2a⋅2b=22a+b，
又由a+b＝3，
则2a+2b≥22a+b=42，
故选：B．
二．多选题（共1小题）
15．下列结论正确的是（　　）
A．若x＜0，则y=x+1x的最大值为﹣2
B．若a＞0，b＞0，则ab≤(a+b2)2
C．若a＞0，b＞0，且a+4b＝1，则1a+1b的最大值为9
D．若x∈[0，2]，则y=x4−x2的最大值为2
【分析】直接利用均值不等式的应用和关系式的变换的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：由于x＜0，所以﹣x＞0，故(−x)+(−1x)≥2，则x+1x≤−2，当且仅当x＝﹣1时，等号成立，故A正确；
对于B：由于若a＞0，b＞0，利用均值不等式ab≤a+b2，则ab≤(a+b2)2，故B正确；
对于C：若a＞0，b＞0，且a+4b＝1，则1a+1b=（1a+1b）（a+4b）＝1+4+4ba+ab≥5+4＝9（当且仅当a=13，b=16时等号成立），故C错误；
对于D：若x∈[0，2]，则y=x4−x2=x2⋅4−x2≤x2+4−x22=2，当且仅当x=2时，等号成立，故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共9小题）
16．已知b＞a＞1，且3logab+2logba＝7，则a2+1b−1的最小值为　3　．
【分析】利用已知条件结合对数的运算法则，求出ab的关系式，化简所求表达式，利用基本不等式求解最小值即可．
【解答】解：b＞a＞1，且3logab+2logba＝7，∴logab＞1，令m＝logab，
∴方程化为：3m2﹣7m+2＝0，解得m=13（舍去），m＝2，
即logab＝2，可得a2＝b，
则a2+1b−1=b+1b−1=b﹣1+1b−1+1≥2(b−1)×1b−1+1＝3．
当且仅当b＝2时取等号．
故答案为：3．
17．设a＞0，b＞0，且5ab+b2＝1，则a+b的最小值为　45　．
【分析】由已知先用b表示a，然后代入到所求式子后，利用基本不等式即可求解．
【解答】解：因为a＞0，b＞0，且5ab+b2＝1，
所以a=1−b25b，
因为a＞0，
所以0＜b＜1，
a+b=1+4b25b=15b+4b5≥215b⋅4b5=45，
当且仅当15b=4b5，即b=12，a=310时取等号，
则a+b的最小值45．
故答案为：45．
18．若正实数a、b满足a+b＝ab，则a+ba+64ab的最小值为　15　．
【分析】将正实数a、b满足的a+b＝ab变形为ba=b﹣1，代入a+ba+64ab再利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：若正实数a、b满足a+b＝ab，
则a+ba=aba，即ba=b﹣1，
则a+ba+64ab=a+b﹣1+64a+b≥2(a+b)⋅(64a+b)−1＝16﹣1＝15，
当且仅当a+b=64a+b时，a+b＝8且a+b＝ab时取等号，
即a=4+22b=4−22或a=4−22b=4+22时取等号，
故a+ba+64ab的最小值为15；
故答案为：15．
19．函数y=(x+5)(x+2)x+1（x＞﹣1）的最小值为　9　．
【分析】利用换元法，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为x＞﹣1，设t＝x+1，则t＞0，
y=(x+5)(x+2)x+1=(t+1)(t+4)t=t+4t+5≥2t⋅4t+5=9，
当且仅当t=4t，即t＝2时取等号，此时取得最小值9．
故答案为：9．
20．已知a＞0，b＞0，a+4b＝4，则4a+9b的最小值为　16　．
【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式转化求解即可．
【解答】解：因为4a+9b=14(a+4b)(4a+9b)=14(40+16ba+9ab)，
16ba+9ab≥216ba⋅9ab=24，当且仅当a＝1，b=34时，等号成立．
所以4a+9b≥16．
故答案为：16．
21．已知正实数x，y满足x+y＝1，则yx+2xy的最小值为　4+26　．
【分析】先由题设⇒yx+2xy=−1+3−xx(1−x)，令t＝3﹣x∈（2，3），得到：yx+2xy=−1+15−(t+6t)，再利用基本不等式求得其最小值即可．
【解答】解：∵正实数x，y满足x+y＝1，
∴y＝1﹣x，x∈（0，1），
∴yx+2xy=1−xx+2x(1−x)=−1+1x+2x(1−x)=−1+3−xx(1−x)，
令t＝3﹣x∈（2，3），
则yx+2xy=−1+t(3−t)(t−2)=−1+t−t2−6+5t=−1+15−(t+6t)≥−1+15−2t⋅6t=−1+5+26=4+26，
当且仅当t=6时取“＝”，
故答案为：4+26．
22．已知x＞2，y＞1，且（x+y﹣3）（x+2y﹣3）＝9，则3x+4y的最小值为　62+9　．
【分析】直接利用换元法和基本不等式，求出结果．
【解答】解：令x+y﹣3＝m，x+2y﹣3＝n，则m＞0，n＞0，
所以mn＝9，x＝2m﹣n+3，y＝n﹣m，
所以3x+4y＝2m+n+9，
故由基本不等式，得3x+4y＝2m+n+9≥22mn+9=62+9．
当且仅当x＝3，y=322时，等号成立．
故答案为：62+9．
23．函数f（x）＝aex+be﹣x（a∈R+，b∈R+），已知f（x）的最小值为4，则点（a，b）到直线2x+y−2=0距离的最小值为　3105　．
【分析】利用基本不等式可得f（x）≥2ab=4，然后用点到直线的距离公式求出点（a，b）到直线2x+y−2=0距离，计算其最小值即可．
【解答】解：∵a∈R+，b∈R+，∴f（x）＝aex+be﹣x≥2aex•be−x=2ab，
当且仅当aex＝be﹣x，即ae2x＝b时取等号，
∴f(x)min=2ab=4，∴ab＝4，
∴点（a，b）到直线2x+y−2=0距离，
d=|2a+b−2|22+12≥|22ab−2|5=325=3105，
∴dmin=3105．
故答案为：3105．
24．设x，y是正实数，且x+y＝1，则x2x+2+y2y+1的最小值是　14　．
【分析】该题是考查利用基本不等式求最值问题，但直接运用基本不等式无从下手，可考虑运用换元思想，把要求最值的分母变为单项式，然后利用“1”的代换技巧转化为能利用基本不等式求最值得问题．
【解答】解：设x+2＝s，y+1＝t，则s+t＝x+y+3＝4，
所以x2x+2+y2y+1=(s−2)2s+(t−1)2t=(s−4+4s)+(t−2+1t)=(s+t)+(4s+1t)−6=(4s+1t)−2．
因为4s+1t=14(4s+1t)(s+t)=14(4ts+st+5)≥94
所以x2x+2+y2y+1≥14．
当且仅当s＝2t，即x+y=1x+2=2y+2，即x=23，y=13时等号成立．
故答案为：14．
四．解答题（共5小题）
25．为保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y=13x3−80x2+5040x，x∈[120，144)12x2−200x+80000，x∈[144，500]，
（1）写出每吨的平均处理成本S与月处理量x（吨）之间的函数关系式；
（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？并求出该最小值．
【分析】（1）利用项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y=13x3−80x2+5040x，x∈[120，144)12x2−200x+80000，x∈[144，500]，即可得出结论；
（2）分段讨论，①当x∈[120，144）时，S=13x2−80x+5040，求出S的最小值；②当x∈[144，500]时，利用基本不等式求出S的最小值；比较得每月处理量为多少吨时，能使每吨的平均处理成本最低．
【解答】解：（1）由题意可知二氧化碳每吨的处理成本为S=13x2−80x+5040，x∈[120，144)12x−200+80000x，x∈[144，500]
（2）当x∈[120，144），S=13x2−80x+5040，
∴x＝120时，S取得最小值240；
当x∈[144，500]，S=12x+80000x−200≥212x⋅80000x−200=200
当且仅当12x=80000x，即x＝400时，S有最小值200；
综上，当每月的处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元．
26．某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元，该船每年捕捞总收入50万元．
（1）问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？
（2）问捕捞几年后年平均利润最大，最大是多少？
【分析】（1）由已知中某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元，该船每年捕捞总收入50万，根据总盈利＝总收入﹣总投入，结合等差数列的前n项和公式，即可得到总盈利y关于年数n的函数表达式．进而根据二次函数的性质，得到结论．
（2）根据（1）中总盈利y关于年数n的函数表达式，根据年平均利润为yn，结合基本不等式，即可得到年平均利润最大值，及对应的时间．
【解答】解：（1）设船捕捞n年后的总盈利为y万元，则
y＝50n﹣98﹣[12×n+n(n−1)2×4]＝﹣2（n﹣10）2+102．（5分）
所以，当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．（6分）
（2）年平均利润为yn=−2（n+49n）+40≤﹣28+40＝12．（10分）
当且仅当n=49n，即n＝7时，上式取等号．（11分）
所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．（12分）
27．有一批材料，可以建成长为240米的围墙如图，如果用材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地，中间用同样材料隔成三个相等面积的矩形，怎样围法才可取得最大的面积？并求此面积．

【分析】结合已知条 件，利用基本不等式即可求解面积的最大值及取得的条件．
【解答】解：设每个小矩形的长为x，宽为y，依题意可知4x+3y＝240，
S=3xy=x(240−4x)=4x(60−x)≤4⋅(x+60−x2)2=3600，
当且仅当x＝30取等号，
所以x＝30时，Smax=3600(m2)当面积相等的小矩形的长为30时，矩形面积最大，Smax=3600(m2)

28．党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计．而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑．沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效．通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果．为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低？最低总造价是多少元？
【分析】设沼气池的底面长为x米，沼气池的总造价为y元，依题意有y=3000+150×16+120×2(2x+2×16x)=5400+480(x+16x)，利用基本不等式即可求解．
【解答】解：设沼气池的底面长为x米，沼气池的总造价为y元，
因为沼气池的深为2米，容积为32立方米，所以底面积为16平方米，
因为底面长为x米，所以底面的宽为16x，
依题意有y=3000+150×16+120×2(2x+2×16x)=5400+480(x+16x)，
因为x＞0，由基本不等式和不等式的性质可得5400+480(x+16x)≥5400+480×2x⋅16x，
即y≥5400+480×216，
所以y≥9240，
当且仅当x=16x，即x＝4时，等号成立，
所以当沼气池的底面是边长为4米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元．
29．设x+y+z＝1，求F＝2x2+3y2+z2的最小值．
【分析】由题意，利用已知条件，构造出所求表达式相关的柯西不等式，由柯西不等式求出其最小值．
【解答】解：由题意，
因为x+y+z＝1，
所以（x+y+z）2＝1，
所以1＝（x+y+z）2＝（12⋅2x+13⋅3y+1•z）2≤（12+13+1）（2x2+3y2+z2）
所以F＝2x2+3y2+z2≥611，当且仅当2x12=3y13=z1且x+y+z＝1，即x=311，y=211，z=611时，取“＝”，
所以F的最小值为611．