人教版2022届一轮复习打地基练习 三角函数的周期性

这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 三角函数的周期性，共23页。试卷主要包含了已知函数f，设函数f，函数y＝tan，已知函数f=sin，若函数f，函数y=tan的最小正周期是，下列函数中，最小正周期为π的是等内容，欢迎下载使用。
人教版2022届一轮复习打地基练习 三角函数的周期性
一．选择题（共15小题）
1．已知函数f（x）＝cos4x+sin2x，下列结论中错误的是（　　）
A．f（x）是偶函数
B．函数f（x）最小值为34
C．π2是函数f（x）的一个周期
D．函数f（x）在（0，π2）内是减函数
2．函数f(x)=−2sin(12x+π6)+1的最小正周期是（　　）
A．π2 B．π C．2π D．4π
3．设函数f（x）=3sinωx+cosωx（ω＞0），其图象的一条对称轴在区间（π6，π3）内，且f（x）的最小正周期大于π，则ω的取值范围为（　　）
A．（12，1） B．（0，2） C．(（1，2） D．[1，2）
4．函数y＝tan（2x−π3）的周期为（　　）
A．2π B．π C．π2 D．π4
5．已知函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω＞0)，若函数f（x）在区间（0，π）上有且只有两个零点，则ω的取值范围为（　　）
A．(76，136) B．(76，136] C．(65，116) D．(65，116]
6．下列函数中，周期为π且为偶函数的是（　　）
A．f（x）＝tan2x B．f（x）＝sinxcosx
C．f(x)=cos(2x+π2) D．f（x）＝cos2x﹣sin2x
7．函数y=tan(x−π6)的最小正周期是（　　）
A．2π B．π C．π2 D．π4
8．若对任意实数a，函数y=5sin(2k+13πx−π6)（k∈N）在区间[a，a+3]上的值54出现不少于4次且不多于8次，则k的值为（　　）
A．2 B．4 C．3或4 D．2或3
9．下列函数中，最小正周期为π的是（　　）
A．y＝sinx B．y＝tan2x C．y=sin12x D．y＝cos2x
10．下列函数是奇函数，且最小正周期是π的函数是（　　）
A．y＝cos|2x| B．y＝|sinx|
C．y＝sin（π2+2x） D．y＝cos（3π2−2x）
11．在下列函数中，最小正周期为π的偶函数为（　　）
A．y＝sin|2x| B．y＝|cosx|
C．y=cos(2x+π2) D．y=tan(x−π4)
12．函数y=2sin(−x2+π3)的最小正周期是（　　）
A．π B．﹣4π C．4π D．2π
13．函数y＝cos2x的最小正周期是（　　）
A．π B．π2 C．π4 D．2π
14．在下列函数①y=sin(2x+π6)②y=|sin(x+π4)|③y＝cos|2x|④y=tan(2x−π4)⑤y＝|tanx|⑥y＝sin|x|中最小正周期为π的函数的个数为（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
15．函数f（x）=12sin2x的最小正周期是（　　）
A．π2 B．π C．2π D．4π
二．填空题（共18小题）
16．若函数f(x)=cos(ωx)cos(π2−ωx)(ω＞0)的最小正周期为π2，则ω的值为　 　．
17．函数y＝sin（2x−π6）的最小正周期为　 　．
18．函数f（x）＝cos2x+sinxcosx，则f（x）的最小正周期为　 　，对称轴方程为　 　．
19．函数f（x）＝sinx+cosx，x∈R的最小正周期是　 　，单调递增区间为　 　．
20．已知函数f（x）＝2sin（ωx−π6）+1（x∈R）的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈（1，2），则函数f（x）的最小正周期为　 　．
21．函数f（x）＝cosxsinx的最小正周期是　 　，最大值是　 　．
22．下列四个函数中，以π为周期，且在区间(π2，3π4)上单调递减的是 　 　．
①y＝|sinx|；
②y＝cos2x；
③y＝﹣tanx；
④y＝sin|2x|．
23．函数y=tan(2x+π3)，x≠π12+kπ2(k∈Z)的最小正周期为　 　．
24．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是　 　．
25．有下列命题：
①函数y＝4cos2x，x∈[﹣10π，10π]不是周期函数；
②函数y＝4cos2x的图象可由y＝4sin2x的图象向右平移π4个单位得到；
③函数y＝4cos（2x+θ）的图象关于点（π6，0）对称的一个必要不充分条件是θ=k2π+π6（k∈Z）；
④函数y=6+sin2x2−sinx的最小值为210−4．
其中正确命题的序号是　 　．（把你认为正确的所有命题的序号都填上）
26．若函数f（x）＝|a+2cosx|的最小正周期为π，则实数a的值为　 　．
27．函数f（x）＝tan（x2+π6）的最小正周期为　 　．
28．函数y＝3cos2x+1的最小正周期为　 　．
29．函数y＝sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是 　 　，单调递增区间是 　 　．
30．f(x)=12sin(ωx+π6)(ω＞0)的图象与直线y＝m相切，相邻切点之间的距离为π．若点A（x0，y0）是y＝f（x）图象的一个对称中心，且x0∈[0，π2]，则x0＝　 　．
31．函数f（x）＝|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|的最小正周期为　 　．
32．函数y＝sin2x+2cos2x的最小正周期为　 　．
33．设函数f（x）＝2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π，若f(5π8)=2，f(11π8)=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则φ＝　 　．
三．解答题（共8小题）
34．函数f(x)=sin(2x+π6)．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函数y＝f（x）的单调递增区间；
（3）求函数在区间x∈[0，π2]上的最大值和最小值．
35．已知函数f(x)=3cos(2x−π3)−2sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期、最大值、最小值；
（Ⅱ）求函数的单调区间．
36．已知函数f（x）＝2sin(2x−π6)+a，a为常数．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）若x∈[0，π2]时，f（x）的最小值为﹣2，求a的值．
37．已知函数y＝3tan（2x−π4）．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的定义域；
（3）说明此函数是由y＝tanx的图象经过怎么样的变化得到的．
38．已知函数f(x)=sin(x+π2)⋅sin(x+π3)−3cos2x+34，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[−π4，π4]上的最大值和最小值．
39．已知函数f（x）＝2cos2x+2sinxcosx﹣1，
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[−π4，π6]上的最大值和最小值．
40．已知函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x−1+a（a为常数）．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若f（x）在[0，π2]上有最小值1，求a的值．
41．已知函数f（x）＝2sinx（sinx+cosx）﹣1（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，π2]上的最大值和最小值．

人教版2022届一轮复习打地基练习 三角函数的周期性
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．已知函数f（x）＝cos4x+sin2x，下列结论中错误的是（　　）
A．f（x）是偶函数
B．函数f（x）最小值为34
C．π2是函数f（x）的一个周期
D．函数f（x）在（0，π2）内是减函数
【分析】根据奇偶性的定义，判断函数f（x）是偶函数；
化简函数f（x），求出它的最小值为34；
化简f（x），求出它的最小正周期为π2；
判断f（x）在x∈（0，π2）上无单调性．
【解答】解：对于A，函数f（x）＝cos4x+sin2x，其定义域为R，
对任意的x∈R，有f（﹣x）＝cos4（﹣x）+sin2（﹣x）＝cos4x+sin2x＝f（x），
所以f（x）是偶函数，故A正确；
对于B，f（x）＝cos4x﹣cos2x+1=(cos2x−12)2+34，
当cosx=22时f（x）取得最小值34，故B正确；
对于C，f（x）=(cos2x−12)2+34
=(1+cos2x2−12)2+34
=cos22x4+34
=1+cos4x8+34
=cos4x8+78，
它的最小正周期为T=2π4=π2，故C正确；
对于D，f（x）=18cos4x+78，当x∈（0，π2）时，4x∈（0，2π），
f（x）先单调递减后单调递增，故D错误．
故选：D．
2．函数f(x)=−2sin(12x+π6)+1的最小正周期是（　　）
A．π2 B．π C．2π D．4π
【分析】套用正弦型三角函数的最小正周期计算公式，即可算出结果．
【解答】解：因为f(x)=−2sin(12x+π6)+1，
所以T=2π12=4π．
故选：D．
3．设函数f（x）=3sinωx+cosωx（ω＞0），其图象的一条对称轴在区间（π6，π3）内，且f（x）的最小正周期大于π，则ω的取值范围为（　　）
A．（12，1） B．（0，2） C．(（1，2） D．[1，2）
【分析】利用辅助角公式化积，求出函数的对称轴方程，由图象的一条对称轴在区间（π6，π3）内求得ω范围，验证周期得答案．
【解答】解：f（x）=3sinωx+cosωx=2sin(ωx+π6)，
由ωx+π6=π2+kπ，得x=π3ω+kπω，k∈Z．
取k＝0，得x=π3ω，取k＝1，得x=4π3ω，
由π6＜π3ω＜π3，得1＜ω＜2，此时T=2πω＞π；
由π6＜4π3ω＜π3，得4＜ω＜8，此时T=2πω＜π，不合题意；
依次当k取其它整数时，不合题意．
∴ω的取值范围为（1，2），
故选：C．
4．函数y＝tan（2x−π3）的周期为（　　）
A．2π B．π C．π2 D．π4
【分析】直接利用正切函数的周期公式T=π|ω|，求出它的周期即可．
【解答】解：函数y＝tan（2x−π3），
所以T=π|ω|=π2．
故选：C．
5．已知函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω＞0)，若函数f（x）在区间（0，π）上有且只有两个零点，则ω的取值范围为（　　）
A．(76，136) B．(76，136] C．(65，116) D．(65，116]
【分析】x∈（0，π）时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，有且只有两个零点，可得实数ω的取值范围．
【解答】解：∵x∈（0，π）时，
可得：ωx−π6∈（−π6，ωπ−π6）．
要是函数f（x）有且只有两个零点，
则π＜ωπ−π6≤2π，
解得：76＜ω≤136．
故选：B．
6．下列函数中，周期为π且为偶函数的是（　　）
A．f（x）＝tan2x B．f（x）＝sinxcosx
C．f(x)=cos(2x+π2) D．f（x）＝cos2x﹣sin2x
【分析】利用三角函数的周期性和奇偶性即可求解．
【解答】解：f（x）＝tan2x，函数的周期为π2，故A不满足题意；
f（x）＝sinxcosx＝sin2x，函数的周期为π，f（﹣x）＝sin（﹣2x）＝﹣sin2x＝﹣f（x），是奇函数，故B不满足题意；
f（x）＝cos（2x+π2）＝﹣sin2x，是奇函数，故C不满足题意；
f（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，最小正周期为π且为偶函数，故D满足题意．
故选：D．
7．函数y=tan(x−π6)的最小正周期是（　　）
A．2π B．π C．π2 D．π4
【分析】直接利用函数的关系式的变换求出函数的最小正周期．
【解答】解：函数y=tan(x−π6)的最小正周期是T＝π，
故选：B．
8．若对任意实数a，函数y=5sin(2k+13πx−π6)（k∈N）在区间[a，a+3]上的值54出现不少于4次且不多于8次，则k的值为（　　）
A．2 B．4 C．3或4 D．2或3
【分析】将所求的k的值进行转化与化归，列出关于k的不等式是解决本题的关键，充分利用函数的周期性和区间长度的关系，注意不等式思想的运用．
【解答】解：函数在一个周期内有且只有2个不同的自变量使其函数值为54，因此该函数在区间[a，a+3]（该区间的长度为3）上至少有2个周期，至多有4个周期，
因此，3≥2T3≤4T，即34≤T≤32，34≤62k+1≤32，解得32≤k≤72，
又k∈N，从而k＝2或3．
故选：D．
9．下列函数中，最小正周期为π的是（　　）
A．y＝sinx B．y＝tan2x C．y=sin12x D．y＝cos2x
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和三角函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：A、该函数的最小正周期为2π，故不符合题意．
B、该函数的最小正周期为π2，故不符合题意．
C、该函数的最小正周期为4π，故不符合题意．
D、该函数的最小正周期为π，故符合题意．
故选：D．
10．下列函数是奇函数，且最小正周期是π的函数是（　　）
A．y＝cos|2x| B．y＝|sinx|
C．y＝sin（π2+2x） D．y＝cos（3π2−2x）
【分析】判断函数的奇偶性，再根据三角函数的周期性及其求法直接求函数的周期，然后确定选项．
【解答】解：A，由于函数y＝cos|2x|＝cos2x的最小正周期为2π2=π，为偶函数，
B，y＝|sin2x|的最小正周期是π是偶函数，
C，
y＝sin（π2+2x）＝cos2x的最小正周期是π是偶函数，
D，y＝cos（3π2−2x）＝cos（π+π2−2x）＝﹣cos（π2−2x）＝﹣sin2x，最小正周期为π，为奇函数．
故选：D．
11．在下列函数中，最小正周期为π的偶函数为（　　）
A．y＝sin|2x| B．y＝|cosx|
C．y=cos(2x+π2) D．y=tan(x−π4)
【分析】根据题意，判断选项中的函数是否为偶函数，且函数的最小正周期为π即可．
【解答】解：对于A，y＝sin|2x|不是周期函数，不满足题意；
对于B，y＝|cosx|是偶函数，且最小正周期为π，满足题意；
对于C，y＝cos（2x+π2）＝﹣sin2x，不是偶函数，不满足题意；
对于D，y＝tan（x−π4）不是偶函数，不满足题意．
故选：B．
12．函数y=2sin(−x2+π3)的最小正周期是（　　）
A．π B．﹣4π C．4π D．2π
【分析】由三角函数的周期公式计算即可得解．
【解答】解：y=2sin(−x2+π3)=−2sin（x2+π3），
最小正周期为T=2π12=4π．
故选：C．
13．函数y＝cos2x的最小正周期是（　　）
A．π B．π2 C．π4 D．2π
【分析】由三角函数的周期公式，结合题中数据加以计算，即可得到函数y＝cos2x的最小正周期．
【解答】解：∵函数y＝cos2x中ω＝2，
∴函数y＝cos2x的最小正周期是T=2πω=π
故选：A．
14．在下列函数①y=sin(2x+π6)②y=|sin(x+π4)|③y＝cos|2x|④y=tan(2x−π4)⑤y＝|tanx|⑥y＝sin|x|中最小正周期为π的函数的个数为（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据三角函数的周期公式分别进行计算判断即可．
【解答】解：①y=sin(2x+π6)的周期T=2π2=π，满足条件，
②y=|sin(x+π4)|的周期T=π1=π，
③y＝cos|2x|＝cos2x，周期T=2π2=π，满足条件，
④y=tan(2x−π4)的周期是π2不满足条件．
⑤y＝|tanx|的周期是π，满足条件，
⑥y＝sin|x是偶函数，不具备周期性．
故正确的是①②③⑤
故选：B．
15．函数f（x）=12sin2x的最小正周期是（　　）
A．π2 B．π C．2π D．4π
【分析】利用y＝Asin（ωx+φ）+b的最小正周期为2π|ω|，的出结论．
【解答】解：函数f（x）=12sin2x的最小正周期为T=2π|ω|=2π2=π，
故选：B．
二．填空题（共18小题）
16．若函数f(x)=cos(ωx)cos(π2−ωx)(ω＞0)的最小正周期为π2，则ω的值为　2　．
【分析】利用倍角公式变形，再由周期公式列式即可求得ω的值．
【解答】解：∵f(x)=cos(ωx)cos(π2−ωx)(ω＞0)，
∴f（x）＝cosωx•sinωx=12sin2ωx，
∴最小正周期T=2π2ω=π2，
∴解得ω＝2．
故答案为：2．
17．函数y＝sin（2x−π6）的最小正周期为　π　．
【分析】直接利用正弦函数的周期公式求解即可．
【解答】解：函数y＝sin（2x−π6）的最小正周期是：2π2=π．
故答案为：π．
18．函数f（x）＝cos2x+sinxcosx，则f（x）的最小正周期为　π　，对称轴方程为　x=12kπ+π8，（k∈Z）　．
【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进而利用函数的关系式利用整体思想求出函数的最小正周期和函数的对称轴方程．
【解答】解：因为f（x）＝cos2x+sinxcosx=1+cos2x2+12sin2x=22sin（2x+π4）+12，
所以函数的最小正周期T=2π2=π，
令2x+π4=kπ+π2（k∈Z），
解得：x=12kπ+π8（k∈Z），
所以函数的对称轴方程为：x=12kπ+π8，（k∈Z）．
故答案为：π，x=12kπ+π8，（k∈Z）．
19．函数f（x）＝sinx+cosx，x∈R的最小正周期是　2π　，单调递增区间为　[2kπ−3π4，2kπ+π4]（k∈Z）　．
【分析】先利用辅助角公式对函数进行整理，再结合函数y＝Asin（ωx+φ）的周期公式即可得到最小正周期，利用正弦函数的单调性即可求解其单调递增区间．
【解答】解：因为：f（x）＝sinx+cosx=2sin（x+π4），
所以：T=2π1=2π．
令2kπ−π2≤x+π4≤2kπ+π2，k∈Z，解得：2kπ−3π4≤x≤2kπ+π4，k∈Z，
可得函数f（x）的单调递增区间为[2kπ−3π4，2kπ+π4]（k∈Z）．
故答案为：2π，[2kπ−3π4，2kπ+π4]（k∈Z）．
20．已知函数f（x）＝2sin（ωx−π6）+1（x∈R）的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈（1，2），则函数f（x）的最小正周期为　6π5　．
【分析】由题意可得ωπ−π6=kπ+π2，k∈Z，结合范围求得ω，再由周期公式求周期．
【解答】解：由函数f（x）＝2sin（ωx−π6）+1（x∈R）的图象的一条对称轴为x＝π，
可得ωπ−π6=kπ+π2，k∈Z，∴ω=k+23，
又ω∈（1，2），∴ω=53．
∴函数f（x）的最小正周期为2π53=6π5．
故答案为：6π5．
21．函数f（x）＝cosxsinx的最小正周期是　π　，最大值是　12　．
【分析】利用二倍角公式可得函数解析式为f（x）=12sin2x，利用正弦函数的性质即可求解．
【解答】解：f（x）＝cosxsinx=12sin2x，
则f（x）的最小正周期T=2π2=π，最大值为12，
故答案为：π，12．
22．下列四个函数中，以π为周期，且在区间(π2，3π4)上单调递减的是 　①③　．
①y＝|sinx|；
②y＝cos2x；
③y＝﹣tanx；
④y＝sin|2x|．
【分析】由题意利用三角函数的周期性和单调性，得出结论．
【解答】解：∵y＝|sinx|的最小正周期为2π2=π，且在区间(π2，3π4)上单调递减，故①满足条件．
∵y＝cos2x的最小正周期为2π2=π，且在区间(π2，3π4)上单调递增，故②不满足条件．
∵y＝﹣tanx的最小正周期为π，且在区间(π2，3π4)上单调递减，故③满足条件．
∵y＝sin|2x|没有周期性，故④不满足条件．
故答案为：①③．
23．函数y=tan(2x+π3)，x≠π12+kπ2(k∈Z)的最小正周期为　π2　．
【分析】根据正切函数的周期公式即可得到结论．
【解答】解：函数的周期T=π2．
故答案为：π2．
24．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是　π2　．
【分析】先利用二倍角公式化简函数，再求函数的周期．
【解答】解：函数y＝sin2xcos2x=12sin4x，
∴函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是2π4=π2．
故答案为：π2．
25．有下列命题：
①函数y＝4cos2x，x∈[﹣10π，10π]不是周期函数；
②函数y＝4cos2x的图象可由y＝4sin2x的图象向右平移π4个单位得到；
③函数y＝4cos（2x+θ）的图象关于点（π6，0）对称的一个必要不充分条件是θ=k2π+π6（k∈Z）；
④函数y=6+sin2x2−sinx的最小值为210−4．
其中正确命题的序号是　①③　．（把你认为正确的所有命题的序号都填上）
【分析】对于①利用周期的定义判断正误；
对于②利用三角函数图象的平移即可判断正误；
对于③求出函数的对称中心，判断正误即可；
对于④求出函数的最小值即可判断正误．
【解答】解：①函数y＝4cos2x，x∈[﹣10π，10π]不是周期函数，不满足周期的定义，所以判断正确；
②函数y＝4cos2x的图象，可由y＝4sin2x的图象向右平移π4个单位，得到函数y＝4sin2（x−π4）＝﹣4cos2x的图象，所以不正确；
③函数y＝4cos（2x+θ）的图象关于点（π6，0）对称，所以2×π6+θ＝kπ+π2，k∈Z，即θ＝kπ+π6（k∈Z）；所以函数y＝4cos（2x+θ）的图象关于点（π6，0）对称的一个必要不充分条件是θ=k2π+π6（k∈Z），正确；
④函数y=6+sin2x2−sinx表示点（2，6）与（sinx，﹣sin2x）连线的斜率的范围，求出过（2，6）与y＝﹣x2切线的斜率，
设过（2，6）的直线为y﹣6＝k（x﹣2），联立方程组可得x2+kx﹣2k+6＝0，相切所以△＝0，解得k＝210−4，
此时x=k−2=2−10∉[﹣1，1]，∴函数的最小值为210−4．不正确．
故答案为：①③．
26．若函数f（x）＝|a+2cosx|的最小正周期为π，则实数a的值为　0　．
【分析】本题等价于|cosx+a2|的周期为π，可得|cosx+a2|＝|cos（π+x）+a2|＝|cosx−a2|，两边平方，整理可得2acosx＝0，从而求得a的值．
【解答】解：函数f（x）＝|a+2cosx|的最小正周期为π，等价于|cosx+a2|的周期为π，
∴|cosx+a2|＝|cos（π+x）+a2|＝|﹣cosx+a2|＝|cosx−a2|，
两边平方，整理可得2acosx＝0，∴a＝0，
故答案为：0．
27．函数f（x）＝tan（x2+π6）的最小正周期为　2π　．
【分析】利用三角函数的周期性及其求法即可得解．
【解答】解：函数f（x）＝tan（x2+π6）的最小正周期为T=π12=2π．
故答案为：2π．
28．函数y＝3cos2x+1的最小正周期为　π　．
【分析】先对函数降幂化简，然后套周期公式即可．
【解答】解：由题意知：y＝3cos2x+1
=32(1+cos2x)+1=32cos2x+52，
故T=2π2=π．
故答案为：π．
29．函数y＝sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是 　π　，单调递增区间是 　（kπ−π8，kπ+3π8）（k∈Z）　．
【分析】由三角函数的恒等变换得y=22sin（2x−π4）+32，进而可得最小正周期为T=2π2=π，令−π2+2kπ＜2x−π4＜π2+2kπ，k∈Z，即可解得函数的单调递增区间．
【解答】解：y＝sin2x+sinxcosx+1=1−cos2x2+sin2x2=1=22sin（2x−π4）+32，
所以最小正周期为T=2π2=π，
令−π2+2kπ＜2x−π4＜π2+2kπ，k∈Z，
解得−π8+kπ＜x＜3π8+kπ，k∈Z，
所以函数的单调递增区间是（kπ−π8，kπ+3π8）（k∈Z）．
故答案为：π，（kπ−π8，kπ+3π8）（k∈Z）．
30．f(x)=12sin(ωx+π6)(ω＞0)的图象与直线y＝m相切，相邻切点之间的距离为π．若点A（x0，y0）是y＝f（x）图象的一个对称中心，且x0∈[0，π2]，则x0＝　5π12　．
【分析】根据f（x）的图象与直线y＝m相切，相邻切点之间的距离为π，得到f（x）周期为π，利用周期公式求出ω的值，确定出f（x）解析式，再根据点A（x0，y0）是y＝f（x）图象的一个对称中心，且x0∈[0，π2]，得到2x0+π6=kπ，y0＝0，即可求出x0的值．
【解答】解：∵f（x）的图象与直线y＝m相切，相邻切点之间的距离为π，
∴f（x）的周期为π，即2π|ω|=π，
∵ω＞0，∴ω＝2，
∴f（x）=12sin（2x+π6），
∵点A（x0，y0）是y＝f（x）图象的一个对称中心，且x0∈[0，π2]，
∴2x0+π6=π，y0＝0，
则x0=5π12．
故答案为：5π12
31．函数f（x）＝|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|的最小正周期为　π2　．
【分析】由三角函数公式化简可得f（x）＝|2sin（x+π4）|+|2sin（x−π4）|，由三角函数的周期公式和绝对值对周期的影响可得．
【解答】解：因为f（x+π2）＝|sin（x+π2）+cos（x+π2）|+|sin（x+π2）﹣cos（x+π2）|
＝|cosx﹣sinx|+|cosx+sinx|＝|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|＝f（x），所以f（x）的周期为π2．
下面证明π2是f（x）的最小正周期：
考察区间[0，π2]，当0⩽x⩽π4时，f（x）＝2cosx，f（x）单调递减，f（x）由2单调递减至2；
当π4⩽x⩽π2时，f（x）＝2sinx，f（x）单调递增，f（x）由2单调递增至2；
由此可见，在[0，π2]内不存在小于π2的周期，
由周期性可知在任何长度为π2的区间内均不存在小于π2的周期；
所以π2即为f（x）的最小正周期．
故答案为：π2．
32．函数y＝sin2x+2cos2x的最小正周期为　π　．
【分析】化函数y为正弦型函数，求出函数y的最小正周期．
【解答】解：函数y＝sin2x+2cos2x
＝sin2x+cos2x+1
=2sin（2x+π4）+1，
所以函数y的最小正周期为T=2π2=π．
故答案为：π．
33．设函数f（x）＝2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π，若f(5π8)=2，f(11π8)=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则φ＝　π12　．
【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，求得φ的值．
【解答】解：∵f(5π8)=2，f(11π8)=0，
∴2sin(5π8ω+φ)=22sin(118ω+φ)=0，
∴5π8ω+φ＝2kπ+π2且11π8ω+φ＝k′π，其中k，k′∈Z，
相减得ω＝（2k﹣k′）+23，
∵f（x）的最小正周期2πω＞2π，
∴0＜ω＜1，
∴ω=23，
把ω=23代入5π8ω+φ＝2kπ+π2，可得5π12+φ＝2kπ+π2，
即φ＝2kπ+π12，k∈Z，
∵|φ|＜π，
令k＝0，可得φ=π12，
故答案为：π12．
三．解答题（共8小题）
34．函数f(x)=sin(2x+π6)．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函数y＝f（x）的单调递增区间；
（3）求函数在区间x∈[0，π2]上的最大值和最小值．
【分析】（1）直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的周期；
（2）利用整体思想的应用求出函数的单调区间；
（3）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最值．
【解答】解：（1）函数f(x)=sin(2x+π6)的最小值正周期为T=2π2=π．
（2）令−π2+2kπ≤2x+π6≤2kπ+π2（k∈Z），
整理得−π3+kπ≤x≤kπ+π6（k∈Z），
所以函数的单调递增区间为[−π3+kπ，kπ+π6]（k∈Z）．
（3）由于x∈[0，π2]，
则2x+π6∈[π6，7π6]，
当x=π2时，f(x)min=−12，
当x=π6时，f（x）max＝1．
35．已知函数f(x)=3cos(2x−π3)−2sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期、最大值、最小值；
（Ⅱ）求函数的单调区间．
【分析】（Ⅰ）首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角公式化简为f(x)=sin(2x+π3)，最后根据公式T=2πω求周期，利用正弦函数的性质即可求解其最值．
（Ⅱ）利用正弦函数的单调性即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）f(x)=32cos2x+32sin2x−sin2x=12sin2x+32cos2x=sin(2x+π3)．
所以f（x）的最小正周期T=2π2=π，最大值为1，最小值为﹣1．
（Ⅱ）由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z可解得：kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z．
故函数单调递增区间是[kπ−5π12，kπ+π12]，k∈Z．
由2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2，k∈Z可解得：kπ+π12≤x≤kπ+7π12，k∈Z．
故函数单调递减区间是[kπ+π12，kπ+7π12]，k∈Z．
36．已知函数f（x）＝2sin(2x−π6)+a，a为常数．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）若x∈[0，π2]时，f（x）的最小值为﹣2，求a的值．
【分析】（1）直接利用周期公式求出f（x）的周期；
（2）利用整体法，求出函数的单调递增区间即可；
（3）根据x∈[0，π2]，得到sin(2x−π6)，求出f（x）的值域，再由f（x）的最小值为﹣2，求出a的值．
【解答】解：（1）函数f（x）＝2sin(2x−π6)+a，
所以函数的最小正周期为2π2=π；
（2）令−π2+2kπ≤2x−π6≤2kπ+π2（k∈Z），
整理，得−π6+kπ≤x≤kπ+π3（k∈Z），
所以函数的单调递增区间为[−π6+kπ，kπ+π3]（k∈Z）．
（3）因为x∈[0，π2]，所以2x−π6∈[−π6，5π6]，
所以sin(2x−π6)∈[−12，1]，所以f（x）∈[﹣1+a，2+a]，
因为函数的最小值为﹣2，所以﹣1+a＝﹣2，
解得a＝﹣1．
37．已知函数y＝3tan（2x−π4）．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的定义域；
（3）说明此函数是由y＝tanx的图象经过怎么样的变化得到的．
【分析】（1）直接由正切型函数的周期公式求得周期；
（2）由相位的终边不在y轴上求得函数的定义域；
（3）直接结合函数图象的平移得答案．
【解答】解：（1）由周期公式可得函数y＝3tan（2x−π4）的最小正周期为T=π2；
（2）由2x−π4≠kπ+π2，得x≠kπ2+3π8，k∈Z．
∴函数定义域为{x|x≠kπ2+3π8，k∈Z}；
（3）把y＝tanx的图象先向右平移π4个单位，得到y＝tan（x−π4），然后再把图象上点的横坐标缩小到原来的12，得到y＝tan（2x−π4），最后把所得图象点的纵坐标扩大到原来的3倍即可得到y＝3tan（2x−π4）的图象．
38．已知函数f(x)=sin(x+π2)⋅sin(x+π3)−3cos2x+34，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[−π4，π4]上的最大值和最小值．
【分析】（Ⅰ）利用诱导公式以及两角和与差的三角函数，化简函数的解析式，然后求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）利用自变量的范围，求解相位的范围，利用三角函数的有界性求解函数的最值即可．
【解答】解：（Ⅰ）f(x)=sin(x+π2)⋅sin(x+π3)−3cos2x+34
=cosx(12sinx+32cosx)−3cos2x+34
=12sinxcosx+32cos2x−3cos2x+34
=14sin2x−32(cos2x+12)+34
=14sin2x−34cos2x=12sin(2x−π3)
∴T＝π．
（Ⅱ）令t=2x−π3，则y=12sint，
∵−π4≤x≤π4，∴−5π6≤t≤π6，即t∈[−5π6，π6]，
∴当t∈[−5π6，−π2]时，y=12sint单调递减，
当t∈(−π2，π6]时，y=12sint单调递增，
当t=−π2，即2x−π3=−π2，x=−π12时，f(x)min=−12，
又∵12sin(−5π6)=−14，12sinπ6=14，
∴当t=π6，x=π4时，f(x)max=14．
39．已知函数f（x）＝2cos2x+2sinxcosx﹣1，
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[−π4，π6]上的最大值和最小值．
【分析】（1）利用倍角公式及两角和的正弦函数公式可求解析式f（x）=2sin（2x+π4），利用周期公式即可的积极性．
（2）由x∈[−π4，π6]，可求2x+π4∈[−π4，7π12]，根据正弦函数的图象和性质即可得解．
【解答】解：（1）f（x）＝2cos2x+2sinxcosx﹣1＝1+cos2x+sin2x﹣1=2sin（2x+π4），…（2分）
∴T=2π2=π⋯（5分）
（2）因为x∈[−π4，π6]，所以2x+π4∈[−π4，7π12]，…（6分）
当2x+π4=π2时，即x=π8时，f（x）的最大值为2，…（8分）
当2x+π4=−π4时，即x=−π4时，f（x）的最小值为﹣1．…（10分）
40．已知函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x−1+a（a为常数）．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若f（x）在[0，π2]上有最小值1，求a的值．
【分析】（1）化函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质求出它的最小正周期和单调递增区间；
（2）求出x∈[0，π2]时f（x）的最小值，列方程求出a的值．
【解答】解：（1）函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x−1+a
=3sin2x+cos2x+a
＝2sin（2x+π6）+a，
所以f（x）的最小正周期为T=2π2=π；
令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z；
解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z；
所以f（x）的单调递增区间为[−π3+kπ，π6+kπ]，k∈Z；
（2）x∈[0，π2]时，2x+π6∈[π6，7π6]，y＝2sin（2x+π6）的最小值是2sin7π6=−1，
所以f（x）在[0，π2]上有最小值1时，﹣1+a＝1，解得a＝2．
41．已知函数f（x）＝2sinx（sinx+cosx）﹣1（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，π2]上的最大值和最小值．
【分析】（Ⅰ）降幂后利用辅助角公式化积，由周期公式求周期；
（Ⅱ）求出函数在区间[0，π2]上的单调性，再结合端点值得答案．
【解答】（Ⅰ）f（x）＝2sinx（sinx+cosx）﹣1＝2sin2x+2sinxcosx﹣1
＝1﹣cos2x+sin2x﹣1=sin2x−cos2x=2sin(2x−π4)．
∴f（x）的最小正周期为π；
（Ⅱ）∵f（x）在区间[0，3π8]上是增函数，
在区间[3π8，π2]上是减函数．
又f（0）＝﹣1，f（3π8）=2，f（π2）＝1．
∴f（x）的最小值为﹣1，最大值为2．