人教版2022届一轮复习打地基练习 存在量词和特称量词

这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 存在量词和特称量词，共23页。试卷主要包含了已知命题p，下列命题中正确的是，命题p，对于两个命题，减函数f，给出下列四个命题等内容，欢迎下载使用。
人教版2022届一轮复习打地基练习 存在量词和特称量词
一．选择题（共18小题）
1．已知命题p：∃x∈（﹣1，3），x2﹣a﹣2≤0．若p为假命题，则a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣∞，7） D．（﹣∞，0）
2．已知非空集合A、B满足A∩B≠∅，下面命题一定正确的是（　　）
A．∀x∈B，x∈A B．∃x∈B，x∉A C．∀x∈A，x∈B D．∃x∈A，x∈B
3．下列命题中正确的是（　　）
A．∀x∈Z，x4≥1 B．∃x∈Q，x2＝3
C．∀x∈R，x2−2x﹣1＞0 D．∃x∈N，|x|≤0
4．命题p：∃x∈[1，9]，x2﹣ax+36≤0，若p是真命题，则实数a的取值范围为（　　）
A．[37，+∞） B．[13，+∞） C．[12，+∞） D．（﹣∞，13]
5．对于两个命题：①∀x∈R，﹣1≤sinx≤1，②∃x∈R，sin2x+cos2x＞1，下列判断正确的是（　　）
A．①假②真 B．①真②假 C．①②都假 D．①②都真
6．减函数f（x）＝3ax﹣2a+1，若存在x0∈（﹣1，1），使f（x0）＝0，则实数a的取值范围是（　　）
A．﹣1＜a＜15 B．a＜﹣1 C．a＞15 D．﹣1＜a＜0
7．已知函数f(x)=ax−1+lnx，若存在x0＞0，使得f（x0）≤0有解，则实数a的取值范围是（　　）
A．（2，+∞） B．（﹣∞，3） C．（﹣∞，1] D．[3，+∞）
8．已知命题p：∀a∈R，一元二次方程x2﹣ax+1＝0有实根；若￢p是真命题，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，2） C．（﹣4，4） D．（﹣2，4）
9．给出下列四个命题：
①若a，b∈R，则ab≤(a+b)24；
②“a＜2”是“函数f（x）＝x2﹣ax+1无零点”的充分不必要条件；
③∃x0∈R，x02+x0＜0；
④命题“若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除”的逆命题；
其中是真命题的为（　　）
A．①③ B．①② C．①④ D．②③
10．下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是（　　）
A．∃x∈R，x2﹣x+14＜0
B．所有正方形都是矩形
C．∃x∈R，x2+2x+2＝0
D．至少有一个实数x，使x3+1＝0
11．命题“∃x0∈R，3x0+13x0≤1”的否定为（　　）
A．∃x0∈R，3x0+13x0＞1 B．∃x0∈R，3x0+13x0≥1
C．∀x∈R，3x+13x＞1 D．∀x∈R，3x+13x＜1
12．下列命题中的真命题的个数是（　　）
（1）命题“若x＝1，则x2+x﹣2＝0”的否命题为“若x＝1，则x2+x﹣2≠0”；
（2）若命题p：∃x0∈（﹣∞，0]，(12)x0≥1，则￢p：∀x∈（0，+∞），（12）x＜1；
（3）设命题p：∃x0∈（0，+∞），log2x0＜log3x0，命题q：∀x∈（0，π2），tanx＞sinx则p∧q为真命题；
（4）设a，b∈R，那么“ab+1＞a+b”是“a2+b2＜1”的必要不充分条件．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
13．若存在正实数m，使得关于x的方程x+a（2x+2m﹣4ex）[ln（x+m）﹣lnx]＝0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0） B．(0，12e)
C．(−∞，0)∪[12e，+∞) D．[12e，+∞)
14．若命题“∃x0∈R，使得k＞x02+1成立”是假命题，则实数k的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．[1，+∞）
15．若命题“存在x∈R，x2﹣2x﹣m＝0”是真命题，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≤﹣1 B．m≥﹣1 C．﹣1≤m≤1 D．m＞﹣1
16．若命题“∃x∈R，x2﹣ax+1≤0”是真命题，则实数a的取值范围是（　　）
A．{a|﹣2≤a≤2} B．{a|a≤﹣2或a≥2} C．{a|﹣2＜a＜2} D．{a|a＜﹣2或a＞2}
17．下列命题中的假命题是（　　）
A．∃x∈R，sinx=2 B．∃x∈R，lnx=2
C．∀x∈R，x2≥0 D．∀x∈R，2x≥0
18．若命题“存在x0∈R，使x2﹣2x﹣m＝0”是真命题，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，+∞） C．[﹣1，1] D．（﹣1，+∞）
二．多选题（共6小题）
19．若∃x0∈[12，2]，使得2x02﹣λx0+1＜0成立是假命题，则实数λ可能取值是（　　）
A．32 B．22 C．3 D．92
20．若存在x∈[12，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立是假命题，则实数λ可能取的值是（　　）
A．32 B．22 C．3 D．92
21．下列说法中，正确的是（　　）
A．存在一个实数，使﹣2x2+x﹣4＝0
B．所有的质数都是奇数
C．存在偶数2n是7的倍数
D．至少存在一个正整数，能被5和7整除
22．下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有（　　）
A．∃x0∈R，x02﹣x0+14＜0
B．所有的正方形都是矩形
C．∃x0∈R，x02+2x0+2＝0
D．至少有一个实数x，使x3+1＝0
23．若命题P：“∃x0∈R，2x0−6≤a2﹣5a”是假命题，则实数a可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
24．下列命题中的真命题是（　　）
A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0
C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx＝2
三．填空题（共15小题）
25．若∃x0∈[0，m]，使﹣x2+4x﹣3≥0，则实数m的范围为　 　．
26．若命题“∃x＞0，x2+ax+9≤0”是真命题，则a的取值范围是　 　．
27．若命题“∃t∈R，t2﹣2t﹣a＜0”是假命题，则实数a的取值范围是　 　．
28．若命题∃x∈R，mx2+4mx+1≤0为假命题，则实数m的取值范围是　 　．
29．若命题“∃x0∈R，x02﹣2x0﹣a＝0”为假命题，则实数a的取值范围是　 　．
30．若“∃x∈R，x2﹣x+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是 　 　．
31．命题“存在实数x0，使得2x0大于3x0”用符号语言可表示为　 　．
32．若命题p：“∃x0∈R，x02+6a≤8x0”为假命题，则实数a的取值范围是　 　．
33．命题“∃x＜0，使得方程2x+a=1x−1有解”是真命题，则实数a的取值范围是　 　．
34．命题p：“存在n0∈N，使得2n＞2016”的否定￢p是　 　．
35．若“存在x∈[1，2]，使x﹣a≤0”是假命题，则实数a的取值范围是　 　．
36．命题“∃x∈R，使得λx2﹣λx+1＜0成立”为假命题，则λ取值范围　 　．
37．已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣2a，若存在x0∈（﹣∞，a]，使f（x0）≥0，则实数a的取值范围为　 　．
38．命题“若x＞1，则（x﹣1）（x+3）＞0”的等价命题是“　 　；它是　 　命题（填：“真”或“假”）．
39．若存在x0∈[1，3]，|x02﹣ax0+4|≤3x0，则实数a的取值范围是　 　．
四．解答题（共2小题）
40．判断下列命题的真假．
（1）∀x∈R，|x|＞0；
（2）∀a∈R，函数y＝logax是单调函数；
（3）∀x∈R，x2＞﹣1；
（4）∃a→∈{向量}，使a→⋅b→=0；
（5）∃x＞0，y＞0，使x2+y2＝0．
41．p：∃x0∈R，使得ax02−2x0−1＞0成立；q：方程x2+（a﹣3）x+a＝0有两个不相等正实根；
（1）写出￢p；
（2）若命题￢p为真命题，求实数a的取值范围；
（3）若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

人教版2022届一轮复习打地基练习 存在量词和特称量词
参考答案与试题解析
一．选择题（共18小题）
1．已知命题p：∃x∈（﹣1，3），x2﹣a﹣2≤0．若p为假命题，则a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣∞，7） D．（﹣∞，0）
【分析】直接利用不等式的解法和函数的恒成立问题和命题的否定求出参数的取值范围．
【解答】解：命题p：∃x∈（﹣1，3），x2﹣a﹣2≤0．则￢p：∀x∈（﹣1，3），x2﹣a﹣2＞0为真命题，
所以a＜x2﹣2恒成立，即a＜（x2﹣2）min＝﹣2．
故选：A．
2．已知非空集合A、B满足A∩B≠∅，下面命题一定正确的是（　　）
A．∀x∈B，x∈A B．∃x∈B，x∉A C．∀x∈A，x∈B D．∃x∈A，x∈B
【分析】根据交集的定义，进行判断即可．
【解答】解：∵非空集合A、B满足A∩B≠∅，
∴根据交集的定义，可知A，B至少含有一个公共元素，
即∃x∈A，x∈B．
故选：D．
3．下列命题中正确的是（　　）
A．∀x∈Z，x4≥1 B．∃x∈Q，x2＝3
C．∀x∈R，x2−2x﹣1＞0 D．∃x∈N，|x|≤0
【分析】根据特殊值法分别判断A、B、C、D的正误即可．
【解答】解：对于A，比如x＝0，不合题意；
对于B，x＝±3，B错误；
对于C，比如x＝0时，﹣1＜0，错误；
故选：D．
4．命题p：∃x∈[1，9]，x2﹣ax+36≤0，若p是真命题，则实数a的取值范围为（　　）
A．[37，+∞） B．[13，+∞） C．[12，+∞） D．（﹣∞，13]
【分析】根据特称命题的否定是全称命题结合命题的真假关系进行判断求解，再利用补集思想得答案．
【解答】解：∵命题p：∃x∈[1，9]，使x2﹣ax+36≤0，的否定￢p：∀x∈[1，9]，x2﹣ax+36＞0，
即x2+36＞ax，即a＜x+36x，
设f（x）＝x+36x，则f（x）＝x+36x≥2x⋅36x=12，
当且仅当x=36x，即x＝6时，取等号，
∴a＜12，
∵p是真命题，∴￢p是假命题；
故a的取值范围是a≥12．
故选：C．
5．对于两个命题：①∀x∈R，﹣1≤sinx≤1，②∃x∈R，sin2x+cos2x＞1，下列判断正确的是（　　）
A．①假②真 B．①真②假 C．①②都假 D．①②都真
【分析】根据三角函数的性质可知：∀x∈R，﹣1≤sinx≤1，∀x∈R，sin2x+cos2x＝1，从而判断出①②两个命题的真假．
【解答】解：根据三角函数的性质可知：
∀x∈R，﹣1≤sinx≤1，∀x∈R，sin2x+cos2x＝1，
故：①∀x∈R，﹣1≤sinx≤1，是真命题；
②∃x∈R，sin2x+cos2x＞1，是假命题．
故选：B．
6．减函数f（x）＝3ax﹣2a+1，若存在x0∈（﹣1，1），使f（x0）＝0，则实数a的取值范围是（　　）
A．﹣1＜a＜15 B．a＜﹣1 C．a＞15 D．﹣1＜a＜0
【分析】由已知中函数f（x）＝3ax﹣2a+1，我们可得当a≠0时，函数为一次函数，有且只有一个零点，若存在x0∈（﹣1，1），使f（x0）＝0，根据零点存在定理，我们易得f（﹣1）＞0，f（1）＜0，代入可以得到一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．
【解答】解：∵f（x）＝3ax﹣2a+1是减函数，
若存在x0∈（﹣1，1），使f（x0）＝0，
则f（﹣1）＞0且f（1）＜0
即（﹣3a﹣2a+1）＞0且（3a﹣2a+1）＜0，
解得a＜﹣1且a＜15，
故实数a的取值范围是a＜﹣1，
故选：B．
7．已知函数f(x)=ax−1+lnx，若存在x0＞0，使得f（x0）≤0有解，则实数a的取值范围是（　　）
A．（2，+∞） B．（﹣∞，3） C．（﹣∞，1] D．[3，+∞）
【分析】利用参数分离法进行转化，构造函数求出函数的单调性和极值即可得到结论．
【解答】解：若存在x0＞0，使得f（x0）≤0有解，
则由f（x）=ax−1+lnx≤0，即ax≤1﹣lnx，
即a≤x﹣xlnx，设h（x）＝x﹣xlnx，
则h′（x）＝1﹣（lnx+x•1x）＝1﹣lnx﹣1＝﹣lnx，
由h′（x）＞0得﹣lnx＞0，即lnx＜0，得0＜x＜1，此时函数递增，
由h′（x）＜0得﹣lnx＜0，即lnx＞0，得x＞1，此时函数递减，
即当x＝1时，函数h（x）取得极大值h（1）＝1﹣ln1＝1，
即h（x）≤1
若a≤x﹣xlnx，有解，则a≤1，
故选：C．
8．已知命题p：∀a∈R，一元二次方程x2﹣ax+1＝0有实根；若￢p是真命题，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，2） C．（﹣4，4） D．（﹣2，4）
【分析】根据命题p与￢p的真假性相反得出p是假命题，
利用△＜0求出a的取值范围．
【解答】解：命题p：∀a∈R，一元二次方程x2﹣ax+1＝0有实根；
若￢p是真命题，则命题p是假命题，
所以一元二次方程x2﹣ax+1＝0没有实根；
即△＝a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2；
所以实数a的取值范围是（﹣2，2）．
故选：B．
9．给出下列四个命题：
①若a，b∈R，则ab≤(a+b)24；
②“a＜2”是“函数f（x）＝x2﹣ax+1无零点”的充分不必要条件；
③∃x0∈R，x02+x0＜0；
④命题“若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除”的逆命题；
其中是真命题的为（　　）
A．①③ B．①② C．①④ D．②③
【分析】①利用不等式是性质证明．②利用充分条件和必要条件的定义判断．③利用特称命题的真假关系进行判断．④利用命题之间的关系判断．
【解答】解：①因为(a+b)24−ab=a2+2ab+b2−4ab4=a2−2ab+b24=(a−b)24≥0，所以ab≤(a+b)24，成立．
②若函数f（x）＝x2﹣ax+1无零点，则对应方程的判别式△＜0，即a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2．所以a＜2”是函数f（x）＝x2﹣ax+1无零点”的必要不充分条件．
所以错误．
③当x0=−12，时x02+x0＜0成立，所以③正确．
④命题“若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除”的逆命题是“若一个整数能被5整除，则整数的末位数字是0”，错误，因为末位数可能是5，所以④错误．
故选：A．
10．下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是（　　）
A．∃x∈R，x2﹣x+14＜0
B．所有正方形都是矩形
C．∃x∈R，x2+2x+2＝0
D．至少有一个实数x，使x3+1＝0
【分析】根据全程量词命题和存在量词命题的定义，判断即可．
【解答】解：对于A，∃x∈R，x2﹣x+14＜0，是存在量词命题；
对于B，所有正方形都是矩形，是全程量词命题，且是真命题；
对于C，∃x∈R，x2+2x+2＝0，是存在量词命题；
对于D，至少有一个实数x，使x3+1＝0，是存在量词命题．
故选：B．
11．命题“∃x0∈R，3x0+13x0≤1”的否定为（　　）
A．∃x0∈R，3x0+13x0＞1 B．∃x0∈R，3x0+13x0≥1
C．∀x∈R，3x+13x＞1 D．∀x∈R，3x+13x＜1
【分析】利用命题的否定的定义即可判断出．
【解答】解：根据命题的否定的定义知，命题“∃x0∈R，3x0+13x0≤1”的否定为“∀x∈R，3x+13x＞1”．
故选：C．
12．下列命题中的真命题的个数是（　　）
（1）命题“若x＝1，则x2+x﹣2＝0”的否命题为“若x＝1，则x2+x﹣2≠0”；
（2）若命题p：∃x0∈（﹣∞，0]，(12)x0≥1，则￢p：∀x∈（0，+∞），（12）x＜1；
（3）设命题p：∃x0∈（0，+∞），log2x0＜log3x0，命题q：∀x∈（0，π2），tanx＞sinx则p∧q为真命题；
（4）设a，b∈R，那么“ab+1＞a+b”是“a2+b2＜1”的必要不充分条件．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】（1）否定原命题的题设做题设，否定原命题的结论做结论，就得到原命题的否命题．据此即可进行判断；
（2）根据命题：∃x0∈（﹣∞，0]，(12)x0≥1是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改为“任意”，“≥“改为“＜”即可进行判断；
（3）根据对数的运算性质，我们可以判断出命题p的真假，根据三角函数的性质，可以判断出命题q真假，再由复合命题p∧q的真值表进行判断即可；
（4）由于a2+b2＜1表示以原点为圆心以1的半径的圆内各点，ab+1＞a+b即（a﹣1）（b﹣1）＞0，画出其表示的区域，根据图形，结合两个范围的包含关系，分别判断a2+b2＜1⇒ab+1＞a+b与ab+1＞a+b⇒a2+b2＜1的真假，然后根据充要条件的定义，即可进行判断．
【解答】解：（1）∵x＝1的否定是x≠1，
x2+x﹣2＝0的否定是x2+x﹣2≠0，
∴命题“若x＝1，则x2+x﹣2＝0”的否命题为：
“若x≠1，则x2+x﹣2≠0”；故（1）是假命题．
（2）∵命题p：∃x0∈（﹣∞，0]，(12)x0≥1，是特称命题
∴命题的否定为∀x∈（﹣∞，0]，（12）x＜1．故（2）是假命题；
（3）∵命题p：∃x0∈（0，+∞），log2x0＜log3x0为真命题，
命题q：∀x∈（0，π2），tanx＞sinx也为真命题，
∴命题“p∧q”是真命题，故（3）为真；
（4）∵a2+b2＜1时，（a，b）在以原点为圆心以1的半径的圆内，
ab+1＞a+b即（a﹣1）（b﹣1）＞0，画出其表示的区域（阴影部分），
∵a2+b2＜1时，（a，b）在以原点为圆心以1的半径的圆内，
此时ab+1＞a+b一定成立，
故|a|+|b|＜1是a2+b2＜1的必要条件；
但当ab+1＞a+b时，a2+b2＜1不一定成立
故|a|+|b|＜1是a2+b2＜1的不充分条件；
故|a|+|b|＜1是a2+b2＜1成立的必要不充分条件，故（4）正确命题．
命题中的真命题的是（3），（4）．
故选：B．

13．若存在正实数m，使得关于x的方程x+a（2x+2m﹣4ex）[ln（x+m）﹣lnx]＝0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0） B．(0，12e)
C．(−∞，0)∪[12e，+∞) D．[12e，+∞)
【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，
利用函数极值和单调性的关系进行求解即可
【解答】解：由x+a（2x+2m﹣4ex）[ln（x+m）﹣lnx]＝0得
x+2a（x+m﹣2ex）lnx+mx=0，
即1+2a（x+mx−2e）lnx+mx=0，
即设t=x+mx，则t＞0，
则条件等价为1+2a（t﹣2e）lnt＝0，
即（t﹣2e）lnt=−12a有解，
设g（t）＝（t﹣2e）lnt，
g′（t）＝lnt+1−2et为增函数，
∵g′（e）＝lne+1−2ee=1+1﹣2＝0，
∴当t＞e时，g′（t）＞0，
当0＜t＜e时，g′（t）＜0，
即当t＝e时，函数g（t）取得极小值为：g（e）＝（e﹣2e）lne＝﹣e，
即g（t）≥g（e）＝﹣e，
若（t﹣2e）lnt=−12a有解，
则−12a≥−e，即12a≤e，
则a＜0或a≥12e，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪[12e，+∞）．
故选：C．
14．若命题“∃x0∈R，使得k＞x02+1成立”是假命题，则实数k的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．[1，+∞）
【分析】先把原命题转化为等价的真命题，再结合最值解决恒成立问题即可．
【解答】解：“命题∃x0∈R，使得k＞x02+1成立”是假命题等价于“对∀x∈R，都有k≤x2+1恒成立”是真命题，
只需k≤（x2+1）min，
又∵x2+1≥1，∴x2+1的最小值为1，
∴k≤1，
故选：A．
15．若命题“存在x∈R，x2﹣2x﹣m＝0”是真命题，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≤﹣1 B．m≥﹣1 C．﹣1≤m≤1 D．m＞﹣1
【分析】问题等价于关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有实数解，利用△≥0求出m的取值范围．
【解答】解：命题“存在x∈R，x2﹣2x﹣m＝0”是真命题，
所以关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有实数解，
所以△＝4﹣4×1×（﹣m）≥0，
解得m≥﹣1，
所以m的取值范围是m≥﹣1．
故选：B．
16．若命题“∃x∈R，x2﹣ax+1≤0”是真命题，则实数a的取值范围是（　　）
A．{a|﹣2≤a≤2} B．{a|a≤﹣2或a≥2} C．{a|﹣2＜a＜2} D．{a|a＜﹣2或a＞2}
【分析】由命题“∃x∈R，x2﹣ax+1≤0”是真命题，可知命题“∀x∈R，x2﹣ax+1＞0”是假命题，从而得到△＝a2﹣4＜0，再求出a的取值范围．
【解答】解：∵命题“∃x∈R，x2﹣ax+1≤0”是真命题，
∴命题“∀x∈R，x2﹣ax+1＞0”是假命题，
∴△＝a2﹣4＜0，整理得﹣2＜a＜2，
∴a的取值范围为{a|a≥2或a≤﹣2}．
故选：B．
17．下列命题中的假命题是（　　）
A．∃x∈R，sinx=2 B．∃x∈R，lnx=2
C．∀x∈R，x2≥0 D．∀x∈R，2x≥0
【分析】由三角函数的性质能判断A；由对数函数和二次函数以及指数函数的性质能判断B，C，D的正误．
【解答】解：当x∈R时，sinx∈[﹣1，1]，故sinx=2不成立，故A错误；
由指数函数的性质知：任意x＞0，lnx∈R，故∃x∈R，lnx=2，B正确；
∵∀x∈R，x2≥0，故C正确；
∵x∈R，2x＞0，∴x∈R，2x≥0成立，故D正确．
故选：A．
18．若命题“存在x0∈R，使x2﹣2x﹣m＝0”是真命题，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，+∞） C．[﹣1，1] D．（﹣1，+∞）
【分析】由命题“存在x0∈R，使x2﹣2x﹣m＝0”是真命题，可得方程x2﹣2x﹣m＝0有根，即判别式大于等于零，即可求出m的范围．
【解答】解：由题意得，方程有解，所以△≥0，而△＝4+4m≥0，可得m≥﹣1，
故选：B．
二．多选题（共6小题）
19．若∃x0∈[12，2]，使得2x02﹣λx0+1＜0成立是假命题，则实数λ可能取值是（　　）
A．32 B．22 C．3 D．92
【分析】直接利用不等式的基本性质和函数的恒成立问题的应用求出参数λ的范围．
【解答】解：x0∈[12，2]，使得2x02﹣λx0+1＜0成立是假命题，
故：对∀x∈[12，2]，2x2﹣λx+1≥0恒成立．
即2x+1x≥λ对任意的x∈[12，2]恒成立．
即（2x+1x）min≥λ，
故2x+1x≥22，（当且仅当x=22）等号成立．
故λ≤22．
故选：AB．
20．若存在x∈[12，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立是假命题，则实数λ可能取的值是（　　）
A．32 B．22 C．3 D．92
【分析】若“∃x∈[12，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，即“∃x∈[12，2]，使得λ＞2x+1x成立”是假命题，结合对勾函数的图象和性质，求出x∈[12，2]时，2x+1x的最值，可得实数λ的取值范围．
【解答】解：若“∃x∈[12，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，
即“∃x∈[12，2]，使得λ＞2x+1x成立”是假命题，
由x∈[12，2]，当x=22时，函数取最小值22，
故实数λ的取值范围为（﹣∞，22]，
故选：ABC．
21．下列说法中，正确的是（　　）
A．存在一个实数，使﹣2x2+x﹣4＝0
B．所有的质数都是奇数
C．存在偶数2n是7的倍数
D．至少存在一个正整数，能被5和7整除
【分析】判断方程﹣2x2+x﹣4＝0实根的个数，可判断A的真假；
根据2是质数，但不是奇数，可判断B的真假；
根据228＝2×14，故存在偶数2n是7的倍数，可判断C的额真假；
根据35是5和7的公倍数，可判断D的真假．
【解答】解：∵△＝1﹣4×（﹣2）×（﹣4）＝﹣31＜0，故方程﹣2x2+x﹣4＝0无解，故A存在一个实数，使﹣2x2+x﹣4＝0，错误；
2是质数，但不是奇数，故B所有的质数都是奇数，错误；
28＝2×14，故存在偶数2n是7的倍数，故C正确；
35即是5的倍数，又是7的倍数，故D至少存在一个正整数，能被5和7整除，正确．
故选：CD．
22．下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有（　　）
A．∃x0∈R，x02﹣x0+14＜0
B．所有的正方形都是矩形
C．∃x0∈R，x02+2x0+2＝0
D．至少有一个实数x，使x3+1＝0
【分析】直接利用特称命题和全称命题的应用，命题真假的判断求出结果．
【解答】解：由于是命题的否定，所以特称命题的否定为全称命题，全称命题的否定为特称命题．
对于A：∃x0∈R，x02﹣x0+14＜0为特称命题，否定为“对∀x∈R，x2−x+14=(x−12)2≥0恒成立”且为真命题．
对于B为全称命题，且为真命题，故否定错误．
对于C：“∃x0∈R，x02+2x0+2＝0”为特称命题，否定为“对∀x∈R，x2+2x+2＝（x+1）2+1≠0恒成立”且为真命题．
对于D：为特称命题，为真命题，故否定错误．
故选：AC．
23．若命题P：“∃x0∈R，2x0−6≤a2﹣5a”是假命题，则实数a可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据命题P和它的否定￢P真假性不同，写出￢p，再设f（x）＝2x﹣6，x∈R，把问题转化为关于a的不等式，从而求得a的取值范围，可得答案．
【解答】解：命题P：“∃x0∈R，2x0−6≤a2﹣5a”是假命题，
则￢P：“∀x∈R，2x﹣6＞a2﹣5a”是真命题，
设f（x）＝2x﹣6，x∈R，
则f（x）＞﹣6，
所以a2﹣5a≤﹣6，
化为a2﹣5a+6≤0，
解得2≤a≤3，
所以实数a可以是2或3．
故选：BC．
24．下列命题中的真命题是（　　）
A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0
C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx＝2
【分析】根据指数函数的值域，得到A项正确；根据一个自然数的平方大于或等于0，得到B项不正确；根据对数的定义与运算，得到C项正确；根据正弦函数y＝tanx的值域，得D项正确．由此可得本题的答案．
【解答】解：∵指数函数y＝2t的值域为（0，+∞）
∴任意x∈R，均可得到2x﹣1＞0成立，故A项正确；
∵当x∈N*时，x﹣1∈N，可得（x﹣1）2≥0，当且仅当x＝1时等号
∴存在x∈N*，使（x﹣1）2＞0不成立，故B项不正确；
∵当x＝1时，lgx＝0＜1
∴存在x∈R，使得lgx＜1成立，故C项正确；
∵正切函数y＝tanx的值域为R
∴存在锐角x，使得tanx＝2成立，故D项正确
故选：ACD．
三．填空题（共15小题）
25．若∃x0∈[0，m]，使﹣x2+4x﹣3≥0，则实数m的范围为　[1，+∞）．　．
【分析】由题意求出不等式﹣x2+4x﹣3≥0的解集，即可得出实数m的范围．
【解答】解：∃x0∈[0，m]，使﹣x2+4x﹣3≥0成立，
可令﹣x2+4x﹣3≥0，得x2﹣4x+3≤0，
解得1≤x≤3，
所以实数m的范围是[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
26．若命题“∃x＞0，x2+ax+9≤0”是真命题，则a的取值范围是　（﹣∞，﹣6]　．
【分析】直接利用真值表和不等式的应用和特称命题的应用求出结果．
【解答】解：由于命题“∃x＞0，x2+ax+9≤0”是真命题，
所以a≤−x2+9x，
由于x＞0，所以−x2+9x=−(x+9x)≤−6，（当且仅当x＝3时，等号成立），
所以a≤﹣6．
故答案为：（﹣∞，﹣6]．
27．若命题“∃t∈R，t2﹣2t﹣a＜0”是假命题，则实数a的取值范围是　（﹣∞，﹣1]　．
【分析】命题“∃t∈R，t2﹣2t﹣a＜0”是假命题，则∀t∈R，t2﹣2t﹣a≥0是真命题，可得△≤0．
【解答】解：命题“∃t∈R，t2﹣2t﹣a＜0”是假命题，
则∀t∈R，t2﹣2t﹣a≥0是真命题，
∴△＝4+4a≤0，解得a≤﹣1．
∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．
故答案为：（﹣∞，﹣1]．
28．若命题∃x∈R，mx2+4mx+1≤0为假命题，则实数m的取值范围是　[0，14）　．
【分析】原命题为假命题，则它的否定命题是真命题，由此求出m的取值范围．
【解答】解：命题∃x∈R，mx2+4mx+1≤0为假命题，
则￢p：∀x∈R，mx2+4mx+1＞0为真命题，
m＝0时，不等式为1＞0，恒成立；
m≠0时，应满足m＞0△=16m2−4m＜0，
解得0＜m＜14，
综上知，m的取值范围是[0，14）．
故答案为：[0，14）．
29．若命题“∃x0∈R，x02﹣2x0﹣a＝0”为假命题，则实数a的取值范围是　a＜﹣1　．
【分析】根据特称命题的性质进行求解即可．
【解答】解：由“∃x0∈R，x02﹣2x0﹣a＝0”为假命题，可知∀x∈R，x2﹣2x﹣a≠0，
结合二次函数的性质可知，x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，
故a＜﹣1．
故答案为：a＜﹣1．
30．若“∃x∈R，x2﹣x+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是 　（14，+∞）　．
【分析】根据命题与它的否定命题一真一假，写出该命题的否定命题，利用判别式Δ＜0求出a的取值范围．
【解答】解：根据命题与它的否定命题一真一假知，
命题“∃x∈R，x2﹣x+a≤0”为假命题，
则它的否定命题“∀x∈R，x2﹣x+a＞0”为真命题，
所以Δ＝1﹣4a＜0，解得a＞14，
所以实数a的取值范围是a＞14．
故答案为：（14，+∞）．
31．命题“存在实数x0，使得2x0大于3x0”用符号语言可表示为　∃x0∈R，2x0＞3x0　．
【分析】利用符号语言表示特称量词命题即可．
【解答】解：命题“存在实数x0，使得2x0大于3x0”，
用符号语言可表示为：∃x0∈R，2x0＞3x0．
故答案为：∃x0∈R，2x0＞3x0．
32．若命题p：“∃x0∈R，x02+6a≤8x0”为假命题，则实数a的取值范围是　（83，+∞）　．
【分析】根据命题与它的否命题一真一假，写出该命题的否定命题，再求实数a的取值范围．
【解答】解：根据命题与它的否定命题一真一假，
因为命题p：“∃x0∈R，x02+6a≤8x0”为假命题，
所以它的否定命题是￢p：“∀x∈R，x2+6a＞8x”为真命题；
即“∀x∈R，x2﹣8x+6a＞0”为真命题，
所以△＝64﹣24a＜0，解得a＞83；
则实数a的取值范围是（83，+∞）．
故答案为：（83，+∞）．
33．命题“∃x＜0，使得方程2x+a=1x−1有解”是真命题，则实数a的取值范围是　（﹣2，0）　．
【分析】当 x∈（﹣∞，0）时，函数y＝2x与y=1x−1分别是单调递增与单调递减函数，可得函数f（x）＝2x−1x−1单调性，求其在x＜0时的范围，进而得出a的取值范围．
【解答】解：当 x∈（﹣∞，0）时，函数y＝2x与y=1x−1分别是单调递增与单调递减函数．
∴函数f（x）＝2x−1x−1单调递增．
∴f（x）＜f（0）＝20+1＝2．
又当x→﹣∞时，f（x）→0，
∴0＜f（x）＜2．
∵∃x＜0，使得方程2x+a=1x−1有解，
∴﹣a∈（0，2），即a∈（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
34．命题p：“存在n0∈N，使得2n＞2016”的否定￢p是　任意n∈N，都有2n≤2016　．
【分析】直接写出特称命题的否定得答案．
【解答】解：命题p：“存在n0∈N，使得2n＞2016”是特称命题，其否定￢p是：任意n∈N，都有2n≤2016．
故答案为：任意n∈N，都有2n≤2016．
35．若“存在x∈[1，2]，使x﹣a≤0”是假命题，则实数a的取值范围是　（﹣∞，1）　．
【分析】利用含有量词的命题的否定将原命题转化为全称命题，然后利用函数的单调性求解即可．
【解答】解：由题转化为命题“∀x∈[1，2]，x﹣a＞0”为真命题，即a＜x恒成立，
又y＝x在[1，2]上单调递增，所以ymin＝1，故a＜1．
故答案为：（﹣∞，1）．
36．命题“∃x∈R，使得λx2﹣λx+1＜0成立”为假命题，则λ取值范围　0≤λ≤4　．
【分析】特称命题“∃x∈R，使得λx2﹣λx+1＜0成立”其否定为“∀x∈R，使得λx2﹣λx+1≥0成立”原命题为假命题，
则其否定为真，分两种情况当λ＝0，②当λ≠0，讨论可得解．
【解答】解：命题“∃x∈R，使得λx2﹣λx+1＜0成立”为假命题，
则其否定“∀x∈R，使得λx2﹣λx+1≥0成立”为真，
①当λ＝0时，1≥0恒成立，即λ＝0满足题意，
②当λ≠0时，由题意有：λ＞0λ2−4λ≤0，
解得：0＜λ≤4，
综合①②得：
实数λ取值范围：0≤λ≤4，
故实数λ取值范围：0≤λ≤4．
37．已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣2a，若存在x0∈（﹣∞，a]，使f（x0）≥0，则实数a的取值范围为　[﹣1，0]∪[2，+∞）　．
【分析】求导可得故当x＝0时，函数取极大值﹣2a，分类讨论满足存在x0∈（﹣∞，a]，使f（x0）≥0的实数a的取值范围，综合可得答案．
【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣x2﹣2a，∴f′（x）＝3x2﹣2x，
当x＜0或x＞23时，f′（x）＞0，当0＜x＜23时，f′（x）＜0，
故当x＝0时，函数取极大值﹣2a，
若a≤0，若存在x0∈（﹣∞，a]，使f（x0）≥0，则f（a）＝a3﹣a2﹣2a≥0，
解得a∈[﹣1，0]，
若a＞0，若存在x0∈（﹣∞，a]，使f（x0）≥0，则f（0）＝﹣2a≥0，或f（a）＝a3﹣a2﹣2a≥0，
解得：a∈[2，+∞），
综上可得：a∈[﹣1，0]∪[2，+∞），
故答案为：[﹣1，0]∪[2，+∞）．
38．命题“若x＞1，则（x﹣1）（x+3）＞0”的等价命题是“　若（x﹣1）（x+3）≤0”，则x≤1　；它是　真　命题（填：“真”或“假”）．
【分析】根据二次函数的图象和性质，可得命题“若x＞1，则（x﹣1）（x+3）＞0”为真命题，进而写出其逆否命题，可得答案．
【解答】解：命题“若x＞1，则（x﹣1）（x+3）＞0”为真命题，
其等价命题即命题的逆否命题，
其逆否合理为：“若（x﹣1）（x+3）≤0”，则x≤1”，
故答案为：“若（x﹣1）（x+3）≤0”，则x≤1”，真
39．若存在x0∈[1，3]，|x02﹣ax0+4|≤3x0，则实数a的取值范围是　1≤a≤8　．
【分析】写出该命题的否定命题，并求出对应a的取值范围，由此再求出原命题中a的取值范围．
【解答】解：命题“存在x0∈[1，3]，|x02﹣ax0+4|≤3x0”，
的否定是：“任意x∈[1，3]，|x2﹣ax+4|＞3x”，
它等价于x2﹣ax+4＞3x①，或x2﹣ax+4＜﹣3x②；
由①得，a＜x+4x−3，且x+4x在x∈[1，3]上的最小值是2+2＝4，
∴a＜1；
由②得，a＞x+4x+3，且x+4x在x∈[1，3]上的最大值为1+4＝5，
∴a＞8；
由①②知，a＜1或a＞8，
它的否定是1≤a≤8，
∴实数a的取值范围是1≤a≤8．
故答案为：1≤a≤8．
四．解答题（共2小题）
40．判断下列命题的真假．
（1）∀x∈R，|x|＞0；
（2）∀a∈R，函数y＝logax是单调函数；
（3）∀x∈R，x2＞﹣1；
（4）∃a→∈{向量}，使a→⋅b→=0；
（5）∃x＞0，y＞0，使x2+y2＝0．
【分析】根据全称命题和特称命题判断条件分别判断命题的真假．
【解答】解：（1）由于0∈R，当x＝0时，|x|＞0不成立，因此命题“∀x∈R，|x|＞0”是假命题．
（2）由于1∈R，当a＝1时，y＝logax无意义，因此命题“∀a∈R，函数y＝logax是单调函数”是假命题．
（3）由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＞﹣1．因此命题“∀x∈R，x2＞﹣1”是真命题．
（4）由于0→∈{向量}，当a→=0→时，能使a→•b→=0，因此命题“∃a→∈{向量}，使a→•b→=0”是真命题．
（5）由于使x2+y2＝0成立的只有x＝y＝0，而0不是正实数，因而没有正实数x，y，使x2+y2＝0，因此命题“∃x＞0，y＞0，使x2+y2＝0”是假命题．
41．p：∃x0∈R，使得ax02−2x0−1＞0成立；q：方程x2+（a﹣3）x+a＝0有两个不相等正实根；
（1）写出￢p；
（2）若命题￢p为真命题，求实数a的取值范围；
（3）若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．
【分析】（1）特称命题的否定是全称命题，直接写出￢p即可；
（2）通过命题￢p为真命题，转化为 不等式组，求出a的范围即可；
（3）利用命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，推出命题p、q一真一假，列出不等式组，然后求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）p：∃x0∈R，使得ax02−2x0−1＞0成立；∴￢p∀x∈R，ax2﹣2x﹣1≤0成立．
（2）a≥0时 ax2﹣2x﹣1≤0不恒成立．
由a＜0△≤0，即a＜04+4a≤0，解得a≤﹣1．
∴实数a的取值范围：（﹣∞，﹣1]．
（3）设方程x2+（a﹣3）x+a＝0两个不相等正实根为x1、x2．
命题q为真⇔△＞0x1+x2＞0x1x2＞0⇔(a−3)2−4a＞0(3−a)＞0a＞0解得0＜a＜1．
由命题“p或q”为真，且“p且q”为假，得命题p、q一真一假
①当p真q假时，则a＞−1a≤0或a≥1得﹣1＜a≤0或a≥1
②当p假q真时，则a≤−10＜a＜1无解；
∴实数a的取值范围是﹣1＜a≤0或a≥1．