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人教版2022届一轮复习打地基练习 正弦定理
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A．33B．±63C．−63D．63
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csinC﹣bsinB＝2asinA，c＝2b，则sinA＝（ ）
A．158B．78C．55D．255
3．在△ABC中，a＝43，b＝12，A=π6，则此三角形（ ）
A．无解B．两解
C．一解D．解的个数不确定
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a、b、c，若A＝45°，B＝60°，a＝2，则b＝（ ）
A．6B．2C．3D．26
5．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的边，已知2acsC＝2b+3c，则角A等于（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
6．在△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若a＝2ccsB，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
7．在△ABC中，已知 a＝4，b＝6，B＝60°，则sinA的值为（ ）
A．33B．32C．63D．62
8．已知△ABC中三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若B=30°，b=1，c=3，则△ABC的面积为（ ）
A．32B．34C．32或34D．32或3
9．已知在△ABC中，a、b、c分别是三个内角∠A、∠B、∠C的对边，且sinA−sinCsinB=sinA−sinBsinA+sinC，则∠C＝（ ）
A．π6B．π3C．5π6D．2π3
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA+acs（B+C）＝0，若c=2，sinC=35，则a+b等于（ ）
A．43B．42C．26D．25
二．填空题（共13小题）
11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若csB=45，csC=513，c＝4，则a＝ ．
12．在锐角三角形ABC中，已知A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（2csinB−3a）sinA=3（csinC﹣bsinB），则B＝ ，ac的取值范围为 ．
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ACB＝90°，∠ACB的角平分线交AB于点D，且CD＝2，则a+4b的最小值为 ．
14．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，csAcsBcsC＞0，则asinAb的取值范围是 ．
15．已知圆内接四边形ABCD的边长BC＝2AB＝2，CD＝DA=7，则AC＝ ，四边形ABCD的面积为 ．
16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccsA+acsC=3，B=π3，则a+csinA+sinC= ．
17．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，2c−3b=2acsB，a=7．则3b−c的取值范围为 ．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足a2+b2＝c2+ab．若b＝4，且△ABC为锐角三角形，则△ABC面积的取值范围为 ．
19．在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，BD＝2，则△ABC面积的最大值为 ．
20．在△ABC中，a2+b2＝kc2，且ctC＝2004（ctA+ctB），则常数k的值为 ．
21．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3asinB＝bsin（B+C）tanC，则csC＝ ．
22．在△ABC中，AB＝1，sinB＝5sinC，csA=25，则BC＝ ．
23．在△ABC中，tanA+B2=2sinC，若AB＝1，则12AC+BC的最大值为 ．
三．解答题（共4小题）
24．在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3bsinA＝atanB．
（Ⅰ）求csB的值；
（Ⅱ）求sin(2B−π6)的值．
25．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
①2sin（A+C）+2sin（B+C）cs（A+B）＝sin（A+B）；
②tanA+tanB+tanC−3tanBtanC＝0；
③3csA（bcsA+acsB）﹣csinA＝0，
已知△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_____．
（1）求A；
（2）若a+2b＝3且a2≤bc，求△ABC的面积．
26．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC．
（1）证明：BD＝b；
（2）若AD＝2DC，求cs∠ABC．
27．如图，在平面四边形ABCD中，BC＝1，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，∠BAD＝75°．
（1）若∠CBD＝30°，求三角形ABD的面积；
（2）若AD=6−22，求∠CBD的大小．
人教版2022届一轮复习打地基练习 正弦定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠B＝60°，则csC＝（ ）
A．33B．±63C．−63D．63
【分析】由已知及正弦定理可得sinC=ABsinBAC=33，又AB＜AC，利用大边对大角可得C为锐角，根据同角三角函数基本关系式即可求得csC得值．
【解答】解：∵AB＝2，AC＝3，∠B＝60°，
∴由正弦定理可得：sinC=ABsinBAC=2×323=33，
又∵AB＜AC，C为锐角，
∴csC=1−sin2C=63．
故选：D．
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csinC﹣bsinB＝2asinA，c＝2b，则sinA＝（ ）
A．158B．78C．55D．255
【分析】直接利用余弦定理的应用和三角函数的关系式的变换求出结果．
【解答】解：△ABC中，已知csinC﹣bsinB＝2asinA，
整理得c2﹣b2＝2a2，
由于c＝2b，
所以3b=2a，a=3b2，
故根据余弦定理csA=b2+c2−a22bc=78，
由于0＜A＜π，
所以sinA=1−(78)2=158，
故选：A．
3．在△ABC中，a＝43，b＝12，A=π6，则此三角形（ ）
A．无解B．两解
C．一解D．解的个数不确定
【分析】由已知可求bsinA＜a＜b，利用正弦定理即可求解三角形有两解．
【解答】解：在△ABC中，a＝43，b＝12，A=π6，
则bsinA＝12×12=6，
可得bsinA＜a＜b，
可得此三角形有两解．
故选：B．
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a、b、c，若A＝45°，B＝60°，a＝2，则b＝（ ）
A．6B．2C．3D．26
【分析】由已知利用正弦定理即可计算得解．
【解答】解：∵A＝45°，B＝60°，a＝2，
∴由正弦定理asinA=bsinB，可得：b=a⋅sinBsinA=2×3222=6．
故选：A．
5．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的边，已知2acsC＝2b+3c，则角A等于（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【分析】△ABC中，由条件利用正弦定理可得2csAsinC=−3sinC，化简可得csA=−32，由此求得A的值．
【解答】解：△ABC中，∵2acsC＝2b+3c．
∴由正弦定理得：2sinB+3sinC＝2sinAcsC，
∵2sinB＝2sin（A+C）＝2sinAcsC+2csAsinC，
∴化简可得：2csAsinC+3sinC＝0，
∵sinC≠0，
∴csA=−32，
∴由A∈（0，π），可得：A=5π6．
故选：D．
6．在△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若a＝2ccsB，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【分析】已知等式利用正弦定理化简，将sinA＝sin（B+C）代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到sin（B﹣C）＝0，确定出B＝C，即可得出三角形形状．
【解答】解：已知等式a＝2ccsB，利用正弦定理化简得：sinA＝2sinCcsB，
将sinA＝sin（B+C）＝sinBcsC+csBsinC代入得：sinBcsC+csBsinC＝2sinCcsB，即sinBcsC﹣csBsinC＝sin（B﹣C）＝0，
∴B﹣C＝0，即B＝C，
则△ABC为等腰三角形．
故选：B．
7．在△ABC中，已知 a＝4，b＝6，B＝60°，则sinA的值为（ ）
A．33B．32C．63D．62
【分析】由B的度数求出sinB的值，再由a与b的值，利用正弦定理即可求出sinA的值．
【解答】解：∵a＝4，b＝6，B＝60°，
∴由正弦定理asinA=bsinB得：sinA=asinBb=4×326=33．
故选：A．
8．已知△ABC中三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若B=30°，b=1，c=3，则△ABC的面积为（ ）
A．32B．34C．32或34D．32或3
【分析】由b，c及csB的值，利用余弦定理求出a的值，再由a，c及sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．
【解答】解：∵B＝30°，b＝1，c=3，
∴由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2accsB，即1＝a2+3﹣3a，
解得：a＝1或a＝2，
当a＝1时，S△ABC=12acsinB=34；当a＝2时，S△ABC=12acsinB=32．
故选：C．
9．已知在△ABC中，a、b、c分别是三个内角∠A、∠B、∠C的对边，且sinA−sinCsinB=sinA−sinBsinA+sinC，则∠C＝（ ）
A．π6B．π3C．5π6D．2π3
【分析】由正弦定理化简已知等式可得a2+b2﹣c2＝ab，由余弦定理可得：csC=a2+b2−c22ab=ab2ab=12，结合C的范围即可得解．
【解答】解：∵由正弦定理化简已知等式可得：a−cb=a−ba+c
∴a2﹣c2＝ab﹣b2
∴a2+b2﹣c2＝ab
∴由余弦定理可得：csC=a2+b2−c22ab=ab2ab=12，
又∵0＜C＜π，
∴解得：C=π3，
故选：B．
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA+acs（B+C）＝0，若c=2，sinC=35，则a+b等于（ ）
A．43B．42C．26D．25
【分析】根据三角形内角和定理和正弦定理，利用三角函数的恒等变换，求得A、B、C的关系，再利用正弦定理计算a+b的值．
【解答】解：△ABC中，bsinA+acs（B+C）＝0，
∴bsinA﹣acsA＝0，
由正弦定理得sinBsinA﹣sinAcsA＝0，
又A∈（0，π），∴sinA≠0，
∴sinB﹣csA＝0，即csA＝sinB；
∴csA＝sin（π2+A）＝sinB，
∴π2+A+B＝π，即C＝A+B=π2；
或B=π2+A，即B﹣A=π2；
又∵sinC=35，∴B﹣A=π2，
∴csC＝sin（π2−C）＝sin2A＝2sinAcsA=45，
∴1+2sinAcsA＝（sinA+csA）2=95，
解得sinA+csA=355；
∴a+b=csinC（sinA+sinB）=103（sinA+csA）=103×355=25．
故选：D．
二．填空题（共13小题）
11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若csB=45，csC=513，c＝4，则a＝ 215 ．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，sinC的值，进而利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinA，进而利用正弦定理可求a的值．
【解答】解：∵csB=45，csC=513，c＝4，
∴由题意可得：sinB=35，sinC=1213，
∴sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC=6365，
∴a=csinC⋅sinA=4×1312×6365=215．
故答案为：215．
12．在锐角三角形ABC中，已知A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（2csinB−3a）sinA=3（csinC﹣bsinB），则B＝ π3 ，ac的取值范围为 （12，2） ．
【分析】由正、余弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanB，结合范围B∈(0，π2)，可求B=π3，结合△ABC为锐角三角形，解得范围π6＜C＜π2，利用三角函数恒等变换的应用可求ac=321tanC+12，根据正切函数的性质即可求解其范围．
【解答】解：因为（2csinB−3a）sinA=3（csinC﹣bsinB），
可得2csinBsinA=3（asinA+csinC﹣bsinB），
由正、余弦定理，可得2acsinB=3（a2+c2﹣b2）＝23accsB，
所以tanB=3，又B∈(0，π2)，所以B=π3，
所以ac=sinAsinC=sin(2π3−C)sinC=32csC+12sinCsinC=32×1tanC+12，
因为△ABC为锐角三角形，0＜C＜π20＜A=2π3−C＜π2，解得π6＜C＜π2，
所以tanC＞33，所以0＜1tanC＜3，
所以ac=321tanC+12∈（12，2）．
故答案为：π3，（12，2）．
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ACB＝90°，∠ACB的角平分线交AB于点D，且CD＝2，则a+4b的最小值为 92 ．
【分析】由S△ABC＝S△ADC+S△BDC，可得ab=2（a+b），即为1a+1b=22，则a+4b=2（a+4b）（1a+1b），展开后运用基本不等式即可得到所求最小值．
【解答】解：由S△ABC＝S△ADC+S△BDC，
且AC＝b，BC＝a，CD＝2，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠BCD＝45°，
则12absin90°=12•2b•sin45°+12•2a•sin45°，
即为12ab=22b+22a，
即ab=2（a+b），
可得1a+1b=22，
则a+4b=2（a+4b）（1a+1b）=2（5+ab+4ba）≥2（5+2ab⋅4ba）＝92，
当且仅当a＝2b时，取得等号，
即有a+4b的最小值为92．
故答案为：92．
14．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，csAcsBcsC＞0，则asinAb的取值范围是 （36，12） ．
【分析】先利用二倍角公式化简B＝2A换成边的关系，求得A的范围，根据正切函数的单调性求得asinAb的取值范围．
【解答】解：由csAcsBcsC＞0，可知，三角形是锐角三角形，
由正弦定理可知sinB＝sin2A＝2sinAcsA，
b＝2acaA
asinAb=12tanA，
∵A+B+C＝180°，B＝2A
∴3A+C＝180°，A＝60°−C3＞30°，
∵2A＜90°
∴A∈（30°，45°），
33＜tanA＜1
则36＜asinAb＜12
故答案为：（36，12）．
15．已知圆内接四边形ABCD的边长BC＝2AB＝2，CD＝DA=7，则AC＝ 7 ，四边形ABCD的面积为 934 ．
【分析】连结BD，由于A+C＝180°，则csA＝﹣csC，在△BCD中，和在△ABD中分别应用余弦定理即可求得BD和角C；
由于B+D＝180°，则sinB＝sinD，由四边形ABCD的面积为S△ABC+S△ACD，应用面积公式，即可得到面积．
【解答】解：由于B+D＝180°，则csB＝﹣csD，
由题设及余弦定理得，
在△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•csB＝5﹣4csB，…①
在△ACD中，AC2＝AD2+DC2﹣2AD•DC•csD＝14+14csB，…②
由①②得csB=−12，故B＝120°，D＝60°，
则AC=7．
由于B+D＝180°，∴sinB＝sinD=32，
由以上的结果及题设，可知四边形ABCD的面积S＝S△ABC+S△ACD=12AB•BC•sinB+12AD•CD•sinD=12（1×2+7×7）×32=934，
故答案为：7，934．
16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccsA+acsC=3，B=π3，则a+csinA+sinC= 2 ．
【分析】利用正弦定理化简已知等式可求三角形的外接圆半径，进而利用正弦定理，比例的性质即可求解．
【解答】解：因为ccsA+acsC=3，
由正弦定理得：2RsinCcsA+2RsinAcsC=3，
可得2Rsin（C+A）＝2RsinB=3R=3，
则R＝1，
所以a+csinA+sinC=bsinB=2R=2．
故答案为：2．
17．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，2c−3b=2acsB，a=7．则3b−c的取值范围为 （7，21） ．
【分析】由余弦定理进行化简，求出A的大小，利用正弦定理，结合三角函数恒等变换的应用可求3b﹣c＝27sin（B−π6），由已知可求范围π6＜B−π6＜π3，利用正弦函数的性质可求其取值范围．
【解答】解：∵2c−3b＝2acsB＝2a•a2+c2−b22ac=a2+c2−b2c，
∴2c2−3bc＝a2+c2﹣b2，
即b2+c2﹣a2=3bc，
则csA=b2+c2−a22bc=3bc2bc=32，则A=π6，
若a=7，由正弦定理得bsinB=csinC=712=27，得：b＝27sinB，c＝27sinC＝27sin（5π6−B），
则3b﹣c=3×27sinB﹣27sin（5π6−B）
＝221sinB﹣27[12csB+32sinB]
=21sinB−7csB
＝27sin（B−π6），
∵△ABC是锐角三角形，
∴0＜B＜π20＜5π6−B＜π2，得：π3＜B＜π2，则：π6＜B−π6＜π3，
∴12＜sin（B−π6）＜32，
即 7＜27sin（B−π6）＜21，
即 3b﹣c的取值范围是（7，21）．
故答案为：（7，21）．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足a2+b2＝c2+ab．若b＝4，且△ABC为锐角三角形，则△ABC面积的取值范围为 （23，83） ．
【分析】由已知利用余弦定理可求csC的值，结合C的范围可求C的值，由锐角△ABC，可推出B的取值范围，再由正弦定理可得c，最后根据三角形的面积公式、正弦的两角差公式和正切函数的性质即可解得三角形面积的取值范围．
【解答】解：因为a2+b2＝c2+ab，可得a2+b2﹣c2＝ab，
所以由余弦定理知csC=a2+b2−c22ab=ab2ab=12，
因为C∈（0，π），
所以C=π3，
所以A+B=2π3，
又△ABC是锐角三角形，
所以0＜B＜π20＜2π3−B＜π2，解得π6＜B＜π2，
由正弦定理知bsinB=csinC，可得c=23sinB，
所以△ABC面积S=12bcsinA
=12×4×23sinB×sin（2π3−B）
＝43×32csB+12sinBsinB
=6csB+23sinBsinB
=6tanB+23，
因为π6＜B＜π2，
所以tanB＞33，
所以23＜S＜83，
故△ABC面积的取值范围为（23，83）．
故答案为：（23，83）．
19．在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，BD＝2，则△ABC面积的最大值为 83 ．
【分析】首先利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出S△ABC=8sinθ5−4csθ，进一步利用求导问题的应用求出函数的最大值．
【解答】解：设AB＝AC＝2x，∠A＝θ，θ∈（0，π），
故利用余弦定理：4＝4x2+x2﹣2•2x•x•csθ，
整理得：x2=45−4csθ，
利用y=S△ABC=12⋅2x⋅2x⋅sinθ=8sinθ5−4csθ，
所以y′=8(5csθ−4)(5−4csθ)2，
令y′＝0，解得csθ=45，
结合函数f（x）＝csx在（0，π）上单调递减，
可知：csθ=45时，y取得极大值，也为最大值；
代入S△ABC=8sinθ5−4csθ，解得S△ABC=83．
故答案为：83．
20．在△ABC中，a2+b2＝kc2，且ctC＝2004（ctA+ctB），则常数k的值为 4009 ．
【分析】先根据余弦定理表示出csC，进而对题设条件化简，把切转换成弦，利用两角和公式化简整理后，进而利用正弦定理把角的正弦转化成边整理求得k−12=2004，则k的值可求．
【解答】解：由余弦定理可知csC=12ab（a2+b2﹣c2）=(k−1)c22ab
ctCctA+ctB=csC⋅sinA⋅sinB(sinAcsB+sinBcsA)⋅sinC=csC⋅sinA⋅sinBsin2C=(k−1)c22ab•sinA⋅sinBsin2C=2004
由正弦定理可知asinA=bsinB=csinC=2R
∴k−12=2004
∴k＝4009
故答案为：4009
21．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3asinB＝bsin（B+C）tanC，则csC＝ 12 ．
【分析】直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理的应用求出结果．
【解答】解：由题意有3asinB=bsinAtanC，
又由正弦定理有3ab=abtanC，
所以tanC=3，
由于0＜C＜π，
所以C=π3．
故csC=12．
故答案为：12．
22．在△ABC中，AB＝1，sinB＝5sinC，csA=25，则BC＝ 22 ．
【分析】由已知利用正弦定理化简可得AC＝5AB＝5，进而根据余弦定理即可求解BC的值．
【解答】解：因为sinB＝5sinC，
所以AC＝5AB＝5，
则BC=12+52−2×1×5×25=22．
故答案为：22．
23．在△ABC中，tanA+B2=2sinC，若AB＝1，则12AC+BC的最大值为 213 ．
【分析】由已知式子化简变形讨论可得C=π3，再由正弦定理可得12AC+BC=13sin（2π3−A）+23sinA=12csA+523sinA，由三角函数的最值可得．
【解答】解：∵在△ABC中，tanA+B2=2sinC，
∴tan（π2−C2）＝2sinC，∴sin(π2−C2)cs(π2−C2)=2sinC，
∴csC2sinC2=4sinC2csC2，即csC2（4sin2C2−1）＝0，
解得csC2=0或4sin2C2−1＝0，
∴C＝π（舍去），或C=5π3（舍去），或C=π3，
又∵AB＝1，∴1sinπ3=ACsinB=BCsinA，
∴AC=23sinB，BC=23sinA，又B=2π3−A，
∴12AC+BC=13sin（2π3−A）+23sinA=12csA+523sinA，
∴12AC+BC的最大值为(12)2+(523)2=213
故答案为：213
三．解答题（共4小题）
24．在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3bsinA＝atanB．
（Ⅰ）求csB的值；
（Ⅱ）求sin(2B−π6)的值．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式，结合sinA≠0，sinB≠0，即可求解csB的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的正弦公式即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）因为3bsinA＝atanB，
所以由正弦定理可得3sinBsinA＝sinA•sinBcsB，
因为A∈（0，π），sinA≠0，B∈（0，π），sinB≠0，
所以csB=13．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinB=1−cs2B=223，
则sin2B＝2sinBcsB=429cs2B＝2cs2B﹣1=−79，
所以sin(2B−π6)=sin2Bcsπ6−cs2Bsinπ6
=429×32+79×12=46+718．
25．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
①2sin（A+C）+2sin（B+C）cs（A+B）＝sin（A+B）；
②tanA+tanB+tanC−3tanBtanC＝0；
③3csA（bcsA+acsB）﹣csinA＝0，
已知△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_____．
（1）求A；
（2）若a+2b＝3且a2≤bc，求△ABC的面积．
【分析】（1）选条件①时，由条件，可得2sinC csA＝sinC，再求出A即可；
选条件②时，根据tanA+tanB+tanC﹣tanAtanBtanC＝0，结合条件，可得tanA=3，再求出A即可；
选条件③时，由条件，可得3csA−sinA=0，再求出A即可；
（2）根据条件，利用余弦定理，可得b2+c2﹣bc≤bc，再由A=π3，可知三角形△ABC为正三角形，进一步求出△ABC的面积．
【解答】解：（1）选①，2sin（A+C）+2sin（B+C）cs（A+B）＝sin（A+B），
由诱导公式，得2sin（A+C）﹣2sinA csC＝sinC，即2sinC csA＝sinC，
因为sinC≠0，所以csA=12，所以A=π3
选②，由诱导公式，得tanA=−tan(B+C)=−tanB+tanC1−tanBtanC，
整理即有tanA+tanB+tanC﹣tanAtanBtanC＝0，
又已知tanA+tanB+tanC−3tanBtanC=0，且tanAtanBtanC≠0，
所以tanA=3，所以A=π3．
选③，已知3csA(bcsA+acsB)−csinA=0，
由正弦定理，可得3csA(sinBcsA+sinAcsB)−sinCsinA=0，
所以3csAsin(A+B)−sinCsinA=0，即3csAsinC−sinCsinA=0，
因为sinC≠0，所以3csA−sinA=0，即tanA=3，
所以A=π3．
（2）因为a2≤bc，
所以由余弦定理，有a2＝b2+c2﹣2bccsA＝b2+c2﹣bc≤bc，
所以（b﹣c）2≤0，所以b＝c，又A=π3，
所以a＝b＝c，所以△ABC为等边三角形．
又因为a+2b＝3，所以a＝b＝1，
所以S△ABC=12×1×1×sin60°=34．
26．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC．
（1）证明：BD＝b；
（2）若AD＝2DC，求cs∠ABC．
【分析】（1）利用正弦定理求解；
（2）要能找到隐含条件：∠BDA和∠BDC互补，从而列出等式关系求解．
【解答】解：（1）证明：由正弦定理知，bsin∠ABC=csin∠ACB=2R，
∴b＝2Rsin∠ABC，c＝2Rsin∠ACB，
∵b2＝ac，∴b•2Rsin∠ABC＝a•2Rsin∠ACB，
即bsin∠ABC＝asinC，
∵BDsin∠ABC＝asinC，
∴BD＝b；
（2）法一：由（1）知BD＝b，
∵AD＝2DC，∴AD=23b，DC=13b，
在△ABD中，由余弦定理知，cs∠BDA=BD2+AD2−AB22BD⋅AD=b2+(23b)2−c22b⋅23b=13b2−9c212b2，
在△CBD中，由余弦定理知，cs∠BDC=BD2+CD2−BC22BD⋅CD=b2+(13b)2−a22b⋅13b=10b2−9a26b2，
∵∠BDA+∠BDC＝π，
∴cs∠BDA+cs∠BDC＝0，
即13b2−9c212b2+10b2−9a26b2=0，
得11b2＝3c2+6a2，
∵b2＝ac，
∴3c2﹣11ac+6a2＝0，
∴c＝3a或c=23a，
在△ABC中，由余弦定理知，cs∠ABC=a2+c2−b22ac=a2+c2−ac2ac，
当c＝3a时，cs∠ABC=76＞1（舍）；
当c=23a时，cs∠ABC=712；
综上所述，cs∠ABC=712．
法二：∵点D在边AC上且AD＝2DC，
∴BD→=13BA→+23BC→，
∴BD→2=13BA→⋅BD→+23BC→⋅BD→，
而由（1）知BD＝b，
∴b2=13bc⋅cs∠ABD+23ab⋅cs∠CBD，
即3b＝c•cs∠ABD+2a•cs∠CBD，
由余弦定理知：3b=c⋅b2+c2−49b22bc+2a⋅a2+b2−19b22ab，
∴11b2＝3c2+6a2，
∵b2＝ac，
∴3c2﹣11ac+6a2＝0，
∴c＝3a或c=23a，
在△ABC中，由余弦定理知，cs∠ABC=a2+c2−b22ac=a2+c2−ac2ac，
当c＝3a时，cs∠ABC=76＞1（舍）；
当c=23a时，cs∠ABC=712；
综上所述，cs∠ABC=712．
法三：在△BCD中，由正弦定理可知asinC＝BDsin∠BDC＝bsin∠BDC，
而由题意可知ac＝b²⇒asinC＝bsin∠ABC，
于是sin∠BDC＝sin∠ABC，从而∠BDC＝∠ABC或∠BDC+∠ABC＝π．
若∠BDC＝∠ABC，则△CBD∽～△CAB，于是CB²＝CD•CA⇒a²=b23⇒a：b：c＝1：3：3，
无法构成三角形，不合题意．
若∠BDC+∠ABC＝π，则∠ADB＝∠ABC⇒△ABD∽△ACB，
于是AB²＝AD•AC⇒c²=2b23⇒a：b：c＝3：6：2，满足题意，
因此由余弦定理可得cs∠ABC=a2+c2−b22ac=712．
27．如图，在平面四边形ABCD中，BC＝1，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，∠BAD＝75°．
（1）若∠CBD＝30°，求三角形ABD的面积；
（2）若AD=6−22，求∠CBD的大小．
【分析】（1）由已知在△BCD中，由正弦定理可求BD的值，在△ABD中，由正弦定理可得AB的值，进而根据三角形的面积公式即可计算求解．
（2）由已知利用正弦定理可知：6−22sin∠ABD=BDsin75°，1sin∠BDC=BDsin60°，又∠ABC＝90°，可得sin∠ABD＝cs∠CBD，可得BD•cs∠CBD=12，BD•sin∠BDC=32，两式相除可得sin∠BDC=3cs∠CBD，利用三角函数恒等变换的应用可求tan∠CBD=3，结合范围0＜∠CBD＜180°，可得∠CBD的值．
【解答】解：（1）因为BC＝1，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，∠BAD＝75°，∠CBD＝30°，
可得∠BDC＝90°，∠ABD＝60°，∠BDA＝45°，
在△BCD中，由正弦定理BDsin∠BCD=BCsin∠BDC，可得BD32=11，可得BD=32，
在△ABD中，由正弦定理ABsin∠BDA=BDsin∠BAD，可得AB22=32sin75°，可得AB=6422(12+32)=3−32，
所以S△ABD=12AB•BD•sin∠ABD=12×3−32×32×32=9−3316．
（2）因为AD=6−22，BC＝1，∠BCD＝60°，
在△ABD，△BCD中，由正弦定理可知：6−22sin∠ABD=BDsin75°，1sin∠BDC=BDsin60°，
又∠ABC＝90°，所以sin∠ABD＝cs∠CBD，
从而有BD•cs∠CBD=12，BD•sin∠BDC=32，
两式相除可得sin∠BDC=3cs∠CBD，
由sin∠BDC＝sin（180°﹣60°﹣∠CBD）＝sin（60°+∠CBD）＝sin60°cs∠CBD+cs60°sin∠CBD=32cs∠CBD+12sin∠CBD，
因此有tan∠CBD=3，由0＜∠CBD＜180°，可得∠CBD＝60°．
A．33B．±63C．−63D．63
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csinC﹣bsinB＝2asinA，c＝2b，则sinA＝（ ）
A．158B．78C．55D．255
3．在△ABC中，a＝43，b＝12，A=π6，则此三角形（ ）
A．无解B．两解
C．一解D．解的个数不确定
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a、b、c，若A＝45°，B＝60°，a＝2，则b＝（ ）
A．6B．2C．3D．26
5．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的边，已知2acsC＝2b+3c，则角A等于（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
6．在△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若a＝2ccsB，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
7．在△ABC中，已知 a＝4，b＝6，B＝60°，则sinA的值为（ ）
A．33B．32C．63D．62
8．已知△ABC中三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若B=30°，b=1，c=3，则△ABC的面积为（ ）
A．32B．34C．32或34D．32或3
9．已知在△ABC中，a、b、c分别是三个内角∠A、∠B、∠C的对边，且sinA−sinCsinB=sinA−sinBsinA+sinC，则∠C＝（ ）
A．π6B．π3C．5π6D．2π3
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA+acs（B+C）＝0，若c=2，sinC=35，则a+b等于（ ）
A．43B．42C．26D．25
二．填空题（共13小题）
11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若csB=45，csC=513，c＝4，则a＝ ．
12．在锐角三角形ABC中，已知A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（2csinB−3a）sinA=3（csinC﹣bsinB），则B＝ ，ac的取值范围为 ．
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ACB＝90°，∠ACB的角平分线交AB于点D，且CD＝2，则a+4b的最小值为 ．
14．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，csAcsBcsC＞0，则asinAb的取值范围是 ．
15．已知圆内接四边形ABCD的边长BC＝2AB＝2，CD＝DA=7，则AC＝ ，四边形ABCD的面积为 ．
16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccsA+acsC=3，B=π3，则a+csinA+sinC= ．
17．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，2c−3b=2acsB，a=7．则3b−c的取值范围为 ．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足a2+b2＝c2+ab．若b＝4，且△ABC为锐角三角形，则△ABC面积的取值范围为 ．
19．在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，BD＝2，则△ABC面积的最大值为 ．
20．在△ABC中，a2+b2＝kc2，且ctC＝2004（ctA+ctB），则常数k的值为 ．
21．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3asinB＝bsin（B+C）tanC，则csC＝ ．
22．在△ABC中，AB＝1，sinB＝5sinC，csA=25，则BC＝ ．
23．在△ABC中，tanA+B2=2sinC，若AB＝1，则12AC+BC的最大值为 ．
三．解答题（共4小题）
24．在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3bsinA＝atanB．
（Ⅰ）求csB的值；
（Ⅱ）求sin(2B−π6)的值．
25．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
①2sin（A+C）+2sin（B+C）cs（A+B）＝sin（A+B）；
②tanA+tanB+tanC−3tanBtanC＝0；
③3csA（bcsA+acsB）﹣csinA＝0，
已知△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_____．
（1）求A；
（2）若a+2b＝3且a2≤bc，求△ABC的面积．
26．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC．
（1）证明：BD＝b；
（2）若AD＝2DC，求cs∠ABC．
27．如图，在平面四边形ABCD中，BC＝1，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，∠BAD＝75°．
（1）若∠CBD＝30°，求三角形ABD的面积；
（2）若AD=6−22，求∠CBD的大小．
人教版2022届一轮复习打地基练习 正弦定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠B＝60°，则csC＝（ ）
A．33B．±63C．−63D．63
【分析】由已知及正弦定理可得sinC=ABsinBAC=33，又AB＜AC，利用大边对大角可得C为锐角，根据同角三角函数基本关系式即可求得csC得值．
【解答】解：∵AB＝2，AC＝3，∠B＝60°，
∴由正弦定理可得：sinC=ABsinBAC=2×323=33，
又∵AB＜AC，C为锐角，
∴csC=1−sin2C=63．
故选：D．
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csinC﹣bsinB＝2asinA，c＝2b，则sinA＝（ ）
A．158B．78C．55D．255
【分析】直接利用余弦定理的应用和三角函数的关系式的变换求出结果．
【解答】解：△ABC中，已知csinC﹣bsinB＝2asinA，
整理得c2﹣b2＝2a2，
由于c＝2b，
所以3b=2a，a=3b2，
故根据余弦定理csA=b2+c2−a22bc=78，
由于0＜A＜π，
所以sinA=1−(78)2=158，
故选：A．
3．在△ABC中，a＝43，b＝12，A=π6，则此三角形（ ）
A．无解B．两解
C．一解D．解的个数不确定
【分析】由已知可求bsinA＜a＜b，利用正弦定理即可求解三角形有两解．
【解答】解：在△ABC中，a＝43，b＝12，A=π6，
则bsinA＝12×12=6，
可得bsinA＜a＜b，
可得此三角形有两解．
故选：B．
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a、b、c，若A＝45°，B＝60°，a＝2，则b＝（ ）
A．6B．2C．3D．26
【分析】由已知利用正弦定理即可计算得解．
【解答】解：∵A＝45°，B＝60°，a＝2，
∴由正弦定理asinA=bsinB，可得：b=a⋅sinBsinA=2×3222=6．
故选：A．
5．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的边，已知2acsC＝2b+3c，则角A等于（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【分析】△ABC中，由条件利用正弦定理可得2csAsinC=−3sinC，化简可得csA=−32，由此求得A的值．
【解答】解：△ABC中，∵2acsC＝2b+3c．
∴由正弦定理得：2sinB+3sinC＝2sinAcsC，
∵2sinB＝2sin（A+C）＝2sinAcsC+2csAsinC，
∴化简可得：2csAsinC+3sinC＝0，
∵sinC≠0，
∴csA=−32，
∴由A∈（0，π），可得：A=5π6．
故选：D．
6．在△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若a＝2ccsB，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【分析】已知等式利用正弦定理化简，将sinA＝sin（B+C）代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到sin（B﹣C）＝0，确定出B＝C，即可得出三角形形状．
【解答】解：已知等式a＝2ccsB，利用正弦定理化简得：sinA＝2sinCcsB，
将sinA＝sin（B+C）＝sinBcsC+csBsinC代入得：sinBcsC+csBsinC＝2sinCcsB，即sinBcsC﹣csBsinC＝sin（B﹣C）＝0，
∴B﹣C＝0，即B＝C，
则△ABC为等腰三角形．
故选：B．
7．在△ABC中，已知 a＝4，b＝6，B＝60°，则sinA的值为（ ）
A．33B．32C．63D．62
【分析】由B的度数求出sinB的值，再由a与b的值，利用正弦定理即可求出sinA的值．
【解答】解：∵a＝4，b＝6，B＝60°，
∴由正弦定理asinA=bsinB得：sinA=asinBb=4×326=33．
故选：A．
8．已知△ABC中三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若B=30°，b=1，c=3，则△ABC的面积为（ ）
A．32B．34C．32或34D．32或3
【分析】由b，c及csB的值，利用余弦定理求出a的值，再由a，c及sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．
【解答】解：∵B＝30°，b＝1，c=3，
∴由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2accsB，即1＝a2+3﹣3a，
解得：a＝1或a＝2，
当a＝1时，S△ABC=12acsinB=34；当a＝2时，S△ABC=12acsinB=32．
故选：C．
9．已知在△ABC中，a、b、c分别是三个内角∠A、∠B、∠C的对边，且sinA−sinCsinB=sinA−sinBsinA+sinC，则∠C＝（ ）
A．π6B．π3C．5π6D．2π3
【分析】由正弦定理化简已知等式可得a2+b2﹣c2＝ab，由余弦定理可得：csC=a2+b2−c22ab=ab2ab=12，结合C的范围即可得解．
【解答】解：∵由正弦定理化简已知等式可得：a−cb=a−ba+c
∴a2﹣c2＝ab﹣b2
∴a2+b2﹣c2＝ab
∴由余弦定理可得：csC=a2+b2−c22ab=ab2ab=12，
又∵0＜C＜π，
∴解得：C=π3，
故选：B．
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA+acs（B+C）＝0，若c=2，sinC=35，则a+b等于（ ）
A．43B．42C．26D．25
【分析】根据三角形内角和定理和正弦定理，利用三角函数的恒等变换，求得A、B、C的关系，再利用正弦定理计算a+b的值．
【解答】解：△ABC中，bsinA+acs（B+C）＝0，
∴bsinA﹣acsA＝0，
由正弦定理得sinBsinA﹣sinAcsA＝0，
又A∈（0，π），∴sinA≠0，
∴sinB﹣csA＝0，即csA＝sinB；
∴csA＝sin（π2+A）＝sinB，
∴π2+A+B＝π，即C＝A+B=π2；
或B=π2+A，即B﹣A=π2；
又∵sinC=35，∴B﹣A=π2，
∴csC＝sin（π2−C）＝sin2A＝2sinAcsA=45，
∴1+2sinAcsA＝（sinA+csA）2=95，
解得sinA+csA=355；
∴a+b=csinC（sinA+sinB）=103（sinA+csA）=103×355=25．
故选：D．
二．填空题（共13小题）
11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若csB=45，csC=513，c＝4，则a＝ 215 ．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，sinC的值，进而利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinA，进而利用正弦定理可求a的值．
【解答】解：∵csB=45，csC=513，c＝4，
∴由题意可得：sinB=35，sinC=1213，
∴sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC=6365，
∴a=csinC⋅sinA=4×1312×6365=215．
故答案为：215．
12．在锐角三角形ABC中，已知A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（2csinB−3a）sinA=3（csinC﹣bsinB），则B＝ π3 ，ac的取值范围为 （12，2） ．
【分析】由正、余弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanB，结合范围B∈(0，π2)，可求B=π3，结合△ABC为锐角三角形，解得范围π6＜C＜π2，利用三角函数恒等变换的应用可求ac=321tanC+12，根据正切函数的性质即可求解其范围．
【解答】解：因为（2csinB−3a）sinA=3（csinC﹣bsinB），
可得2csinBsinA=3（asinA+csinC﹣bsinB），
由正、余弦定理，可得2acsinB=3（a2+c2﹣b2）＝23accsB，
所以tanB=3，又B∈(0，π2)，所以B=π3，
所以ac=sinAsinC=sin(2π3−C)sinC=32csC+12sinCsinC=32×1tanC+12，
因为△ABC为锐角三角形，0＜C＜π20＜A=2π3−C＜π2，解得π6＜C＜π2，
所以tanC＞33，所以0＜1tanC＜3，
所以ac=321tanC+12∈（12，2）．
故答案为：π3，（12，2）．
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ACB＝90°，∠ACB的角平分线交AB于点D，且CD＝2，则a+4b的最小值为 92 ．
【分析】由S△ABC＝S△ADC+S△BDC，可得ab=2（a+b），即为1a+1b=22，则a+4b=2（a+4b）（1a+1b），展开后运用基本不等式即可得到所求最小值．
【解答】解：由S△ABC＝S△ADC+S△BDC，
且AC＝b，BC＝a，CD＝2，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠BCD＝45°，
则12absin90°=12•2b•sin45°+12•2a•sin45°，
即为12ab=22b+22a，
即ab=2（a+b），
可得1a+1b=22，
则a+4b=2（a+4b）（1a+1b）=2（5+ab+4ba）≥2（5+2ab⋅4ba）＝92，
当且仅当a＝2b时，取得等号，
即有a+4b的最小值为92．
故答案为：92．
14．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，csAcsBcsC＞0，则asinAb的取值范围是 （36，12） ．
【分析】先利用二倍角公式化简B＝2A换成边的关系，求得A的范围，根据正切函数的单调性求得asinAb的取值范围．
【解答】解：由csAcsBcsC＞0，可知，三角形是锐角三角形，
由正弦定理可知sinB＝sin2A＝2sinAcsA，
b＝2acaA
asinAb=12tanA，
∵A+B+C＝180°，B＝2A
∴3A+C＝180°，A＝60°−C3＞30°，
∵2A＜90°
∴A∈（30°，45°），
33＜tanA＜1
则36＜asinAb＜12
故答案为：（36，12）．
15．已知圆内接四边形ABCD的边长BC＝2AB＝2，CD＝DA=7，则AC＝ 7 ，四边形ABCD的面积为 934 ．
【分析】连结BD，由于A+C＝180°，则csA＝﹣csC，在△BCD中，和在△ABD中分别应用余弦定理即可求得BD和角C；
由于B+D＝180°，则sinB＝sinD，由四边形ABCD的面积为S△ABC+S△ACD，应用面积公式，即可得到面积．
【解答】解：由于B+D＝180°，则csB＝﹣csD，
由题设及余弦定理得，
在△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•csB＝5﹣4csB，…①
在△ACD中，AC2＝AD2+DC2﹣2AD•DC•csD＝14+14csB，…②
由①②得csB=−12，故B＝120°，D＝60°，
则AC=7．
由于B+D＝180°，∴sinB＝sinD=32，
由以上的结果及题设，可知四边形ABCD的面积S＝S△ABC+S△ACD=12AB•BC•sinB+12AD•CD•sinD=12（1×2+7×7）×32=934，
故答案为：7，934．
16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccsA+acsC=3，B=π3，则a+csinA+sinC= 2 ．
【分析】利用正弦定理化简已知等式可求三角形的外接圆半径，进而利用正弦定理，比例的性质即可求解．
【解答】解：因为ccsA+acsC=3，
由正弦定理得：2RsinCcsA+2RsinAcsC=3，
可得2Rsin（C+A）＝2RsinB=3R=3，
则R＝1，
所以a+csinA+sinC=bsinB=2R=2．
故答案为：2．
17．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，2c−3b=2acsB，a=7．则3b−c的取值范围为 （7，21） ．
【分析】由余弦定理进行化简，求出A的大小，利用正弦定理，结合三角函数恒等变换的应用可求3b﹣c＝27sin（B−π6），由已知可求范围π6＜B−π6＜π3，利用正弦函数的性质可求其取值范围．
【解答】解：∵2c−3b＝2acsB＝2a•a2+c2−b22ac=a2+c2−b2c，
∴2c2−3bc＝a2+c2﹣b2，
即b2+c2﹣a2=3bc，
则csA=b2+c2−a22bc=3bc2bc=32，则A=π6，
若a=7，由正弦定理得bsinB=csinC=712=27，得：b＝27sinB，c＝27sinC＝27sin（5π6−B），
则3b﹣c=3×27sinB﹣27sin（5π6−B）
＝221sinB﹣27[12csB+32sinB]
=21sinB−7csB
＝27sin（B−π6），
∵△ABC是锐角三角形，
∴0＜B＜π20＜5π6−B＜π2，得：π3＜B＜π2，则：π6＜B−π6＜π3，
∴12＜sin（B−π6）＜32，
即 7＜27sin（B−π6）＜21，
即 3b﹣c的取值范围是（7，21）．
故答案为：（7，21）．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足a2+b2＝c2+ab．若b＝4，且△ABC为锐角三角形，则△ABC面积的取值范围为 （23，83） ．
【分析】由已知利用余弦定理可求csC的值，结合C的范围可求C的值，由锐角△ABC，可推出B的取值范围，再由正弦定理可得c，最后根据三角形的面积公式、正弦的两角差公式和正切函数的性质即可解得三角形面积的取值范围．
【解答】解：因为a2+b2＝c2+ab，可得a2+b2﹣c2＝ab，
所以由余弦定理知csC=a2+b2−c22ab=ab2ab=12，
因为C∈（0，π），
所以C=π3，
所以A+B=2π3，
又△ABC是锐角三角形，
所以0＜B＜π20＜2π3−B＜π2，解得π6＜B＜π2，
由正弦定理知bsinB=csinC，可得c=23sinB，
所以△ABC面积S=12bcsinA
=12×4×23sinB×sin（2π3−B）
＝43×32csB+12sinBsinB
=6csB+23sinBsinB
=6tanB+23，
因为π6＜B＜π2，
所以tanB＞33，
所以23＜S＜83，
故△ABC面积的取值范围为（23，83）．
故答案为：（23，83）．
19．在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，BD＝2，则△ABC面积的最大值为 83 ．
【分析】首先利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出S△ABC=8sinθ5−4csθ，进一步利用求导问题的应用求出函数的最大值．
【解答】解：设AB＝AC＝2x，∠A＝θ，θ∈（0，π），
故利用余弦定理：4＝4x2+x2﹣2•2x•x•csθ，
整理得：x2=45−4csθ，
利用y=S△ABC=12⋅2x⋅2x⋅sinθ=8sinθ5−4csθ，
所以y′=8(5csθ−4)(5−4csθ)2，
令y′＝0，解得csθ=45，
结合函数f（x）＝csx在（0，π）上单调递减，
可知：csθ=45时，y取得极大值，也为最大值；
代入S△ABC=8sinθ5−4csθ，解得S△ABC=83．
故答案为：83．
20．在△ABC中，a2+b2＝kc2，且ctC＝2004（ctA+ctB），则常数k的值为 4009 ．
【分析】先根据余弦定理表示出csC，进而对题设条件化简，把切转换成弦，利用两角和公式化简整理后，进而利用正弦定理把角的正弦转化成边整理求得k−12=2004，则k的值可求．
【解答】解：由余弦定理可知csC=12ab（a2+b2﹣c2）=(k−1)c22ab
ctCctA+ctB=csC⋅sinA⋅sinB(sinAcsB+sinBcsA)⋅sinC=csC⋅sinA⋅sinBsin2C=(k−1)c22ab•sinA⋅sinBsin2C=2004
由正弦定理可知asinA=bsinB=csinC=2R
∴k−12=2004
∴k＝4009
故答案为：4009
21．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3asinB＝bsin（B+C）tanC，则csC＝ 12 ．
【分析】直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理的应用求出结果．
【解答】解：由题意有3asinB=bsinAtanC，
又由正弦定理有3ab=abtanC，
所以tanC=3，
由于0＜C＜π，
所以C=π3．
故csC=12．
故答案为：12．
22．在△ABC中，AB＝1，sinB＝5sinC，csA=25，则BC＝ 22 ．
【分析】由已知利用正弦定理化简可得AC＝5AB＝5，进而根据余弦定理即可求解BC的值．
【解答】解：因为sinB＝5sinC，
所以AC＝5AB＝5，
则BC=12+52−2×1×5×25=22．
故答案为：22．
23．在△ABC中，tanA+B2=2sinC，若AB＝1，则12AC+BC的最大值为 213 ．
【分析】由已知式子化简变形讨论可得C=π3，再由正弦定理可得12AC+BC=13sin（2π3−A）+23sinA=12csA+523sinA，由三角函数的最值可得．
【解答】解：∵在△ABC中，tanA+B2=2sinC，
∴tan（π2−C2）＝2sinC，∴sin(π2−C2)cs(π2−C2)=2sinC，
∴csC2sinC2=4sinC2csC2，即csC2（4sin2C2−1）＝0，
解得csC2=0或4sin2C2−1＝0，
∴C＝π（舍去），或C=5π3（舍去），或C=π3，
又∵AB＝1，∴1sinπ3=ACsinB=BCsinA，
∴AC=23sinB，BC=23sinA，又B=2π3−A，
∴12AC+BC=13sin（2π3−A）+23sinA=12csA+523sinA，
∴12AC+BC的最大值为(12)2+(523)2=213
故答案为：213
三．解答题（共4小题）
24．在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3bsinA＝atanB．
（Ⅰ）求csB的值；
（Ⅱ）求sin(2B−π6)的值．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式，结合sinA≠0，sinB≠0，即可求解csB的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的正弦公式即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）因为3bsinA＝atanB，
所以由正弦定理可得3sinBsinA＝sinA•sinBcsB，
因为A∈（0，π），sinA≠0，B∈（0，π），sinB≠0，
所以csB=13．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinB=1−cs2B=223，
则sin2B＝2sinBcsB=429cs2B＝2cs2B﹣1=−79，
所以sin(2B−π6)=sin2Bcsπ6−cs2Bsinπ6
=429×32+79×12=46+718．
25．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
①2sin（A+C）+2sin（B+C）cs（A+B）＝sin（A+B）；
②tanA+tanB+tanC−3tanBtanC＝0；
③3csA（bcsA+acsB）﹣csinA＝0，
已知△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_____．
（1）求A；
（2）若a+2b＝3且a2≤bc，求△ABC的面积．
【分析】（1）选条件①时，由条件，可得2sinC csA＝sinC，再求出A即可；
选条件②时，根据tanA+tanB+tanC﹣tanAtanBtanC＝0，结合条件，可得tanA=3，再求出A即可；
选条件③时，由条件，可得3csA−sinA=0，再求出A即可；
（2）根据条件，利用余弦定理，可得b2+c2﹣bc≤bc，再由A=π3，可知三角形△ABC为正三角形，进一步求出△ABC的面积．
【解答】解：（1）选①，2sin（A+C）+2sin（B+C）cs（A+B）＝sin（A+B），
由诱导公式，得2sin（A+C）﹣2sinA csC＝sinC，即2sinC csA＝sinC，
因为sinC≠0，所以csA=12，所以A=π3
选②，由诱导公式，得tanA=−tan(B+C)=−tanB+tanC1−tanBtanC，
整理即有tanA+tanB+tanC﹣tanAtanBtanC＝0，
又已知tanA+tanB+tanC−3tanBtanC=0，且tanAtanBtanC≠0，
所以tanA=3，所以A=π3．
选③，已知3csA(bcsA+acsB)−csinA=0，
由正弦定理，可得3csA(sinBcsA+sinAcsB)−sinCsinA=0，
所以3csAsin(A+B)−sinCsinA=0，即3csAsinC−sinCsinA=0，
因为sinC≠0，所以3csA−sinA=0，即tanA=3，
所以A=π3．
（2）因为a2≤bc，
所以由余弦定理，有a2＝b2+c2﹣2bccsA＝b2+c2﹣bc≤bc，
所以（b﹣c）2≤0，所以b＝c，又A=π3，
所以a＝b＝c，所以△ABC为等边三角形．
又因为a+2b＝3，所以a＝b＝1，
所以S△ABC=12×1×1×sin60°=34．
26．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC．
（1）证明：BD＝b；
（2）若AD＝2DC，求cs∠ABC．
【分析】（1）利用正弦定理求解；
（2）要能找到隐含条件：∠BDA和∠BDC互补，从而列出等式关系求解．
【解答】解：（1）证明：由正弦定理知，bsin∠ABC=csin∠ACB=2R，
∴b＝2Rsin∠ABC，c＝2Rsin∠ACB，
∵b2＝ac，∴b•2Rsin∠ABC＝a•2Rsin∠ACB，
即bsin∠ABC＝asinC，
∵BDsin∠ABC＝asinC，
∴BD＝b；
（2）法一：由（1）知BD＝b，
∵AD＝2DC，∴AD=23b，DC=13b，
在△ABD中，由余弦定理知，cs∠BDA=BD2+AD2−AB22BD⋅AD=b2+(23b)2−c22b⋅23b=13b2−9c212b2，
在△CBD中，由余弦定理知，cs∠BDC=BD2+CD2−BC22BD⋅CD=b2+(13b)2−a22b⋅13b=10b2−9a26b2，
∵∠BDA+∠BDC＝π，
∴cs∠BDA+cs∠BDC＝0，
即13b2−9c212b2+10b2−9a26b2=0，
得11b2＝3c2+6a2，
∵b2＝ac，
∴3c2﹣11ac+6a2＝0，
∴c＝3a或c=23a，
在△ABC中，由余弦定理知，cs∠ABC=a2+c2−b22ac=a2+c2−ac2ac，
当c＝3a时，cs∠ABC=76＞1（舍）；
当c=23a时，cs∠ABC=712；
综上所述，cs∠ABC=712．
法二：∵点D在边AC上且AD＝2DC，
∴BD→=13BA→+23BC→，
∴BD→2=13BA→⋅BD→+23BC→⋅BD→，
而由（1）知BD＝b，
∴b2=13bc⋅cs∠ABD+23ab⋅cs∠CBD，
即3b＝c•cs∠ABD+2a•cs∠CBD，
由余弦定理知：3b=c⋅b2+c2−49b22bc+2a⋅a2+b2−19b22ab，
∴11b2＝3c2+6a2，
∵b2＝ac，
∴3c2﹣11ac+6a2＝0，
∴c＝3a或c=23a，
在△ABC中，由余弦定理知，cs∠ABC=a2+c2−b22ac=a2+c2−ac2ac，
当c＝3a时，cs∠ABC=76＞1（舍）；
当c=23a时，cs∠ABC=712；
综上所述，cs∠ABC=712．
法三：在△BCD中，由正弦定理可知asinC＝BDsin∠BDC＝bsin∠BDC，
而由题意可知ac＝b²⇒asinC＝bsin∠ABC，
于是sin∠BDC＝sin∠ABC，从而∠BDC＝∠ABC或∠BDC+∠ABC＝π．
若∠BDC＝∠ABC，则△CBD∽～△CAB，于是CB²＝CD•CA⇒a²=b23⇒a：b：c＝1：3：3，
无法构成三角形，不合题意．
若∠BDC+∠ABC＝π，则∠ADB＝∠ABC⇒△ABD∽△ACB，
于是AB²＝AD•AC⇒c²=2b23⇒a：b：c＝3：6：2，满足题意，
因此由余弦定理可得cs∠ABC=a2+c2−b22ac=712．
27．如图，在平面四边形ABCD中，BC＝1，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，∠BAD＝75°．
（1）若∠CBD＝30°，求三角形ABD的面积；
（2）若AD=6−22，求∠CBD的大小．
【分析】（1）由已知在△BCD中，由正弦定理可求BD的值，在△ABD中，由正弦定理可得AB的值，进而根据三角形的面积公式即可计算求解．
（2）由已知利用正弦定理可知：6−22sin∠ABD=BDsin75°，1sin∠BDC=BDsin60°，又∠ABC＝90°，可得sin∠ABD＝cs∠CBD，可得BD•cs∠CBD=12，BD•sin∠BDC=32，两式相除可得sin∠BDC=3cs∠CBD，利用三角函数恒等变换的应用可求tan∠CBD=3，结合范围0＜∠CBD＜180°，可得∠CBD的值．
【解答】解：（1）因为BC＝1，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，∠BAD＝75°，∠CBD＝30°，
可得∠BDC＝90°，∠ABD＝60°，∠BDA＝45°，
在△BCD中，由正弦定理BDsin∠BCD=BCsin∠BDC，可得BD32=11，可得BD=32，
在△ABD中，由正弦定理ABsin∠BDA=BDsin∠BAD，可得AB22=32sin75°，可得AB=6422(12+32)=3−32，
所以S△ABD=12AB•BD•sin∠ABD=12×3−32×32×32=9−3316．
（2）因为AD=6−22，BC＝1，∠BCD＝60°，
在△ABD，△BCD中，由正弦定理可知：6−22sin∠ABD=BDsin75°，1sin∠BDC=BDsin60°，
又∠ABC＝90°，所以sin∠ABD＝cs∠CBD，
从而有BD•cs∠CBD=12，BD•sin∠BDC=32，
两式相除可得sin∠BDC=3cs∠CBD，
由sin∠BDC＝sin（180°﹣60°﹣∠CBD）＝sin（60°+∠CBD）＝sin60°cs∠CBD+cs60°sin∠CBD=32cs∠CBD+12sin∠CBD，
因此有tan∠CBD=3，由0＜∠CBD＜180°，可得∠CBD＝60°．
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