人教版2022届一轮复习打地基练习 正弦函数的图像

这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 正弦函数的图像，共35页。试卷主要包含了y=2sin的图象是，已知函数f，函数y＝2sin，设函数f，已知f同时满足以下条件等内容，欢迎下载使用。
1．三角函数y＝2sinx在区间[﹣π，π]上的图像为（ ）
A．B．
C．D．
2．函数y＝2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，3]，则b﹣a的最大值和最小值之和等于（ ）
A．4πB．7π2C．5π2D．3π
3．y=2sin(2x+π3)的图象是（ ）
A．关于原点成中心对称的图形
B．关于y轴成轴对称的图形
C．关于点(π12，0)成中心对称的图形
D．关于直线x=π12成轴对称的图形
4．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y＝b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标依次是1、2、4，下列区间是函数f（x）单调递增区间的是（ ）
A．[0，3]B．[32，3]C．[3，6]D．[3，92]
5．函数y＝2sin（2x+π3）的图象（ ）
A．关于点（π3，0）对称B．关于直线x=π4对称
C．关于点（π4，0）对称D．关于直线x=π3对称
6．设函数f（x）＝|sin（x+π3）|（x∈R），则f（x）（ ）
A．在区间[2π3，7π6]上是增函数
B．在区间[﹣π，−π2]上是减函数
C．在区间[−π3，π4]上是增函数
D．在区间[π3，5π6]上是减函数
7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+π3）+ω（ω＞0）的图象与x轴相切，则f（π）＝（ ）
A．3B．1C．3−2D．3+2
8．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2），其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，且函数f（x+π12）是偶函数，下列判断正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为2π
B．函数f（x）的图象关于点（7π12，0）对称
C．函数f（x）在[3π4，π]上单调递增
D．函数f（x）的图象关于直线x=−7π12对称
9．已知f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0）同时满足以下条件：
①当|f（x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|最小值为π2；
②f（π12+x）＝f（7π12−x）；
③f（0）＞f（π4）．
若f（x）＝a在[0，π]有2个不同实根m，n，且|m﹣n|≥π3，则实数a的取值范围为（ ）
A．[−3，3]B．[0，1）C．（1，3]D．[﹣1，1）
10．已知点A，B，C是函数y=2sin(ωx+π3)，ω＞0的图象和函数y=2sin(ωx−π6)，ω＞0图象的连续三个交点，若△ABC是锐角三角形，则ω的取值范围为（ ）
A．（π2，+∞）B．（π4，+∞）C．（0，π2）D．（0，π4）
11．设函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2），已知函数f（x）的图象相邻的两个对称中心的距离是2π，且当x=π3时，f（x）取得最大值，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期是4π
B．函数f（x）在[0，π2]上单调递增
C．f（x）的图象关于直线x=3π8对称
D．f（x）的图象关于点（3π8，0）对称
12．若函数f(x)=sin(x+α−π12)为偶函数，则cs2α的值为（ ）
A．−12B．12C．−32D．32
13．已知函数f（x）＝sinx（x∈[0，π]）和函数g（x）=35tanx的图象相交于A，B，C三点，则△ABC的面积为（ ）
A．π5B．2π5C．3π5D．4π5
14．设函数f（x）=2sin（ωx+φ+π4）（ω＞0，|φ|＜π2）的最小正周期为π，且f（﹣x）＝f（x），则（ ）
A．f（x）在（0，π2）单调递减
B．f（x）在（π4，3π4）单调递减
C．f（x）在（0，π2）单调递增
D．f（x）在（π4，3π4）单调递增
二．多选题（共1小题）
15．记函数f(x)=sin(2x−π3)的图象为曲线F，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为π
B．函数f（x）在区间[−π12，5π12]上单调递增
C．曲线F关于直线x=−π12对称
D．将函数y＝sin2x的图象向右平移π3个单位长度，得到曲线F
三．填空题（共19小题）
16．对任意两实数a、b，定义运算“max{a，b}”如下：max{a，b}=a(a≥b)b(a＜b)，则关于函数f（x）＝max{sinx，csx}，下列命题中：
①函数f（x）的值域为[−22，1]；
②函数f（x）是周期函数；
③函数f（x）的对称轴为x＝kπ+π4(k∈Z)；
④当且仅当x＝2kπ（k∈Z）时，函数f（x）取得最大值1；
⑤当且仅当2kπ＜x＜2kπ+32π(k∈Z)时，f（x）＜0；
正确的是 （填上你认为正确的所有答案）
17．给出下列五个命题：
①函数y=2sin(2x−π3)的一条对称轴是x=5π12；
②函数y＝tanx的图象关于点（π2，0）对称；
③正弦函数在第一象限为增函数；
④若sin(2x1−π4)=sin(2x2−π4)，则x1﹣x2＝kπ，其中k∈Z；
⑤函数f（x）＝sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围为（1，3）．
以上五个命题中正确的有 （填写所有正确命题的序号）
18．若函数f(x)=2(x+1)2+sinxx2+1的最大值和最小值分别为M、m，则函数g（x）＝（M+m）x+sin[（M+m）x﹣1]图象的一个对称中心是 ．
19．函数y＝5sin（π5x+π5）（﹣15≤x≤10）的图象与函数y=5x+1图象的所有交点的横坐标之和为 ．
20．设函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的图象关于直线x=2π3对称，它的周期为π，则下列说法正确的是 ．（填写序号）
①f（x）的图象过点(0，32)；
②f（x）在[π12，2π3]上单调递减；
③f（x）的一个对称中心是(5π12，0)；
④将f（x）的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y＝2sinωx的图象．
21．已知函数f（x）＝sin（2x+φ），若f(π12)−f(−5π12)=2，则函数f（x）的单调增区间为 ．
22．已知函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω＞0)在[0，π]有且仅有3个零点，则函数f（x）在[0，π]上存在 个极小值点，实数ω的取值范围是 ．
23．已知函数f(x)=sin(x−π6)，若对任意的实数α∈[−5π6，−π2]，都存在唯一的实数β∈[0，m]，使f（α）+f（β）＝0，则实数m的最小值是 ．
24．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M（2π3，﹣2）．则f（x）的解析式为 ．
25．已知x1，x2是函数f（x）＝Asin（ωx+π3）（A＞0，ω＞0）的两个零点，若|x1﹣x2|的最小值为π2，则f（x）的单调递增区间为 ．
26．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）图象的任意两对称轴之间的距离为整数，且其图象上存在四点M、N、P、Q，使得四边形MNPQ为菱形，则A的最小值为 ．
27．在[0，2π]内，使sinx≥−32成立的x的取值范围是 ．
28．比较下列各数的大小：sin1，sin2，sin3 ．
29．已知函数f（x）＝sin（ωx+π4）（ω＞0），若f（x）在[0，3π]恰有3个极值点，则ω的取值范围是 ．
30．若点（π4，b）在函数y=2sinx+1的图象上，则b＝ ．
31．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜2π）是R上的偶函数，图象关于点M（34π，0）对称，在[0，π2]是单调函数，则符合条件的数组（ω，φ）有 对．
32．函数y＝1﹣2sinx的最大值为 ，此时x＝ ．
33．已知函数f（x）＝2sin（ωx+π6）+acsωx（a＞0，ω＞0）对任意x1，x2∈R都有f（x1）+f（x2）≤43，若f（x）在[0，π]上的取值范围是[3，23]，则实数ω的取值范围是 ．
34．已知函数f（x）＝sin（ωx+π6）sin（ωx+2π3）（ω＞0），若存在α，β∈（﹣3，0），对任意x∈R，f（α）≤f（x）≤f（β），则ω的取值范围是 ．
四．解答题（共8小题）
35．函数f(x)=3sin(ωx+π4)+m，其中0＜ω＜6，f(π8)=2，且对于任意x∈R，都有f(5π8)≤f(x)≤f(9π8)．
（1）求ω和m；
（2）当x∈[0，π2]时，求f（x）的值域．
36．已知函数f（x）＝2cs2ωx+2sinωxcsωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求f（π3）的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．
37．已知函数f（x）＝2sin（2x+π6）+1，x∈R
（1）求函数f（x）的最值及取得最值时自变量x的取值集合；
（2）求函数f（x）的单调区间．
38．设函数f（x）＝sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y＝f（x）图象的一条对称轴是直线x=π6．
（Ⅰ）求φ；
（Ⅱ）求函数y＝f（x）的单调增区间．
39．已知函数f（x）＝2sin（ωx﹣φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的最小正周期为π，且π6是它的一个零点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若α，β∈[0，π2]，f（a2+5π12）=2，f（β2+π6）=3，求cs（α+β）的值．
40．已知函数y＝f（x），若存在实数m、k（m≠0），使得对于定义域内的任意实数x，均有m•f（x）＝f（x+k）+f（x﹣k）成立，则称函数y＝f（x）为“可平衡”函数，有序数对（m，k）称为函数f（x）的“平衡”数对；
（1）若m=3，判断f（x）＝sinx是否为“可平衡”函数，并说明理由；
（2）若m1，m2∈R且（m1，π2），（m2，π4）均为f（x）＝sin2x的“可平衡”数对，当0＜x＜π3时，方程m1+m2＝a有两个不相等的实根，求a 的取值范围．
41．已知函数f(x)=2sin(2x+π4)，x∈R
（1）写出函数f（x）的最小正周期、对称轴方程及单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[0，π2]上的最值及取最值时x的值．
42．已知cs(θ+π6)=a(|a|≤1)，函数f（x）=23sin（x−π3），
（1）求f（θ）的值
（2）求f（x）在x∈[π2，π]上的最大值及取最大值时x的取值
（3）求f（x）的单调增区间．
人教版2022届一轮复习打地基练习 正弦函数的图像
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．三角函数y＝2sinx在区间[﹣π，π]上的图像为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据已知条件，结合三角函数的奇偶性，以及函数的最值点，即可求解．
【解答】解：∵y＝2sinx为奇函数，
∴三角函数y的图像关于原点对称，故排除AD选项，
三角函数y＝2sinx在区间[﹣π，π]上的最大值为y=2sinπ2=2，故排除B选项．
故选：C．
2．函数y＝2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，3]，则b﹣a的最大值和最小值之和等于（ ）
A．4πB．7π2C．5π2D．3π
【分析】由题意结合三角函数的图象，求得b﹣a的最大值和b﹣a的最小值，可得结论．
【解答】解：由于函数y＝2sinx的最大值为2，最小值为﹣2，
而函数y＝2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，3]，
不妨假设[a，b]中含有−π2，
当b﹣a最大值时，a=−4π3，b=π3，此时，b﹣a=5π3；
当b﹣a最小值时，a=−π2，b=π3，此时，b﹣a=5π6，
故b﹣a的最大值和最小值之和等于5π3+5π6=5π2，
故选：C．
3．y=2sin(2x+π3)的图象是（ ）
A．关于原点成中心对称的图形
B．关于y轴成轴对称的图形
C．关于点(π12，0)成中心对称的图形
D．关于直线x=π12成轴对称的图形
【分析】根据三角函数对称性的求法，令2x+π3=kπ+π2解出x的值即可得到答案．
【解答】解：令2x+π3=kπ+π2，得x=12kπ+π12，
对称轴方程为：x=12kπ+π12（k∈Z），
当k＝0时为直线x=π12
故选：D．
4．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y＝b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标依次是1、2、4，下列区间是函数f（x）单调递增区间的是（ ）
A．[0，3]B．[32，3]C．[3，6]D．[3，92]
【分析】三角函数的图象与直线y＝b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是1，2，4，至少提供两个方面的信息①第一个交点与第三个交点的差是一个周期；②第一个交点与第二个交点的中点横坐标对应的函数值是最大值或最小值，从这两个方面考虑求得参数ω，φ，然后求出函数f（x）单调递增区间．
【解答】解：与直线y＝b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是1，2，4，
知函数的周期为T=2πω=4﹣1＝3，解得ω=2π3，
再由三角函数的图象与直线y＝b（0＜b＜A）知，
1与2的中点必为函数的最大值的横坐标，
由五点法知2π3×32+φ=π2，解得φ=−π2，
∴f（x）＝Asin（2π3x−π2）＝﹣Acs（2π3x），
令2kπ≤2π3x≤2kπ+π，k∈Z，解得3k≤x≤3k+32，k∈Z，
∴当k＝0时，f（x）的单调递增区间是[3，92]．
故选：D．
5．函数y＝2sin（2x+π3）的图象（ ）
A．关于点（π3，0）对称B．关于直线x=π4对称
C．关于点（π4，0）对称D．关于直线x=π3对称
【分析】根据函数y＝2sin（2x+π3）的图象与性质，对选项中的命题判断正误即可．
【解答】解：对于函数y＝2sin（2x+π3），
x=π3时，y＝2sin（2π3+π3）＝0，其函数图象关于点（π3，0）对称，A正确；
x=π4时，y＝2sin（π2+π3）＝1，其函数图象不关于点直线x=π4对称，B错误；
其函数图象也不关于点（π4，0）对称，C错误；
其函数图象也不关于直线x=π3对称，D错误．
故选：A．
6．设函数f（x）＝|sin（x+π3）|（x∈R），则f（x）（ ）
A．在区间[2π3，7π6]上是增函数
B．在区间[﹣π，−π2]上是减函数
C．在区间[−π3，π4]上是增函数
D．在区间[π3，5π6]上是减函数
【分析】根据正弦函数的性质，将图象关于x轴对称翻折，可得f（x）＝|sin（x+π3）|，即可得答案．
【解答】解：由函数y＝sin（x+π3）（x∈R），可知，
当x+π3=−π2时，取得最小值为﹣1，此时x=−5π6，
当x+π3=0时，图象与x的交点，此时x=−π3，
当x+π3=π2时，取得最大值为1，此时x=π6，
y＝sin（x+π3）（x∈R）的图象关于x轴对称翻折，可得f（x）＝|sin（x+π3）|，
∴函数f（x）的周期为π，
∴函数f（x）的单调减区间为[−5π6+kπ，−π3+kπ]：单调增区间为[−π3+kπ，π6+kπ]，k∈Z．
当k＝1时，可得单调增区间为[2π3，7π6]，
故选：A．
7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+π3）+ω（ω＞0）的图象与x轴相切，则f（π）＝（ ）
A．3B．1C．3−2D．3+2
【分析】根据函数图象与X轴相切，得到其最小值为0，可求得参数ω的值进而求得结论．
【解答】解：∵函数f（x）＝2sin（ωx+π3）+ω（ω＞0）的图象与x轴相切；
∴函数f（x）＝2sin（ωx+π3）+ω（ω＞0）的最小值为0，
∴﹣2+ω＝0⇒ω＝2；
∴f（x）＝2sin（2x+π3）+2；
∴f（π）＝2sin（2π+π3）+2＝2sinπ3+2=3+2．
故选：D．
8．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2），其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，且函数f（x+π12）是偶函数，下列判断正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为2π
B．函数f（x）的图象关于点（7π12，0）对称
C．函数f（x）在[3π4，π]上单调递增
D．函数f（x）的图象关于直线x=−7π12对称
【分析】由题意可求f（x）的周期T，利用周期公式可求ω，函数f（x+π12）是偶函数，可得 π6+φ＝kπ+π2，k∈Z，又|φ|＜π2，解得φ，可得解析式f（x）＝sin（2x+π3），利用正弦函数的图象和性质即可判断求解．
【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，
∴函数f（x）的周期T＝π，故A错误；
∵ω＞0
∴ω＝2，
∴函数f（x+π12）的解析式为：f（x）＝sin[2（x+π12）+φ]＝sin（2x+π6+φ），
∵函数f（x+π12）是偶函数，
∴π6+φ＝kπ+π2，k∈Z，又|φ|＜π2，解得：φ=π3．
∴f（x）＝sin（2x+π3）．
∴由2x+π3=kπ，k∈Z，解得对称中心为：（ kπ2−π6，0），k∈Z，故B错误；
由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得单调递增区间为：[kπ−5π12，kπ+π12]，k∈Z，故C正确．
由2x+π3=kπ+π2，k∈Z，解得对称轴是：x=kπ2+π12，k∈Z，故D错误；
故选：C．
9．已知f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0）同时满足以下条件：
①当|f（x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|最小值为π2；
②f（π12+x）＝f（7π12−x）；
③f（0）＞f（π4）．
若f（x）＝a在[0，π]有2个不同实根m，n，且|m﹣n|≥π3，则实数a的取值范围为（ ）
A．[−3，3]B．[0，1）C．（1，3]D．[﹣1，1）
【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，求得a的范围．
【解答】解：函数f（x）＝2sin（ωx+φ）满足，当|f（x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|最小值为12•2πω=π2，
∴ω＝2，函数f（x）＝2sin（2x+φ）．
∵f（π12+x）＝f（7π12−x），故f（x）的图象关于直线x=π3对称，
故有 2×π3+φ＝kπ+π2，即 φ＝kπ−π6，k∈Z．
又f（0）＞f（π4），即 2sinφ＞2sin（π2+φ）＝2csφ，即 sinφ＞csφ，故φ=5π6，
函数f（x）＝2sin（2x+5π6）．
f（x）＝a在[0，π]有2个不同实根m，n，且|m﹣n|≥π3，
根据2x+5π6∈[5π6，2π+5π6]，2sin7π6=2sin11π6=−1，2sin5π6=2sin（2π+π6）＝2sin（2π+5π6）＝1，
∴﹣1≤a＜1，
故选：D．
10．已知点A，B，C是函数y=2sin(ωx+π3)，ω＞0的图象和函数y=2sin(ωx−π6)，ω＞0图象的连续三个交点，若△ABC是锐角三角形，则ω的取值范围为（ ）
A．（π2，+∞）B．（π4，+∞）C．（0，π2）D．（0，π4）
【分析】作出两个函数的图象，结合锐角三角形的等价条件，进行转化，求出三角形的底和高，结合三角函数的相交性质进行求解即可．
【解答】解：作出两个函数的图象如图，则根据对称性知AB＝BC，即△ABC为等腰三角形，
三角函数的周期T=2πω，
且AC＝T，取AC的中点M，
连接BM，则BM⊥AC，
要使△ABC是锐角三角形，
只需要∠ABM＜45°即可，
即tan∠ABM=AMBM＜1即可，即AM＜BM．
由2sin（ωx+π3）=2sin（ωx−π6），
得sin（ωx+π3）＝sin（ωx−π6），
得ωx+π3=π﹣（ωx−π6）=7π6−ωx，
得2ωx=5π6，得ωx=5π12，
则y=2sin（ωx+π3）=2sin（5π12+π3）=2sin3π4=2×22=1，
即A点纵坐标为1，则BM＝2，
由AM＜BM得12AC＜BM，即12T＜2，
则T＜4，即2πω＜4，得ω＞π2，
即ω的取值范围为（π2，+∞），
故选：A．
11．设函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2），已知函数f（x）的图象相邻的两个对称中心的距离是2π，且当x=π3时，f（x）取得最大值，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期是4π
B．函数f（x）在[0，π2]上单调递增
C．f（x）的图象关于直线x=3π8对称
D．f（x）的图象关于点（3π8，0）对称
【分析】根据f（x）的最小正周期为4π，可得ω，当x=π3时，f（x）取得最大值．可得φ的值，得到了f（x）的解析式，利用正弦函数的性质逐项判断即可．
【解答】解：由题意，f（x）的最小正周期为4π，
∴ω=2π4π=12，
∵当x=π3时，f（x）取得最大值．即12×π3+φ＝2kπ+π2，k∈Z．
∴φ＝2kπ+π3，k∈Z．
∵0＜φ＜π2，
可得：φ=π3．
那么f（x）＝2sin（12x+π3），
对于A，正确；
对于B，当x∈[0，π2]，12x+π3∈[π3，7π12]，由正弦函数的单调性可知错误；
对于C，由2sin（12×3π8+π3）≠2，故错误；
对于D，由2sin（12×3π8+π3）≠0，故错误；
故选：A．
12．若函数f(x)=sin(x+α−π12)为偶函数，则cs2α的值为（ ）
A．−12B．12C．−32D．32
【分析】根据偶函数的性质可得α=7π12，α=5π12即可求出cs2α的值．
【解答】解：∵函数f(x)=sin(x+α−π12)为偶函数，
∴α−π12=±π2，
∴α=7π12，α=5π12
∴2α=7π6，2α=5π6
∴cs2α＝cs7π6=−csπ6=−32，
cs2α＝cs5π6=−csπ6=−32，
故选：C．
13．已知函数f（x）＝sinx（x∈[0，π]）和函数g（x）=35tanx的图象相交于A，B，C三点，则△ABC的面积为（ ）
A．π5B．2π5C．3π5D．4π5
【分析】先求得A、B、C三点的坐标，可得△ABC的面积．
【解答】解：∵函数f（x）＝sinx（x∈[0，π]）和函数g（x）=35tanx的图象相交于A，B，C三点，
∴由sinx=35tanx，可得sinx＝0，或csx=35，
即 sinx＝0，或 sinx=45，
∴x＝0，x＝π，x＝arcsin45，
∴可设A（0，0），B（arcsin45，45），C（π，0），
则△ABC的面积为 12•π•45=2π5，
故选：B．
14．设函数f（x）=2sin（ωx+φ+π4）（ω＞0，|φ|＜π2）的最小正周期为π，且f（﹣x）＝f（x），则（ ）
A．f（x）在（0，π2）单调递减
B．f（x）在（π4，3π4）单调递减
C．f（x）在（0，π2）单调递增
D．f（x）在（π4，3π4）单调递增
【分析】由条件利用正弦函数的周期性求得ω的值，再根据正弦函数、余弦函数的奇偶性，求得φ的值，可得函数的解析式，从而得到它的单调性．
【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+φ+π4）（ω＞0，|φ|＜π2）的最小正周期为π，
则2πω=π，求得ω＝2，函数f（x）=2sin（2x+φ+π4）．
再根据f（﹣x）＝f（x），可得f（x）为偶函数，故φ+π4=kπ+π2，即φ＝kπ+π4，k∈Z，|φ|＜π2，
故取φ=π4，函数f（x）=2sin（2x+π4+π4）=2cs2x．
故f（x）在（0，π2）单调递减，
故选：A．
二．多选题（共1小题）
15．记函数f(x)=sin(2x−π3)的图象为曲线F，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为π
B．函数f（x）在区间[−π12，5π12]上单调递增
C．曲线F关于直线x=−π12对称
D．将函数y＝sin2x的图象向右平移π3个单位长度，得到曲线F
【分析】已知了三角函数，根据正弦函数y＝sinx的性质利用整体代换思想求出对应选项的结果，即可判断是否正确．
【解答】解：函数f（x）的最小正周期为2π2=π，故A选项正确；
由−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，解得−π12+kπ≤x≤5π12+kπ（k∈Z），
所以函数f（x）在区间[−π12，5π12]上单调递增，故B选项正确；
由于f(−π12)=sin[2(−π12)−π3]=sin(−π2)=−1，
所以直线x=−π12是曲线F的一条对称轴，故C选项正确；
y＝sin2x向右平移π3个单位长度得到y=sin[2(x−π3)]=sin(2x−2π3)，故D选项错误．
故选：ABC．
三．填空题（共19小题）
16．对任意两实数a、b，定义运算“max{a，b}”如下：max{a，b}=a(a≥b)b(a＜b)，则关于函数f（x）＝max{sinx，csx}，下列命题中：
①函数f（x）的值域为[−22，1]；
②函数f（x）是周期函数；
③函数f（x）的对称轴为x＝kπ+π4(k∈Z)；
④当且仅当x＝2kπ（k∈Z）时，函数f（x）取得最大值1；
⑤当且仅当2kπ＜x＜2kπ+32π(k∈Z)时，f（x）＜0；
正确的是 ①②③ （填上你认为正确的所有答案）
【分析】画出函数y＝f（x）的图象，通过函数图象可以直观的看出何时取到最值，对称轴以及周期性等问题．
【解答】解：画出函数y＝f（x）的图象如图所示；
由图可知：
①函数f（x）的值域为[−22，1]，∴①正确；
②函数f（x）是最小正周期为2π的函数，∴②正确；
③函数f（x）的对称轴为x＝kπ+π4(k∈Z)，∴③正确；
④x＝2kπ或x＝2kπ+π2（k∈Z）时，函数f（x）取得最大值1，∴④错误；
⑤当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+32π(k∈Z)时，f（x）＜0，∴⑤错误；
综上，正确的命题序号是①②③．
故答案为：①②③．
17．给出下列五个命题：
①函数y=2sin(2x−π3)的一条对称轴是x=5π12；
②函数y＝tanx的图象关于点（π2，0）对称；
③正弦函数在第一象限为增函数；
④若sin(2x1−π4)=sin(2x2−π4)，则x1﹣x2＝kπ，其中k∈Z；
⑤函数f（x）＝sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围为（1，3）．
以上五个命题中正确的有 ①②⑤ （填写所有正确命题的序号）
【分析】①计算2sin（2×5π12−π3）是否为最值±2进行判断；②根据正切函数的性质判断；③根据正弦函数的图象判断；④由sin(2x1−π4)=sin(2x2−π4)得2x1−π4和2x2−π4关于对称轴对称或相差周期的整数倍；⑤作出函数图象，借助图象判断．
【解答】解：当x=5π12时，sin（2x−π3）＝sinπ2=1，∴①正确；
当x=π2时，tanx无意义，∴②正确；
当x＞0时，y＝sinx的图象为“波浪形“曲线，故③错误；
若sin(2x1−π4)=sin(2x2−π4)，则2x1−π4=2x2−π4+2kπ或2x1−π4+（2x2−π4）＝2（π2+kπ）＝π+2kπ，
∴x1﹣x2＝kπ或x1+x2=3π4+kπ，k∈Z．故④错误．
作出f（x）＝sinx+2|sinx|=3sinx，x∈[0，π]−sinx，x∈(π，2π]在[0，2π]上的函数图象，如图所示：
由图象可知当1＜k＜3时，函数图象与直线y＝k有两个交点，
故⑤正确．
故答案为：①②⑤．
18．若函数f(x)=2(x+1)2+sinxx2+1的最大值和最小值分别为M、m，则函数g（x）＝（M+m）x+sin[（M+m）x﹣1]图象的一个对称中心是 (14，1) ．
【分析】对函数f（x）进行化简，结合奇偶性考虑最值，可求出M+m，从而可得函数g（x）的对称中心；
【解答】解：函数f(x)=2(x+1)2+sinxx2+1=2x2+2+4x+sinxx2+1=2+4x+sinxx2+1
令h（x）=4x+sinxx2+1
由h（﹣x）=−4x−sinxx2+1=−h（x），
∴h（x）是奇函数，
∴h（x）的最大值h（x）mxx，最小值h（x）min
即h（x）mxx+h（x）min＝0
那么：函数f（x）的最大值M＝2+h（x）mxx，最小值为m＝2+h（x）min
∴：M+m＝2+h（x）mxx+2+h（x）min＝4
可得：函数g（x）＝（M+m）x+sin[（M+m）x﹣1]＝4x+sin（4x﹣1）．
令4x﹣1＝kπ，k∈Z．
可得x=14kπ+14，
当k＝0时，可得x=14，此时g（14）＝1，
故得一个对称中心为(14，1)．
故答案为：(14，1)．
19．函数y＝5sin（π5x+π5）（﹣15≤x≤10）的图象与函数y=5x+1图象的所有交点的横坐标之和为 ﹣6 ．
【分析】经分析可得已知的两个函数都关于点（﹣1，0）对称，画出两个函数的图象，根据数形结合即可求解．
【解答】解：函数y＝5sin（π5x+π5）的图象关于点（﹣1，0）对称，对于函数y=5x+1，
当x＞﹣1时，y=5x+1单调递减，当x＜﹣1时，y=5x+1单调递减，且其图象也关于点（﹣1，0）对称，
根据两个函数的图象均关于点（﹣1，0）对称，可知两个函数图象的交点关于点（﹣1，0）对称，
画出函数的图象，如图所示：
由图象可得共有6个交点，得到所有交点的横坐标之和为﹣2×3＝﹣6，
故答案为：﹣6．
20．设函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的图象关于直线x=2π3对称，它的周期为π，则下列说法正确的是 ③ ．（填写序号）
①f（x）的图象过点(0，32)；
②f（x）在[π12，2π3]上单调递减；
③f（x）的一个对称中心是(5π12，0)；
④将f（x）的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y＝2sinωx的图象．
【分析】根据对称轴的性质和周期公式求解出ω，φ，可得f（x）的解析式，结合三角函数的图象及性质判断可得答案．
【解答】解：由题意，周期为π，即T=2πω=π，可得ω＝2．则f（x）＝2sin（2x+φ）
图象关于直线x=2π3对称，可得2×2π3+φ＝kπ+π2，k∈Z．
∵0＜φ＜π2，
∴φ=π6．
则f（x）＝2sin（2x+π6）
当x＝0时，可得f（0）＝1，图象过点（0，1），∴①不对．
由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ，k∈Z．
得：π6+kπ≤x≤2π3+kπ．
可得f（x）在[π6，2π3]上单调递减；∴②不对．
当x=5π12时，可得f（5π12）＝0，图象关于点（5π12，0）对称，∴③对．
将f（x）＝2sin（2x+π6）的图象向右平移π6个单位长度得到：2sin（2x−π6），∴④不对．
故答案为③．
21．已知函数f（x）＝sin（2x+φ），若f(π12)−f(−5π12)=2，则函数f（x）的单调增区间为 [kπ−5π12，kπ+π12]，k∈Z ．
【分析】由条件可得π6+φ＝2kπ+π2，且−5π6+φ＝2kπ−π2，k∈Z，求得φ的值，可得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性得出结论．
【解答】解：∵函数f（x）＝sin（2x+φ），若f(π12)−f(−5π12)=2，
则函数的周期为π，f（π12）＝sin（π6+φ）＝1，f（−5π12）＝sin（−5π6+φ）＝﹣1，
故π6+φ＝2kπ+π2，且−5π6+φ＝2kπ−π2，k∈Z，即φ＝2kπ+π3，k∈Z．
故取φ=π3，f（x）＝sin（2x+π3 ）．
令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，求得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，
故答案为：[kπ−5π12，kπ+π12]，k∈Z．
22．已知函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω＞0)在[0，π]有且仅有3个零点，则函数f（x）在[0，π]上存在 1 个极小值点，实数ω的取值范围是 [13π6，19π6） ．
【分析】由x∈[0，π]可得，ωx−π6∈[−π6，ωπ−π6]，根据题意可得2π≤ωπ−π6＜3π，令t＝ωx−π6，作出函数y＝sint的图象，利用数形结合即可．
【解答】解：当x∈[0，π]时，ωx−π6∈[−π6，ωπ−π6]，
由于函数f（x）在[0，π]上有且仅有3个零点，则2π≤ωπ−π6＜3π，
∴136≤ω＜196，∴ω的取值范围为[13π6，19π6）．
令t＝ωx−π6，则2π≤t＜3π，
作出函数y＝sint在区间[−π6，ωπ−π6]上的图象如图所示，
∴函数f（x）在[0，π]上有且仅有1个极小值点．
故答案为：1，[13π6，19π6）．
23．已知函数f(x)=sin(x−π6)，若对任意的实数α∈[−5π6，−π2]，都存在唯一的实数β∈[0，m]，使f（α）+f（β）＝0，则实数m的最小值是 π2 ．
【分析】直接利用函数的性质求出结果．
【解答】解：函数f(x)=sin(x−π6)，若对任意的实数α∈[−5π6，−π2]，
则：f（α）∈[−32，0]，
由于使f（α）+f（β）＝0，
则：f（β）∈[0，32]．
sin(β−π6)∈[0，32]，
0≤β−π6≤π3，
β=π2，
所以：实数m的最小值是π2．
故答案为：π2
24．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M（2π3，﹣2）．则f（x）的解析式为 f（x）＝2sin（2x+π6） ．
【分析】由图象最低点得出A的值，由图象与x轴的交点中相邻两个交点之间的距离求出周期T，得出ω，再根据图象过点M求出φ的值即可．
【解答】解：由题意得A＝2，周期T=2πω=2×π2=π，得ω＝2，
此时f（x）＝2sin（2x+φ），
将M（2π3，﹣2）代入f（x）得﹣2＝2sin（4π3+φ），
即sin（4π3+φ）＝﹣1，0＜φ＜π2，
解得φ=π6，所以f（x）＝2sin（2x+π6）．
故答案为：f（x）＝2sin（2x+π6）．
25．已知x1，x2是函数f（x）＝Asin（ωx+π3）（A＞0，ω＞0）的两个零点，若|x1﹣x2|的最小值为π2，则f（x）的单调递增区间为 [kπ−5π12，kπ+π12]，k∈z ．
【分析】由已知可求周期T，进而可求ω，然后结合正弦函数的单调性即可求解．
【解答】解：由题意得，12T=π2，即T＝π，
所以ω＝2，f（x）＝Asin（2x+π3），
令−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，
则−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，
故f（x）的单调递增区间为[kπ−5π12，kπ+π12]，k∈Z．
故答案为：[kπ−5π12，kπ+π12]，k∈Z．
26．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）图象的任意两对称轴之间的距离为整数，且其图象上存在四点M、N、P、Q，使得四边形MNPQ为菱形，则A的最小值为 32 ．
【分析】先由函数f（x）图象上存在四点M，N，P，Q，使得四边形MNPQ为菱形，得出M，P关于函数f（x）的对称点对称，N，Q关于函数f（x）的对称点对称，再由A有最小值，得出A，T关系式即可．
【解答】解：∵函数f（x）图象上存在四点M，N，P，Q，使得四边形MNPQ为菱形，
∴M，P关于函数f（x）的对称点对称，N，Q关于函数f（x）的对称点对称，
设函数的周期为T，
∵要使A有最小值，则MQ＝T＝MN，
又∵MN=(T2)2+(2A)2，∴(T2)2+(2A)2=T，∴A=34T，
∵函数f（x）图象的任意两条对称轴之间的距离为整数，且A最小，
∴T＝2时，A有最小值为32．
故答案为：32．
27．在[0，2π]内，使sinx≥−32成立的x的取值范围是 [0，4π3]∪[5π3，2π] ．
【分析】画出正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象，再作出直线y=−32，即得解．
【解答】解：如图示：
画出正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象，再作出直线y=−32，
观察图象即得不等式sinx≥−32的解集为[0，4π3]∪[5π3，2π]．
故答案为：[0，4π3]∪[5π3，2π]
28．比较下列各数的大小：sin1，sin2，sin3 sin3＜sin1＜sin2 ．
【分析】直接利用三角函数的关系式和诱导公式的应用求出结果．
【解答】解：根据角度的转换关系，1弧度≈57°18′，2弧度≈114°36′，3弧度≈171°54′．
所以：sin1≈sin57°18′，
sin2≈sin114°36′＝sin66°24′，
sin3≈sin171°54′＝sin8°6′，
由于y＝sinx在区间（0，π2）上是单调递增函数．
故：sin3＜sin1＜sin2．
故答案为：sin3＜sin1＜sin2
29．已知函数f（x）＝sin（ωx+π4）（ω＞0），若f（x）在[0，3π]恰有3个极值点，则ω的取值范围是 [34，1312） ．
【分析】由题意利用正弦函数的极值点和周期性，求得ω的范围．
【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+π4）（ω＞0），若f（x）在[0，3π]恰有3个极值点，
而ωx+π4∈[π4，3ωπ+π4]，∴5π2≤3ωπ+π4＜7π2，求得34≤ω＜1312，
则ω的取值范围是[34，1312），
故答案为：[34，1312）．
30．若点（π4，b）在函数y=2sinx+1的图象上，则b＝ 2 ．
【分析】将点（π4，b）代入函数解析式中即可求得b值．
【解答】解：因为点（π4，b）在函数y=2sinx+1的图象上，
所以b=2sinπ4+1＝2．
故答案为：2．
31．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜2π）是R上的偶函数，图象关于点M（34π，0）对称，在[0，π2]是单调函数，则符合条件的数组（ω，φ）有 4 对．
【分析】根据正弦、余弦函数的奇偶性、对称性和单调性，进行求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜2π）是R上的偶函数，
∴φ=π2 或φ=3π2，
故当φ=π2时，f（x）＝csωx，
∵它的图象关于点M（34π，0）对称，∴ω×3π4=kπ+π2，k∈Z，即ω=4k+23．
在[0，π2]是单调函数，∴T2=πω≥π2−0，∴0＜ω≤2．
当k＝0，ω=23；当k＝1，ω＝2．
则符合条件的数组（ω，φ）有：（23，π2）、（2，π2）．
当φ=3π2 时，f（x）＝﹣csωx，同理求得符合条件的数组（ω，φ）有：（23，3π2）、（2，3π2）．
综上可得，符合条件的数组（ω，φ）有4对，
故答案为：4．
32．函数y＝1﹣2sinx的最大值为 3 ，此时x＝ −π2+2kπ，k∈Z． ．
【分析】要求1﹣2sinx的最大值，即求sinx的最小值，然后再求出取最小值时x的取值集合即可．
【解答】解：要使y＝1﹣2sinx的最大，只需sinx取最小值﹣1，
此时ymax＝3．x=−π2+2kπ，k∈Z．
故答案为：3，−π2+2kπ，k∈Z．
33．已知函数f（x）＝2sin（ωx+π6）+acsωx（a＞0，ω＞0）对任意x1，x2∈R都有f（x1）+f（x2）≤43，若f（x）在[0，π]上的取值范围是[3，23]，则实数ω的取值范围是 [16，13] ．
【分析】由辅助角公式可得f（x）=3+(1+a)2sin（ωx+φ），由题意可知f（x）的最大值为23，可求得a，然后结合已知函数的值域及正弦函数的图象的性质可求实数ω的取值范围．
【解答】解：f（x）＝2sin（ωx+π6）+acsωx=3sinωx+（1+a）csωx=3+(1+a)2sin（ωx+φ），其中tanφ=1+a3，
因为函数f（x）对任意x1，x2∈R都有f（x1）+f（x2）≤43，
所以f（x）的最大值为23，所以3+(1+a)2=23，即（1+a）2＝9，a＞0，所以a＝2，
所以f（x）＝23sin（ωx+π3），
因为0≤x≤π，所以π3≤ωx+π3≤ωπ+π3，
若f（x）在[0，π]上的值域为[3，23]，
所以32≤sin（ωx+π3）≤1
结合正弦函数的性质可知，π2≤ωπ+π3≤2π3，
解得16≤ω≤13，
即实数ω的取值范围是[16，13]．
故答案为：[16，13]．
34．已知函数f（x）＝sin（ωx+π6）sin（ωx+2π3）（ω＞0），若存在α，β∈（﹣3，0），对任意x∈R，f（α）≤f（x）≤f（β），则ω的取值范围是 （11π36，+∞） ．
【分析】首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+π6）sin（ωx+2π3）＝sin（ωx+π6）cs（ωx+π3）=12sin(2ωx+π3)，
对任意x∈R，f（α）≤f（x）≤f（β），
则f（α）=−12，f（β）=12，
由x∈（﹣3，0），可得−6ω+π3＜2ωx+π3＜π3，
故−6ω+π3＜−3π2，
解得ω＞11π36．
故答案为：（11π36，+∞）．
四．解答题（共8小题）
35．函数f(x)=3sin(ωx+π4)+m，其中0＜ω＜6，f(π8)=2，且对于任意x∈R，都有f(5π8)≤f(x)≤f(9π8)．
（1）求ω和m；
（2）当x∈[0，π2]时，求f（x）的值域．
【分析】（1）由已知可得函数取得最大值和最小值，根据自变量的长度以及ω的范围可推出函数的周期，进而可以求出ω，m的值，
（2）根据定义域，再根据正弦函数的性质即可求出值域．
【解答】解：（1）因为f（5π8）≤f(x)≤f(9π8)恒成立，
所以f（9π8）是函数f（x）的最大值，f（5π8）是函数f（x）的最小值，
所以（k+12）•T=9π8−5π8=π2，k∈Z，解得T=π2k+1，k∈Z，
因为0＜ω＜6，所以T=2πω＞π3，所以k＝0，故T＝π，所以ω＝2；
又因为f（π8）＝3sin（2×π8+π4）+m＝2，
即3+m＝2，所以m＝﹣1，
故m的值为﹣1；
（2）函数f（x）＝3sin（2x+π4）﹣1，
当x∈[0，π2]时，2x+π4∈[π4，5π4]，
所以sin（2x+π4）∈[−22，1]，从而f（x）∈[−322−1，2]，
故函数的值域为：[−322−1，2]．
36．已知函数f（x）＝2cs2ωx+2sinωxcsωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求f（π3）的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得ω的值，可得函数的解析式．
（2）利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间．
【解答】解：（1）函数f（x）＝2cs2ωx+2sinωxcsωx＝cs2ωx+sin2ωx+1=2sin（2ωx+π4）+1，
因为f（x）最小正周期为π，所以2π2ω=π，解得ω＝1，
所以f（x）=2sin（2x+π4）+1，
f（π3）=2sin（2π3+π4）+1=2（sin2π3csπ4+cs2π3sinπ4）+1=3+12．
（2）由2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，可得 kπ−3π8≤x≤kπ+π8，
所以，函数f（x）的单调递增区间为[kπ−3π8，kπ+π8]，k∈Z．
37．已知函数f（x）＝2sin（2x+π6）+1，x∈R
（1）求函数f（x）的最值及取得最值时自变量x的取值集合；
（2）求函数f（x）的单调区间．
【分析】根据正弦函数的最值和单调性应用整体法求出f（x）的最值和单调区间即可．
【解答】解：（1）∵f（x）＝2sin（2x+π6）+1，
∴当2x+π6=π2+2kπ，k∈Z，
f（x）max＝3，此时x=π6+kπ，k∈Z，
∴x的取值集合为{x|x=π6+kπ，k∈Z}
∴当2x+π6=−π2+2kπ，k∈Z，
f（x）min＝﹣1，此时x=−π3+kπ，k∈Z，
∴x的取值集合为{x|x=−π3+kπ，k∈Z}
（2）由−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z可得
−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调增区间为：[−π3+kπ，π6+kπ]，k∈Z
由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ，k∈Z可得
π6+kπ≤x≤2π3+kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调增区间为：[π6+kπ，2π3+kπ]，k∈Z
38．设函数f（x）＝sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y＝f（x）图象的一条对称轴是直线x=π6．
（Ⅰ）求φ；
（Ⅱ）求函数y＝f（x）的单调增区间．
【分析】（Ⅰ）由正弦函数图象在对称轴取得最值，结合φ的范围，即可求出φ的值；
（Ⅱ）根据正弦函数的单调区间，求出f（x）的单调增区间即可．
【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）＝sin（2x+φ），
且y＝f（x）图象的一条对称轴是直线x=π6；
∴π3+φ=π2+kπ，k∈Z，
解得φ=π6+kπ，k∈Z，
又﹣π＜φ＜0，
∴φ=−5π6；
（Ⅱ）由函数f（x）＝sin（2x−5π6），
令−π2+2kπ≤2x−5π6≤π2+2kπ，k∈Z，
解得π3+2kπ≤2x≤4π3+2kπ，k∈Z，
即π6+kπ≤x≤2π3+kπ，k∈Z；
∴函数y＝f（x）的单调增区间为[π6+kπ，2π3+kπ]，k∈Z．
39．已知函数f（x）＝2sin（ωx﹣φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的最小正周期为π，且π6是它的一个零点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若α，β∈[0，π2]，f（a2+5π12）=2，f（β2+π6）=3，求cs（α+β）的值．
【分析】（1）根据函数的周期和零点求出ω，φ，即可求函数f（x）的解析式；
（2）利用两角和差的余弦公式进行求解即可．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝2sin（ωx﹣φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的最小正周期为π，
∴2πω=π，解得ω＝2，
则f（x）＝2sin（2x﹣φ） …（2分）
又π6是它的一个零点，
即2×π6−φ＝kπ，…（4分）
则φ=π3−kπ，k∈Z，
∵0＜φ＜π2 …（5分）
∴当k＝0时，φ=π3 …（6分）
故f（x）的解析式为f（x）＝2sin（2x−π3） …（7分）
（2）由（1）f（x）＝2sin（2x−π3）
又∵f（a2+5π12）=2，f（β2+π6）=3
∴sin（α+π2）=22，sinβ=32 …（9分）
∴csα=22，
又α，β∈[0，π2]，
∴α=π4，β=π3，
则cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ=22×12−22×32=2−64 …（12分）
40．已知函数y＝f（x），若存在实数m、k（m≠0），使得对于定义域内的任意实数x，均有m•f（x）＝f（x+k）+f（x﹣k）成立，则称函数y＝f（x）为“可平衡”函数，有序数对（m，k）称为函数f（x）的“平衡”数对；
（1）若m=3，判断f（x）＝sinx是否为“可平衡”函数，并说明理由；
（2）若m1，m2∈R且（m1，π2），（m2，π4）均为f（x）＝sin2x的“可平衡”数对，当0＜x＜π3时，方程m1+m2＝a有两个不相等的实根，求a 的取值范围．
【分析】（1）假设f（x）＝sinx是“可平衡”函数，由题意3sinx＝sin（x+k）+sin（x﹣k），由此求出m、k的值；
（2）由题意求出m1、m2的值，利用m1+m2＝a，结合三角函数的图象与性质求出a 的取值范围．
【解答】解：（1）假设f（x）＝sinx是“可平衡”函数，则由题意应有：
3sinx＝sin（x+k）+sin（x﹣k）
＝sinxcsk+csxsink+sinxcsk﹣csxsink
＝2sinxcsk；
∴csk=32，解得 k＝2tπ±π6，t∈Z；
∴存在实数m、k（m≠0），使得对于定义域内的任意实数x，
均有m•f（x）＝f（x+k）+f（x﹣k）成立；
∴f（x）＝sinx是“可平衡”函数，
且 csk=32∴k=±π6+2nπ，n∈Z；
（2）由题意m1sin2x＝sin2（x+π2）+sin2（x−π2）＝2cs2x，
∴m1=2cs2xsin2x；
m2sin2x＝sin2（x+π4）+sin2 （x−π4）＝sin2（x+π4）+cs2（x+π4）＝1，
解得m2=1sin2x；
∴m1+m2=2cs2x+1sin2x=2cs2x+41−cs2x=a，
解得cs2x=a−4a+2，
∵0＜x＜π3，∴0＜2x＜2π3，
∴−12＜cs2x＜1，且y＝cs2x是单调递减，
∴方程m1+m2＝a不会有两个不相等的实根，即a的取值范围为∅．
41．已知函数f(x)=2sin(2x+π4)，x∈R
（1）写出函数f（x）的最小正周期、对称轴方程及单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[0，π2]上的最值及取最值时x的值．
【分析】（1）根据题意，结合正弦函数的图象性质，利用正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期，进而结合正弦函数的性质可得答案；
（2）根据题意，若x∈[0，π2]，计算可得π4≤2x+π4≤5π4，结合正弦函数的图象可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，函数f(x)=2sin(2x+π4)，
则其周期T=2π2=π，
令2x+π4=kπ+π2，可得x=kπ2+π8，即函数f（x）的对称轴为x=kπ2+π8，
令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，解可得kπ−3π8≤x≤kπ+π8，即函数f（x）的单调递增区间是[kπ−3π8，kπ+π8]，
令2kπ+π2≤2x+π4≤2kπ+3π2，解可得kπ+π8≤x≤kπ+5π8，即函数f（x）的单调递增区间是[kπ+π8，kπ+5π8]，
（2）根据题意，若x∈[0，π2]，即0≤x≤π2，
则π4≤2x+π4≤5π4，
结合正弦函数的图象，可得当2x+π4=π2，即x=π8时，函数f(x)=2sin(2x+π4)有最大值2，
当2x+π4=5π4，即x=π2时，函数f(x)=2sin(2x+π4)有最小值−2．
42．已知cs(θ+π6)=a(|a|≤1)，函数f（x）=23sin（x−π3），
（1）求f（θ）的值
（2）求f（x）在x∈[π2，π]上的最大值及取最大值时x的取值
（3）求f（x）的单调增区间．
【分析】（1）根据诱导公式，利用（π3−θ）+（θ+π6）=π2，求出f（θ）的值；
（2）根据三角函数的图象与性质，求出f（x）的最大值以及对应x的值；
（3）根据正弦函数的图象与性质，求出f（x）的单调增区间．
【解答】解：（1）∵cs(θ+π6)=a(|a|≤1)，函数f（x）=23sin（x−π3），
∴f（θ）=23sin（θ−π3）=−23sin（π3−θ）=−23cs（θ+π6）＝﹣a；
（2）当x∈[π2，π]时，x−π3∈[π6，2π3]，
∴sin（x−π3）∈[12，1]；
当x−π3=π2，即x=5π6时，
函数f（x）=23sin（x−π3）取得最大值为23；
（3）令−π2+2kπ≤x−π3≤π2+2kπ，k∈Z，
∴−π6+2kπ≤x≤5π6+2kπ，k∈Z，
∴f（x）=23sin（x−π3）的单调增区间是：[−π6+2kπ，5π6+2kπ]，k∈Z．