人教版2022届一轮复习打地基练习 共线向量

这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 共线向量，共20页。试卷主要包含了下列关于向量的结论，已知向量a→=，b→=，c→=，下列命题正确的是，向量a→=，已知向量a→=，已知向量m→=等内容，欢迎下载使用。
人教版2022届一轮复习打地基练习 共线向量
一．选择题（共11小题）
1．下列关于向量的结论：
（1）若|a→|＝|b→|，则a→=b→或a→=−b→；
（2）向量a→与b→平行，则a→与b→的方向相同或相反；
（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；
（4）若向量a→与b→同向，且|a→|＞|b→|，则a→＞b→．
其中正确的序号为（　　）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）
2．在四边形ABCD中，若AC→=AD→+AB→，则（　　）
A．四边形ABCD是矩形
B．四边形ABCD是菱形
C．四边形ABCD是正方形
D．四边形ABCD是平行四边形
3．设e1→，e2→是两个不共线的平面向量，若a→=3e1→−2e2→，b→=e1→+ke2→，且a→与b→共线，则实数k的值为（　　）
A．−12 B．12 C．−23 D．23
4．已知向量a→=(1，2)，b→=(1，0)，c→=(3，4)．若(a→+λb→)∥c→(λ∈R)，则实数λ＝（　　）
A．2 B．1 C．12 D．14
5．下列命题正确的是（　　）
A．单位向量都相等
B．若a→与b→共线，b→与c→共线，则a→与c→共线
C．若|a→+b→|＝|a→−b→|，则a→•b→=0
D．若a→与b→都是单位向量，则a→•b→=1
6．已知|a→|＝3，|b→|＝4，则“|a→+b→|＝7”是“向量a→与b→共线”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．向量a→=（1，2），b→=（2，λ），c→=（3，﹣1），且（a→+b→）∥c→，则实数λ＝（　　）
A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7
8．已知O为四边形ABCD所在平面内的一点，OA→，OB→，OC→，OD→满足OA→+OC→=OB→+OD→，OA→2+OC→2=OB→2+OD→2，则四边形ABCD一定为（　　）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
9．已知向量a→=（2，3），b→=（m，4），若a→，b→共线，则实数m＝（　　）
A．﹣6 B．−83 C．83 D．6
10．已知向量m→=（a，﹣1），n→=（2b﹣1，3）（a＞0，b＞0），若m→∥n→，则2a+1b的最小值为（　　）
A．12 B．8+43 C．15 D．10+23
11．设a→，b→不共线，AB→=a→−nb→，AC→=ma→+b→（n，m∈R），则A，B，C三点共线时有（　　）
A．m＝n B．mn﹣1＝0 C．mn+1＝0 D．m+n＝0
二．多选题（共1小题）
12．下列说法中正确的是（　　）
A．若a→∥b→，b→∥c→，则a→∥c→
B．两个非零向量a→，b→，若|a→−b→|=|a→|+|b→|，则a→与b→共线且反向
C．若a→∥b→，则存在唯一实数λ使得a→=λb→
D．若P是三角形ABC的重心，则PA→+PB→+PC→=0→
三．填空题（共12小题）
13．已知向量a→=（1，2），写出一个与a→共线的非零向量的坐标　 　．
14．设e1→，e2→是空间两个不共线的向量，已知AB→=e1→+ke2→，BC→=5e1→+4e2→，DC→=−e1→−2e2→，且A，B，D三点共线，则实数k＝　 　．
15．已知O是直线AB外一点，平面OAB上一点C满足OC→=2OA→+3OB→，P是线段AB和OC的交点，则|AP→|：|PB→|=　 　．
16．已知向量a→与b→为一组基底，若ma→+4b→与a→+2b→平行，则实数m＝　 　．
17．已知m→=（﹣2，1），n→=（6，y），若2m→+n→与m→−2n→平行，则|2m→+n→|＝　 　．
18．已知向量a→=(cosx，−1)，b→=(3sinx，−12)，若a→∥b→，则|a→|=　 　．
19．已知a→，b→是不共线的平面向量，AB→=3a→−2b→，AC→=2a→+b→，AD→=−a→+xb→，若B，C，D三点共线，则实数x＝　 　．
20．在①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，不正确的命题是　 　．并对你的判断举例说明　 　．
21．已知向量a→=（1，﹣2），b→=（x，4），且a→∥b→，则实数x＝　 　．
22．已知3OA→=OB→+λOC→，若A，B，C三点共线，则实数λ＝　 　．
23．已知向量m→=（a，1），n→=（4，a），若m→+n→与n→同向，则a＝　 　．
24．已知向量a→与b→的不共线，若向量ka→+b→与向量a→−b→共线，则实数k＝　 　．
四．解答题（共8小题）
25．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知向量m→=（a，3b），n→=（cosA，sinB），且m→∥n→．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若c＝5，cosB=217，求a的值．
26．已知四边形ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC、AB的中点，已知AB→=e1→，AC→=e2→．
（1）试用e1→，e2→分别表示AD→，MN→．
（2）若ke1→+e2→与2e1→+ke2→同向共线，求k的值．
27．已知向量a→=（1，2），b→=（﹣3，2）．
（1）求实数k，使得向量ka→+b→与a→−3b→平行；
（2）当向量ka→+b→与a→−3b→平行时，判断它们是同向还是反向．
28．如图，在矩形ABCD中，点E是AC的中点，点F在边CD上．
（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，试用AB→，AD→表示EF→；
（2）若有向量满足BM→=λBC→，点F是CD上靠近C的四等分点，且AM→∥EF→，求λ的值．

29．在平面直角坐标平面内，已知A（0，5），B（﹣1，3），C（3，t）．
（1）若t＝1，求证：△ABC为直角三角形；
（2）求实数t的值，使|AB→+AC→|最小；
（3）若存在实数λ，使AB→=λ⋅AC→，求实数λ、t的值．
30．设e1→，e2→是两个不共线的非零向量．
（1）若a→=λe1→+4e2→与b→=e1→+λe2→共线，求实数λ的值；
（2）若AB→=2e1→+ke2→，CB→=e1→+3e2→，CD→=2e1→−e2→，则当k为何值时，A，B，D三点共线．
31．已知e1→，e2→不共线，若ke1→+e2→∥e1→+ke2→，试确定k的值．
32．如图，已知在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC=14AC，用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形．


人教版2022届一轮复习打地基练习 共线向量
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．下列关于向量的结论：
（1）若|a→|＝|b→|，则a→=b→或a→=−b→；
（2）向量a→与b→平行，则a→与b→的方向相同或相反；
（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；
（4）若向量a→与b→同向，且|a→|＞|b→|，则a→＞b→．
其中正确的序号为（　　）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）
【分析】根据向量的定义，平行向量和相等向量的定义判断即可．
【解答】解：根据向量的定义可判断（1）（4）错误，向量a→，b→都是零向量时，由向量a→，b→平行得不出方向相同或相反，从而判断（2）错误，根据相等向量的定义可判断（3）正确．
故选：D．
2．在四边形ABCD中，若AC→=AD→+AB→，则（　　）
A．四边形ABCD是矩形
B．四边形ABCD是菱形
C．四边形ABCD是正方形
D．四边形ABCD是平行四边形
【分析】根据平面向量加法几何意义可解决此题．
【解答】解：∵AC→=AD→+AB→，AC→=AD→+DC→，
∴AB→=DC→，∴AB=∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形．
故选：D．
3．设e1→，e2→是两个不共线的平面向量，若a→=3e1→−2e2→，b→=e1→+ke2→，且a→与b→共线，则实数k的值为（　　）
A．−12 B．12 C．−23 D．23
【分析】根据平面向量的共线定理，列方程求出实数k的值．
【解答】解：因为a→=3e1→−2e2→，b→=e1→+ke2→，且a→与b→共线，
所以13=k−2，解得k=−23，
所以实数k的值为−23．
故选：C．
4．已知向量a→=(1，2)，b→=(1，0)，c→=(3，4)．若(a→+λb→)∥c→(λ∈R)，则实数λ＝（　　）
A．2 B．1 C．12 D．14
【分析】利用向量运算和向量共线定理即可得出．
【解答】解：∵向量a→=(1，2)，b→=(1，0)，c→=(3，4)．
∴a→+λb→=（1，2）+λ（1，0）＝（1+λ，2），
∵(a→+λb→)∥c→(λ∈R)，
∴4（1+λ）﹣3×2＝0，解得λ=12．
故选：C．
5．下列命题正确的是（　　）
A．单位向量都相等
B．若a→与b→共线，b→与c→共线，则a→与c→共线
C．若|a→+b→|＝|a→−b→|，则a→•b→=0
D．若a→与b→都是单位向量，则a→•b→=1
【分析】题设条件简单，本题的解题需要从选项入手，逐一进行验证排除．
【解答】解：向量有大小、方向两个属性，向量的相等指的是大小相等方向相同，故A不对；
B选项对三个非零向量是正确的，若b→是零向量时，若a→与b→共线，b→与c→共线，则a→与c→共线不一定成立．
当两个向量互相垂直时两向量和的模与差的模一定相等，故C选项是正确的．
若a→与b→都是单位向量，则a→•b→=1不一定成立，当两者垂直时，内积为零．
故选：C．
6．已知|a→|＝3，|b→|＝4，则“|a→+b→|＝7”是“向量a→与b→共线”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据|a→+b→|＝7，得到两个向量的夹角为0，又向量a→与b→共线，可得两个向量的夹角为0或π，结合充分条件和必要条件的定义，分析即可．
【解答】解：因为|a→+b→|＝7，则有|a→|2+2|a→|⋅|b→|cosθ+|b→|2=49，
又|a→|＝3，|b→|＝4，
则有cosθ＝1，所以θ＝0，
又向量a→与b→共线，则有θ＝0或π，
所以“|a→+b→|＝7”是“向量a→与b→共线”的充分而不必要条件．
故选：A．
7．向量a→=（1，2），b→=（2，λ），c→=（3，﹣1），且（a→+b→）∥c→，则实数λ＝（　　）
A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7
【分析】可求出a→+b→=(3，λ+2)，这样根据(a→+b→)∥c→即可得出3（λ+2）+3＝0，解出λ即可．
【解答】解：a→+b→=(3，λ+2)，且(a→+b→)∥c→，
∴3（λ+2）+3＝0，解得λ＝﹣3．
故选：B．
8．已知O为四边形ABCD所在平面内的一点，OA→，OB→，OC→，OD→满足OA→+OC→=OB→+OD→，OA→2+OC→2=OB→2+OD→2，则四边形ABCD一定为（　　）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
【分析】把已知中的两个等式进行移向转化成减法，再用向量减法几何意义可解决此题．
【解答】解：∵OA→+OC→=OB→+OD→，∴OA→−OB→=OD→−OC→，∴BA→=CD→，∴四边形ABCD是平行四边形．
∵OA→2+OC→2=OB→2+OD→2，∴OA→2−OB→2=OD→2−OC→2，∴（OA→+OB→）•（OA→−OB→）＝（OD→+OC→）•（OD→−OC→），
∴（OA→+OB→）•BA→=（OD→+OC→）•CD→，∴（OA→+OB→）•BA→−（OD→+OC→）•CD→=0，又∵BA→=CD→，
∴（OA→+OB→−OD→−OC→）•CD→=0，∴（DA→+CB→）•CD→=0，又∵DA→=CB→，∴2DA→•CD→=0，∴DA→•CD→=0，DA→⊥CD→，
∴∠D是直角．
∴四边形ABCD是矩形．
故选：B．
9．已知向量a→=（2，3），b→=（m，4），若a→，b→共线，则实数m＝（　　）
A．﹣6 B．−83 C．83 D．6
【分析】利用向量平行的性质直接求解．
【解答】解：∵向量a→=（2，3），b→=（m，4），a→，b→共线，
∴m2=43，
解得实数m=83．
故选：C．
10．已知向量m→=（a，﹣1），n→=（2b﹣1，3）（a＞0，b＞0），若m→∥n→，则2a+1b的最小值为（　　）
A．12 B．8+43 C．15 D．10+23
【分析】由m→∥n→可得3a+2b＝1，然后根据2a+1b=（2a+1b）（3a+2b），利用基本不等式可得结果．
【解答】解：∵m→=（a，﹣1），n→=（2b﹣1，3）（a＞0，b＞0），m→∥n→，
∴3a+2b﹣1＝0，即3a+2b＝1，
∴2a+1b=（2a+1b）（3a+2b）
＝8+4ba+3ab
≥8+24ba⋅3ab
＝8+43，
当且仅当4ba=3ab，即a=3−36，b=3−14，时取等号，
∴2a+1b的最小值为：8+43．
故选：B．
11．设a→，b→不共线，AB→=a→−nb→，AC→=ma→+b→（n，m∈R），则A，B，C三点共线时有（　　）
A．m＝n B．mn﹣1＝0 C．mn+1＝0 D．m+n＝0
【分析】根据条件知AB→，AC→共线，从而可得出ma→+b→=λa→−nλb→，然后根据平面向量基本定理可得出λ=m1=−nλ，这样即可得出正确的选项．
【解答】解：∵A，B，C三点共线，
∴AB→，AC→共线，
又a→，b→不共线，∴AB→≠0→，
∴存在λ，使AC→=λAB→，即ma→+b→=λa→−nλb→，
∴λ=m−nλ=1，
∴mn+1＝0．
故选：C．
二．多选题（共1小题）
12．下列说法中正确的是（　　）
A．若a→∥b→，b→∥c→，则a→∥c→
B．两个非零向量a→，b→，若|a→−b→|=|a→|+|b→|，则a→与b→共线且反向
C．若a→∥b→，则存在唯一实数λ使得a→=λb→
D．若P是三角形ABC的重心，则PA→+PB→+PC→=0→
【分析】若b→=0→可判断A；根据向量减法几何意义可判断B；若b→=0→可判断C；根据重心特点可判断D．
【解答】若b→=0→可满足“a→∥b→，b→∥c→”，但a→∥c→不一定成立，∴A错；
根据向量减法几何意义可知B对；
若b→=0→可满足a→∥b→，但不满足存在唯一实数λ使得a→=λb→，∴C错；
如图所示：

PA→+PB→+PC→=−23（AD→+BE→+CF→）=−23（12AB→+12AC→+12BA→+12BC→+12CB→+12CA→）=0→，∴D对．
故选：BD．
三．填空题（共12小题）
13．已知向量a→=（1，2），写出一个与a→共线的非零向量的坐标　（2，4）　．
【分析】答案不唯一，纵坐标为横坐标2倍即可．
【解答】解：向量a→=（1，2），
与a→共线的非零向量的坐标纵坐标为横坐标2倍，例如（2，4）．
故答案为：（2，4）．
14．设e1→，e2→是空间两个不共线的向量，已知AB→=e1→+ke2→，BC→=5e1→+4e2→，DC→=−e1→−2e2→，且A，B，D三点共线，则实数k＝　1　．
【分析】由题意可得向量AB→和BD→共线，存在实数λ，使AB→=λBD→，可得关于k，λ的方程组，进行求解即可．
【解答】解：∵A，B，D三点共线，
∴向量AB→和BD→共线，故存在实数λ，使AB→=λBD→，
由题意可得BD→=BC→+CD→=（5e1→+4e2→）+（e1→+2e2→）＝6（e1→+e2→），
即e1→+ke2→=6λe1→+6λe2→，
故可得 6λ=16λ=k，解得 λ=1k=1，
故k＝1，
故答案为：1．
15．已知O是直线AB外一点，平面OAB上一点C满足OC→=2OA→+3OB→，P是线段AB和OC的交点，则|AP→|：|PB→|=　3：2　．
【分析】由三点共线可得OC→=λOP→，再由P、A、B三点共线可得2λ+3λ=1，代入由向量的运算可得AP→=AO→+OP→=35AB→，进而可得答案．
【解答】解：由题意可得O、P、C三点共线，所以OC→=λOP→=2OA→+3OB→，
∴OP→=2λOA→+3λOB→，又因为P、A、B三点共线，
所以2λ+3λ=1，解得λ＝5，故OP→=25OA→+35OB→，
故AP→=AO→+OP→=−35OA→+35OB→=35AB→，
所以|AP→|：|PB→|=3：2
故答案为：3：2
16．已知向量a→与b→为一组基底，若ma→+4b→与a→+2b→平行，则实数m＝　2　．
【分析】利用平面向量共线定理可解决此题．
【解答】解：∵ma→+4b→与a→+2b→平行，∴设ma→+4b→=k(a→+2b→)，
由∵向量a→与b→为一组基底，∴m=k4=2k,解得：m＝2．
故m的值为：2．
17．已知m→=（﹣2，1），n→=（6，y），若2m→+n→与m→−2n→平行，则|2m→+n→|＝　5　．
【分析】利用平面向量坐标运算法则求出2m→+n→=（2，2+y），m→−2n→=（﹣14，1﹣2y），再由2m→+n→与m→−2n→平行，求出y＝﹣3．从而2m→+n→=（2，﹣1），由此能求出|2m→+n→|．
【解答】解：∵m→=（﹣2，1），n→=（6，y），
∴2m→+n→=（2，2+y），m→−2n→=（﹣14，1﹣2y），
∵2m→+n→与m→−2n→平行，
∴2×（1﹣2y）﹣（﹣14）×（2+y）＝0，解得y＝﹣3．
∴2m→+n→=（2，﹣1），
∴|2m→+n→|=22+(−1)2=5．
故答案为：5．
18．已知向量a→=(cosx，−1)，b→=(3sinx，−12)，若a→∥b→，则|a→|=　51313　．
【分析】根据平面向量共线定理求出cosx与sinx的关系，再由sin2x+cos2x＝1求出cos2x的值，即可计算|a→|．
【解答】解：向量a→=(cosx，−1)，b→=(3sinx，−12)，
若a→∥b→，则−12cosx﹣（﹣1）•3sinx＝0，
∴sinx=123cosx；
又sin2x+cos2x＝1，
∴112cos2x+cos2x＝1，
解得cos2x=1213，
∴|a→|=cos2x+1=1213+1=51313．
故答案为：51313．
19．已知a→，b→是不共线的平面向量，AB→=3a→−2b→，AC→=2a→+b→，AD→=−a→+xb→，若B，C，D三点共线，则实数x＝　10　．
【分析】可求出BC→=−a→+3b→，CD→=−3a→+(x−1)b→，根据B，C，D共线可得出BC→与CD→共线，从而可得出−3a→+(x−1)b→=−λa→+3λb→，进而得出−λ=−3x−1=3λ，然后解出λ的值即可．
【解答】解：BC→=AC→−AB→=−a→+3b→，CD→=AD→−AC→=−3a→+(x−1)b→，
∵B，C，D三点共线，
∴BC→与CD→共线，且a→，b→不共线，则BC→≠0→，
∴存在实数λ，使CD→=λBC→，即−3a→+(x−1)b→=−λa→+3λb→，
∴−λ=−3x−1=3λ，解得λ＝10．
故答案为：10．
20．在①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，不正确的命题是　①②③⑤⑥　．并对你的判断举例说明　a→=(1，2)，b→=(−1，−2)　．
【分析】利用向量共线的定义、向量相等的定义对6个命题进行判断．
【解答】解：∵平行向量即为共线向量其定义是方向相同或相反；
相等向量的定义是模相等、方向相同；
平行于零向量的两个向量不一定是共线向量
故不正确的命题有①②③⑤⑥
例如：a→=(1，2)，b→=(−1，−2)满足a→∥b→，且|a|→=|b→|但a→≠b→
故答案为①②③⑤⑥；a→=(1，2)，b→=(−1，−2)
21．已知向量a→=（1，﹣2），b→=（x，4），且a→∥b→，则实数x＝　﹣2　．
【分析】由向量的平行可得1×4﹣（﹣2）x＝0，解之即可．
【解答】解：由已知a→=(1，−2)，b→=(x，4)，且a→∥b→，
所以1×4﹣（﹣2）x＝0，解得x＝﹣2，
故答案为：﹣2
22．已知3OA→=OB→+λOC→，若A，B，C三点共线，则实数λ＝　2　．
【分析】由题意得OA→=13OB→+λ3OC→，利用A，B，C三点共线列方程求出λ的值．
【解答】解：由3OA→=OB→+λOC→，得OA→=13OB→+λ3OC→，
又A，B，C三点共线，
所以13+λ3=1，
解得λ＝2．
故答案为：2．
23．已知向量m→=（a，1），n→=（4，a），若m→+n→与n→同向，则a＝　±2　．
【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出a的值，再验证向量m→+n→与n→是否同向即可．
【解答】解：向量m→=（a，1），n→=（4，a），
所以m→+n→=（a+4，a+1）；
又向量m→+n→与n→同向，
所以（m→+n→）∥n→，
即（a+4）a﹣4（a+1）＝0，
解得a＝±2；
经检验a＝±2都满足题意．
故答案为：±2．
24．已知向量a→与b→的不共线，若向量ka→+b→与向量a→−b→共线，则实数k＝　﹣1　．
【分析】利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：∵向量ka→+b→与向量a→−b→共线，
可设ka→+b→=λ(a→−b→)，
于是k=λ，1=−λ，
∴k＝﹣1．
故答案为：﹣1．
四．解答题（共8小题）
25．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知向量m→=（a，3b），n→=（cosA，sinB），且m→∥n→．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若c＝5，cosB=217，求a的值．
【分析】（Ⅰ）根据m→∥n→即可得出asinB−3bcosA=0，然后根据正弦定理即可得出sinA=3cosA，然后即可求出A=π3；
（Ⅱ）可先求出sinB=277，sinC=5714，然后根据正弦定理可求出b的值，进而根据余弦定理可求出a的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵m→∥n→，
∴asinB−3bcosA=0，
∴根据正弦定理得，sinAsinB−3sinBcosA=0，且sinB＞0，
∴sinA=3cosA，tanA=3，且A∈（0，π），
∴A=π3；
（Ⅱ）∵cosB=217，∴sinB=277，且C=2π3−B，
∴sinC=sin(2π3−B)=32×217+12×277=5714，且c＝5，
∴根据正弦定理得，csinC=bsinB，即55714=b277，解得b＝4，
∴根据余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝16+25﹣2×4×5×12=21，
∴a=21．
26．已知四边形ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC、AB的中点，已知AB→=e1→，AC→=e2→．
（1）试用e1→，e2→分别表示AD→，MN→．
（2）若ke1→+e2→与2e1→+ke2→同向共线，求k的值．
【分析】（1）AD→=AC→+CD→，MN→=MD→+DA→+AN→，由此能用用e1→，e2→分别表示AD→，MN→．
（2）由ke1→+e2→与2e1→+ke2→同向共线，得到ke1→+e2→=λ（2e1→+ke2→），且λ＞0，由此能求出k的值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，
M、N分别是DC、AB的中点，AB→=e1→，AC→=e2→．
∴AD→=AC→+CD→=e2→−12e1→，
MN→=MD→+DA→+AN→
=−14e1→+12e1→−e2→+12e1→
=34e1→−e2→．
（2）∵ke1→+e2→与2e1→+ke2→同向共线，
∴ke1→+e2→=λ（2e1→+ke2→），且λ＞0，
∴k=2λ1=kλ，λ＞0，
解得k=2．

27．已知向量a→=（1，2），b→=（﹣3，2）．
（1）求实数k，使得向量ka→+b→与a→−3b→平行；
（2）当向量ka→+b→与a→−3b→平行时，判断它们是同向还是反向．
【分析】（1）根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出k的值；
（2）由（1）知k的值，代入写出ka→+b→和a→−3b→，再判断它们是同向还是反向．
【解答】解：（1）向量a→=（1，2），b→=（﹣3，2），
则ka→+b→=（k，2k）+（﹣3，2）＝（k﹣3，2k+2），
a→−3b→=（1，2）﹣（﹣9，6）＝（10，﹣4）；
又向量ka→+b→与a→−3b→平行，
所以（k﹣3）×（﹣4）﹣10（2k+2）＝0，
解得k=−13；
（2）由（1）知，向量ka→+b→与a→−3b→平行时，k=−13；
此时，ka→+b→=（−13−3，−23+2）=−13（10，﹣4）
又a→−3b→=（10，﹣4），
所以ka→+b→=−13（a→−3b→），
向量ka→+b→与a→−3b→反向．
28．如图，在矩形ABCD中，点E是AC的中点，点F在边CD上．
（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，试用AB→，AD→表示EF→；
（2）若有向量满足BM→=λBC→，点F是CD上靠近C的四等分点，且AM→∥EF→，求λ的值．

【分析】（1）直接利用向量的加减法运算求解；
（2）建立直角坐标系，利用坐标运算，即可求得λ的值．
【解答】解：（1）∵E是AC中点，∴EC→=12AC→=12AB→+12AD→．
∵点F是CD上靠近C的三等分点，∴CF→=−13DC→=−13AB→．
∴EF→=EC→+CF→=12AB→+12AD→−13AB→=16AB→+12AD→．
（2）以A为原点，建立如图所示的直角坐标系，
设AB＝a，AD＝b，
则A（0，0），B（a，0），C（a，b），E（a2，b2），F（34a，b），
AM→=AB→+BM→=AB→+λBC→=（a，0）+λ（0，b）＝（a，λb），
EF→=（a4，b2），
∵AM→∥EF→，∴ab2=a4•λb，
解得λ＝2．

29．在平面直角坐标平面内，已知A（0，5），B（﹣1，3），C（3，t）．
（1）若t＝1，求证：△ABC为直角三角形；
（2）求实数t的值，使|AB→+AC→|最小；
（3）若存在实数λ，使AB→=λ⋅AC→，求实数λ、t的值．
【分析】（1）当t＝1时，C（3，1），求出AB→，BC→，由AB→⋅BC→=0，能证明△ABC为直角三角形．
（2）求出AB→=(−1，−2)，AC→=(3，t−5)，从而|AB→+AC→|=4+(t−7)2，由此能求出结果．
（3）由AB→=λ⋅AC→，列出方程组，能求出实数λ、t的值．
【解答】证明：（1）当t＝1时，C（3，1），
则AB→=(−1，−2)，BC→=(4，−2)⋯（2分）
∴AB→⋅BC→=−1×4+(−2)×(−2)=0，
∴AB→⊥BC→，
∴△ABC为直角三角形．…（4分）
解：（2）AB→=(−1，−2)，AC→=(3，t−5)，
∴AB→+AC→=(−1，−2)+(3，t−5)=(2，t−7)⋯（6分）
∴|AB→+AC→|=4+(t−7)2
当t＝7时，|AB→+AC→|的最小值为2．…（9分）
（3）由AB→=λ⋅AC→，得：
(−1，−2)=λ⋅(3，t−5)⇒−1=3λ−2=λ(t−5)⋯（12分）
解是λ=−13t=11⋯（14分）
30．设e1→，e2→是两个不共线的非零向量．
（1）若a→=λe1→+4e2→与b→=e1→+λe2→共线，求实数λ的值；
（2）若AB→=2e1→+ke2→，CB→=e1→+3e2→，CD→=2e1→−e2→，则当k为何值时，A，B，D三点共线．
【分析】（1）直接利用向量共线的条件列等式求解即可，
（2）利用向量共线的充要条件，列出方程组求解即可．
【解答】解：（1）∵a→，b→共线，∴存在实数k，使得a→=kb→．
即λe1+4e2＝k（e1+λe2），
∴λe1→+4e2→=ke1→+kλe2→，
∵e1→，e2→是是不共线的非零向量，
∴解得λ＝±2，
（2）∵CB→=e1→+3e2→，CD→=2e1→−e2→，
∴BD→=CD→−CB→=（2e1→−e2→）﹣（e1→+3e2→）=e1→−4e2→，
若A，B，D三点共线，则一定存在唯一实数λ，使AB→=λBD→．
即2e1→+ke2→=λ（e1→−4e2→），
∴（λ﹣2）e1→=（k+4λ）e2→，
∵e1→，e2→是不共线的非零向量，
∴λ﹣2＝k+4λ＝0，解得λ＝2，k＝﹣4λ＝﹣8．
∴当k＝﹣8时，A，B，D三点共线．
31．已知e1→，e2→不共线，若ke1→+e2→∥e1→+ke2→，试确定k的值．
【分析】据条件可知，e1→+ke2→≠0→，而根据(ke1→+e2→)∥(e1→+ke2→)可知，存在实数λ，使得ke1→+e2→=λ(e1→+ke2→)，从而得出k=λλk=1，解出k即可．
【解答】解：∵e1→，e2→不共线；
∴e1→+ke2→≠0→；
又ke1→+e2→∥e1→+ke2→；
∴存在实数λ，使ke1→+e2→=λe1→+kλe2→；
即k=λ1=λk；
解得k＝±1．
32．如图，已知在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC=14AC，用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形．

【分析】用AB→，AD→表示出DE→，FB→即可得出DE→=FB→，从而得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC→=AB→+AD→，且AD→=BC→，
∵AE＝FC=14AC，∴AE→=FC→=14AC→=14AB→+14AD→，
∴DE→=AE→−AD→=14AB→+14AD→−AD→=14AB→−34AD→，
FB→=FC→+CB→=14AB→+14AD→−BC→=14AB→+14AD→−AD→=14AB→−34AD→，
∴DE→=FB→，
∴DE＝FB，DE∥FB，
∴四边形DEBF是平行四边形．