人教版2022届一轮复习打地基练习 古典概型及其计算公式
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这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 古典概型及其计算公式,共23页。试卷主要包含了某省在新的高考改革方案中规定等内容,欢迎下载使用。
人教版2022届一轮复习打地基练习 古典概型及其计算公式
一.选择题(共9小题)
1.从1,2,3,4,5这5个数字中每次取出一个数字,取出后放回,连续取两次,则两次取出的数字之和为奇数的概率为( )
A.625 B.25 C.1225 D.35
2.从2名男生和2名女生中选择2人去参加某项活动,则2人中恰好有1名女生的概率为( )
A.23 B.12 C.13 D.56
3.某省在新的高考改革方案中规定:每位考生的高考成绩是按照3(语文、数学、英语)+2(物理、历史)选1+4(化学、生物、地理、政治)选2的模式设置的,则某考生选择物化生组合的概率是( )
A.310 B.35 C.710 D.112
4.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中恰有1名男同学和1名女同学的概率为( )
A.710 B.45 C.35 D.310
5.如图,我国古代珠算算具算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠,用梁隔开,梁上面两颗叫上珠,下面5颗叫下珠.若从某一档的7颗算珠中任取3颗,至少含有一颗上珠的概率为( )
A.57 B.47 C.27 D.17
6.皮埃尔•德•费马,法国律师和业余数学家,被誉为“业余数学家之王”,对数学界做出了重大贡献,其中在1636年发现了:若p是质数,且a,p互质,那么a的(p﹣1)次方除以p的余数恒等于1,后来人们称该定理为费马小定理.依此定理若在数集{2,3,4,5,6}中任取两个数,其中一个作为p,另一个作为a,则所取两个数不符合费马小定理的概率为( )
A.1120 B.35 C.920 D.25
7.4张卡片上分别写有“中”、“国”、“你”、“好”四个字,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的文字恰好是“中”、“国”的概率为( )
A.13 B.12 C.16 D.34
8.将3个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为( )
A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8
9.在一次抽奖活动中,一个箱子里有编号为1至10的十个号码球(球的大小、质地完全相同,但编号不同),里面有n个号码为中奖号码,若从中任意取出4个小球,其中恰有1个中奖号码的概率为821,那么这10个小球中,中奖号码小球的个数n为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
二.填空题(共15小题)
10.袋中装有质地、大小完全相同的3个黑球,2个白球,1个红球,从中依次随机地取球,每次取一个球,取后不放回.如果取到3个黑球就结束取球,则取4次时就结束的概率为 .
11.若a,b∈{﹣1,1,2},则函数f(x)=ax2+2x+b有零点的概率为 .
12.一个袋中装有同样大小、质量的10个球,其中2个红色、3个蓝色、5个黑色,经过充分混合后,若从此袋中任意取出4个球,则三种颜色的球均取到的概率为 .
13.从编号为1,2,3,4的4个小球中有放回的取2个小球,则两个小球的编号之和为4的概率为 .(用数字作答)
14.现有5个参加演讲比赛的名额,要分配给甲、乙、丙三个班级,要求每班至少要分配一个名额,则甲班恰好分配到两个名额的概率为 .
15.袋中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球、3个黄球,从中不放回地依次随机摸出2个球,第二次摸到红球的概率是 .
16.某企业开展科技知识抢答抽奖活动,获奖号码从用0、1、2、3、⋯、9这十个数字组成没有重复数字的三位数中产生,并确定一等奖号码为:由三个奇数字组成的三位数,且该三位数是3的倍数.若某位职工在知识抢答过程中抢答成功,则该职工随机抽取一个号码能抽到一等奖号码的概率是 .(结果用数值作答)
17.有一批产品,其中有5件正品和5件次品,从中任取3件,至少有2件次品的概率为 .
18.已知盒中有大小相同的3个红球和2个白球,若每次不放回的从盒中取一个球,一直到取出所有白球时停止抽取,则停止抽取时恰好取到两个红球的概率为 .
19.第28届金鸡百花电影节将在福建省厦门市举办,近日首批影展片单揭晓,《南方车站的聚会》《春江水暖》《第一次的离别》《春潮》《抵达之谜》五部优秀作品将在电影节进行展映.若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位,则《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的概率为 .
20.题库中有10道题,考生从中随机抽取3道,至少做对2道算通过考试.某考生会做其中8道,有2道不会做,则此考生能通过考试的概率为 .
21.有五张写有1、2、3、4、5的卡片,每次抽取1张记好数字后放回,这样抽4次,则抽到的最大数与最小数的差小于4的概率是 .
22.由于新冠肺炎疫情,江苏紧急抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两市,每市分配2名医生,则甲、乙两人恰好分配在同一个城市的概率为 .
23.小王同学有4本不同的数学书,3本不同的物理书和3本不同的化学书,从中任取2本,则这2本书属于不同学科的概率是 (结果用分数表示).
24.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为b,且a,b∈{n|0≤n≤9,n∈N*},若|a﹣b|≤1,则称甲乙“心有灵犀”,现任意找两个人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为
三.解答题(共7小题)
25.一个袋中装有6个大小形状完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4,5,6.
(1)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和为6的概率;
(2)先后有放回地随机抽取两个球,两次取的球的编号分别记为a和b,求a+b>5的概率.
26.搪瓷是在金属坯体表面涂搪瓷釉而得到的制品.曾经是人们不可或缺的生活必备品,厨房用具中的锅碗瓢盆;喝茶用到的杯子;洗脸用到的脸盆;婚嫁礼品等,它浓缩了上世纪整整一个时代的记忆.某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯,将其细分成6个等级,等级系数X依次3,4,5,6,7,8,该公司交给生产水平不同的A和B两个广生产,从B厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本,数据如图所示:
(1)依据上表,若从上述等级系数为7和8的搪瓷水杯中抽取2件,求这2件全部来自等级系数为8的搪瓷水杯的概率;
(2)如图是5位网友对两厂生产的搪瓷水杯对比评分图,根据图表,利用评分均值和标准差比较两种搪瓷水杯的评分情况,并说明理由.
27.半期考试后,班长小王统计了50名同学的数学成绩,绘制频率分布直方图如图所示.
(1)根据频率分布直方图,估计这50名同学的数学平均成绩;
(2)用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名,再在抽取的这6名同学中任选2名,求这两名同学数学成绩均在[105,115)中的概率.
28.(1)设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率.
(2)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30﹣7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,求小张比小王至少早5分钟到校的概率.
29.某市为了解社区群众体育活动的开展情况,拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个行政区中抽出6个社区进行调查.已知A,B,C行政区中分别有12,18,6个社区.
(Ⅰ)求从A,B,C三个行政区中分别抽取的社区个数;
(Ⅱ)若从抽得的6个社区中随机的抽取2个进行调查结果的对比,求抽取的2个社区中至少有一个来自A行政区的概率.
30.2017年APEC会议于11月10日至11日在越南岘港举行,某研究机构为了了解各年龄层对APEC会议的关注程度,随机选取了100名年龄在[20,45]内的市民举行了调查,并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图(分组区间分布为[20,25),[25.30),[30,35),[35,40),[40,45]).
(1)求选取的市民年龄在[30,35)内的人数;
(2)若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈,再从中选取2人参与APEC会议的宣传活动,求参与宣传活动的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率.
31.某校高一(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损,可见部分如图.
(Ⅰ)求分数在[50,60)的频率及全班人数;
(Ⅱ)求分数在[80,90)之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90)间矩形的高;
(Ⅲ)若要从分数在[80,100)之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,求在抽取的试卷中,至少有一份分数在[90,100)之间的概率.
人教版2022届一轮复习打地基练习 古典概型及其计算公式
参考答案与试题解析
一.选择题(共9小题)
1.从1,2,3,4,5这5个数字中每次取出一个数字,取出后放回,连续取两次,则两次取出的数字之和为奇数的概率为( )
A.625 B.25 C.1225 D.35
【分析】基本事件总数n=5×5=25,两次取出的数字之和为奇数包含的基本事件个数m=2×3+3×2=12,由此能求出两次取出的数字之和为奇数的概率.
【解答】解:从1,2,3,4,5这5个数字中每次取出一个数字,取出后放回,连续取两次,
基本事件总数n=5×5=25,
两次取出的数字之和为奇数包含的基本事件个数m=2×3+3×2=12,
∴两次取出的数字之和为奇数的概率为p=mn=1225.
故选:C.
2.从2名男生和2名女生中选择2人去参加某项活动,则2人中恰好有1名女生的概率为( )
A.23 B.12 C.13 D.56
【分析】由题意可知为等可能事件,由排列组合的知识可得分别求得所包含的基本事件数,由概率公式可得答案.
【解答】解:由题意可知:本题是一个等可能事件的概率,
试验发生包含的事件是从2名男生和2名女生中任选2人,共有C42=6种结果,
满足条件的事件是2人中有1名女生,1名男生,共有2×2=4种结果,
根据等可能事件的概率公式得到P=46=23,
故选:A.
3.某省在新的高考改革方案中规定:每位考生的高考成绩是按照3(语文、数学、英语)+2(物理、历史)选1+4(化学、生物、地理、政治)选2的模式设置的,则某考生选择物化生组合的概率是( )
A.310 B.35 C.710 D.112
【分析】利用组合数求出所有可能选择的方案,再利用概率公式求解.
【解答】解:所有的选择方案为C21⋅C42=12,
所以选择物化生组合的概率为112.
故选:D.
4.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中恰有1名男同学和1名女同学的概率为( )
A.710 B.45 C.35 D.310
【分析】基本事件总数n=C52,选出的2名同学中恰有1名男同学和1名女同学包含的基本事件个数m=C31C21,由此能求出选出的2名同学中恰有1名男同学和1名女同学的概率.
【解答】解:从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,
基本事件总数n=C52=10,
选出的2名同学中恰有1名男同学和1名女同学包含的基本事件个数m=C31C21=6,
则选出的2名同学中恰有1名男同学和1名女同学的概率P=mn=610=35.
故选:C.
5.如图,我国古代珠算算具算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠,用梁隔开,梁上面两颗叫上珠,下面5颗叫下珠.若从某一档的7颗算珠中任取3颗,至少含有一颗上珠的概率为( )
A.57 B.47 C.27 D.17
【分析】从某一档的7颗算珠中任取3颗,基本事件总数n=C73=35,至少含有一颗上珠包含的基本事件个数m=C22C51+C21C52=25,由此能求出至少含有一颗上珠的概率.
【解答】解:我国古代珠算算具算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠,用梁隔开,
梁上面两颗叫上珠,下面5颗叫下珠.
从某一档的7颗算珠中任取3颗,基本事件总数n=C73=35,
至少含有一颗上珠包含的基本事件个数m=C22C51+C21C52=25,
∴至少含有一颗上珠的概率为P=mn=2535=57.
故选:A.
6.皮埃尔•德•费马,法国律师和业余数学家,被誉为“业余数学家之王”,对数学界做出了重大贡献,其中在1636年发现了:若p是质数,且a,p互质,那么a的(p﹣1)次方除以p的余数恒等于1,后来人们称该定理为费马小定理.依此定理若在数集{2,3,4,5,6}中任取两个数,其中一个作为p,另一个作为a,则所取两个数不符合费马小定理的概率为( )
A.1120 B.35 C.920 D.25
【分析】先列举出所有的总数,根据费马小定理找到两个数不符合费马小定理有11个,再利用古典概型的概率公式即可求出.
【解答】解:在数集{2,3,4,5,6}中任取两个数,其中一个作为p,另一个作为a,组成数对(p,a),
基本事件总数n=5×4=20,分别为(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),
因为p是质数,且a,p互质,
所以所取两个数不符合费马小定理有(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(2,4),(2,6),(3,6)共11个,
则所取两个数不符合费马小定理的概率为1120,
故选:A.
7.4张卡片上分别写有“中”、“国”、“你”、“好”四个字,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的文字恰好是“中”、“国”的概率为( )
A.13 B.12 C.16 D.34
【分析】基本事件总数n=C42=6,取出的2张卡片上的文字恰好是“中”、“国”包含的基本事件个数m=C22=1,由此能求出取出的2张卡片上的文字恰好是“中”、“国”的概率.
【解答】解:4张卡片上分别写有“中”、“国”、“你”、“好”四个字,
从这4张卡片中随机抽取2张,
基本事件总数n=C42=6,
取出的2张卡片上的文字恰好是“中”、“国”包含的基本事件个数m=C22=1,
则取出的2张卡片上的文字恰好是“中”、“国”的概率为P=mn=16.
故选:C.
8.将3个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为( )
A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8
【分析】先计算出3个1和2个0随机排成一行,2个0相邻的概率,再利用对立事件概率之和等于1,即可求解.
【解答】解:将两个0捆绑在一起,与三个1排列,故共有2×A44,
故2个0不相邻的概率P=1−2×A44A55=0.6.
故选:C.
9.在一次抽奖活动中,一个箱子里有编号为1至10的十个号码球(球的大小、质地完全相同,但编号不同),里面有n个号码为中奖号码,若从中任意取出4个小球,其中恰有1个中奖号码的概率为821,那么这10个小球中,中奖号码小球的个数n为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【分析】依题意,从10个小球中任意取出4个小球,其中恰有1个中奖号码的概率为821,所以821=Cn1×C10−n3C104,(n∈N*)
解方程即可.
【解答】解:依题意,从10个小球中任意取出4个小球,其中恰有1个中奖号码的概率为821,
所以821=Cn1×C10−n3C104,
所以n(10﹣n)(9﹣n)(8﹣n)=480,(n∈N*)
解得n=4.
故选:C.
二.填空题(共15小题)
10.袋中装有质地、大小完全相同的3个黑球,2个白球,1个红球,从中依次随机地取球,每次取一个球,取后不放回.如果取到3个黑球就结束取球,则取4次时就结束的概率为 320 .
【分析】令X为取球的次数,则X的值可能为3,4,5,6次,根据题意可得前3次应该取到两个黑球和一个其它颜色球,第4次一定是取得黑球,即可求出.
【解答】解:X为取球的次数,则X的值可能为3,4,5,6次,根据题意因为取4次就结束,所以前3次应该取到两个黑球和一个其它颜色球,第4次一定是取得黑球,
P(X=4)=C32C31C63•C31=320.
故答案为:320.
11.若a,b∈{﹣1,1,2},则函数f(x)=ax2+2x+b有零点的概率为 23 .
【分析】基本事件总数n=3×3=9,函数f(x)=ax2+2x+b有零点,△=4﹣4ab≥0,从而ab≤1,利用列举法能求出函数f(x)=ax2+2x+b有零点包含的基本事件有6个,由此能求出函数f(x)=ax2+2x+b有零点的概率.
【解答】解:∵a,b∈{﹣1,1,2},
∴基本事件总数n=3×3=9,
∵函数f(x)=ax2+2x+b有零点,
∴△=4﹣4ab≥0,∴ab≤1,
∴函数f(x)=ax2+2x+b有零点包含的基本事件有6个,分别为:
(1,1),(﹣1,﹣1),(﹣1,1),(1,﹣1),(﹣1,2),(2,﹣1),
∴函数f(x)=ax2+2x+b有零点的概率为P=69=23.
故答案为:23.
12.一个袋中装有同样大小、质量的10个球,其中2个红色、3个蓝色、5个黑色,经过充分混合后,若从此袋中任意取出4个球,则三种颜色的球均取到的概率为 12 .
【分析】利用古典概型的概率计算公式计算出结果即可.
【解答】解:由题设知:从10个球中任取4个球,共有C104=210种取法,
满足三种颜色的球均取到的取法有C22C31C51+C21C32C51+C21C31C52=105种,
∴三种颜色的球均取到的概率为105210=12,
故答案为:12.
13.从编号为1,2,3,4的4个小球中有放回的取2个小球,则两个小球的编号之和为4的概率为 316 .(用数字作答)
【分析】先求出基本事件总数和事件A包含的基本事件数,再利用古典概型的概率公式求解即可.
【解答】解:设两个小球的编号之和为4为事件A,
∵基本事件总数为4×4=16,
事件A包含的基本事件为(1,3),(2,2),(3,1)共3个,
∴p(A)=316.
故答案为:316.
14.现有5个参加演讲比赛的名额,要分配给甲、乙、丙三个班级,要求每班至少要分配一个名额,则甲班恰好分配到两个名额的概率为 13 .
【分析】要求每班至少要分配一个名额,基本事件总数n=C31+C32=6,甲班恰好分配到两个名额,则剩下的3个名额要分配给乙、丙两班,有2种分配方法,由此能求出甲班恰好分配到两个名额的概率.
【解答】解:现有5个参加演讲比赛的名额,要分配给甲、乙、丙三个班级,
要求每班至少要分配一个名额,
基本事件总数n=C31+C32=6,
甲班恰好分配到两个名额,则剩下的3个名额要分配给乙、丙两班,有2种分配方法,
∴甲班恰好分配到两个名额的概率为P=26=13.
故答案为:13.
15.袋中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球、3个黄球,从中不放回地依次随机摸出2个球,第二次摸到红球的概率是 25 .
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解.
【解答】解:袋中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球、3个黄球,
从中不放回地依次随机摸出2个球,第二次摸到红球的概率是:
P=25×14+35×24=25.
故答案为:25.
16.某企业开展科技知识抢答抽奖活动,获奖号码从用0、1、2、3、⋯、9这十个数字组成没有重复数字的三位数中产生,并确定一等奖号码为:由三个奇数字组成的三位数,且该三位数是3的倍数.若某位职工在知识抢答过程中抢答成功,则该职工随机抽取一个号码能抽到一等奖号码的概率是 127 .(结果用数值作答)
【分析】基本事件总数n=9×9×8=648,满足条件的三个奇数可能为(1,3,5),(1,5,9),(3,5,7),(5,7,9),从而一等奖号码包含的基本事件个数m=C41A33=24,由此能求出结果.
【解答】解:获奖号码从用0、1、2、3、…、9这十个数字组成没有重复数字的三位数中产生,
基本事件总数n=9×9×8=648,
一等奖号码为:由三个奇数字组成的三位数,且该三位数是3的倍数,
满足条件的三个奇数可能为(1,3,5),(1,5,9),(3,5,7),(5,7,9),
∴一等奖号码包含的基本事件个数m=C41A33=24,
∴某位职工在知识抢答过程中抢答成功,
则该职工随机抽取一个号码能抽到一等奖号码的概率是P=mn=24648=127.
故答案为:127.
17.有一批产品,其中有5件正品和5件次品,从中任取3件,至少有2件次品的概率为 12 .
【分析】至少有2件次品包含有2件次品和3件次品的情况,求出两种情况的总的方法数,利用公式求概率即可.
【解答】解:由题可知,任取3件,有2件次品的方法数为C52⋅C51,
任取3件,有3件次品的方法数为C53,
所以至少有2件次品的概率为P=C52⋅C51+C53C103=10×5+10120=12,
故答案为:12.
18.已知盒中有大小相同的3个红球和2个白球,若每次不放回的从盒中取一个球,一直到取出所有白球时停止抽取,则停止抽取时恰好取到两个红球的概率为 310 .
【分析】一直到取出所有白球时停止抽取,恰好取到两个红球,则第四个抽取的一定是白球,可能的情况有:红红白白,红白红白,白红红白,即可求出停止抽取时恰好取到两个红球的概率.
【解答】解:一直到取出所有白球时停止抽取,恰好取到两个红球,
则第四个抽取的一定是白球,可能的情况有:红红白白,红白红白,白红红白,
则概率为:35×24×23×12+35×24×23×12+25×34×23×12=310.
故答案为:310.
19.第28届金鸡百花电影节将在福建省厦门市举办,近日首批影展片单揭晓,《南方车站的聚会》《春江水暖》《第一次的离别》《春潮》《抵达之谜》五部优秀作品将在电影节进行展映.若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位,则《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的概率为 710 .
【分析】基本事件总数n=C52=10,《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中包含的基本个数m=C21C31+C22=7,由此能求出《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的概率.
【解答】解:首批影展片单揭晓,《南方车站的聚会》《春江水暖》《第一次的离别》《春潮》《抵达之谜》五部优秀作品将在电影节进行展映.
从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位,
基本事件总数n=C52=10,
《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中包含的基本个数m=C21C31+C22=7,
则《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的概率为p=mn=710.
故答案为:710.
20.题库中有10道题,考生从中随机抽取3道,至少做对2道算通过考试.某考生会做其中8道,有2道不会做,则此考生能通过考试的概率为 1415 .
【分析】利用互斥事件概率计算公式能求出此考生能通过考试的概率.
【解答】解:题库中有10道题,考生从中随机抽取3道,至少做对2道算通过考试.
某考生会做其中8道,有2道不会做,
则此考生能通过考试的概率为:
p=C83C103+C82C21C103=1415.
故答案为:1415.
21.有五张写有1、2、3、4、5的卡片,每次抽取1张记好数字后放回,这样抽4次,则抽到的最大数与最小数的差小于4的概率是 431625 .
【分析】5张不同的卡片,有放回的抽4次,共有54种不同的取法,最大数与最小数的差小于4的取法指所选的数字均来自1,2,3,4或者2,3,4,5的情况,再去掉重复的部分﹣﹣所选的数字均来自2,3,4的情况,再利用概率公式即可求解.
【解答】解:有五张写有1、2、3、4、5的卡片,每次抽取1张记好数字后放回,这样抽4次,
共有54种不同的取法,差值可能为1,2,3,4,
最大数与最小数的差等于4,则4次抽取中5或1没有抽到,
没有抽到1的有44,没有抽到5的有44,5和1都没有抽到的有34,
所以抽到的最大数与最小数的差小于4有2×44﹣34种,
所以抽到的最大数与最小数的差小于4的概率P=44×2−3454=431625.
故答案为:431625.
22.由于新冠肺炎疫情,江苏紧急抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两市,每市分配2名医生,则甲、乙两人恰好分配在同一个城市的概率为 13 .
【分析】基本事件总数n=C42C22=6,甲、乙两人恰好分配在同一个城市包含的基本事件个数m=C22C22A22=2,由此能求出甲、乙两人恰好分配在同一个城市的概率.
【解答】解:抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两市,每市分配2名医生,
基本事件总数n=C42C22=6,
甲、乙两人恰好分配在同一个城市包含的基本事件个数m=C22C22A22=2,
甲、乙两人恰好分配在同一个城市的概率为p=mn=26=13.
故答案为:13.
23.小王同学有4本不同的数学书,3本不同的物理书和3本不同的化学书,从中任取2本,则这2本书属于不同学科的概率是 1115 (结果用分数表示).
【分析】从中任取2本,基本事件总数n=C102=45,这2本书属于不同学科包含的基本事件个数m=C102−C42−C32−C32=33,由此能求出这2本书属于不同学科的概率.
【解答】解:小王同学有4本不同的数学书,3本不同的物理书和3本不同的化学书,
从中任取2本,基本事件总数n=C102=45,
这2本书属于不同学科包含的基本事件个数m=C102−C42−C32−C32=33,
则这2本书属于不同学科的概率是p=mn=3345=1115.
故答案为:1115.
24.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为b,且a,b∈{n|0≤n≤9,n∈N*},若|a﹣b|≤1,则称甲乙“心有灵犀”,现任意找两个人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为 2581
【分析】分a=1或a=9,以及a取2~8两类讨论即可.
【解答】解:①依题意,当a=1或9时,每种情况b可取2个数字,共2×2=4种,他们“心有灵犀”包含的基本事件个数为:2×2=4;
②当a取2~8,每种情况b都可取3个数字,共7×3=21种,他们“心有灵犀”包含的基本事件个数为:8×2=16;
基本事件的总数为:21个,
所以他们“心有灵犀”的概率为:P=4+219×9=2581.
故答案为:2581.
三.解答题(共7小题)
25.一个袋中装有6个大小形状完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4,5,6.
(1)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和为6的概率;
(2)先后有放回地随机抽取两个球,两次取的球的编号分别记为a和b,求a+b>5的概率.
【分析】(1)从袋中随机抽取两个球共有15种取法,利用列举法求出取出球的编号之和为6的有2种取法,由此能求出取出的球的编号之和为6的概率.
(2)先后有放回地随机抽取两个球共有36种取法,利用列举法求出两次取的球的编号之和大于5的有26种,由此能求出a+b>5的概率.
【解答】解:(1)从袋中随机抽取两个球共有15种取法,
取出球的编号之和为6的有(1,5),(2,4),共2种取法,
故取出的球的编号之和为6的概率P=mn=215.
(2)先后有放回地随机抽取两个球共有36种取法,
两次取的球的编号之和大于5的有26种,分别为:
(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),
(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),
故a+b>5的概率P=2636=1318.
26.搪瓷是在金属坯体表面涂搪瓷釉而得到的制品.曾经是人们不可或缺的生活必备品,厨房用具中的锅碗瓢盆;喝茶用到的杯子;洗脸用到的脸盆;婚嫁礼品等,它浓缩了上世纪整整一个时代的记忆.某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯,将其细分成6个等级,等级系数X依次3,4,5,6,7,8,该公司交给生产水平不同的A和B两个广生产,从B厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本,数据如图所示:
(1)依据上表,若从上述等级系数为7和8的搪瓷水杯中抽取2件,求这2件全部来自等级系数为8的搪瓷水杯的概率;
(2)如图是5位网友对两厂生产的搪瓷水杯对比评分图,根据图表,利用评分均值和标准差比较两种搪瓷水杯的评分情况,并说明理由.
【分析】(1)设等级系数为7的搪瓷水杯为A,B,C,等级系数为8的搪瓷水杯为a,b,c,列出所有的基本事件以及满足条件的事件,求出概率即可;
(2)分别求出A,B的平均数和标准差,判断即可.
【解答】解:(1)设等级系数为7的搪瓷水杯为A,B,C,
等级系数为8的搪瓷水杯为a,b,c,
则从中抽取2件的基本事件为
(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(A,c),
(B,C),(B,a),(B,b),(B,c),
(C,a),(C,b),(C,c),(a,b),(a,c),(b,c),共15种;
其中2件全部来自等级系数为8的搪瓷水杯的基本事件为(a,b),(a,c),(b,c),共3种,
所以P=315=15,
(2)因为xB=(4+6+7+8+9)÷5=6.8,
所以B厂生产的搪瓷水杯的评分平均分为6.8,
标准差为S=1.72,
所以B厂生产的搪瓷水杯的评分标准差为1.72,
因为xA=(5+6+6.5+7+8)÷5=6.5,
所以A厂生产的搪瓷水杯的评分平均分为6.5,S=1,
所以A厂生产的搪瓷水杯的评分标准差为S=1,
综上,B厂生产的糖瓷水杯的评分的均值较高;
A厂生产的搪瓷水杯的评分的标准差较小,比较稳定.
27.半期考试后,班长小王统计了50名同学的数学成绩,绘制频率分布直方图如图所示.
(1)根据频率分布直方图,估计这50名同学的数学平均成绩;
(2)用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名,再在抽取的这6名同学中任选2名,求这两名同学数学成绩均在[105,115)中的概率.
【分析】(1)由频率分布直方图,能估计这50名同学的数学平均成绩.
(2)由频率分布直方图得分数低于115分的同学有12人,则用分层抽样抽取6人中,分数在[95,105)有1人,用a表示,分数在[105,115)中的有5人,用b1,b2,b3,b4,b5表示,利用列举法能求出这两名同学分数均在[105,115)中的概率.
【解答】(本大题12分)
解:(1)由频率分布表,估计这50名同学的数学平均成绩为:
x=10(100×0.004+110×0.020+120×0.028+130×0.032+140×0.016)=123.6……………………………………………………………………(4分)
(2)由频率分布直方图得分数低于115分的同学有(10×0.004+10×0.02)×50=12人,
则用分层抽样抽取6人中,分数在[95,105)有1人,用a表示,
分数在[105,115)中的有5人,用b1,b2,b3,b4,b5表示,
则基本事件有(a,b1),(a,b2),(a,b3),(a,b4),(a,b5),(b1,b2),(b1,b3),(b1,b4),
(b1,b5),(b2,b3),(b2,b4),(b2,b5),(b3,b4),(b3,b5),(b4,b5),共15个,
满足条件的基本事件为(b1,b2),(b1,b3),(b1,b4),(b1,b5),(b2,b3),(b2,b4),(b2,b5),(b3,b4),(b3,b5),(b4,b5),共10个,
所以这两名同学分数均在[105,115)中的概率为:P=1015=23.………………………………………………………………(12分)
28.(1)设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率.
(2)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30﹣7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,求小张比小王至少早5分钟到校的概率.
【分析】(1)本题是一个古典概型,试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数,满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数,求得概率.
(2)设小张与小王的到校时间分别为7:00后第x分钟,第y分钟,由题意可画出图形,利用测度比为面积比得答案.
【解答】解:(1)∵关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有解,
∴△=4a2﹣4b2≥0,∴a2≥b2.
∴当a>0,b>0时,关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b
由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的基本事件共12个:
(0,0)(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)(1,2)(2,0)
(2,1)(2,2)(3,0)(3,1)(3,2)
其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.
事件A中包含9个基本事件,
∴事件A发生的概率为P=912=34.
(2)设小张与小王的到校时间分别为7:00后第x分钟,第y分钟,
由题意可画出图形,
则总事件所占的面积为(50﹣30)2=400.
小张比小王至少早5分钟到校表示的事件
A={(x,y)|y﹣x≥5,30≤x≤50,30≤y≤50},
如图中阴影部分所示,阴影部分所占的面积为12×15×15=2252,
∴小张比小王至少早5分钟到校的概率为P(A)=2252400=932.
29.某市为了解社区群众体育活动的开展情况,拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个行政区中抽出6个社区进行调查.已知A,B,C行政区中分别有12,18,6个社区.
(Ⅰ)求从A,B,C三个行政区中分别抽取的社区个数;
(Ⅱ)若从抽得的6个社区中随机的抽取2个进行调查结果的对比,求抽取的2个社区中至少有一个来自A行政区的概率.
【分析】(I)先计算A,B,C区中社区数的总数,进而求出抽样比,再根据抽样比计算各区应抽取的社区数.
(II)本题为古典概型,先将各区所抽取的社区用字母表达,分别计算从抽取的6个社区中随机抽取2个的个数和至少有1个来自A区的个数,再求比值即可.
【解答】解:(Ⅰ)社区总数为12+18+6=36,
样本容量与总体中的个体数比为636=16.
所以从A,B,C三个行政区中应分别抽取的社区个数为2,3,1. …(4分)
(Ⅱ)设A1,A2为在A行政区中抽得的2个社区,B1,B2,B3为在B行政区中抽得的3个社区,C为在C行政区中抽得的社区,
在这6个社区中随机抽取2个,全部可能的结果有:
(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C),
(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C),(B1,B2),
(B1,B3),(B1,C),(B2,B3),(B2,C),(B3,C).
共有15种. …(7分)
设事件“抽取的2个社区至少有1个来自A行政区”为事件X,则事件X所包含的
所有可能的结果有:
(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C),
(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C),
共有9种,…(10分)
所以这2个社区中至少有1个来自A行政区的概率为P(X)=915=35.…(12分)
30.2017年APEC会议于11月10日至11日在越南岘港举行,某研究机构为了了解各年龄层对APEC会议的关注程度,随机选取了100名年龄在[20,45]内的市民举行了调查,并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图(分组区间分布为[20,25),[25.30),[30,35),[35,40),[40,45]).
(1)求选取的市民年龄在[30,35)内的人数;
(2)若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈,再从中选取2人参与APEC会议的宣传活动,求参与宣传活动的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率.
【分析】(1)选取的市民年龄在[30,35)内的频率,即可求出人数,
(2)利用分层抽样的方法从第3组选3,记为A1,A2,A3从第4组选2人,记为B1,B2;再利用古典概型的概率计算公式即可得出
【解答】解:(1)由频率分布直方图可得年龄在[30,35)内的频率为0.06×5=0.3,则选取的市民年龄在[30,35)内的人数0.3×100=30,
(2)由频率分布直方图可得年龄在[35,40)内的频率为0.04×5=0.2,则选取的市民年龄在[35,40)内的人数0.2×100=20,
则第3,4组的人数比为3:2,
故从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈,其中从第3组选3,记为A1,A2,A3从第4组选2人,记为B1,B2,
则从5人选2人的:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),
(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2)共有10种.
其中第4组没有一名被抽中的有:(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3)共有3种.
所以参与宣传活动的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率1−310=710.
31.某校高一(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损,可见部分如图.
(Ⅰ)求分数在[50,60)的频率及全班人数;
(Ⅱ)求分数在[80,90)之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90)间矩形的高;
(Ⅲ)若要从分数在[80,100)之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,求在抽取的试卷中,至少有一份分数在[90,100)之间的概率.
【分析】(Ⅰ)先由频率分布直方图求出[50,60)的频率,结合茎叶图中得分在[50,60)的人数即可求得本次考试的总人数;
(Ⅱ)根据茎叶图的数据,利用(Ⅰ)中的总人数减去[50,80)外的人数,即可得到[50,80)内的人数,从而可计算频率分布直方图中[80,90)间矩形的高;
(Ⅲ)用列举法列举出所有的基本事件,找出符合题意得基本事件个数,利用古典概型概率计算公式即可求出结果.
【解答】解:(Ⅰ)分数在[50,60)的频率为0.008×10=0.08,
由茎叶图知:
分数在[50,60)之间的频数为2,
∴全班人数为20.08=25.
(Ⅱ)分数在[80,90)之间的频数为25﹣22=3;
频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为325÷10=0.012.
(Ⅲ)将[80,90)之间的3个分数编号为a1,a2,a3,[90,100)之间的2个分数编号为b1,b2,
在[80,100)之间的试卷中任取两份的基本事件为:
(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)共10个,
其中,至少有一个在[90,100)之间的基本事件有7个,
故至少有一份分数在[90,100)之间的概率是710=0.7.