人教版2022届一轮复习打地基练习 向量的概念与向量的模

这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 向量的概念与向量的模，共26页。试卷主要包含了已知直线x+y﹣k＝0，下列说法中正确的是，下列说法正确的是，已知向量a→=，已知A等内容，欢迎下载使用。
人教版2022届一轮复习打地基练习 向量的概念与向量的模
一．选择题（共16小题）
1．设非零向量a→，b→满足a→⊥b→，则（　　）
A．|a→|＝|b→| B．a→∥b→ C．|a→|＜|b→| D．|a→−b→|＝|a→+b→|
2．已知直线x+y﹣k＝0（k＞0）与圆x2+y2＝4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有|OA→+OB→|=|AB→|，那么k的值为（　　）
A．2 B．22 C．2 D．4
3．下列说法中正确的是（　　）
A．单位向量都相等
B．若a→，b→满足|a→|＞|b→|且a→与b→同向，则a→＞b→
C．对于任意向量a→，b→，必有|a→+b→|≤|a→|+|b→|
D．平行向量不一定是共线向量
4．下列说法正确的是（　　）
A．向量的模是正实数
B．共线向量一定是相等向量
C．方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同
5．已知向量a→=（6t+3，9），b→=（4t+2，8），若（13a→+b→）∥（a→−12b→），则t＝（　　）
A．﹣1 B．−12 C．12 D．1
6．已知向量a→=(−1，2)，b→=(x，6)，且a→∥b→，则|a→−b→|=（　　）
A．5 B．25 C．5 D．4
7．已知向量a→=（1，1），则|a→|＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．2
8．已知向量a→，b→满足|a→|=3，|b→|=4，|a→+b→|=14，则|a→−b→|=（　　）
A．3 B．5 C．6 D．7
9．已知A（0，1），B（2，0），O为坐标原点，动点P满足|OP→|＝2，则|OA→+OB→+OP→|的最小值为（　　）
A．2−3 B．2+3 C．7+43 D．7﹣43
10．化简AB→+BC→−AC→−DC→的结果是（　　）
A．AD→ B．DB→ C．CD→ D．DC→
11．已知|a→|=1，|b→|=2，a→⋅b→=1，若a→−c→与b→−c→的夹角为60°，则|c→|的最大值为（　　）
A．72+1 B．3 C．7+1 D．3+1
12．已知a→=(−1，2)，则与a→同方向的单位向量是（　　）
A．(−55，255) B．(−15，25) C．(15，−25) D．(55，−255)
13．下列命题正确的是（　　）
A．若|a→|=0，则a→=0→ B．若|a→|=|b→|，则a→=b→
C．若|a→|=|b→|，则a→∥b→ D．若a→∥b→，则a→=b→
14．称d(a→，b→)=|a→−b→|为两个向量a→、b→间的“距离”．若向量a→、b→满足：①|b→|=1；②a→≠b→；③对任意的t∈R，恒有d(a→，tb→)≥d(a→，b→)则（　　）
A．a→⊥b→ B．a→⊥(a→−b→)
C．b→⊥(a→−b→) D．(a→+b→)⊥(a→−b→)
15．如图，在正六边形ABCDEF，点O为其中心，则下列判断错误的是（　　）
A．AB→=OC→ B．AB→∥DE→ C．|AD→|=|BE→| D．|AC→|=|BE→|
16．过点P（4，2）作直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，点O为坐标原点，则|OA→|+|OB→|的最小值为（　　）
A．42 B．2+42 C．6+42 D．6
二．多选题（共6小题）
17．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a→，b→满足AB→=2a→，AC→=2a→+b→，则下列结论正确的是（　　）
A．|b→|＝1 B．|a→|＝1 C．a→∥b→ D．（4a→+b→）⊥BC→
18．已知a→与b→均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：
P1：|a→+b→|＞1⇔θ∈[0，23π)；
P2：|a→+b→|＞1⇔θ∈(23π，π]；
P3：|a→−b→|＞1⇔θ∈[0，π3)；
P4：|a→−b→|＞1⇔θ∈(π3，π]．
其中正确的命题是（　　）
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
19．下列说法中，正确的是（　　）
A．任意单位向量的模都相等．
B．若A，B是平面内的两个不同的点，则AB→=BA→
C．若向量a→∥b→，b→∥c→，则a→∥c→
D．零向量与任意向量平行
20．设a→，b→都是非零向量，则下列四个条件中，一定能使a→|a→|+b→|b→|=0→成立的是（　　）
A．a→=−2b→ B．a→=2b→ C．a→=b→ D．a→=−b→
21．下列命题不正确的是（　　）
A．单位向量都相等
B．若a→与b→是共线向量，b→与c→是共线向量，则a→与c→是共线向量
C．|a→+b→|＝|a→−b→|，则a→⊥b→
D．若a→与b→单位向量，则|a→|＝|b→|
22．已知非零向量a→，b→，下列说法正确的是（　　）
A．若a→=b→，则|a→|＝|b→|
B．若a→，b→为单位向量，则a→=b→
C．若|a→|＞|b→|且a→与b→同向，则a→＞b→
D．|a→+b→|≤|a→|+|b→|
三．填空题（共16小题）
23．平面向量ai→满足：|ai→|=1(i=0，1，2，3)，且i=13 ai→=0→．则|a0→+a1→+a2→|+|a0→+a1→+a3→|+|a0→+a2→+a3→|的取值范围为 　 　．
24．向量a→与b→的夹角为60°，若a→=（0，2），|b→|＝1，则|a→+2b→|＝　 　．
25．已知正方形ABCD边长为1，AB→=a→，BC→=b→，AC→=c→，则|a→+b→+c→|=　 　．
26．已知向量a→，b→满足|a→|=6，b→=(−2，2)，且|λa→+μb→|=0(λμ≠0)，则|λμ|的值为 　 　．
27．设向量a→，b→满足|a→|=2，a→⋅b→=32，|a→+b→|=22，则|b→|＝　 　．
28．已知夹角为π3的单位向量a→，b→，则|2a→−3b→|＝　 　．
29．已知a→、b→为两个向量，给出以下4个条件：
①|a→|＝|b→|；②a→与b→的方向相反；③|a→|＝0或|b→|＝0；④a→与b→都是单位向量．
由条件　 　一定可以得到a→与b→平行．
30．已知a→=(−1，3)，b→=(1，t)，若(a→−2b→)⊥a→，则|a→+b→|＝　 　．
31．平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝4，∠BAD＝60°，E是BC的中点，F是AE的中点，则向量DF→的模长是　 　．
32．如图所示的每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中：
（1）有且仅有两个向量的模相等，则这两个向量分别是 　 　，它们的模都等于 　 　；
（2）存在着共线向量，则这些共线向量分别是 　 　，它们的模的和等于 　 　．

33．若正方形ABCD的边长为1，记AB→=a→，BC→=b→，AC→=c→，则|a→+2b→−3c→|＝　 　．
34．已知a→=（﹣3，4），则与a→方向相同的单位向量的坐标为　 　．
35．已知向量a→=（m，2），b→=（1，﹣1），|a→−b→|＝|a→|+|b→|，则实数m＝　 　．
36．已知向量a→=(2，−1)，b→=(4，m)，且a→∥b→，则|a→+2b→|=　 　．
37．已知△ABC中，AB＝1，AC＝3，cosA=14，点E在直线BC上，且满足BE→=AB→+lAC→（l∈R），则|AE→|＝　 　．
38．若菱形ABCD的边长为2，则|AB→−CB→−DC→|＝　 　．
四．解答题（共3小题）
39．已知|a→|＝2，|b→|＝3，|a→−b→|=7．
（1）求a→与b→的夹角大小；
（2）求|a→+2b→|的值．
40．如图，在△ABC中，设AB→=a，AC→=b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P．
（Ⅰ）若AP→=λa+μb，求λ和μ的值；
（Ⅱ）以AB，AC为邻边，AP为对角线，作平行四边形ANPM，求平行四边形ANPM和三角形ABC的面积之比S平行四边形ANPMS△ABC．

41．若向量a→，b→，3a→−2b→的起点为同一点，证明这三个向量的终点在一条直线上．

人教版2022届一轮复习打地基练习 向量的概念与向量的模
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题）
1．设非零向量a→，b→满足a→⊥b→，则（　　）
A．|a→|＝|b→| B．a→∥b→ C．|a→|＜|b→| D．|a→−b→|＝|a→+b→|
【分析】由非零向量a→，b→满足a→⊥b→，得a→⋅b→=0，从而得到|a→−b→|＝|a→+b→|．
【解答】解：∵非零向量a→，b→满足a→⊥b→，
∴a→⋅b→=0，
∴a→2−2a→⋅b→+b→2=a→2+2a→⋅b→+b→2，
∴|a→−b→|＝|a→+b→|．
故选：D．
2．已知直线x+y﹣k＝0（k＞0）与圆x2+y2＝4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有|OA→+OB→|=|AB→|，那么k的值为（　　）
A．2 B．22 C．2 D．4
【分析】根据当|OA→+OB→|=|AB→|时，O，A，B三点为矩形的三个顶点，可知OA⊥OB，然后根据图形可知直线（2，0）点，从而可求出k的值．
【解答】解：当|OA→+OB→|=|AB→|时，O，A，B三点为矩形的三个顶点，可知OA⊥OB，
由图可知直线过（2，0）点，此时k＝2，
故选：A．

3．下列说法中正确的是（　　）
A．单位向量都相等
B．若a→，b→满足|a→|＞|b→|且a→与b→同向，则a→＞b→
C．对于任意向量a→，b→，必有|a→+b→|≤|a→|+|b→|
D．平行向量不一定是共线向量
【分析】向量是既有大小，又有方向的量，所以A，B错误；平行向量又称共线向量，故D错误．由向量的三角形法则和三角形的三边关系知D正确．
【解答】解：A选项，单位向量的模相等，但方向可以不同，故错误；
B选项，向量是既有大小，又有方向的量，不能比较大小，故错误；
C选项，由向量的三角形法则和三角形两边之和大于第三边得|a→+b→|≤|a→|+|b→|，故正确；
D选项，平行向量又称共线向量，故错误；
故选：C．
4．下列说法正确的是（　　）
A．向量的模是正实数
B．共线向量一定是相等向量
C．方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同
【分析】由向量的概念逐一判定即可得结论．
【解答】解：对于A，因为|0→|=0，不是正实数，故A错误；
对于B，共线向量是方向相同或相反的向量，但模的大小不确定，故B错误；
对于C，共线向量是方向相同或相反的向量，故方向相反的两个向量一定是共线向量，故C正确；
对于D，两个有共同起点且共线的向量方向相同或相反，长度也不一定相同，故终点不一定相同，故D错误．
故选：C．
5．已知向量a→=（6t+3，9），b→=（4t+2，8），若（13a→+b→）∥（a→−12b→），则t＝（　　）
A．﹣1 B．−12 C．12 D．1
【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．
【解答】解：向量a→=（6t+3，9），b→=（4t+2，8），
所以13a→+b→=（6t+3，11），
a→−12b→=（4t+2，5）．
又（13a→+b→）∥（a→−12b→），
所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，
解得t=−12．
故选：B．
6．已知向量a→=(−1，2)，b→=(x，6)，且a→∥b→，则|a→−b→|=（　　）
A．5 B．25 C．5 D．4
【分析】利用向量共线定理、模的计算公式即可得出．
【解答】解：∵向量a→=(−1，2)，b→=(x，6)，且a→∥b→，
∴﹣6﹣2x＝0，解得x＝﹣3．
∴a→−b→=（2，﹣4），
则|a→−b→|=22+(−4)2=25．
故选：B．
7．已知向量a→=（1，1），则|a→|＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．2
【分析】根据向量a→的坐标即可得出|a→|的值．
【解答】解：∵a→=(1，1)，
∴|a→|=2．
故选：B．
8．已知向量a→，b→满足|a→|=3，|b→|=4，|a→+b→|=14，则|a→−b→|=（　　）
A．3 B．5 C．6 D．7
【分析】根据向量的模即可求出．
【解答】解：∵|a→|=3，|b→|=4，|a→+b→|=14，
∴|a→+b→|2＝|a→|2+|b→|2+2a→•b→，
即14＝9+16+2a→•b→，
∴2a→•b→=−11．
∴|a→−b→|2＝|a→|2+|b→|2﹣2a→•b→=9+16+11＝36，
∴|a→−b→|=6，
故选：C．
9．已知A（0，1），B（2，0），O为坐标原点，动点P满足|OP→|＝2，则|OA→+OB→+OP→|的最小值为（　　）
A．2−3 B．2+3 C．7+43 D．7﹣43
【分析】根据动点P满足|OP→|＝2，设出点P的坐标（2cosθ，2sinθ），写出OA→+OB→+OP→的坐标表示，根据向量坐标表示模长求解，其中通过三角函数的最值解得模长的最值．
【解答】解：由|OP→|＝2可知，点P在以原点为圆心，半径为2的圆上，
则设P（2cosθ，2sinθ），
∴OA→+OB→+OP→=（2+2cosθ，1+2sinθ），
∴|OA→+OB→+OP→|=(2+2cosθ)2+(1+2sinθ)2=7+42cosθ+4sinθ=7+43sin(θ+φ)（其中tanφ=2）．
∴min=7−43=2−3．
故选：A．
10．化简AB→+BC→−AC→−DC→的结果是（　　）
A．AD→ B．DB→ C．CD→ D．DC→
【分析】利用向量加法的三角形法则AB→+BC→=AC→，代入要求的式子化简，以及−DC→=CD→，从而得到正确选项．
【解答】解：∵AB→+BC→=AC→，
∴AB→+BC→−AC→−DC→=−DC→=CD→
故选：C．
11．已知|a→|=1，|b→|=2，a→⋅b→=1，若a→−c→与b→−c→的夹角为60°，则|c→|的最大值为（　　）
A．72+1 B．3 C．7+1 D．3+1
【分析】利用向量的数量积公式得＜a→，b→＞=π3，以∠AOB的角平分线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求出C点的轨迹方程(x−3)2+y2=1，求圆上点到原点的最大距离．
【解答】解：|a→|＝1，|b→|＝2，a→⋅b→=|a→||b→|cos＜a→，b→＞=1，
∴cos＜a→，b→＞=12，∴＜a→，b→＞=π3，设a→=OA→，b→=OB→，c→=OC→，
以∠AOB的角平分线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，
则A（32，12），B（3，﹣1），设C（x，y），
cos＜a→−c→，b→−c→＞=(x−32)(x−3)+(y−12)(y+1)(x−32)2+(y−12)2×(x−3)2+(y+1)2=12，
整理得(x−3)2+y2=1，∴C点的轨迹为圆，圆心坐标为（3，0），
∴|c→|=x2+y2，其最大值为1+3．
故选：D．
12．已知a→=(−1，2)，则与a→同方向的单位向量是（　　）
A．(−55，255) B．(−15，25) C．(15，−25) D．(55，−255)
【分析】由与a→同方向的单位向量是a→|a→|计算即可求得结论．
【解答】解：因为a→=(−1，2)，所以|a→|=5
所以与a→同方向的单位向量是a→|a→|=15（﹣1，2）＝（−55，255）．
故选：A．
13．下列命题正确的是（　　）
A．若|a→|=0，则a→=0→ B．若|a→|=|b→|，则a→=b→
C．若|a→|=|b→|，则a→∥b→ D．若a→∥b→，则a→=b→
【分析】根据零向量的定义即可判断出A正确，根据相等向量的定义即可判断B错误，根据共线向量的定义即可判断C，D都错误．
【解答】解：根据零向量的定义知，若|a→|=0，则a→=0→，∴A正确；
向量由长度和方向确定，长度相同而方向不同的两向量不相等，∴B错误；
长度相同，而方向不在同一直线的两向量不平行，∴C错误；
互相平行的两向量的长度不一定相同，从而这两向量不一定相等，∴D错误．
故选：A．
14．称d(a→，b→)=|a→−b→|为两个向量a→、b→间的“距离”．若向量a→、b→满足：①|b→|=1；②a→≠b→；③对任意的t∈R，恒有d(a→，tb→)≥d(a→，b→)则（　　）
A．a→⊥b→ B．a→⊥(a→−b→)
C．b→⊥(a→−b→) D．(a→+b→)⊥(a→−b→)
【分析】由题意知 b→的终点在单位圆上，由d（a→，tb→）≥d（a→，b→）恒成立得|AC→|≥|BA→|恒成立，从而 BA→⊥OB→ 即（a→−b→）⊥b→．
【解答】解：如图：∵|b→|＝1，
∴b→的终点在单位圆上，
用OB→ 表示b→，用OA→ 表示 a→，用 BA→表示 a→−b→，
设 OC→=tb→，
∴d（a→，tb→）＝|AC→|，d（a→，b→）＝|BA→|，
由d（a→，tb→）≥d（a→，b→）恒成立得，
|AC→|≥|BA→|恒成立，
∴BA→⊥OB→，（a→−b→）⊥b→，
故选：C．

15．如图，在正六边形ABCDEF，点O为其中心，则下列判断错误的是（　　）
A．AB→=OC→ B．AB→∥DE→ C．|AD→|=|BE→| D．|AC→|=|BE→|
【分析】根据题意，作出正六边形ABCDEF，设其边长为a，结合向量的定义依次分析选项，即可得答案．
【解答】解：如图正六边形ABCDEF，设其边长为a，依次分析选项：
对于A、由正六边形的性质可得AB与OC平行且相等，则有AB→=OC→，故A正确；
对于B、由正六边形的性质可得AB与DE平行，即AB→∥DE→，故B正确；
对于C、在正六边形ABCDEF中，AD与BE均过中心O，则有AD＝BE＝2a，即有|AD→|＝|BE→|，故C正确；
对于D、在正六边形ABCDEF中，AC=3a，BE＝2a，则|AC→|≠|BE→|，故D错误；
故选：D．

16．过点P（4，2）作直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，点O为坐标原点，则|OA→|+|OB→|的最小值为（　　）
A．42 B．2+42 C．6+42 D．6
【分析】由题意可得直线的斜率k＜0，设出直线方程，求出A，B的坐标，可得到|OA|+|OB|，进而利用基本不等式求出最值．
【解答】解：设直线的斜率为k，则直线l的方程为：y﹣2＝k（x﹣4），整理可得：kx﹣y+2﹣4k＝0，
因为直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A、B两点，所以k＜0，
令x＝0，得y＝2﹣4k，所以B（0，2﹣4k），
令y＝0，得到x＝4−2k，所以A（4−2k，0），
所以|OA|+|OB|＝2﹣4k+4−2k=6+（﹣4k−2k）≥6+28=6+42，
当且仅当﹣4k=−2k时取等号，
∴|OA|+|OB|的最小值为6+42，
故选：C．
二．多选题（共6小题）
17．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a→，b→满足AB→=2a→，AC→=2a→+b→，则下列结论正确的是（　　）
A．|b→|＝1 B．|a→|＝1 C．a→∥b→ D．（4a→+b→）⊥BC→
【分析】直接利用向量的线性运算，向量垂直的充要条件，向量的模，判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：由题意，BC→=AC→−AB→=（2a→+b）﹣2a→=b→，则|b→|＝2，故A错误；
|2a→|＝2|a→|＝2，所以|a→|＝1，故B正确；
因为AB→=2a→，BC→=b→，故a→，b→不平行，故C错误；
设B，C中点为D，则AB→+AC→=2AD→，且AD→⊥BC→，
而2AD→=2a→+（2a→+b→）＝4a→+b→，
所以（4a→+b→）⊥BC→，故D正确．
故选：BD．
18．已知a→与b→均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：
P1：|a→+b→|＞1⇔θ∈[0，23π)；
P2：|a→+b→|＞1⇔θ∈(23π，π]；
P3：|a→−b→|＞1⇔θ∈[0，π3)；
P4：|a→−b→|＞1⇔θ∈(π3，π]．
其中正确的命题是（　　）
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
【分析】根据题意，由|a→+b→|＞1可得出cosθ＞−12，然后可求出θ的范围；由|a→−b→|＞1可得出cosθ＜12，然后即可求出θ的范围，这样即可得出正确的命题．
【解答】解：∵a→，b→均为单位向量，且夹角为θ，
∴由|a→+b→|＞1，得a→2+2a→⋅b→+b→2=2+2cosθ＞1，
∴cosθ＞−12，且θ∈[0，π]，∴θ∈[0，2π3)；
由|a→−b→|＞1，得a→2+b→2−2a→⋅b→=2−2cosθ＞1，
∴cosθ＜12，且θ∈[0，π]，∴θ∈(π3，π]，
∴正确的命题是P1，P4．
故选：AD．
19．下列说法中，正确的是（　　）
A．任意单位向量的模都相等．
B．若A，B是平面内的两个不同的点，则AB→=BA→
C．若向量a→∥b→，b→∥c→，则a→∥c→
D．零向量与任意向量平行
【分析】根据单位向量的模为1可判断A；根据AB→与BA→是相反向量可判断B；根据b→=0→可判断C；根据“规定0→与任意向量平行”可判断D．
【解答】解：∵单位向量的模为1，∴A对；
∵AB→与BA→是相反向量，∴B错；
若b→=0→，则a→与c→不一定共线，∴C错；
教材中规定“0→与任意向量平行”，∴D对．
故选：AD．
20．设a→，b→都是非零向量，则下列四个条件中，一定能使a→|a→|+b→|b→|=0→成立的是（　　）
A．a→=−2b→ B．a→=2b→ C．a→=b→ D．a→=−b→
【分析】根据题意可知，向量a→，b→的方向相反，然后即可得出正确的选项．
【解答】解：∵a→|a→|+b→|b→|=0→，
∴a→|a→|=−b→|b→|，
∴a→与b→的方向相反，
∴AD正确．
故选：AD．
21．下列命题不正确的是（　　）
A．单位向量都相等
B．若a→与b→是共线向量，b→与c→是共线向量，则a→与c→是共线向量
C．|a→+b→|＝|a→−b→|，则a→⊥b→
D．若a→与b→单位向量，则|a→|＝|b→|
【分析】根据相等向量和单位向量的定义即可判断命题A错误，命题D正确；b→=0→，a→，c→不共线时，命题B错误；对|a→+b→|=|a→−b→|两边平方进行数量积的运算即可得出a→⋅b→=0，然后得出命题C正确，这样即可得出正确的选项．
【解答】解：单位向量的方向可能不同，所以单位向量不能都相等，∴命题A错误；
若b→=0→，且a→，c→不共线，仍满足a→与b→是共线向量，b→与c→是共线向量，∴命题B错误；
∵|a→+b→|=|a→−b→|，∴(a→+b→)2=(a→−b→)2，∴a→⋅b→=0，∴a→⊥b→，∴命题C正确；
若a→与b→是单位向量，则|a→|=|b→|=1，∴命题D正确．
故选：AB．
22．已知非零向量a→，b→，下列说法正确的是（　　）
A．若a→=b→，则|a→|＝|b→|
B．若a→，b→为单位向量，则a→=b→
C．若|a→|＞|b→|且a→与b→同向，则a→＞b→
D．|a→+b→|≤|a→|+|b→|
【分析】利用相等向量的定义判断A，利用单位向量的定义判断B，利用向量不能比较大小判断C，利用三角形法则判断D．
【解答】解：对于A，若a→=b→，则两向量的大小相等，方向相同，故|a→|＝|b→|成立，故A对，
对于B，若a→，b→都是单位向量，两向量的方向不定，故a→=b→不成立，故B错，
对C，∵两向量不能比较大小，故C错，
对于D，根据平面向量的三角形法则，|a→+b→|≤|a→|+|b→|成立，故D对，
故选：AD．
三．填空题（共16小题）
23．平面向量ai→满足：|ai→|=1(i=0，1，2，3)，且i=13 ai→=0→．则|a0→+a1→+a2→|+|a0→+a1→+a3→|+|a0→+a2→+a3→|的取值范围为 　[23，4]　．
【分析】由题意知向量a1→，a2→，a3→对应的点A，B，C在单位圆上，且△ABC为等边三角形，且|a0→+a1→+a2→|+|a0→+a1→+a3→|+|a0→+a2→+a3→|=|a0→−a1→|+|a0→−a2→||a0→−a3→|，从而问题转化为圆上的E点到点A、B、C的距离的和，即|EA|+|EB|+|EC|，再利用不等式的性质及三角形的性质求解．
【解答】解：∵向量ai→满足：|ai→|=1(i=0，1，2，3)，且i=13 ai→=0→，
∴向量a1→，a2→，a3→对应的点A，B，C在单位圆上，且△ABC为等边三角形，
且|a0→+a1→+a2→|+|a0→+a1→+a3→|+|a0→+a2→+a3→|=|a0→−a1→|+|a0→−a2→||a0→−a3→|，
即圆上的E点到点A、B、C的距离的和，即|EA|+|EB|+|EC|，
若点E不与A、B、C重合，不妨设E在AC上，
则|EA|+|EC|＞|AC|，|EB|＞|AB|，|EA|+|EB|+|EC|＞|AC|+|AB|，
故点E在圆上运动时，|EA|+|EB|+|EC|≥|AC|+|AB|，
又∵△ABC为单位圆的内接等边三角形，∴|AC|＝|AB|=3，
∴|EA|+|EB|+|EC|≥23，
由余弦定理可得|AC|2＝|EA|2+|EC|2﹣2|EA|•|EC|cos∠AEC，且∠AEC=2π3，
即3＝|EA|2+|EC|2+|EA|•|EC|＝（|EA|+|EC|）2﹣|EA|•|EC|，
即|EA|•|EC|＝（|EA|+|EC|）2﹣3≤14（|EA|+|EC|）2，
即|EA|+|EC|≤2（当且仅当|EA|＝|EC|，即点E与点D重合时，等号成立），
又∵|EB|≤|BD|＝2，
∴|EA|+|EB|+|EC|≤4（当且仅当点E是AC、AB或BC的中点时，等号成立），
∴|a0→+a1→+a2→|+|a0→+a1→+a3→|+|a0→+a2→+a3→|的取值范围为[23，4]，
故答案为：[23，4]．

24．向量a→与b→的夹角为60°，若a→=（0，2），|b→|＝1，则|a→+2b→|＝　23　．
【分析】根据平面向量数量积的定义，求出a→•b→的值，再求向量的模长即可．
【解答】解：由题意得，|a→|＝2，|b→|＝1，向量a→与b→的夹角为60°，
∴a→•b→=2×1×cos60°＝1，
∴|a→+2b→|=a→2+4a→⋅b→+4b→2
=22+4×1+4×12
＝23．
故答案为：23．
25．已知正方形ABCD边长为1，AB→=a→，BC→=b→，AC→=c→，则|a→+b→+c→|=　22　．
【分析】由题意可得a→⋅b→=0，|a→|＝|b→|＝1，|c→|=2，c→=a→+b→，再根据|a→+b→+c→|=|2a→+2b→|，利用求向量的模的方法，计算求得结果．
【解答】解：由题意可得a→⊥b→，∴a→⋅b→=0，再根据题意可得 c→=a→+b→，
则|a→+b→+c→|=|2a→+2b→|＝2•(a→+b→)2=2a2+2a→⋅b→+b→2
＝21+0+1=22，
故答案为 22．
26．已知向量a→，b→满足|a→|=6，b→=(−2，2)，且|λa→+μb→|=0(λμ≠0)，则|λμ|的值为 　13　．
【分析】由|λa→+μb→|=0(λμ≠0)可转化为λa→+ub→=0→，从而可得|λ|•|a→|＝|u|•|b→|，从而求得．
【解答】解：∵|λa→+μb→|=0(λμ≠0)，
∴λa→+ub→=0→，
即λa→=−ub→，
即|λ|•|a→|＝|u|•|b→|，
又∵|a→|＝6，|b→|=(−2)2+22=2，
∴6•|λ|＝2•|u|，即|λ||μ|=13，
故答案为：13．
27．设向量a→，b→满足|a→|=2，a→⋅b→=32，|a→+b→|=22，则|b→|＝　1　．
【分析】根据向量的公式：|a→+b→|2=a→2+2a→⋅b→+b→2，直接代入数据进行计算即可．
【解答】解：由于|a→+b→|2=a→2+2a→⋅b→+b→2=4+3+b→2=8，
∴|b→|＝1．
故答案为：1．
28．已知夹角为π3的单位向量a→，b→，则|2a→−3b→|＝　7　．
【分析】根据条件可求出a→⋅b→=12，然后根据|2a→−3b→|=(2a→−3b→)2进行数量积的运算即可求出|2a→−3b→|的值．
【解答】解：∵|a→|=|b→|=1，＜a→，b→＞=π3，
∴a→⋅b→=12，
∴|2a→−3b→|=(2a→−3b→)2=4a→2−12a→⋅b→+9b→2=4−6+9=7．
故答案为：7．
29．已知a→、b→为两个向量，给出以下4个条件：
①|a→|＝|b→|；②a→与b→的方向相反；③|a→|＝0或|b→|＝0；④a→与b→都是单位向量．
由条件　②③　一定可以得到a→与b→平行．
【分析】根据向量的平行以及单位向量即可判断．
【解答】解：长度相等或都是单位向量不能得到a∥b→，但方向相反或其中一个为零向量可以说明a∥b→，
故答案为：②③．
30．已知a→=(−1，3)，b→=(1，t)，若(a→−2b→)⊥a→，则|a→+b→|＝　5　．
【分析】由已知列式求得t，得到a→+b→的坐标，由模的公式得答案．
【解答】解：由a→=(−1，3)，b→=(1，t)，得a→−2b→=（﹣3，3﹣2t），
若(a→−2b→)⊥a→，则﹣1×（﹣3）+3（3﹣2t）＝0，解得t＝2，
∴b→=(1，2)，则a→+b→=(0，5)，
∴|a→+b→|＝5．
故答案为：5．
31．平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝4，∠BAD＝60°，E是BC的中点，F是AE的中点，则向量DF→的模长是　7　．
【分析】可画出图形，根据条件可得出DF→=12AB→−34AD→，然后根据|DF→|=(12AB→−34AD→)2进行数量积的运算即可求出答案．
【解答】解：如图，∵ABCD是平行四边形，E是BC的中点，F是AE的中点，

∴DF→=DA→+12AE→=−AD→+12(AB→+12AD→)=12AB→−34AD→，且AB＝2，AD＝4，∠BAD＝60°，
∴|DF→|=(12AB→−34AD→)2=14AB→2+916AD→2−34AB→⋅AD→=1+9−34×2×4×12=7．
故答案为：7．
32．如图所示的每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中：
（1）有且仅有两个向量的模相等，则这两个向量分别是 　CH→，AE→　，它们的模都等于 　10　；
（2）存在着共线向量，则这些共线向量分别是 　DG→，HF→　，它们的模的和等于 　52　．

【分析】结合图像分别求出模相等的向量以及共线向量即可．
【解答】解：（1）有且仅有两个向量的模相等，则这两个向量分别是 CH→，AE→，它们的模都等于 10；
（2）存在着共线向量，则这些共线向量分别是 DG→，HF→，它们的模的和等于 52
33．若正方形ABCD的边长为1，记AB→=a→，BC→=b→，AC→=c→，则|a→+2b→−3c→|＝　5　．
【分析】可以点A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系，然后可求出a→，b→，c→的坐标，进而可得出a→+2b→−3c→的坐标，从而可求出|a→+2b→−3c→|的值．
【解答】解：以点A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：

a→=(1，0)，b→=(0，1)，c→=(1，1)，
∴a→+2b→−3c→=(−2，−1)，
∴|a→+2b→−3c→|=5．
故答案为：5．
34．已知a→=（﹣3，4），则与a→方向相同的单位向量的坐标为　(−35，45)　．
【分析】可知a→|a→|为与a→方向相同的单位向量，然后即可根据a→的坐标得出这个单位向量的坐标．
【解答】解：∵a→=(−3，4)，
∴与a→方向相同的单位向量的坐标为：a→|a→|=a→5=(−35，45)．
故答案为：(−35，45)．
35．已知向量a→=（m，2），b→=（1，﹣1），|a→−b→|＝|a→|+|b→|，则实数m＝　﹣2　．
【分析】对|a→−b→|=|a→|+|b→|两边平方进行数量积的运算即可得出a→⋅b→=−|a→||b→|，从而得出a→与b→反向，然后可设a→=λb→，从而可得出m=λ−λ=2，然后解出m即可．
【解答】解：∵|a→−b→|=|a→|+|b→|，
∴|a→−b→|2=(|a→|+|b→|)2，即a→2+b→2−2a→⋅b→=a→2+b→2+2|a→||b→|，
∴a→⋅b→=−|a→||b→|，
∴＜a→，b→＞=π，
∴a→与b→反向，设a→=λb→，λ＜0，则（m，2）＝λ（1，﹣1），
∴m=λ−λ=2，解得m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
36．已知向量a→=(2，−1)，b→=(4，m)，且a→∥b→，则|a→+2b→|=　55　．
【分析】根据a→∥b→可得出m的值，从而可得出a→+2b→的坐标表示，进一步即可计算出|a→+2b→|．
【解答】解：由a→∥b→，得2m＝（﹣1）×4，解得m＝﹣2，所以a→+2b→=（10，﹣5），
故|a→+2b→|=102+(−5)2=55．
故答案为：55．
37．已知△ABC中，AB＝1，AC＝3，cosA=14，点E在直线BC上，且满足BE→=AB→+lAC→（l∈R），则|AE→|＝　10　．
【分析】根据题意即可得出AE→=2AB→−AC→，然后根据|AE→|=(2AB→−AC→)2进行数量积的运算即可求出|AE→|的值．
【解答】解：∵BE→=AE→−AB→=AB→+lAC→，
∴AE→=2AB→+lAC→，且B，E，C三点共线，
∴2+l＝1，l＝﹣1，
∴AE→=2AB→−AC→，且AB=1，AC=3，cosA=14，
∴|AE→|=(2AB→−AC→)2=4AB→2+AC→2−4AB→⋅AC→=4+9−4×1×3×14=10．
故答案为：10．
38．若菱形ABCD的边长为2，则|AB→−CB→−DC→|＝　2　．
【分析】根据相反向量的定义和向量加法的几何意义即可求出答案．
【解答】解：∵菱形ABCD的边长为2，
∴|AB→−CB→−DC→|=|AB→+BC→+CD→|=|AD→|=2．
故答案为：2．
四．解答题（共3小题）
39．已知|a→|＝2，|b→|＝3，|a→−b→|=7．
（1）求a→与b→的夹角大小；
（2）求|a→+2b→|的值．
【分析】（1）根据向量数量积的定义进行计算即可．
（2）根据向量长度与向量数量积的关系进行转化即可．
【解答】解：（1）∵|a→−b→|=7．
∴平方得a→2﹣2a→•b→+b→2＝7
即4﹣2a→•b→+9＝7，a→•b→=3，
则cos＜a→，b→＞=a→⋅b→|a→||b→|=32×3=12，
则求a→与b→的夹角大小为π3．
（2）|a→+2b→|2=a→2+4a→•b→+4b→2＝4+12+36＝52，
则|a→+2b→|=52=213．
40．如图，在△ABC中，设AB→=a，AC→=b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P．
（Ⅰ）若AP→=λa+μb，求λ和μ的值；
（Ⅱ）以AB，AC为邻边，AP为对角线，作平行四边形ANPM，求平行四边形ANPM和三角形ABC的面积之比S平行四边形ANPMS△ABC．

【分析】（Ⅰ）已知AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P．可得AP→=AR→+AC→2，AR→=AQ→+AB→2，AQ→=12AP→，消去AR→，AQ→，即可求解；
（Ⅱ）AB，AC为邻边，AP为对角线，作平行四边形ANPM其面积和三角形ABC的面积可以用公式s=12absinC，这个公式进行求解，再根据（Ⅰ）的结论很容易进行求解；
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，设AB→=a，AC→=b，
AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P．
AP→=AR→+AC→2，AR→=AQ→+AB→2，AQ→=12AP→，消去AR→，AQ→
∵AP→=λa+μb，
可得AP→=12（AQ→+AB→2）+12AC→=14×12AP→+14AB→+12AC→，
可得AP→=27AB→+47AC→=λa→+μb→，
∴λ=27μ=47；
（Ⅱ）以AB，AC为邻边，AP为对角线，作平行四边形ANPM，
∵得AP→=27AB→+47AC→，
∴S平行四边形ANPMS平行四边形ABC=|AN|⋅|AM|⋅sin∠CAB12|AB|⋅|AC|⋅sin∠CAB=2⋅|AN||AB|⋅|AM||AC|=2×27×47=1649；

41．若向量a→，b→，3a→−2b→的起点为同一点，证明这三个向量的终点在一条直线上．
【分析】可设OA→=a→，OB→=b→，OC→=3a→−2b→，从而可得出AB→=b→−a→，AC→=2(a→−b→)，从而得出AB→，AC→共线，进而得出A，B，C三点共线．
【解答】证明：如图，设OA→=a→，OB→=b→，OC→=3a→−2b→，

∴b→−a→=AB→，(3a→−2b→)−a→=2(a→−b→)=AC→，
∴AC→=−2AB→，
∴AB→，AC→共线，有公共点A，
∴A，B，C三点共线，即这三个向量的终点在一条直线上．