人教版2022届一轮复习打地基练习 线性回归方程

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人教版2022届一轮复习打地基练习 线性回归方程
一．选择题（共9小题）
1．为了解某公司员工的年收入和年支出的关系，随机调查了5名员工，得到如下统计数据表：
收入x（万元）
8.0
8.6
10.0
11.4
12.0
支出y（万元）
4.1
5.2
6.1
6.7
7.9
根据上表可得回归本线方程ŷ=b̂x+â，其中b̂=0.65，â=y−b̂x，据此估计，该公司一名员工年收入为15万元时支出为（　　）
A．9.05万元 B．9.25万元 C．9.75万元 D．10.25万元
2．红铃虫是棉花的主要害虫之一，一只红铃虫的产卵数和温度有关．现收集了7组观测数据．用4种模型分别进行拟合．由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到如图4幅残差图，根据残差图，拟合效果最好的模型是（　　）

A．模型一 B．模型二 C．模型三 D．模型四
3．某生物实验小组设计实验，得到光照强度x与某种植物光合作用速率y的一组数据（xi，yi），经过分析提出了四种回归模型，①、②、③、④四种模型的残差平方和i=1n （yi−ŷi）2的值分别为0.48，0.99，0.15，1.23，则拟合效果最好的是（　　）
A．模型① B．模型② C．模型③ D．模型④
4．如表提供的是两个具有线性相关的数据，现求得回归方程为ŷ=0.7x+0.35，则t等于（　　）
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
A．4.5 B．3.5 C．3.15 D．3
5．某产品近四年的广告费x万元与销售额y万元的统计数据如下表：
x
40
20
30
50
y
490
260
390
540
根据此表可得回归方程ŷ=b̂x+â中的b̂=9.4，据此模型预测下一年该产品广告费预算为60万元时，其销售额为（　　）
A．650万元 B．655万元 C．677万元 D．720万元
6．已知某种产品的支出广告额x与利润额y（单位：万元）之间有如下对应数据：
x
3
4
5
6
7
y
20
30
30
40
60
则回归直线方程必过（　　）
A．（5，36） B．（5，35） C．（5，30） D．（4，30）
7．某公司为了对一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x（元）
4
5
6
7
8
9
销量V（件）
90
84
83
80
75
68
由表中数据．求得线性回归方程为ŷ=−4x+a．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为
（　　）
A．16 B．13 C．12 D．23
8．某服装品牌市场部门为了研究销售情况，统计了一段时间内该品牌不同服装的单价x（元）和销售额y（元）的数据，整理得到下面的散点图：

已知销售额y＝单价x×销量z，根据散点图，下面四个回归方程类型中最适宜作为服装销量z与单价x的回归方程类型的是（　　）
A．z＝a+bx B．z＝a+bx C．z＝a+bx2 D．z＝a+bex
9．某商场为了了解太阳镜的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如表：由表中数据算出线性回归方程ŷ=bx+a中的b＝2，气象部门预测下个月的平均气温约为20℃据此估计该商场下个月太阳镜销售量约为（　　）件．
月平均气温x（℃）
3
8
12
17
月销售量y（件）
24
34
44
54
A．46 B．50 C．54 D．59
二．填空题（共16小题）
10．中国中医科学院首席科学家、2015年诺贝尔生理学或医学奖获得者屠呦呦发现的青蒿素挽救了全球特别是发展中国家的数百万人的生命.2019年10月22日，屠呦呦获得2019年度联合国教科文组织﹣赤道几内亚国际生命科学研究奖．某科研机构为了了解某种药品的指标数据y与百分比浓度p之间的关系，随机统计了某5次实验的相关数据，并制作了如表：
百分比浓度p
6
10
14
18
22
指标数据y
62
m
44
28
14
由表中数据求得回归直线方程为ŷ=−3p+82.2，则m＝　 　．
11．已知x与y之间的一组数据：
x
0
2
4
6
y
a
3
5
3a
已求得关于y与x的线性回归方程ŷ=1.2x+0.55，则a的值为　 　．
12．2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京举行，习近平总书记庄严宣告我国脱贫攻坚战取得了全面胜利．已知在党委政府精准扶贫政策下，自2017年起某地区贫困户第x年的年人均收入y（单位：万元）的统计数据如表：
年份
2017
2018
2019
2020
年份编号x
1
2
3
4
年人均收入y
0.6
0.8
1.1
1.5
根据如表可得回归方程ŷ=b̂x+â中的b̂为0.3，据此模型预报该地区贫困户2021年的年人均收入为　 　（单位：万元）．
13．具有线性相关关系的变量x，y，满足一组数据如表所示：
X
0
1
2
3
y
﹣1
1
m
8
若y与x的回归直线方程为ŷ=3x−32，则m的值是　 　．
14．某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，这5次试验的数据如表：
零件数x（个）
10
20
30
40
50
加工时间y（min）
62
a
75
81
89
若用最小二乘法求得回归直线方程为ŷ=0.67x+54.9，则a的值为　 　．
15．2020年，全球展开了某疫苗研发竞赛，我国为处于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗，一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如表：
调查人数x
300
400
500
600
700
感染人数y
3
3
6
6
7
并求得y与x的回归方程为ŷ=0.011x+a，同期，在人数为10000的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为N；注射疫苗后仍被感染的人数记为n，则估计该疫苗的有效率为　 　．（疫苗的有效率为1−nN；参考数据：109.5﹣1≈0.009132；结果保留3位有效数字）
16．登山族为了了解某山高y（km）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：
气温x（℃）
18
13
10
﹣1
山高y（km）
24
34
38
h
由表中数据，得到线性回归方程ŷ=−2x+60，则h＝　 　．
17．若身高x（单位：m）与体重y（单位：kg）之间的回归直线方程为ŷ=85x﹣a（a∈R），样本点的中心为（1.2，30），当身高为1.7m时，预计体重为　 　kg．
18．国际青年物理学家竞赛（简称IYPT）是当今最受重视的中学生顶级国际物理赛事，某中学物理兴趣小组通过实验对其中一道竞赛题的两个物理量u、v进行测量，得到10组数据（u1，v1），（u2，v2）……（u10，v10），通过散点图发现具有较强的线性相关关系，并且利用最小二乘法求得线性回归方程：v̂=1.5u+1，由于数据保存失误导致i=110 vi丢失，但i=110 ui=50被保存，通过所学知识可以求得i=110 vi=　 　．
19．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，蟋蟀鸣叫的频率y（每分钟鸣叫的次数）与气温x（单位：℃）存在着较强的线性相关关系．某地研究人员根据当地的气温和蟋蟀鸣叫的频率得到了如下数据：
x（℃）
21
22
23
24
25
26
27
y（次数/分钟）
24
28
31
39
43
47
54
利用如表中的数据求得回归直线方程为ŷ=b̂x+â，若利用该方程知，当该地的气温为30℃时，蟋蟀每分钟鸣叫次数的预报值为68，则b̂的值为　 　．
20．已知x，y的取值如表所示：从散点图分析，y与x线性相关，且ŷ=0.85x+â，则â=　 　．
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
21．已知某产品的销售额y与广告费用x之间的关系如表：
x（单位：万元）
0
1
2
3
4
y（单位：万元）
10
15
20
30
35
若求得其线性回归方程为y^=6.5x+a，则预计当广告费用为7万元时的销售额为　 　．
22．已知变量x，y线性相关，由观测数据算得样本的平均数x=4，y=5，线性回归方程ŷ=bx+a中的系数b，a满足b+a＝4，则线性回归方程为　 　．
23．某公司对近5年的年广告支出x（单位：万元）与年利润y（单位：万元）进行了初步统计如表所示：
年广告支出x
1
2
3
4
5
年利润y
5
6
a
8
10
由上表中数据求得年广告支出x与年利润y满足线性回归方程ŷ=1.2x̂+3.6，则a的值为　 　．
24．某电子产品的成本价格由两部分组成，一是固定成本，二是可变成本，为确定该产品的成本．进行5次试验，收集到的数据如表：
产品数x个
10
20
30
40
50
产品总成本（元）
62
α
75
81
89
由最小二乘法得到回归方程y^=0.67x+54.9，则α＝　 　．
25．已知变量y与x线性相关，若x=5，y=50，且y与x的线性回归直线的斜率为6.5，则线性回归方程是　 　．
三．解答题（共6小题）
26．某同学使用某品牌暖水瓶，其内胆规格如图所示．若水瓶内胆壁厚不计，且内胆如图分为①②③④四个部分，它们分别为一个半球、一个大圆柱、一个圆台和一个小圆柱体若其中圆台部分的体积为52πcm3，且水瓶灌满水后盖上瓶塞时水溢出10π3cm3．记盖上瓶塞后，水瓶的最大盛水量为V，
（1）求V；
（2）该同学发现：该品牌暖水瓶盛不同体积的热水时，保温效果不同．为了研究保温效果最好时暖水瓶的盛水体积，做以下实验：把盛有最大盛水量V的水的暖水瓶倒出不同体积的水，并记录水瓶内不同体积水在不同时刻的水温，发现水温y（单位：℃）与时刻t满足线性回归方程y＝ct+d，通过计算得到如表：
倒出体积xcm3
0
30
60
90
120
拟合结果
y＝c1t+d
y＝c2t+d
y＝c3t+d
y＝c4t+d
y＝c5t+d
倒出体积xcm3
150
180
210
…
450
拟合结果
y＝c6t+d
y＝c7t+d
y＝c8t+d
…
y＝c16t+d
注：表中倒出体积x（单位：cm3）是指从最大盛水量中倒出的那部分水的体积．其中：
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
﹣1.4
﹣1.3
﹣1.2
﹣1
﹣1.1
﹣0.9
﹣0.8
令w＝|c|，|wi＝ci|，xi＝30（i﹣1），i＝1，2，…，16．对于数据（xi，wi）（i＝1，2，…，7），可求得回归直线为L1：w＝βx+α，对于数据（xi，wi）（i＝8，9，…，16），可求得回归直线为L2：w＝0.0009x+0.7．
（i）指出|c|的实际意义，并求出回归直线L1的方程（参考数据：92800≈0.0032；）
（ⅱ）若L1与L2的交点横坐标即为最佳倒出体积，请问保温瓶约盛多少体积水时（盛水体积保留整数，且π取3.14）保温效果最佳？
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v＝βu+α中的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=i=1n (ui−u)(vi−v)i=1n (ui−u)2，α̂=v−β̂•u．

27．随着我国经济的发展，人民的生活质量日益提高，对商品的需求也日益增多，商家销售商品，既满足顾客需要，又为商家创造效益，这是一种相互依存的合作关系．为较好地达到这个目的，商家需要运用数学模型分析商品销售的规律并确定最优的销售价格．某商店以每件2元的价格购进一种小商品，经过一段时间的试销后，得到如表的统计数据：
售价x（元）
3
4
5
6
7
日销量y（件）
69
57
54
40
30
（1）试判断变量x，y是否具有线性相关关系．若有，则求y关于x的回归直线方程；
（2）试问商家将售价（整数）定为多少元时，可使其获得最大日利润？
参考公式：相关系数r=i=1n (xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)2i=1n (yi−y)2，对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n），其回归直线ŷ=b̂x+â 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b̂=i=1n (xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)2，â=y−b̂x．
参考数据：2315≈48.1144．
28．连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额利润资料如表：
商品名称
A
B
C
D
E
销售额x/千万元
3
5
6
7
9
利润额y/百万元
2
3
3
4
5
（1）画出销售额和利润额的散点图
（2）若销售额和利润额具有相关关系，试计算利润额y对销售额x的回归直线方程．
（3）估计要达到1000万元的利润额，销售额约为多少万元．
（参考公式：b̂=i=1n (xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)2=i=1n xiyi−nxyi=1n xi2−nx2，â=y−b̂x）
29．某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）．
x
y
w
i=110 (xi−x)2
i=110 (wi−w)2
i=110 (xi−x)(yi−y)
i=110 (wi−w)(yi−y)
1.47
20.6
0.78
2.35
0.81
﹣19.3
16.2
表中wi=1xi2，w=110i=110 wi．
（1）根据散点图判断，y＝a+bx与y=c+dx2哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（u3，v3），…，（un，vn），其回归直线v̂=α̂+β̂u的斜率和截距的最小二乘估计分别为β̂=i=1n (vi−v)(ui−u)i=1n (ui−u)2，α̂=v−β̂u．

30．2020年是全面建成小康社会目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战收官之年．某乡镇在2014年通过精准识别确定建档立卡的贫困户共有500户，结合当地实际情况采取多项精准扶贫措施，每年新脱贫户数如表：
年份
2015
2016
2017
2018
2019
年份代码x
1
2
3
4
5
脱贫户数y
55
68
80
92
100
（1）根据2015﹣2019年的数据，求出y关于x的线性回归方程y=b̂x+â，并预测到2020年底该乡镇500户贫困户是否能全部脱贫；
（2）2019年的新脱贫户中有20户五保户，20户低保户，60户扶贫户．该乡镇某干部打算按照分层抽样的方法对2019年新脱贫户中的5户进行回访，了解生产生活、帮扶工作开展情况．为防止这些脱贫户再度返贫，随机抽取这5户中的2户进行每月跟踪帮扶，求抽取的2户不都是扶贫户的概率．
参考公式：b̂=i=1n xiyi−nxyi=1n xi2−nx2=i=1n (xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)2，â=y−b̂x．
31．某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率＝利润÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）试估计平均收益率；
（Ⅱ）根据经验，若每份保单的保费在20元的基础上每增加x元，对应的销量y（万份）与x（元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下5组x与y的对应数据：
x（元）
25
30
38
45
52
销售y（万册）
7.5
7.1
6.0
5.6
4.8
据此计算出的回归方程为ŷ=10.0−bx．
（i）求参数b的估计值；
（ii）若把回归方程ŷ=10.0−bx当作y与x的线性关系，用（Ⅰ）中求出的平均收益率估计此产品的收益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益，并求出该最大收益．


人教版2022届一轮复习打地基练习 线性回归方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．为了解某公司员工的年收入和年支出的关系，随机调查了5名员工，得到如下统计数据表：
收入x（万元）
8.0
8.6
10.0
11.4
12.0
支出y（万元）
4.1
5.2
6.1
6.7
7.9
根据上表可得回归本线方程ŷ=b̂x+â，其中b̂=0.65，â=y−b̂x，据此估计，该公司一名员工年收入为15万元时支出为（　　）
A．9.05万元 B．9.25万元 C．9.75万元 D．10.25万元
【分析】由题意可得x和y，可得回归方程，把x＝15代入方程求得y值即可
【解答】解：x=8+8.6+10+11.4+125=10，y=4.1+5.2+6.1+6.7+7.95=6
代入â=y−b̂x，得â=−0.5，
得回归本线方程：ŷ=0.65x−0.5
取x＝15，得ŷ=9.25
故选：B．
2．红铃虫是棉花的主要害虫之一，一只红铃虫的产卵数和温度有关．现收集了7组观测数据．用4种模型分别进行拟合．由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到如图4幅残差图，根据残差图，拟合效果最好的模型是（　　）

A．模型一 B．模型二 C．模型三 D．模型四
【分析】由残差点对应的带状区域判断即可．
【解答】解：当残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，
这样的带状区域的宽度越窄，说明拟合精度越好，拟合效果越好，
对比4个残差图，可知模型四的图对应的带状区域的宽度越窄．
故选：D．
3．某生物实验小组设计实验，得到光照强度x与某种植物光合作用速率y的一组数据（xi，yi），经过分析提出了四种回归模型，①、②、③、④四种模型的残差平方和i=1n （yi−ŷi）2的值分别为0.48，0.99，0.15，1.23，则拟合效果最好的是（　　）
A．模型① B．模型② C．模型③ D．模型④
【分析】由“残差平方和越小，模型的拟合效果越好“，可得解．
【解答】解：残差平方和越小，表示该模型的拟合效果越好，比较四种模型的残差平方和，可知模型③的最小，所以其拟合效果最好．
故选：C．
4．如表提供的是两个具有线性相关的数据，现求得回归方程为ŷ=0.7x+0.35，则t等于（　　）
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
A．4.5 B．3.5 C．3.15 D．3
【分析】计算x代入回归方程求出y，根据平均数公式列方程解出t．
【解答】解：x=3+4+5+64=4.5，
∴y=0.7×4.5+0.35＝3.5，
∴2.5+t+4+4.54=3.5，
解得t＝3．
故选：D．
5．某产品近四年的广告费x万元与销售额y万元的统计数据如下表：
x
40
20
30
50
y
490
260
390
540
根据此表可得回归方程ŷ=b̂x+â中的b̂=9.4，据此模型预测下一年该产品广告费预算为60万元时，其销售额为（　　）
A．650万元 B．655万元 C．677万元 D．720万元
【分析】由图表求出样本中心点的坐标，代入回归直线方程求得â，可得回归直线方程，取x＝60得答案．
【解答】解：由图表可得，x=40+20+30+504=35，y=490+260+390+5404=420．
∵b̂=9.4，∴â=420﹣9.4×35＝91，
则ŷ=9.4x+91，
取x＝60，可得ŷ=9.4×60+91＝655（万元）．
故选：B．
6．已知某种产品的支出广告额x与利润额y（单位：万元）之间有如下对应数据：
x
3
4
5
6
7
y
20
30
30
40
60
则回归直线方程必过（　　）
A．（5，36） B．（5，35） C．（5，30） D．（4，30）
【分析】求出样本中心坐标即可．
【解答】解：由题意可知回归直线方程必过样本中心坐标（3+4+5+6+75，20+30+30+40+605），即（5，36）．
故选：A．
7．某公司为了对一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x（元）
4
5
6
7
8
9
销量V（件）
90
84
83
80
75
68
由表中数据．求得线性回归方程为ŷ=−4x+a．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为
（　　）
A．16 B．13 C．12 D．23
【分析】根据已知中数据点坐标，我们易求出这些数据的数据中心点坐标，进而求出回归直线方程，判断各个数据点与回归直线的位置关系后，求出所有基本事件的个数及满足条件在回归直线右上方的基本事件个数，代入古典概率公式，即可得到答案．
【解答】解：x=16（4+5+6+7+8+9）=132，y=16（90+84+83+80+75+68）＝80
∵ŷ=−4x+a，
∴a＝106，
∴回归直线方程ŷ=−4x+106；
数据（4，90），（5，84），（6，83），（7，80），（8，75），（9，68）．
6个点中有3个点在直线右上方，即（6，83），（7，80），（8，75）．
其这些样本点中任取1点，共有6种不同的取法，
故这点恰好在回归直线右上方的概率P=36=12．
故选：C．
8．某服装品牌市场部门为了研究销售情况，统计了一段时间内该品牌不同服装的单价x（元）和销售额y（元）的数据，整理得到下面的散点图：

已知销售额y＝单价x×销量z，根据散点图，下面四个回归方程类型中最适宜作为服装销量z与单价x的回归方程类型的是（　　）
A．z＝a+bx B．z＝a+bx C．z＝a+bx2 D．z＝a+bex
【分析】结合散点图可设y＝m+nx，再代入z=yx中，即可得解．
【解答】解：由散点图知，销售额y与单价x呈线性关系，不妨设y＝m+nx，
所以z=yx=m+nxx=mx+n，与选项B中的回归方程类型一致．
故选：B．
9．某商场为了了解太阳镜的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如表：由表中数据算出线性回归方程ŷ=bx+a中的b＝2，气象部门预测下个月的平均气温约为20℃据此估计该商场下个月太阳镜销售量约为（　　）件．
月平均气温x（℃）
3
8
12
17
月销售量y（件）
24
34
44
54
A．46 B．50 C．54 D．59
【分析】利用样本中心求出a，得到回归直线方程，然后求解气温约为20℃太阳镜销售量．
【解答】解：x=3+8+12+174=10，
y=24+34+44+544=39．
回归直线方程经过样本中心，所以39＝2×10+a，解得a＝19．
回归直线方程为：ŷ=2x+19，
下个月的平均气温约为20℃据此估计该商场下个月太阳镜销售量为：2×20+19＝59．
故选：D．
二．填空题（共16小题）
10．中国中医科学院首席科学家、2015年诺贝尔生理学或医学奖获得者屠呦呦发现的青蒿素挽救了全球特别是发展中国家的数百万人的生命.2019年10月22日，屠呦呦获得2019年度联合国教科文组织﹣赤道几内亚国际生命科学研究奖．某科研机构为了了解某种药品的指标数据y与百分比浓度p之间的关系，随机统计了某5次实验的相关数据，并制作了如表：
百分比浓度p
6
10
14
18
22
指标数据y
62
m
44
28
14
由表中数据求得回归直线方程为ŷ=−3p+82.2，则m＝　53　．
【分析】求出样本中心，代入回归直线方程，求解即可．
【解答】解：由题意p=22+18+14+10+65=14，
y=14+28+44+m+625=148+m5，所以样本中心为（14，148+m5），
因为回归直线经过样本中心，所以148+m5=−3×14+82.2，解得m＝53．
故答案为：53．
11．已知x与y之间的一组数据：
x
0
2
4
6
y
a
3
5
3a
已求得关于y与x的线性回归方程ŷ=1.2x+0.55，则a的值为　2.15　．
【分析】首先求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出a的值．
【解答】解：x=3，y=a+2，
将（3，a+2）带入方程得：
a+2＝3.6+0.55，解得：a＝2.15，
故答案为：2.15．
12．2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京举行，习近平总书记庄严宣告我国脱贫攻坚战取得了全面胜利．已知在党委政府精准扶贫政策下，自2017年起某地区贫困户第x年的年人均收入y（单位：万元）的统计数据如表：
年份
2017
2018
2019
2020
年份编号x
1
2
3
4
年人均收入y
0.6
0.8
1.1
1.5
根据如表可得回归方程ŷ=b̂x+â中的b̂为0.3，据此模型预报该地区贫困户2021年的年人均收入为　1.75　（单位：万元）．
【分析】由已知求得样本中心点的坐标，代入线性回归方程求得â，在线性回归方程中，取x＝5求得ŷ得答案．
【解答】解：x=1+2+3+44=2.5，y=0.6+0.8+1.1+1.54=1，
样本中心点的坐标为（2.5，1），代入ŷ=0.3x+â中，
可得â=1−0.3×2.5=0.25，
则ŷ=0.3x+0.25，把x＝5代入，可得ŷ=0.3×5+0.25=1.75（万元）．
故答案为：1.75．
13．具有线性相关关系的变量x，y，满足一组数据如表所示：
X
0
1
2
3
y
﹣1
1
m
8
若y与x的回归直线方程为ŷ=3x−32，则m的值是　4　．
【分析】利用平均数公式计算预报中心点的坐标，根据回归直线必过样本的中心点可得答案．
【解答】解：由题意，x=1.5，y=8+m4，
∴样本中心点是坐标为（1.5，8+m4），
∵回归直线必过样本中心点，y与x的回归直线方程为ŷ=3x−32，
∴8+m4=3×1.5﹣1.5，
∴m＝4
故答案为：4．
14．某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，这5次试验的数据如表：
零件数x（个）
10
20
30
40
50
加工时间y（min）
62
a
75
81
89
若用最小二乘法求得回归直线方程为ŷ=0.67x+54.9，则a的值为　68　．
【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，即可求解a．
【解答】解：由题意可知：x=10+20+30+40+505=30，
y=62+a+75+81+895=307+a5，
回归直线方程为ŷ=0.67x+54.9经过样本中心，所以307+a5=0.67×30+54.9，解得a＝68．
故答案为：68．
15．2020年，全球展开了某疫苗研发竞赛，我国为处于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗，一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如表：
调查人数x
300
400
500
600
700
感染人数y
3
3
6
6
7
并求得y与x的回归方程为ŷ=0.011x+a，同期，在人数为10000的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为N；注射疫苗后仍被感染的人数记为n，则估计该疫苗的有效率为　0.817　．（疫苗的有效率为1−nN；参考数据：109.5﹣1≈0.009132；结果保留3位有效数字）
【分析】由已知求得x与y，进一步求得â，可得线性规划方程，求得N值，再由题意得到n，然后利用公式求该疫苗的有效率．
【解答】解：x=15（300+400+500+600+700）＝500，
y=15（3+3+6+6+7）＝5，
则â=5−0.011×500=−0.5，
则y关于x的线性回归方程为ŷ=0.011x−0.5，
当x＝10000时，ŷ=0.011×10000−0.5=109.5，
故N＝109.5，
由题意可得，n＝20，
则该疫苗的有效率为1−nN=1−20109.5=89.5109.5=89.5×109．5−1=0.817314≈0.817．
故答案为：0.817．
16．登山族为了了解某山高y（km）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：
气温x（℃）
18
13
10
﹣1
山高y（km）
24
34
38
h
由表中数据，得到线性回归方程ŷ=−2x+60，则h＝　64　．
【分析】求出样本中心，代入回归直线方程，求解即可．
【解答】解：由题意可得x=18+13+10−14=10，
y=24+34+38+ℎ4=24+ℎ4，
因为回归直线经过样本中心，所以：24+ℎ4=−2×10+60，
解得h＝64．
故答案为：64．
17．若身高x（单位：m）与体重y（单位：kg）之间的回归直线方程为ŷ=85x﹣a（a∈R），样本点的中心为（1.2，30），当身高为1.7m时，预计体重为　72.5　kg．
【分析】把样本点的中心坐标代入线性回归方程求得a，得到回归方程，取x＝1.7求得y值即可．
【解答】解：由ŷ=85x﹣a，且样本点的中心为（1.2，30），
得30＝85×1.2﹣a，则a＝72．
∴回归直线方程为ŷ=85x﹣72，
取x＝1.7，得ŷ=85×1.7−72=72.5kg．
故答案为：72.5．
18．国际青年物理学家竞赛（简称IYPT）是当今最受重视的中学生顶级国际物理赛事，某中学物理兴趣小组通过实验对其中一道竞赛题的两个物理量u、v进行测量，得到10组数据（u1，v1），（u2，v2）……（u10，v10），通过散点图发现具有较强的线性相关关系，并且利用最小二乘法求得线性回归方程：v̂=1.5u+1，由于数据保存失误导致i=110 vi丢失，但i=110 ui=50被保存，通过所学知识可以求得i=110 vi=　85　．
【分析】由已知求得u，代入线性回归方程可得v，乘以10得i=110 vi．
【解答】解：由i=110 ui=50，得u=110i=110 ui=50=5，
再由线性回归方程恒过样本点的中心可得，v=1.5×u+1=1.5×5+1=8.5，
∴i=110 vi=10v=10×8.5＝85．
故答案为：85．
19．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，蟋蟀鸣叫的频率y（每分钟鸣叫的次数）与气温x（单位：℃）存在着较强的线性相关关系．某地研究人员根据当地的气温和蟋蟀鸣叫的频率得到了如下数据：
x（℃）
21
22
23
24
25
26
27
y（次数/分钟）
24
28
31
39
43
47
54
利用如表中的数据求得回归直线方程为ŷ=b̂x+â，若利用该方程知，当该地的气温为30℃时，蟋蟀每分钟鸣叫次数的预报值为68，则b̂的值为　5　．
【分析】先求得样本中心点为（x，y），再把样本中心点和（30，68）均代入线性回归方程，解方程组即可．
【解答】解：x=17×（21+22+23+24+25+26+27）＝24，y=17×（24+28+31+39+43+47+54）＝38，
∴样本中心点为（24，38），
∴38=b̂×24+â①，
∵当该地的气温为30℃时，蟋蟀每分钟鸣叫次数的预报值为68，
∴68=b̂×30+â②，
由①②解得，b̂=5．
故答案为：5．
20．已知x，y的取值如表所示：从散点图分析，y与x线性相关，且ŷ=0.85x+â，则â=　2.8　．
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
【分析】由已知表格中的数据求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求得â．
【解答】解：x=0+1+3+44=2，y=2.2+4.3+4.8+6.74=4.5，
∴样本点的中心的坐标为（2，4.5），
代入ŷ=0.85x+â，得4.5＝0.85×2+â，
解得â=2.8．
故答案为：2.8．
21．已知某产品的销售额y与广告费用x之间的关系如表：
x（单位：万元）
0
1
2
3
4
y（单位：万元）
10
15
20
30
35
若求得其线性回归方程为y^=6.5x+a，则预计当广告费用为7万元时的销售额为　54.5　．
【分析】由已知求得样本点的中心坐标，代入线性回归方程即可求得a值，可得线性回归方程，取x＝7求得y值即可．
【解答】解：∵x=0+1+2+3+45=2，y=10+15+20+30+355=22，
∴a＝22﹣6.5×2＝9．
∴线性回归方程为ŷ=6.5x+9，
取x＝7，得y＝54.5．
故答案为：54.5．
22．已知变量x，y线性相关，由观测数据算得样本的平均数x=4，y=5，线性回归方程ŷ=bx+a中的系数b，a满足b+a＝4，则线性回归方程为　ŷ=13x+113　．
【分析】根据回归直线方程过样本中心点，结合题意得出关于a、b的方程组，求解即可．
【解答】解：线性回归方程ŷ=bx+a过样本中心点（4，5），
所以4b+a＝5；
又a+b＝4，
解方程组4b+a=5a+b=4，
得b=13，a=113，
所以线性回归方程为：ŷ=13x+113．
故答案为：ŷ=13x+113．
23．某公司对近5年的年广告支出x（单位：万元）与年利润y（单位：万元）进行了初步统计如表所示：
年广告支出x
1
2
3
4
5
年利润y
5
6
a
8
10
由上表中数据求得年广告支出x与年利润y满足线性回归方程ŷ=1.2x̂+3.6，则a的值为　7　．
【分析】求出样本中心坐标代入回归直线方程求解a即可．
【解答】解：x=1+2+3+4+55=3，
y=5+6+a+8+105=29+a5，
线性回归方程ŷ=1.2x̂+3.6经过样本中心，所以29+a5=1.2×3+3.6，
解得a＝7．
故答案为：7．
24．某电子产品的成本价格由两部分组成，一是固定成本，二是可变成本，为确定该产品的成本．进行5次试验，收集到的数据如表：
产品数x个
10
20
30
40
50
产品总成本（元）
62
α
75
81
89
由最小二乘法得到回归方程y^=0.67x+54.9，则α＝　68　．
【分析】分别求出x，y，代入回归方程求出a的值即可．
【解答】解：∵x=15（10+20+30+40+50）＝30，y=15（307+a），
∴15（307+a）＝0.67×30+54.9，
解得：a＝68，
故答案为：68．
25．已知变量y与x线性相关，若x=5，y=50，且y与x的线性回归直线的斜率为6.5，则线性回归方程是　ŷ=6.5x+17.5　．
【分析】设线性回归方程为ŷ=b̂x+â，把已知数据代入求得â，则线性回归方程可求．
【解答】解：设线性回归方程为ŷ=b̂x+â，
∵x=5，y=50，y与x的线性回归直线的斜率为6.5，
∴â=50−6.5×5=17.5．
∴y关于x的线性回归方程为ŷ=6.5x+17.5．
故答案为：ŷ=6.5x+17.5．
三．解答题（共6小题）
26．某同学使用某品牌暖水瓶，其内胆规格如图所示．若水瓶内胆壁厚不计，且内胆如图分为①②③④四个部分，它们分别为一个半球、一个大圆柱、一个圆台和一个小圆柱体若其中圆台部分的体积为52πcm3，且水瓶灌满水后盖上瓶塞时水溢出10π3cm3．记盖上瓶塞后，水瓶的最大盛水量为V，
（1）求V；
（2）该同学发现：该品牌暖水瓶盛不同体积的热水时，保温效果不同．为了研究保温效果最好时暖水瓶的盛水体积，做以下实验：把盛有最大盛水量V的水的暖水瓶倒出不同体积的水，并记录水瓶内不同体积水在不同时刻的水温，发现水温y（单位：℃）与时刻t满足线性回归方程y＝ct+d，通过计算得到如表：
倒出体积xcm3
0
30
60
90
120
拟合结果
y＝c1t+d
y＝c2t+d
y＝c3t+d
y＝c4t+d
y＝c5t+d
倒出体积xcm3
150
180
210
…
450
拟合结果
y＝c6t+d
y＝c7t+d
y＝c8t+d
…
y＝c16t+d
注：表中倒出体积x（单位：cm3）是指从最大盛水量中倒出的那部分水的体积．其中：
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
﹣1.4
﹣1.3
﹣1.2
﹣1
﹣1.1
﹣0.9
﹣0.8
令w＝|c|，|wi＝ci|，xi＝30（i﹣1），i＝1，2，…，16．对于数据（xi，wi）（i＝1，2，…，7），可求得回归直线为L1：w＝βx+α，对于数据（xi，wi）（i＝8，9，…，16），可求得回归直线为L2：w＝0.0009x+0.7．
（i）指出|c|的实际意义，并求出回归直线L1的方程（参考数据：92800≈0.0032；）
（ⅱ）若L1与L2的交点横坐标即为最佳倒出体积，请问保温瓶约盛多少体积水时（盛水体积保留整数，且π取3.14）保温效果最佳？
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v＝βu+α中的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=i=1n (ui−u)(vi−v)i=1n (ui−u)2，α̂=v−β̂•u．

【分析】（1）半球的半径为r＝5cm，体积为V1=12×43×125π=2503πcm3，大圆柱体积V2＝25π×20＝500πcm2，小圆柱体积V3＝4π×2＝8πcm3，由此能求出盖上瓶塞后，水瓶的最大盛水量．
（2）（i）|c|的实际意义为倒出xcm3体积水时，暖水瓶内水的降温速率|c|越小，降温速率越小，保温效果越好，|c|越大，降温速率越大，保温效果越差，由此能求出回归直线L1的方程．
（ii）联立ω=−0.0032x+1.388ω=0.0009x+0.7，得x≈167.8，从而保温瓶最佳倒出体积约为167.8cm3．由此能求出保温瓶盛水体积约为1841.8cm3时保温效果最佳．
【解答】解：（1）依题意得，半球的半径为r＝5cm，
体积为V1=12×43×125π=2503πcm3，
大圆柱体积V2＝25π×20＝500πcm2，
小圆柱体积V3＝4π×2＝8πcm3，
∴盖上瓶塞后，水瓶的最大盛水量为2503π+500π+8π+52π−103π=640πcm3．
（2）（i）|c|的实际意义为倒出xcm3体积水时，暖水瓶内水的降温速率|c|越小，
降温速率越小，保温效果越好，
|c|越大，降温速率越大，保温效果越差，
∵xi＝30（i﹣1），i＝1，2，…，7，对于回归直线L1：ω＝βx+α，
∵x=x1+x2+⋯+x77=90，ω=ω1+ω2+⋯+ω77=1.1，
i=17 (xi−x)(ωi−ω)=−81，i=17 (xi−x)=25200，
∴β̂=i=1n (xi−x)(ωi−ω)i=1n (xi−x)2=−8125200≈−0.0032，
α̂=ω−β̂⋅x=1.1+0.0032×90＝1.388．
∴回归直线L1的方程为ω＝﹣0.0032x+1.388．
（ii）联立ω=−0.0032x+1.388ω=0.0009x+0.7，得x≈167.8，
∴保温瓶最佳倒出体积约为167.8cm3．
保温瓶盛水体积约为640π﹣167.8≈640×3.14﹣167.8＝1841.8cm3，
∴保温瓶盛水体积约为1841.8cm3时保温效果最佳．
27．随着我国经济的发展，人民的生活质量日益提高，对商品的需求也日益增多，商家销售商品，既满足顾客需要，又为商家创造效益，这是一种相互依存的合作关系．为较好地达到这个目的，商家需要运用数学模型分析商品销售的规律并确定最优的销售价格．某商店以每件2元的价格购进一种小商品，经过一段时间的试销后，得到如表的统计数据：
售价x（元）
3
4
5
6
7
日销量y（件）
69
57
54
40
30
（1）试判断变量x，y是否具有线性相关关系．若有，则求y关于x的回归直线方程；
（2）试问商家将售价（整数）定为多少元时，可使其获得最大日利润？
参考公式：相关系数r=i=1n (xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)2i=1n (yi−y)2，对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n），其回归直线ŷ=b̂x+â 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b̂=i=1n (xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)2，â=y−b̂x．
参考数据：2315≈48.1144．
【分析】（1）结合表中数据和相关系数的参考公式，求出r，并比较|r|与1的接近程度，即可判断x，y的线性相关关系；再由b̂和â的参考公式求出回归系数，即可得回归方程；
（2）设商家的日利润为z元，可将z表示成关于x的二次函数，再由二次函数的对称轴，得解．
【解答】解：（1）由表知，x=15×（3+4+5+6+7）＝5，y=15×（69+57+54+40+30）＝50，
i=15 (xi−x)(yi−y)=（﹣2）×19+（﹣1）×7+0×4+1×（﹣10）+2×（﹣20）＝﹣95，
i=15 (xi−x)2=（﹣2）2+（﹣1）2+02+12+22＝10，
i=15 (yi−y)2=192+72+42+（﹣10）2+（﹣20）2＝926，
所以r=i=15 (xi−x)(yi−y)i=15 (xi−x)2i=15 (yi−y)2=−9510×926=−9522315≈−0.9872，
由于|r|接近于1，
故x，y具有很好的线性相关关系，
因为b̂=i=15 (xi−x)(yi−y)i=15 (xi−x)2=−9.5，
所以â=y−b̂x=50+9.5×5＝97.5，
所以y关于x的回归直线方程为ŷ=97.5﹣9.5x．
（2）设商家的日利润为z元，则
z=ŷ•（x﹣2）＝（97.5﹣9.5x）（x﹣2）＝﹣9.5x2+116.5x﹣195，
该二次函数的对称轴方程为x=116.519∈（6，6.5），
所以当售价为每件6元时，商家可获得最大利润．
28．连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额利润资料如表：
商品名称
A
B
C
D
E
销售额x/千万元
3
5
6
7
9
利润额y/百万元
2
3
3
4
5
（1）画出销售额和利润额的散点图
（2）若销售额和利润额具有相关关系，试计算利润额y对销售额x的回归直线方程．
（3）估计要达到1000万元的利润额，销售额约为多少万元．
（参考公式：b̂=i=1n (xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)2=i=1n xiyi−nxyi=1n xi2−nx2，â=y−b̂x）
【分析】（1）根据表中所给的数对，在平面直角坐标系中画出散点图即可；
（2）求出对应的数值x、y以及nxy、i=15 xiyi、i=15 xi2和nx2，代入公式即可求出回归直线方程的系数与方程；
（3）根据题意，令ŷ=10，求出x的值即可．
【解答】解：（1）根据表中所给的五对数对，在平面直角坐标系中画出散点图，
如图所示；
（2）∵x=3+5+6+7+95=6，y=2+3+3+4+55，
∴nxy=5×6×175=102，
i=15 xiyi＝3×2+5×3+6×3+7×4+9×5＝112，
i=15 xi2=32+52+62+72+92＝200，
nx2=5×62＝180，
b̂=112−102200−180=12=0.5，
â=y−b̂x=175−0.5×6=25=0.4，
∴利润额y对销售额x的回归直线方程是ŷ=0.5x+0.4
（3）根据题意，令ŷ=0.5x+0.4＝10，
解得x＝19.2（千万元），
∴销售额约为19.2千万元．

29．某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）．
x
y
w
i=110 (xi−x)2
i=110 (wi−w)2
i=110 (xi−x)(yi−y)
i=110 (wi−w)(yi−y)
1.47
20.6
0.78
2.35
0.81
﹣19.3
16.2
表中wi=1xi2，w=110i=110 wi．
（1）根据散点图判断，y＝a+bx与y=c+dx2哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（u3，v3），…，（un，vn），其回归直线v̂=α̂+β̂u的斜率和截距的最小二乘估计分别为β̂=i=1n (vi−v)(ui−u)i=1n (ui−u)2，α̂=v−β̂u．

【分析】（1）根据散点图是否按直线型分布作答；
（2）根据回归系数公式得出y关于ω的线性回归方程，再得出y关于x的回归方程；
（3）利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件．
【解答】解：（1）y=c+dx2更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型．…（1分）
（2）由公式可得：d̂=i=110 (wi−w)(yi−y)i=110 (wi−w)2=16.20.81=20，…（3分）
ĉ=y−d̂w=20.6−20×0.78=5，…（5分）
所以所求回归方程为y=5+20x2．…（6分）
（3）设t＝kx，则煤气用量S=yt=kx(5+20x2)=5kx+20kx≥25kx⋅20kx=20k，…（9分）
当且仅当5kx=20kx时取“＝”，即x＝2时，煤气用量最小．…（11分）
答：x为2时，烧开一壶水最省煤气． …（12分）
30．2020年是全面建成小康社会目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战收官之年．某乡镇在2014年通过精准识别确定建档立卡的贫困户共有500户，结合当地实际情况采取多项精准扶贫措施，每年新脱贫户数如表：
年份
2015
2016
2017
2018
2019
年份代码x
1
2
3
4
5
脱贫户数y
55
68
80
92
100
（1）根据2015﹣2019年的数据，求出y关于x的线性回归方程y=b̂x+â，并预测到2020年底该乡镇500户贫困户是否能全部脱贫；
（2）2019年的新脱贫户中有20户五保户，20户低保户，60户扶贫户．该乡镇某干部打算按照分层抽样的方法对2019年新脱贫户中的5户进行回访，了解生产生活、帮扶工作开展情况．为防止这些脱贫户再度返贫，随机抽取这5户中的2户进行每月跟踪帮扶，求抽取的2户不都是扶贫户的概率．
参考公式：b̂=i=1n xiyi−nxyi=1n xi2−nx2=i=1n (xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)2，â=y−b̂x．
【分析】（1）由已知求得b̂与â的值，可得y关于x的线性回归方程，取x＝6求得y值，即可得到2020年一年内该乡镇脱贫的贫困户，再求出6年内脱贫的总户数，即可得到2020年底该乡镇500户贫困户是否能全部脱贫；
（2）按分层抽样抽取的5户贫困户中，有1户五保户a，1户低保户b，3户扶贫户c，d，e，利用枚举法得到从这5户中任选2户的情况总数，得到2户不都是扶贫户的户数，再由古典概型概率计算公式及互斥事件的概率求解．
【解答】解：（1）i=15 xiyi=1×55+2×68+3×80+4×92+5×100=1299，
x=3，y=55+68+80+92+1005=3955=79，
i=15 xi2=1+4+9+16+25=55．
b̂=1299−5×3×7955−5×32=11410=11.4，â=y−b̂x=79−11.4×3=44.8．
∴y关于x的线性回归方程为ŷ=11.4x+44.8．
当x＝6时，ŷ=11.4×6+44.8=113.2．
即预测2020年一年内该乡镇有113户贫困户脱贫．
∴预测6年内该乡镇脱贫总户数有55+68+80+92+100+113＝508＞500．
即预测到2020年底该乡镇500户贫困户能全部脱贫；
（2）由题意可得：按分层抽样抽取的5户贫困户中．
有1户五保户a，1户低保户b，3户扶贫户c，d，e．
从这5户中任选2户，共有10种情况：
（ab），（ac），（ad），（ae），（bc），（bd），（be），（cd），（ce），（de），
记2户不都是扶贫户为事件A，则事件A共有3种情况：（cd），（ce），（de）．
∴P（A）=310，则P（A）＝1−310=710．
故抽取的2户不都是扶贫户的概率为710．
31．某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率＝利润÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）试估计平均收益率；
（Ⅱ）根据经验，若每份保单的保费在20元的基础上每增加x元，对应的销量y（万份）与x（元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下5组x与y的对应数据：
x（元）
25
30
38
45
52
销售y（万册）
7.5
7.1
6.0
5.6
4.8
据此计算出的回归方程为ŷ=10.0−bx．
（i）求参数b的估计值；
（ii）若把回归方程ŷ=10.0−bx当作y与x的线性关系，用（Ⅰ）中求出的平均收益率估计此产品的收益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益，并求出该最大收益．

【分析】（Ⅰ）求出区间中值，取值概率，即可估计平均收益率；
（Ⅱ）（i）利用公式，求参数b的估计值；
（ii）设每份保单的保费为20+x元，则销量为y＝10﹣0.1x，则保费收入为f（x）＝（20+x）（10﹣0.1x）万元，f（x）＝200+8x﹣0.1x2＝360﹣0.1（x﹣40）2，即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）区间中值依次为：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55，
取值概率依次为：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，
平均收益率为0.05×0.10+0.15×0.20+0.25×0.25+0.35×0.30+0.45×0.10+0.55×0.05
=1104（50+300+625+1050+450+275）＝0.275．
（Ⅱ）（i）x=25+30+38+45+525=1905=38，y=7.5+7.1+6.0+5.6+4.85=315=6.2
所以b=10.0−6.238=0.10
（ii）设每份保单的保费为20+x元，则销量为y＝10﹣0.1x，
则保费收入为f（x）＝（20+x）（10﹣0.1x）万元，f（x）＝200+8x﹣0.1x2＝360﹣0.1（x﹣40）2
当x＝40元时，保费收入最大为360万元，
保险公司预计获利为360×0.275＝99万元．