人教版2022届一轮复习打地基练习 正弦函数的奇偶性与对称性

这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 正弦函数的奇偶性与对称性，共30页。试卷主要包含了已知函数f，若曲线y＝sin，已知，函数y=2sin的图象等内容，欢迎下载使用。
人教版2022届一轮复习打地基练习 正弦函数的奇偶性与对称性
一．选择题（共17小题）
1．如果函数y＝sin2x+acos2x的图象关于直线x=π12对称，那么该函数的最大值为（　　）
A．2 B．2 C．3 D．3
2．已知函数f（x）＝sin（x+φ+π4）（0＜φ＜π）是奇函数，则φ＝（　　）
A．3π4 B．π2 C．π4 D．π6
3．函数y=3sin(2x+π6)的图象的一条对称轴方程是（　　）
A．x＝0 B．x=2π3 C．x=−π6 D．x=π3
4．若曲线y＝sin（3x+φ）（φ＜2π）关于直线x=π12对称，则φ的最大值为（　　）
A．π4 B．5π4 C．2π3 D．5π3
5．函数f(x)=sin(x+πk)，k∈N的一个对称轴方程为x=π3，则k可以使（　　）
A．3 B．4 C．6 D．12
6．已知角φ的终边经过点P（3，﹣4），函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f(π4)=（　　）
A．−35 B．35 C．−45 D．45
7．已知（π6，0）为f（x）＝sin（﹣2x+φ）（|φ|＜π2）的一个对称中心，则f（x）的对称轴可能为（　　）
A．x=π2 B．x=2π3 C．x=−π3 D．x=−π12
8．已知函数f(x)=3sin(2x+π6)，则下列说法正确的是（　　）
A．图象关于点(π6，0)对称 B．图象关于点(π3，0)对称
C．图象关于直线x=π6对称 D．图象关于直线x=π3对称
9．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω≠0）的图象经过点(π24，0)，一条对称轴方程为x=π6．则函数f（x）的周期可以是（　　）
A．3π4 B．π2 C．π4 D．π12
10．函数y=2sin(x−π6)的图象（　　）
A．关于直线x=π6对称 B．关于直线x=−π6对称
C．关于点(π6，0)对称 D．关于点(−π6，0)对称
11．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（0＜ω＜8，|φ|＜π2），若f（x）满足f(3π16)+f(11π16)=2，则下列结论正确的是（　　）
A．函数f（x）的图象关于直线x=π16对称
B．函数f（x）的图象关于点(7π16，0)对称
C．函数f（x）在区间[−π16，π16]上单调递增
D．存在m∈(0，π8]，使函数f（x+m）为偶函数
12．已知函数f（x）＝sin（ωx−π6）（ω＞0），其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，则下列四个结论中正确的是（　　）
A．函数f（x）的图象关于（5π12，0）中心对称
B．函数f（x）在区间（﹣π，π）内有4个零点
C．函数f（x）的图象关于直线x=−π8对称
D．函数f（x）在区间[−π2，0]上单调递增
13．函数f(x)=sin(x+π3)+cos(x−π6)具有性质（　　）
A．最大值为2，图象关于(−π6，0)对称
B．最大值为2，图象关于(−π6，0)对称
C．最大值为2，图象关于直线x=π6对称
D．最大值为2，图象关于直线x=π6对称
14．已知函数f（x）＝sin（4x+φ）（﹣π＜φ＜0）图象的一个对称中心为(−π10，0)，则φ＝（　　）
A．−2π5 B．−3π10 C．−3π5 D．−7π10
15．已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且y＝f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为π2，则f（π6）的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．3． D．2
16．已知函数f(x)=Asin(ωx+π3)（A＞0，ω＞0），若函数f（x）图象上相邻两对称轴之间的距离为π3，则下列关于函数f（x）的叙述，正确的是（　　）
A．关于点(π12，0)对称
B．关于x=π3对称
C．在(π3，π2)上单调递减
D．在（−π6，π18）上单调递增
17．已知函数f（x）＝sin（2x+2π3），则下列结论错误的是（　　）
A．f（x）的一个周期为﹣π
B．f（x）的图象关于直线x=−56π对称
C．f（x+π）的一个零点为π6
D．f（x）在区间（0，π3）上单调递减
二．多选题（共3小题）
18．已知f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0），直线x=5π12，x=11π12是f（x）的图象的相邻两条对称轴，则下列说法正确的是（　　）
A．函数y＝f（x+5π12）为偶函数
B．f（x）的图象的一个对称中心为（π6，0）
C．f（x）在区间[0，5π6]上有2个零点
D．f（x）在区间[−π6，π6]上为单调函数
19．关于函数y＝|sin（2x−π6）|，下列叙述正确的是（　　）
A．最小正周期为π2
B．直线x=π12是函数图象的一条对称轴
C．函数在[7π12，5π6]上单调递增
D．函数在[π2，π]上先递减，后递增
20．已知函数f（x）＝sin（2x−3π2）（x∈R），下列说法正确的是（　　）
A．函数f（x）的最小正周期是π
B．函数f（x）是偶函数
C．函数f（x）的图象关于点（π4，0）中心对称
D．函数f（x）在[0，π2]上是增函数
三．填空题（共17小题）
21．若函数f（x）＝2sin（πx+φ）+1（0＜φ＜π）是偶函数，则φ＝　 　．
22．关于函数f（x）＝4sin（πx+π3），x∈R，有下列命题：
①对任意x∈R，有f（x+1）＝﹣f（x）成立；
②y＝f（x）在区间[0，1]上的最小值为﹣4；
③y＝f（x）的图象关于点（−13，0）对称；
④y＝f（x）的图象关于直线x=π6对称．
其中正确的命题的序号是　 　．（注：把你认为正确的命题的序号都填上．）
23．关于y=3sin(2x+π4)有如下说法：
①若f（x1）＝f（x2）＝0，则x1﹣x2是π的整数倍，
②函数解析式可改为y=3cos(2x−π4)，
③函数图象关于x=−3π8对称，
④函数图象关于点(π8，0)对称．
其中正确的是　 　（填正确的序号）
24．已知函数f（x）＝2sin（3x+2φ）为偶函数，则φ的最小正值为　 　．
25．已知函数f（x）＝sin（3x+φ）（−π2＜φ＜π2）的图象关于直线x=π4对称，则φ＝　 　．
26．写出一个对称中心为（π4，0）的函数f（x）＝　 　．
27．若函数f(x)=sinωxcosωx+3cos2ωx的图象关于直线x=π3对称，则正数ω的最小值为　 　
28．已知曲线y＝sin（ωx+π6）关于（﹣1，0）对称，则|ω|的最小值为　 　．
29．若曲线y=sin(ωx−π5)(0＜ω＜π2)关于点（2，0）对称，则ω＝　 　．
30．已知函数f(x)=3sin(2x−π6)，则f（x）图象的一条对称轴方程是　 　；当x∈[0，π2]时，f（x）的值域为　 　．
31．若函数y＝sin（2x+φ）（其中常数φ∈[0，π]）是R上的偶函数，则φ的值为　 　．
32．已知函数f（x）＝sin2x，则该函数的对称轴方程为　 　．
33．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞1，0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ＝　 　，若函数f（x）的图象关于点M（3π4，0）对称，且在[0，π2]上单调，则ω＝　 　．
34．设函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω＞0，−π2＜ϕ＜π2)，有下列论断：
①f（x）的图象关于直线x=π12对称；
②f（x）的图象关于(π3，0)对称；
③f（x）的最小正周期为π；
④在区间[−π6，0]上，f（x）为增函数．
以其中的两个论断为条件，剩下的两个论断为结论，写出你认为正确的一个命题：若　 　，则　 　．（填序号即可）
35．函数f(x)=2sin(2x+π4)+1的图象的一个对称中心的坐标是　 　．
36．在下列结论中：
①函数y＝sin（kπ﹣x）为奇函数；
②函数y＝tan2x的定义域是{x∈R|x≠π2+kπ，k∈z|}；
③函数y＝cos（2x+π3）的图象的一条对称轴为x=−23π；
④方程2x﹣x＝3的实根个数为1个．
其中正确结论的序号为　 　（把所有正确结论的序号都填上）．
37．若函数f（x）＝3sin（ωx+φ）对任意实数x都有f（π3+x）＝f（π3−x）恒成立，则f（π3）的值为　 　．
四．解答题（共5小题）
38．已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，且（−π6，0）为图象的一个对称中心，求函数f（x）在区间[−π3，0]上的值域．
39．已知函数f（x）=3sin(ωx−π6)（其中ω＞0）的图象上相邻两个最高点的距离为π．
（1）求函数f（x）的图象的所有对称轴；
（2）若函数y＝f（x）﹣m在[π2，π]内有两个零点x1、x2，求m的取值范围．
40．设函数f（x）＝cosωx（3sinωx+cosωx），其中0＜ω＜2．
（Ⅰ）若f（x）的周期为π，当−π6≤x≤π3时，求f（x）的值域；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象的一条对称轴为x=π3，求ω的值．
41．已知函数f（x）＝asinx+bcosx，其中ab≠0．
（1）若b＝1，是否存在实数a使得函数f（x）为偶函数，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（2）若x=34π为函数f（x）的对称轴，求函数f（x）的单调增区间．
42．已知函数f（x）＝3sin(12x+φ)(φ∈(0，π2))的图象的一条对称轴是直线x=π4．
（1）求φ值；
（2）求函数y＝f（x）的单调增区间和对称中心．

人教版2022届一轮复习打地基练习 正弦函数的奇偶性与对称性
参考答案与试题解析
一．选择题（共17小题）
1．如果函数y＝sin2x+acos2x的图象关于直线x=π12对称，那么该函数的最大值为（　　）
A．2 B．2 C．3 D．3
【分析】根据三角函数的辅助角公式求出最大值，结合三角函数的对称性建立方程关系进行求解即可．
【解答】解：y＝sin2x+acos2x=1+a2（sin2x•11+a2+cos2x⋅a1+a2），
令cosθ=11+a2，则sinθ=a1+a2），则y=1+a2（sin2xcosθ+cos2xsinθ）=1+a2sin（2x+θ），
则函数的最大值为1+a2，
∵函数y＝sin2x+acos2x的图象关于直线x=π12对称，
∴sin（2×π12）+acos（2×π12）＝±1+a2，
即，sinπ6+acosπ6=±1+a2，
则12+32a＝±1+a2，
平方得14+32a+34a2＝1+a2．
得a2﹣23a+3＝0，
即（a−3）2＝0，则a=3，
则函数的最大值为1+a2=1+3=4=2，
故选：B．
2．已知函数f（x）＝sin（x+φ+π4）（0＜φ＜π）是奇函数，则φ＝（　　）
A．3π4 B．π2 C．π4 D．π6
【分析】根据函数奇偶性的性质建立方程进行求解即可．
【解答】解：∵f（x）＝sin（x+φ+π4）（0＜φ＜π）是奇函数，
∴φ+π4=kπ，k∈Z，
得φ＝kπ−π4，k∈Z，
∵0＜φ＜π，
∴当k＝1时，φ＝π−π4=3π4，
故选：A．
3．函数y=3sin(2x+π6)的图象的一条对称轴方程是（　　）
A．x＝0 B．x=2π3 C．x=−π6 D．x=π3
【分析】根据三角函数的对称性建立方程进行求解即可．
【解答】解：由2x+π6=kπ+π2，k∈Z，得x=kπ2+π6，k∈Z，
当k＝1时，对称轴为x=π6+π2=2π3，
故选：B．
4．若曲线y＝sin（3x+φ）（φ＜2π）关于直线x=π12对称，则φ的最大值为（　　）
A．π4 B．5π4 C．2π3 D．5π3
【分析】利用正弦函数的对称性质可知3×π12+φ=π2+kπ，k∈Z，从而可得φ=π4+kπ，k∈Z，再由φ的范围即可得答案．
【解答】解：∵y＝sin（3x+φ）图象关于直线x=π12对称，
∴3×π12+φ=π2+kπ，k∈Z，
∴φ=π4+kπ，k∈Z，
∵φ＜2π，∴φ的最大值为5π4．
故选：B．
5．函数f(x)=sin(x+πk)，k∈N的一个对称轴方程为x=π3，则k可以使（　　）
A．3 B．4 C．6 D．12
【分析】根据正弦函数的性质即可求解．
【解答】解：函数f(x)=sin(x+πk)，k∈N的一个对称轴方程为x=π3，
则π3+πk=π2+mπ，m∈Z，
可得：k=116+m，当m＝0时，k＝6．
故选：C．
6．已知角φ的终边经过点P（3，﹣4），函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f(π4)=（　　）
A．−35 B．35 C．−45 D．45
【分析】由题意可得，最小正周期，求得ω 的值，可得f（x）的解析式．再根据角φ的终边经过点P（3，﹣4），求得cosφ 和sinφ 的值，从而求得函数的解析式，然后求解f(π4)的值．
【解答】解：由函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻的两条对称轴之间的距离等于π2，
可得最小正周期为 2πω=2×π2，求得ω＝2，故f（x）＝sin（2x+φ）．
再根据角φ的终边经过点P（3，﹣4），可得 cosφ=xr=35，sinφ=yr=−45，
∴f（π4）＝sin（π2+φ）＝cosφ=35，
故选：B．
7．已知（π6，0）为f（x）＝sin（﹣2x+φ）（|φ|＜π2）的一个对称中心，则f（x）的对称轴可能为（　　）
A．x=π2 B．x=2π3 C．x=−π3 D．x=−π12
【分析】根据f（x）的对称中心列式f（π6）＝0，解得φ=π3+kπ，k∈Z，代入φ后根据正弦函数的对称轴求得f（x）的对称轴为：x=−π12+k−n2π，k，n∈Z．当k＝n时，可知选D．
【解答】解：因为（π6，0）为f（x）＝sin（﹣2x+φ）的一个对称中心，
所以f（π6）＝0，即sin（−π3+φ）＝0，∴−π3+φ＝kπ，k∈Z，
∴φ=π3+kπ，k∈Z，∴f（x）＝sin（﹣2x+π3+kπ），k∈Z，
由﹣2x+π3+kπ=π2+nπ，k，n∈Z，
得x=−π12+k−n2π，k，n∈Z，
当k＝n时，x=−π12，
故选：D．
8．已知函数f(x)=3sin(2x+π6)，则下列说法正确的是（　　）
A．图象关于点(π6，0)对称 B．图象关于点(π3，0)对称
C．图象关于直线x=π6对称 D．图象关于直线x=π3对称
【分析】利用正弦函数的对称轴以及对称中心的性质即可求解．
【解答】解：令2x+π6=π2+kπ，k∈Z，
解得x=π6+kπ2，k∈Z，所以当k＝0时，函数的对称轴为x=π6，
故C正确，D错误；
因为f（π6）＝3sin（2×π6+π6）＝3sinπ2=3≠0所以A错误；
f（π3）＝3sin（2×π3+π6）＝3sin5π6=32≠0，故B错误，
故选：C．
9．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω≠0）的图象经过点(π24，0)，一条对称轴方程为x=π6．则函数f（x）的周期可以是（　　）
A．3π4 B．π2 C．π4 D．π12
【分析】直接根据对称中心和对称轴之间的距离即可求解结论．
【解答】解：由π6−π24=2k+14T，
则T=π4k+2，k∈Z，
当k＝0时，T=π2．
故选：B．
10．函数y=2sin(x−π6)的图象（　　）
A．关于直线x=π6对称 B．关于直线x=−π6对称
C．关于点(π6，0)对称 D．关于点(−π6，0)对称
【分析】由题意利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．
【解答】解：对于函数y=2sin(x−π6)，
令x=π6，求得函数值y＝0，可得它的图象关于点(π6，0)对称，故A错误，且C正确；
令x=−π6，求得函数值y=−3，可得它的图象不关于直线x=−π6对称，
也不关于点(−π6，0)对称，故BD错误，
故选：C．
11．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（0＜ω＜8，|φ|＜π2），若f（x）满足f(3π16)+f(11π16)=2，则下列结论正确的是（　　）
A．函数f（x）的图象关于直线x=π16对称
B．函数f（x）的图象关于点(7π16，0)对称
C．函数f（x）在区间[−π16，π16]上单调递增
D．存在m∈(0，π8]，使函数f（x+m）为偶函数
【分析】根据条件得到f（11π16）＝f（3π16）＝1，结合三角函数的图象和性质先求出函数的解析式，然后进行判断即可．
【解答】解：∵f(3π16)+f(11π16)=2，
∴f（11π16）＝f（3π16）＝1，
设函数f（x）的最小正周期为T，
根据条件知nT=11π16−3π16=π2，其中n为正整数，
于是T=π2n=2πω，解得ω＝4n，
又0＜ω＜8，则当n＝1时，ω＝4，
f（x）＝sin（4x+φ），将x=3π16代入，
sin（4×3π16+φ）＝1，
即3π4+φ=π2+2kπ，
即φ=−π4+2kπ，k∈Z
∵|φ|＜π2，∴当k＝0时，φ=−π4，
f（x）＝sin（4x−π4），
f（π16）＝sin（4×π16−π4）＝sin0，则函数关于x=π16不对称，故A错误，
f（7π16）＝sin（4×7π16−π4）＝sin3π2=−1，函数f（x）的图象关于点(7π16，0)不对称，故B错误，
当x∈[−π16，π16]时，4x∈[−π4，π4]，4x−π4∈[−π2，0]此时函数f（x）为增函数，故C正确，
故选：C．
12．已知函数f（x）＝sin（ωx−π6）（ω＞0），其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，则下列四个结论中正确的是（　　）
A．函数f（x）的图象关于（5π12，0）中心对称
B．函数f（x）在区间（﹣π，π）内有4个零点
C．函数f（x）的图象关于直线x=−π8对称
D．函数f（x）在区间[−π2，0]上单调递增
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和函数的性质求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：由函数f（x）＝sin（ωx−π6）（ω＞0），其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，利用周期T＝π，解得ω＝2．
所以函数的关系式为f（x）＝sin（2x−π6）．
对于A，f(5π12)=sin(2⋅5π12−π6)=sin2π3=32≠0，故A错误；
对于B，当x∈（﹣π，π）时，−13π6≤2x−π6≤11π6，
当2x−π6=−2π，−π，0，π时，sin（2x−π6）＝0，故B正确；
对于C，f(−π8)=sin[2⋅(−π8)−π6]=sin(−5π12)≠±1，故C错误；
对于D，由−π2+2kπ≤2x−π6≤2kπ+π2（k∈Z），
解得函数f（x）的单调递增区间为[−π6+kπ，π3+kπ]（k∈Z），
令k＝0时，x∈[−π6，π3]，令k＝﹣1时，x∈[−7π6，2π3]，
所以函数f（x）在区间[−π2，0]上不单调递增，故D错误．
故选：B．
13．函数f(x)=sin(x+π3)+cos(x−π6)具有性质（　　）
A．最大值为2，图象关于(−π6，0)对称
B．最大值为2，图象关于(−π6，0)对称
C．最大值为2，图象关于直线x=π6对称
D．最大值为2，图象关于直线x=π6对称
【分析】f(x)=sin(x+π3)+cos(x−π6)=sinxcosπ3+cosxsinπ3+cosxcosπ6+sinxsinπ6=2sin（x+π3），然后进行判断．
【解答】解：f(x)=sin(x+π3)+cos(x−π6)=sinxcosπ3+cosxsinπ3+cosxcosπ6+sinxsinπ6=2sin（x+π3），
当sin（x+π3）＝1时，f（x）取最大值2，∴BD错；
∵f（−π6）＝2sin（−π6+π3）＝1，∴A错；
∵f（π6）＝2sin（π6+π3）＝2，∴图象关于直线x=π6对称，∴C对．
故选：C．
14．已知函数f（x）＝sin（4x+φ）（﹣π＜φ＜0）图象的一个对称中心为(−π10，0)，则φ＝（　　）
A．−2π5 B．−3π10 C．−3π5 D．−7π10
【分析】根据三角函数的对称性进行求解即可．
【解答】解：∵f（x）的一个对称中心为(−π10，0)，
∴4×（−π10）+φ＝kπ，k∈Z，
即φ＝kπ+2π5，k∈Z，
∵﹣π＜φ＜0，
∴当k＝﹣1时，∴φ=−3π5．
故选：C．
15．已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且y＝f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为π2，则f（π6）的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．3． D．2
【分析】利用辅助角公式进行化简，结合f（x）是偶函数，求出φ的值，利用f（x）的对称轴之间的距离求出函数的周期和ω，代入进行求值即可．
【解答】解：f（x）=3sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）＝2sin（ωx+φ−π6），
∵f（x）是偶函数，∴φ−π6=kπ+π2，k∈Z，
得φ＝kπ+2π3，
∵0＜φ＜π，∴当k＝0时，φ=2π3，
即f（x）＝2sin（ωx+2π3−π6）＝2sin（ωx+π2）＝2cosωx，
∵y＝f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为π2，
∴T2=π2，即T＝π，即2πω=π，
得ω＝2，
则f（x）＝2cos2x，
则f（π6）＝2cos（2×π6）＝2cosπ3=2×12=1，
故选：B．
16．已知函数f(x)=Asin(ωx+π3)（A＞0，ω＞0），若函数f（x）图象上相邻两对称轴之间的距离为π3，则下列关于函数f（x）的叙述，正确的是（　　）
A．关于点(π12，0)对称
B．关于x=π3对称
C．在(π3，π2)上单调递减
D．在（−π6，π18）上单调递增
【分析】直接利用函数的性质求出函数的关系式，进一步确定A、B、C、D的结论．
【解答】解：函数f(x)=Asin(ωx+π3)（A＞0，ω＞0），若函数f（x）图象上相邻两对称轴之间的距离为π3，
所以T=2π3，
故ω＝3，
所以f（x）＝Asin（3x+π3），
对于A：当x=π12时，f（π12）＝Asin（π3+π4）≠0，故A错误；
对于B：当x=π3时，f（π3）＝Asin（π+π3）=−32A≠±A，故B错误；
对于C：当x∈(π3，π2)时，3x+π3∈(4π3，11π6)，在该区间内先增后减，故C错误；
对于D：当x∈(−π6，π18)时，3x+π3∈(−π6，π2)，故函数在该区间上单调递增，故D正确；
故选：D．
17．已知函数f（x）＝sin（2x+2π3），则下列结论错误的是（　　）
A．f（x）的一个周期为﹣π
B．f（x）的图象关于直线x=−56π对称
C．f（x+π）的一个零点为π6
D．f（x）在区间（0，π3）上单调递减
【分析】结合正弦函数的性质分别检验各选项即可判断．
【解答】解：由正弦函数的性质可知，﹣π为函数的一个周期，故A正确；
当x=−56π时，f（−5π6）＝sinπ＝0不是函数的最值，故x=−56π不是函数的对称轴，B错误；
f（x+π）＝sin（2x+2π+2π3）＝sin（2x+2π3），当x=π6显然是函数的一个零点，C正确；
令π2≤2x+2π3≤3π2可得−π12≤x≤5π12，即函数的一个单独递减区间（−π12，5π12），D 正确．
故选：B．
二．多选题（共3小题）
18．已知f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0），直线x=5π12，x=11π12是f（x）的图象的相邻两条对称轴，则下列说法正确的是（　　）
A．函数y＝f（x+5π12）为偶函数
B．f（x）的图象的一个对称中心为（π6，0）
C．f（x）在区间[0，5π6]上有2个零点
D．f（x）在区间[−π6，π6]上为单调函数
【分析】先利用正弦函数的图象的对称性求得函数的解析式，再利用正弦函数的性质，得出结论．
【解答】解：∵f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0），直线x=5π12，x=11π12是f（x）的图象的相邻两条对称轴，
则 12•2πω=11π12−5π12，∴ω＝2．
再结合2×5π12+φ＝kπ+π2，k∈Z，求得φ＝kπ−π3，
∴可取 φ=−π3，f（x）＝sin（2x−π3）．
∵函数y＝f（x+5π12）＝sin（2x+π2）＝cos2x 为偶函数，故A正确；
令x=π6，求得f（x）＝0，故f（x）的图象的一个对称中心为（π6，0），故B正确；
在区间[0，5π6]上，2x−π3∈[−π3，4π3]，函数f（x）只有2个零点，2x−π3=0和 2x−π3=π，故C正确；
在区间[−π6，π6]上，2x−π3∈[−2π3，0]，函数f（x）没有单调性，故D错误，
故选：ABC．
19．关于函数y＝|sin（2x−π6）|，下列叙述正确的是（　　）
A．最小正周期为π2
B．直线x=π12是函数图象的一条对称轴
C．函数在[7π12，5π6]上单调递增
D．函数在[π2，π]上先递减，后递增
【分析】画出函数图象，结合图象对各个选项进行判断即可．
【解答】解：作出函数的图象，如图示：

根据函数的性质可知，选项A，B，C正确，
函数在[π2，π]上先递减，再递增，再递减，故选项D错误；
故选：ABC．
20．已知函数f（x）＝sin（2x−3π2）（x∈R），下列说法正确的是（　　）
A．函数f（x）的最小正周期是π
B．函数f（x）是偶函数
C．函数f（x）的图象关于点（π4，0）中心对称
D．函数f（x）在[0，π2]上是增函数
【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性、奇偶性、对称性以及单调性，得出结论．
【解答】解：对于函数f（x）＝sin（2x−3π2）（x∈R），它的最小正周期为2π2=π，故A正确；
由于f（x）＝﹣sin（ 3π2−2x）＝cos2x，故函数f（x）是偶函数，故B正确；
令x=π4，求得f（x）＝cosπ2=0，故函数f（x）图象关于（ π4，0）对称，故C正确；
在[0，π2]上，2x∈[0，π]，求得f（x）＝cos2x，故函数f（x）在[0，π2]上是减函数，故D错误，
故选：ABC．
三．填空题（共17小题）
21．若函数f（x）＝2sin（πx+φ）+1（0＜φ＜π）是偶函数，则φ＝　π2　．
【分析】由于函数为偶函数，故需要符合诱导公式中的奇变偶不变，故φ=π2+kπ，即可得出结论．
【解答】解：由于函数为偶函数，故需要符合诱导公式中的奇变偶不变，故φ=π2+kπ，
由于0＜φ＜π，所以φ=π2．
故答案为π2．
22．关于函数f（x）＝4sin（πx+π3），x∈R，有下列命题：
①对任意x∈R，有f（x+1）＝﹣f（x）成立；
②y＝f（x）在区间[0，1]上的最小值为﹣4；
③y＝f（x）的图象关于点（−13，0）对称；
④y＝f（x）的图象关于直线x=π6对称．
其中正确的命题的序号是　①③　．（注：把你认为正确的命题的序号都填上．）
【分析】利用诱导公式化简f（x+1）的解析式，可得①正确．
根据π3≤πx+π3≤4π3，得πx+π3=4π3 时，f（x）有最小值为 4×（−32）＝﹣23，可得②不正确．
由点（−13，0）是f（x）与x轴的交点，可得③正确．
由当x=π6时，f（x）＝sinπ2+2π6≠±1，故x=π6不是函数的对称轴，可得④不正确．
【解答】解：f（x+1）＝4sin（π+πx+π3）＝﹣4sin（πx+π3）＝﹣f（x），故①正确．
在区间[0，1]上，π3≤πx+π3≤4π3，故πx+π3=4π3 时，f（x）有最小值为 4×（−32）＝﹣23，故②不正确．
当x=−13时，f（x）＝sin0＝0，故点（−13，0）是f（x）与x轴的交点，故y＝f（x）的图象关于点（−13，0）对称，故③正确．
当x=π6时，f（x）＝sinπ2+2π6≠±1，故x=π6不是函数的对称轴，故④不正确．
故答案为 ①③．
23．关于y=3sin(2x+π4)有如下说法：
①若f（x1）＝f（x2）＝0，则x1﹣x2是π的整数倍，
②函数解析式可改为y=3cos(2x−π4)，
③函数图象关于x=−3π8对称，
④函数图象关于点(π8，0)对称．
其中正确的是　②③　（填正确的序号）
【分析】①若f（x1）＝f（x2）＝0，则x1﹣x2是半个周期的整数倍，故不正确．
②利用诱导公式可得，函数解析式可化为3cos(2x−π4)，故正确．
③当x=−3π8时，y＝﹣3，是函数的最小值，故正确．④当 x=π8 时，y＝3，是函数的最大值，故不正确．
【解答】解：①若f（x1）＝f（x2）＝0，则x1﹣x2是半个周期的整数倍，函数y=3sin(2x+π4) 的周期为π，故x1﹣x2是π2的整数倍，故①不正确．
②函数解析式 y=3sin(2x+π4)=3cos[π2−（2x+π4）]=3cos(π4−2x)=3cos(2x−π4)，故②正确．
③当x=−3π8时，y＝﹣3，是函数的最小值，故函数图象关于x=−3π8对称，故③正确．
④当 x=π8 时，y＝3，是函数的最大值，故函数图象关于x=π8 对称，故④不正确．
故答案为：②③．
24．已知函数f（x）＝2sin（3x+2φ）为偶函数，则φ的最小正值为　π4　．
【分析】利用函数是偶函数，求出φ的表达式，然后求解最小正值．
【解答】解：由题意，2φ=kπ+π2(k∈Z)，所以φ=kπ2+π4(k∈Z)．所以当k＝0时，φ取得最小正值π4．
故答案为：π4．
25．已知函数f（x）＝sin（3x+φ）（−π2＜φ＜π2）的图象关于直线x=π4对称，则φ＝　−π4　．
【分析】直接利用函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：数f（x）＝sin（3x+φ）（−π2＜φ＜π2）的图象关于直线x=π4对称，
所以3×π4+φ=kπ+π2（k∈Z），
解得φ=kπ−π4（k∈Z），
由于−π2＜φ＜π2，
当k＝0时，φ=−π4．
故答案为：−π4
26．写出一个对称中心为（π4，0）的函数f（x）＝　y＝sin（x−π4）　．
【分析】根据对称中心，考虑将正弦函数平移得到．
【解答】解：y＝sin（x−π4），答案不唯一，正确即可．
27．若函数f(x)=sinωxcosωx+3cos2ωx的图象关于直线x=π3对称，则正数ω的最小值为　14　
【分析】利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性求出ω的表达式，进行求解即可．
【解答】解：数f(x)=sinωxcosωx+3cos2ωx的=12sin2x+3×1+cos2ωx2=12sin2ωx+32cos2ωx+32
＝sin（2ωx+π3）+32，
∵f（x）的图象关于直线x=π3对称，
∴π3×2ω+π3=kπ+π2，k∈Z，
即ω=3k2+14，
∵ω是正数，
∴当k＝0时，ω取得最小值14，
故答案为：14
28．已知曲线y＝sin（ωx+π6）关于（﹣1，0）对称，则|ω|的最小值为　π6　．
【分析】由题意可得sin（﹣ω+π6）＝0，解得：ω=π6−kπ，k∈Z，进而即可求解|ω|的最小值．
【解答】解：因为曲线y＝sin（ωx+π6）关于（﹣1，0）对称，
所以sin（﹣ω+π6）＝0，
可得﹣ω+π6=kπ，k∈Z，解得：ω=π6−kπ，k∈Z，
则|ω|的最小值为π6．
故答案为：π6．
29．若曲线y=sin(ωx−π5)(0＜ω＜π2)关于点（2，0）对称，则ω＝　π10　．
【分析】直接利用正弦型函数性质的应用求出结果．
【解答】解：函数y=sin(ωx−π5)关于（2，0）对称，
所以2ω−π5=kπ（k∈Z），解得ω=kπ2+π10（k∈Z），
由于0＜ω＜π2，
所以ω=π10．
故答案为：π10
30．已知函数f(x)=3sin(2x−π6)，则f（x）图象的一条对称轴方程是　x=π3　；当x∈[0，π2]时，f（x）的值域为　[−32，3]　．
【分析】直接利用函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：①当x=π3时，函数的值为3．
②当x∈[0，π2]时，所以−π6≤2x−π6≤5π6，
所以f（x）的值域为[−32，3]．
故答案为：π3，[−32，3]
31．若函数y＝sin（2x+φ）（其中常数φ∈[0，π]）是R上的偶函数，则φ的值为　π2　．
【分析】根据函数y＝sin（2x+φ）的图象特征，函数是偶函数，只需要x＝0时，函数取得最值，然后求解即可．
【解答】解：函数y＝sin（2x+φ）是R上的偶函数，就是x＝0时函数取得最值，
所以f（0）＝±1，
即sinφ＝±1，
所以φ＝kπ+π2（k∈Z），
当且仅当取 k＝0时，得φ=π2，符合0≤φ≤π
故答案为：π2．
32．已知函数f（x）＝sin2x，则该函数的对称轴方程为　x=kπ2+π4，(k∈Z)　．
【分析】由题意利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．
【解答】解：对于函数f（x）＝sin2x，令2x＝kπ+π2，k∈Z，
求得x=kπ2+π4，故该函数的对称轴方程为x=kπ2+π4，k∈Z，
故答案为：x=kπ2+π4，k∈Z．
33．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞1，0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ＝　π2　，若函数f（x）的图象关于点M（3π4，0）对称，且在[0，π2]上单调，则ω＝　2　．
【分析】首先利用三角函数的奇偶性求出φ的值，进一步利用函数的对称性的应用求出ω的值．
【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞1）是R上的偶函数
所以φ=kπ+π2（k∈Z），
由于0≤φ≤π，
所以φ=π2．
由于函数f（x）的图象关于点M（3π4，0）对称，
所以f(3π4)=sin(3ωπ4+π2)=cos3ωπ4=0，
整理得3ωπ4=kπ+π2（k∈Z），
所以ω=23(2k+1)，
当k＝1时，ω＝2，所以函数f（x）＝cos2x在[0，π2]上单调，
当k≥2时，ω≥103，函数f（x）在[0，π2]上不单调，
所以：ω＝2．
故答案为：π2；2
34．设函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω＞0，−π2＜ϕ＜π2)，有下列论断：
①f（x）的图象关于直线x=π12对称；
②f（x）的图象关于(π3，0)对称；
③f（x）的最小正周期为π；
④在区间[−π6，0]上，f（x）为增函数．
以其中的两个论断为条件，剩下的两个论断为结论，写出你认为正确的一个命题：若　①③　，则　②④　．（填序号即可）
【分析】经验证可得①③可推②④，由三角函数的对称性和单调性证明即可．
【解答】解：由题意可得①③可推②④，下面证明之，
由③f（x）的最小正周期为π，可得2πω=π，即ω＝2，
可得f（x）＝sin（2x+ϕ），
又①f（x）的图象关于直线x=π12对称；
故sin（2×π12+ϕ）＝±1，即2×π12+ϕ=kπ+π2，k∈Z，
解之可得ϕ=kπ+π3，
又因为−π2＜ϕ＜π2，所以ϕ=π3，
故可得f（x）＝sin（2x+π3），
由于sin（2×π3+π3）＝sinπ＝0，故②f（x）的图象关于(π3，0)对称，正确；
由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2可得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，当k＝0时，
单调递增区间为[−5π12，π12]⊃[−π6，0]，故④在区间[−π6，0]上，f（x）为增函数，正确．
故由①③作为论断可推出②④，
故答案为：①③，②④
35．函数f(x)=2sin(2x+π4)+1的图象的一个对称中心的坐标是　(3π8，1)　．
【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：函数f(x)=2sin(2x+π4)+1的图象的对称中心为：
令2x+π4=kπ（k∈Z），解得x=kπ2−π8（k∈Z），
当k＝1时，x=3π8．
所以函数的一个对称中心为（3π8，1）．
故答案为：（3π8，1）
36．在下列结论中：
①函数y＝sin（kπ﹣x）为奇函数；
②函数y＝tan2x的定义域是{x∈R|x≠π2+kπ，k∈z|}；
③函数y＝cos（2x+π3）的图象的一条对称轴为x=−23π；
④方程2x﹣x＝3的实根个数为1个．
其中正确结论的序号为　①③　（把所有正确结论的序号都填上）．
【分析】利用函数的奇偶性判断①的正误；求解函数的定义域判断②的正误；利用函数的最值判断③的正误；利用函数的图象零点的个数判断④的正误．
【解答】解：对于①，函数y＝sin（kπ﹣x）＝±sinx，显然函数为奇函数；①正确．
②函数y＝tan2x的定义域是{x∈R|x≠kπ2+π2，k∈z|}；
所以函数的定义域是{x∈R|x≠π2+kπ，k∈z|}不正确；
③函数y＝cos（2x+π3）的图象的一条对称轴为x=−23π；因为cos[2×(−2π3)+π3]＝cos（﹣π）＝﹣1，函数取得最值，所以③是正确的．
④方程2x﹣x＝3的实根个数为1个．因为y＝2x与y＝x+3的图象如图：
实数根的个数是2．所以判断不正确．
故答案为：①③．

37．若函数f（x）＝3sin（ωx+φ）对任意实数x都有f（π3+x）＝f（π3−x）恒成立，则f（π3）的值为　±3　．
【分析】根据f（π3+x）＝f（π3−x），求出对称轴．f（ π3）应该取函数的最值±3．
【解答】解：∵f（π3+x）＝f（π3−x），∴对称轴x=π3．
∴f（π3）＝±3．
故答案为：±3．
四．解答题（共5小题）
38．已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，且（−π6，0）为图象的一个对称中心，求函数f（x）在区间[−π3，0]上的值域．
【分析】利用函数f（x）的最小正周期为π，可以确定ω的值；再由（−π6，0）为图象的一个对称中心，可以确定φ，利用整体代换可以确定函数f（x）在区间[−π3，0]上的值域．
【解答】解：函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，得ω=2ππ=2，
∴f（x）＝2sin（2x+φ），
由（−π6，0）为图象的一个对称中心，∴2×(−π6)+φ＝kπ，
∵|φ|＜π2，∴φ=π3，
∴f（x）＝2sin（2x+π3），
∵x∈[−π3，0]，∴2x+π3∈[−π3，π3]，
∴sin（2x+π3）∈[−32，32]，
∴f（x）∈[−3，3]，
即：函数f（x）在区间[−π3，0]上的值域为[−3，3]．
39．已知函数f（x）=3sin(ωx−π6)（其中ω＞0）的图象上相邻两个最高点的距离为π．
（1）求函数f（x）的图象的所有对称轴；
（2）若函数y＝f（x）﹣m在[π2，π]内有两个零点x1、x2，求m的取值范围．
【分析】（1）函数f（x）=3sin(ωx−π6)（其中ω＞0）的图象上相邻两个最高点的距离为π．可得T＝π=2πω，解得ω．由f（x）=±3即可得出对称轴．．
（2）若函数y＝f（x）﹣m在[π2，π]内有两个零点x1、x2，可得函数y＝m与函数y＝f（x）的图象有两个交点，即可得出m的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）=3sin(ωx−π6)（其中ω＞0）的图象上相邻两个最高点的距离为π．
∴T＝π=2πω，解得ω＝2．
∴f（x）=3sin（2x−π6），
令2x−π6=kπ+π2，解得x=kπ2+π3，k∈Z．
∴函数f（x）的图象的所有对称轴方程为：x=kπ2+π3，k∈Z．
（2）若函数y＝f（x）﹣m在[π2，π]内有两个零点x1、x2，
∴函数y＝m与函数y＝f（x）的图象有两个交点，
则−3＜m≤−32．

40．设函数f（x）＝cosωx（3sinωx+cosωx），其中0＜ω＜2．
（Ⅰ）若f（x）的周期为π，当−π6≤x≤π3时，求f（x）的值域；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象的一条对称轴为x=π3，求ω的值．
【分析】（Ⅰ）先利用二倍角公式及辅助角公式把不同名的三角函数化简为只含一个角的三角函数的关系，根据周期公式可求ω，结合正弦函数的性质可求函数的值域
（Ⅱ）采用整体思想求解，由函数的对称轴为π3可知，2ω×π3+π6=kπ+π2，K∈Z，由ω的范围解出k的范围，结合已知k∈Z可求k及ω的值
【解答】解：（Ⅰ）f(x)=3sinωxcosωx+cos2ωx=sin(2ωx+π6)+12
∵T＝π，ω＞0
∴2π2ω=π
∴ω＝1
当−π6≤x≤π3即 2x+π6∈[−π6，5π6]时，sin(2x+π6)∈[−12，1]
∴f(x)∈[0，32]
∴f（x）的值域为[0，32]
（Ⅱ）f(x)=sin(2ωx+π6)+12的对称轴为x=π3
∴2ω×π3+π6=kπ+π2，K∈Z
∴ω=3K+12
∵0＜ω＜2
∴−13＜K＜1
k＝0，ω=12
41．已知函数f（x）＝asinx+bcosx，其中ab≠0．
（1）若b＝1，是否存在实数a使得函数f（x）为偶函数，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（2）若x=34π为函数f（x）的对称轴，求函数f（x）的单调增区间．
【分析】（1）由题意利用函数的奇偶性的定义，得出结论．
（2）由正弦函数的最值、结合辅助角公式得出b＝﹣a，可得f（x）的解析式，分类讨论a的符号，求出函数的增区间．
【解答】解：（1）当b＝1时，f（x）＝asinx+cosx，
若存在实数a使得函数f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝f（x）恒成立，
即asin（﹣x）+cos（﹣x）＝asinx+cosx恒成立，
整理得asinx＝0恒成立，所以a＝0，与ab≠0矛盾，故不存在．
（2）结合三角函数的性质知，三角函数在对称轴处取最值，
又由辅助角公式知f（x）的最值为±a2+b2，
所以f(34π)=22a−22b=±a2+b2，
两边平方，得12a2+12b2−ab=a2+b2，所以12a2+12b2+ab=0，
即12(a+b)2=0，所以b＝﹣a，
所以，f(x)=a(sinx−cosx)=2asin(x−π4)，
当a＞0时，令2kπ−π2≤x−π4≤2kπ+π2，k∈Z，
解得2kπ−π4≤x≤2kπ+3π4，k∈Z，
所以，单调增区间是[2kπ−π4，2kπ+3π4]，k∈Z，
当a＜0时，令2kπ+π2≤x−π4≤2kπ+3π2，k∈Z，
解得2kπ+3π4≤x≤2kπ+7π4，k∈Z，
所以，单调增区间是[2kπ+3π4，2kπ+7π4]，k∈Z．
42．已知函数f（x）＝3sin(12x+φ)(φ∈(0，π2))的图象的一条对称轴是直线x=π4．
（1）求φ值；
（2）求函数y＝f（x）的单调增区间和对称中心．
【分析】（1）根据三角函数的对称性建立方程，求出φ的值．
（2）根据三角函数的单调性和对称性进行求解即可．
【解答】解：（1）∵f（x）象的一条对称轴是直线x=π4．
∴12×π4+φ＝kπ+π2，k∈Z，
即φ＝kπ+3π8，k∈Z，
当k＝0时，φ=3π8．
（2）由（1）知，y＝3sin（12x+3π8），
由2kπ−π2≤12x+3π8≤2kπ+π2，k∈Z，
得4kπ−7π4≤x≤4kπ+π4，k∈Z，
即函数的单调递增区间为[4kπ−7π4，4kπ+π4]，k∈Z
由12x+3π8=kπ，得x＝2kπ−3π4，
即函数的对称中心为（2kπ−3π4，0），k∈Z．