人教版2022届一轮复习打地基练习 余弦函数的图像

这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 余弦函数的图像，共32页。试卷主要包含了已知函数f，若f，若函数y＝|csx|，，已知函数y＝Acs，已知函数f=Acs，若f等内容，欢迎下载使用。
人教版2022届一轮复习打地基练习 余弦函数的图像
一．选择题（共19小题）
1．在同一直角坐标系xOy中，函数y＝cosx与y＝﹣cosx的图象之间的关系是（　　）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于直线y＝x对称 D．关于直线y＝﹣x对称
2．已知函数f（x）＝Asinωx（A＞0，ω＞0）与g（x）=A2cosωx的部分图象如图所示，则（　　）

A．A＝1，ω=3π B．A＝2，ω=π3 C．A＝1，ω=π3 D．A＝2，ω=3π
3．在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f（x）的图象恰好通过k（k∈N*）个格点，则称函数f（x）为k阶格点函数．对下列4个函数：①f(x)=−cos(π2−x)；②f(x)=(13)x；③f（x）＝3π（x﹣1）2+2；④f（x）＝log0.5x；其中是一阶格点函数的有（　　）
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
4．若f（x）＝2cos（ωx+φ）+m（ω＞0）对任意实数t都有f（t+π4）＝f（﹣t），且f（π8）＝﹣1，则实数m的值等于（　　）
A．﹣3或1 B．﹣1或3 C．±3 D．±1
5．函数f（x）＝Acos（ωx+φ）的部分图象如图所示，给出以下结论：
①f（x）的最小正周期为2
②f（x）的一条对称轴为x=−12
③f（x）在（k−14，k+34）（k∈Z）上单调递减
④f（x）的最大值为A
其中正确的结论个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
6．若函数y＝|cosx|，（x＞0）与直线y＝kx有且仅有两个公共点，其横坐标分别为α、β，且α＜β，则（　　）
A．β=cosβcosα B．β=αcosβcosα
C．β=cosβk D．β=−cosβsinβ
7．已知函数y＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2）的部分图象如图所示，则φ＝（　　）

A．π3 B．π6 C．−π6 D．−π3
8．已知定义在正整数集上的函数f(x)=sinπx2和g(x)=cosπx2，则当x∈[0，2020]时，y＝f（x）图象在y＝g（x）图象上方的点的个数为（　　）
A．505 B．504 C．1010 D．1009
9．已知函数f(x)=Acos(ωx+π6)(A＞0，ω＞0)，若f（x）在区间[0，2π]上有且仅有4个零点和1个极大值点，则ω的取值范围是（　　）
A．[53，2312) B．[1112，2312) C．[53，136) D．[2312，136)
10．已知函数f（x）＝2cos（ωx+π3）﹣3（ω＞0）在区间[0，π2]上单调递减，则ω的最大值为（　　）
A．1 B．43 C．65 D．32
11．已知函数f（x）＝4cos（2ωx+π6）﹣2（ω＞0）在[0，π]内有且仅有两个零点，则ω的取值范围是（　　）
A．.（32，136] B．[32，136） C．（34，1312] D．[34，1312）
12．已知函数f(x)=cos(ωx+π6)(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图象（　　）
A．关于直线x=π6对称 B．关于点(π6，0)对称
C．关于直线x=π3对称 D．关于点(π3，0)对称
13．若函数y＝sin（x+φ）的一个对称中心为(π6，0)，则函数y＝cos（x+φ）的一条对称轴为（　　）
A．x=−π3 B．x=π6 C．x=π4 D．x=π3
14．cos3x+cosx＝0在[0，2π]上所有根之和为（　　）
A．3π B．4π C．5π D．6π
15．如图是函数f（x）＝cos（πx+φ）（0＜φ＜π2）的部分图象，则f（6x0）＝（　　）

A．12 B．−12 C．−32 D．32
16．已知函数f（x）＝2cos（3x+φ）+3（|φ|≤π2），若∀x∈（−π6，π12），f（x）的图象恒在直线y＝3的上方，则φ的取值范围是（　　）
A．（π12，π2） B．[π6，π3] C．（0，π4） D．（−π6，π3）
17．已知函数y=3cos(ωx+π6)(ω＞0)的图象与直线y＝3相邻的两个公共点之间的距离为2π3，则ω的值为（　　）
A．3 B．23 C．13 D．32
18．已知函数y＝3cos（2x+π3）的定义域为[a，b]，值域为[﹣1，3]，则b﹣a的值可能是（　　）
A．2π3 B．π2 C．3π4 D．π
19．已知函数f（x）＝2cos（ωx+π4ω）+1在（0，π8）上是减函数，则ω的最大值为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
二．多选题（共3小题）
20．对于函数f（x）＝2cos（2x+5π6），下列四个命题中正确的（　　）
A．f（x）的最小正周期是π
B．x=π12是f（x）图像的一条对称轴
C．f（x）的图像关于点（π6，0）对称
D．∃x∈[−π4，0]，使f（x）=3
21．已知函数y＝sin（ωx+φ）与y＝cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）在x∈[0，522]的图象恰有三个不同的交点P，M，N．若△PMN为直角三角形，则（　　）
A．ω=22π
B．△PMN的面积S＝π
C．φ∈[−π4，π4]
D．两函数图象必在x=9π−4φ4ω处有交点
22．已知函数f（x）＝2cos（ωx+π3）﹣1（ω＞0），若函数f（x）的三个相邻的零点分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），且|x1﹣x2|＝λ|x2﹣x3|=π3，则ω+λ的值可能是（　　）
A．52 B．92 C．4 D．6
三．填空题（共11小题）
23．已知函数f（x）＝cos（3x+π3），其中x∈[π6，m]（m∈R且m＞π6），若f（x）的值域是[﹣1，−32]，则 m的最大值是　 　．
24．已知函数f（x）＝cos（x+π3）+cosx，则函数f（x）的单调递增区间为　 　．
25．若函数f(x)=2sin(wx−π6)(w＞0)和g（x）＝3cos（2x+φ）的图象的对称轴完全相同则当x∈[0，π]，关于x的不等式f（x）﹣1≥0的解集为　 　．
26．函数f（x）＝cos2πnx，x∈Z的值域由6个实数组成，则非零整数n的值是　 　．
27．已知ω＞0，在函数y＝3sinωx与y＝3cosωx图象的交点中，距离最短的两个交点间的距离为33，则ω的值是　 　．
28．在平面直角坐标系xOy中，设A，B，C，D为函数y＝sinωx与y＝cosωx（ω＞0）的图象的四个相邻的交点，且四边形ABCD的面积为π，则ω的值为　 　．
29．已知函数y＝a+cosωx，x∈[﹣π，π]（其中a、ω为常数，且ω＞0）有且仅有三个零点，则ω的取值范围是 　 　．
30．已知函数f(x)=cos(ωx−π6)(ω＞0)，若函数f（x）在(0，7π6)上没有零点，则ω的取值范围是　 　．
31．函数f(x)=2cos(12x+π3)−1在（0，2020π）的零点个数为　 　．
32．方程3sinx＝1+cos2x在区间[0，2π]上的所有解的和为 　 　．
33．已知函数y＝sinx与函数y＝2cosx﹣1在区间(0，π2)上的图象的交点为P0，过点P0作x轴的垂线l，垂足为H，l与函数y＝tanx的图象交于点P1，则线段P1H的长为 　 　．
四．解答题（共7小题）
34．已知函数f（x）＝cosωx（ω＞0），其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为π2，
（Ⅰ）求f（x+π6）在区间[−π6，2π3]上的单调区间；
（Ⅱ）若α∈（5π12，π2），f（α+π3）=13，求sin2α的值．
35．已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的部分图象，如图所示．
（1）求函数解析式，并求出函数的单调增区间；
（2）若方程f（x）＝m在[−π6，13π12]有两个不同的实根，求m的取值范围．

36．若函数f（x）＝cos（ωx+φ），ω＞0，|φ|＜π2）的一个零点与之相邻的对称轴之间的距离为π4，且x=2π3时f（x）有最小值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x∈[π4，5π6]，求f（x）的值域．
37．已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)的最小正周期为π，直线x=−π24为它的图象的一条对称轴．
（1）当x∈[−5π24，5π24]时，求函数f（x）的值域；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，若f(−A2)=2，a=3，求b+c的最大值．
38．已知函数f（x）＝2cos（2x−π3）+1．
（1）求函数f（x）取得最大值时x的取值集合；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．
39．已知函数f（x）＝cos（πΩx﹣φ）（Ω＞0，0≤φ＜2π）的图象关于y轴对称．
（1）求φ的值；
（2）若函数f（x）在（0，3）上单调递减，试求当Ω取最小值时，f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）的值．
40．已知函数f（x）＝cos（2x−π3）+2sin（x−π4）sin（x+π4）．
（1）求函数y＝f（x）的单调增区间；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足c＝23，f（C）＝1，且点O满足|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，求CO→•（CA→+CB→）的取值范围．

人教版2022届一轮复习打地基练习 余弦函数的图像
参考答案与试题解析
一．选择题（共19小题）
1．在同一直角坐标系xOy中，函数y＝cosx与y＝﹣cosx的图象之间的关系是（　　）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于直线y＝x对称 D．关于直线y＝﹣x对称
【分析】根据当自变量相同时，它们的函数值相反，可得它们的图象关于x轴对称．
【解答】解：由于当自变量相同时，它们的函数值相反，故它们的图象关于x轴对称，
故选：A．
2．已知函数f（x）＝Asinωx（A＞0，ω＞0）与g（x）=A2cosωx的部分图象如图所示，则（　　）

A．A＝1，ω=3π B．A＝2，ω=π3 C．A＝1，ω=π3 D．A＝2，ω=3π
【分析】结合图象可知，12A＝1，T4=1.5，然后再由周期公式即可求解ω
【解答】解：由图象可知，12A＝1，T4=1.5，
∴A＝2，T＝6，
又6＝T=2πω，
∴ω=13π，
故选：B．
3．在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f（x）的图象恰好通过k（k∈N*）个格点，则称函数f（x）为k阶格点函数．对下列4个函数：①f(x)=−cos(π2−x)；②f(x)=(13)x；③f（x）＝3π（x﹣1）2+2；④f（x）＝log0.5x；其中是一阶格点函数的有（　　）
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
【分析】根据题意，依次分析4个所给的函数，①利用诱导公式化简后，求出整数点的个数，判定是否满足题意；②找出反例判断正误．③找出满足题意的点的个数是即可判断正误；④利用对数函数与指数函数的互化，找出整点的个数即可判定正误，进而可得答案．
【解答】解：显然点（0，0）是函数f(x)=−cos(π2−x)=−sinx的图象上，而且函数只有最高点和最低点以及图象与x轴的交点处，
横坐标都不是整点，所以函数f(x)=−cos(π2−x)是一阶格点函数．
f（x）＝3π（x﹣1）2+2的图象上点（1，2）为整点，当x≠1的整数时，函数值都不是整数，故函数是一阶格点函数；
函数f(x)=(13)x中，当x取负整数或0时，都是整点，不成立；
当x=(12)n(n=0，1，2，3，⋯)，都是整点，故函数f（x）＝log0.5x不是一阶格点函数．
故选：A．
4．若f（x）＝2cos（ωx+φ）+m（ω＞0）对任意实数t都有f（t+π4）＝f（﹣t），且f（π8）＝﹣1，则实数m的值等于（　　）
A．﹣3或1 B．﹣1或3 C．±3 D．±1
【分析】根据f（t+π4）＝f（﹣t）得出函数f（x）的对称轴即函数取得最值的x值，结合f（π8）＝﹣1求出m的值．
【解答】解：f（x）＝2cos（ωx+φ）+m（ω＞0）对任意实数t都有f（t+π4）＝f（﹣t），
所以函数f（x）的对称轴是x=π42=π8，此时函数f（x）取得最值，
又f（π8）＝﹣1，
所以﹣1＝±2+m，
解得m＝1或﹣3．
故选：A．
5．函数f（x）＝Acos（ωx+φ）的部分图象如图所示，给出以下结论：
①f（x）的最小正周期为2
②f（x）的一条对称轴为x=−12
③f（x）在（k−14，k+34）（k∈Z）上单调递减
④f（x）的最大值为A
其中正确的结论个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据图象判断函数的解析式f（x）＝Acos（ωx+φ），结合三角函数的性质即可得到结论．
【解答】解：由图易知最小正周期为T＝2×（54−14）＝2，①正确；
由图知，左侧第一个零点为：14−1=−34，所以对称轴为：x=−34+142=−14，所以x=−12不是对称轴，②不正确；
因为数f（x）＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为2，所以③不正确；
因为A正负不定，所以④不正确．
所以只有①正确．
故选：A．
6．若函数y＝|cosx|，（x＞0）与直线y＝kx有且仅有两个公共点，其横坐标分别为α、β，且α＜β，则（　　）
A．β=cosβcosα B．β=αcosβcosα
C．β=cosβk D．β=−cosβsinβ
【分析】利用数形结合，结合导数的几何意义，即可得到结论．
【解答】解：若函数y＝|cosx|，（x＞0）与直线y＝kx有且仅有两个公共点，
则直线y＝kx与y＝﹣cosx在（π2，π）内相切，
y′＝f′（x）＝sinx，即k＝sinβ，
由kβ＝﹣cosβ，
消去k得sinβ•β＝﹣cosβ，
即β=−cosβsinβ，
故选：D．

7．已知函数y＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2）的部分图象如图所示，则φ＝（　　）

A．π3 B．π6 C．−π6 D．−π3
【分析】根据题意，先由周期求出ω，再由五点法作图求出φ的值．
【解答】解：函数y＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2）的部分图象，
可得14⋅2πω=2π3+π3，∴ω=12．
再根据五点法作图，12×2π3+φ＝0，∴φ=−π3，故函数y＝Acos（2x−π3）．
故选：D．
8．已知定义在正整数集上的函数f(x)=sinπx2和g(x)=cosπx2，则当x∈[0，2020]时，y＝f（x）图象在y＝g（x）图象上方的点的个数为（　　）
A．505 B．504 C．1010 D．1009
【分析】直接利用三角函数的图象和性质，主要利用周期性的应用求出结果．
【解答】解：根据函数f(x)=sinπx2和g(x)=cosπx2的图象，他们的最小正周期为4，
由于当x∈[0，2020]时，对函数f(x)=sinπx2正好有505个正周期，
当定义在正整数集上y＝f（x）图象在y＝g（x）图象上方的点在第一个最小正周期内有两个正整数点为1和2．第二个正周期的整数点为5和6，…，
所以在x∈[0，2020]时，有505×2＝1010个整数点．
故选：C．
9．已知函数f(x)=Acos(ωx+π6)(A＞0，ω＞0)，若f（x）在区间[0，2π]上有且仅有4个零点和1个极大值点，则ω的取值范围是（　　）
A．[53，2312) B．[1112，2312) C．[53，136) D．[2312，136)
【分析】由x∈[0，2π]，得ωx+π6∈[π6，2πω+π6]，结合已知条件，可得得7π2≤2πω+π6＜9π2①，2π≤2πω+π6＜4π②，联立①②式，即可求解．
【解答】解：由x∈[0，2π]，得ωx+π6∈[π6，2πω+π6]，
由A＞0，ω＞0，f（x）在区间[0，2π]上有且仅有4个零点得7π2≤2πω+π6＜9π2①，
又f（x）在区间[0，2π]上有且仅有1个极大值点，2π≤2πω+π6＜4π②，
依题意需同时满足①②式，
于是得7π2≤2πω+π6＜4π，即10π3≤2πω＜23π6，
解得53≤ω＜2312，故ω的取值范围是[53，2312)．
故选：A．
10．已知函数f（x）＝2cos（ωx+π3）﹣3（ω＞0）在区间[0，π2]上单调递减，则ω的最大值为（　　）
A．1 B．43 C．65 D．32
【分析】直接利用余弦型函数性质的应用和不等式的应用求出结果．
【解答】解：令f（x）＝2cos（ωx+π3）﹣3=−2−3，
即ωx+π3=2kπ+π（k∈Z），
所以x=2π3+2kπω（k∈Z），
由于ω＞0，
当x＞0时，xmin=2π3ω，
由于函数区间[0，π2]上单调递减，
故2π3ω≥π2，
整理得0＜ω≤43．
故选：B．
11．已知函数f（x）＝4cos（2ωx+π6）﹣2（ω＞0）在[0，π]内有且仅有两个零点，则ω的取值范围是（　　）
A．.（32，136] B．[32，136） C．（34，1312] D．[34，1312）
【分析】由题意可得cos（2ωx+π6）=12在[0，π]内有且仅有两个解，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）＝4cos（2ωx+π6）﹣2（ω＞0）在[0，π]内有且仅有两个零点，则
即 cos（2ωx+π6）=12在[0，π]内有且仅有两个解．
当x∈[0，π]，则2ωx+π6∈[π6，2ωπ+π6]．
∴由于cosπ3=cos5π3=cos7π3，∴2ωπ+π6∈[5π3，7π3），∴ω∈[34，1312），
故选：D．
12．已知函数f(x)=cos(ωx+π6)(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图象（　　）
A．关于直线x=π6对称 B．关于点(π6，0)对称
C．关于直线x=π3对称 D．关于点(π3，0)对称
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．
【解答】解：函数f(x)=cos(ωx+π6)(ω＞0)的最小正周期为π，
所以f(x)=cos(2x+π6)，
当x=π6时，f（π6）＝0，
当x=π3时，f（π3）＝cos5π6=−32，
故选：B．
13．若函数y＝sin（x+φ）的一个对称中心为(π6，0)，则函数y＝cos（x+φ）的一条对称轴为（　　）
A．x=−π3 B．x=π6 C．x=π4 D．x=π3
【分析】结合相同角的y＝sin（x+φ）和y＝cos（x+φ）的图象的对称中心和对称轴在相同直线上进行求解即可．
【解答】解：∵函数y＝sin（x+φ）的对称中心和y＝cos（x+φ）的对称轴在一条直线上的，
∴若y＝sin（x+φ）的对称中心为(π6，0)，则函数y＝cos（x+φ）的一条对称轴为x=π6．
故选：B．
14．cos3x+cosx＝0在[0，2π]上所有根之和为（　　）
A．3π B．4π C．5π D．6π
【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得（4cos2x﹣2）cosx＝0，解得cosx＝0，或cosx＝±22，利用余弦函数的性质即可求解．
【解答】解：因为cos3x+cosx＝0，
所以cos（2x+x）+cosx＝0，
所以cos2xcosx﹣sin2xsinx+cosx＝0，
所以（2cos2x﹣1）cosx﹣2sin2xcosx+cosx＝0，化简可得（4cos2x﹣2）cosx＝0，
解得cosx＝0，或cosx＝±22，
可得x1，x2，x3，x4，x5，x6，共6个根，它们两两关于x＝π对称，所以6个根之和为6π．
故选：D．
15．如图是函数f（x）＝cos（πx+φ）（0＜φ＜π2）的部分图象，则f（6x0）＝（　　）

A．12 B．−12 C．−32 D．32
【分析】根据f（x）的部分图象求得φ和x0的值，再计算f（6x0）的值．
【解答】解：f（x）＝cos（πx+φ）的图象过点（0，32），
∴cosφ=32，
结合范围0＜φ＜π2，可得：φ=π6，
由图象可得：cos（πx0+π6）=32，
可得：πx0+π6=2π−π6=11π6，
解得：x0=53，
∴f（6x0）＝f（10）＝cos（10π+π6）＝cosπ6=32．
故选：D．
16．已知函数f（x）＝2cos（3x+φ）+3（|φ|≤π2），若∀x∈（−π6，π12），f（x）的图象恒在直线y＝3的上方，则φ的取值范围是（　　）
A．（π12，π2） B．[π6，π3] C．（0，π4） D．（−π6，π3）
【分析】根据函数f（x）的解析式，利用x的取值范围，结合题意即可求出φ的取值范围．
【解答】解：函数f（x）＝2cos（3x+φ）+3（|φ|≤π2），
当x∈（−π6，π12）时，3x+φ∈（−π2+φ，π4+φ），
又f（x）的图象恒在直线y＝3的上方，
∴2cos（3x+φ）+3＞3，∴cos（3x+φ）＞0，
∴−π2+φ＞−π2π4+φ＜π2，解得0＜φ＜π4，
∴φ的取值范围是（0，π4）．
故选：C．
17．已知函数y=3cos(ωx+π6)(ω＞0)的图象与直线y＝3相邻的两个公共点之间的距离为2π3，则ω的值为（　　）
A．3 B．23 C．13 D．32
【分析】利用三角函数的周期性可得答案．
【解答】解：已知函数y=3cos(ωx+π6)(ω＞0)的图象与直线y＝3相邻的两个公共点之间的距离为2π3，
则y＝3cos（ωx+π6）＝3，
即cos（ωx+π6）＝1时两个相邻解之间的距离为2π3，
即函数y＝cos（ωx+π6）一个周期间的距离为2π3，
2πω=2π3，
ω＝3，
故选：A．
18．已知函数y＝3cos（2x+π3）的定义域为[a，b]，值域为[﹣1，3]，则b﹣a的值可能是（　　）
A．2π3 B．π2 C．3π4 D．π
【分析】根据定义域和值域的关系，可求得满足题意的2x+π3的最大范围与最小范围，从而可求得b﹣a的范围，即可得到结论．
【解答】解：∵﹣1≤3cos（2x+π3）≤3，
∴−13≤cos（2x+π3）≤1．
∴−12＜−13≤cos（2x+π3）≤1．
则满足上述条件的2x+π3的最大范围是2kπ−2π3＜2x+π3≤2π3+2kπ（k∈Z），
即kπ−π2＜x≤π6+kπ（k∈Z），
∴（b﹣a）max＜π6+π2=2π3，排除C，D．
则满足上述条件的2x+π3的最小范围是2kπ≤2x+π3＜2π3+2kπ（k∈Z），
即kπ−π6≤x＜π6+kπ（k∈Z），
∴（b﹣a）min＞π6+π6=π3．排除A，
故b﹣a的值可能是π2．
故选：B．
19．已知函数f（x）＝2cos（ωx+π4ω）+1在（0，π8）上是减函数，则ω的最大值为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
【分析】求出f（x）的减区间I，令（0，π8）⊂I，解得ω的范围，由ω得范围非空求出k的最大值，代入ω得范围得出ω的最大值．
【解答】解：令2kπ≤ωx+π4ω≤2kπ+π，解得2kπω−π4≤x≤2kπω+πω−π4，
令（0，π8）⊂[2kπω−π4，2kπω+πω−π4]，得2kπω−π4≤0且2kπω+πω−π4≥π8，
解得8k≤ω≤16k+83．
∴8k≤16k+83，解得k≤1．
∴当k＝1时，8≤ω≤8．即ω＝8．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
20．对于函数f（x）＝2cos（2x+5π6），下列四个命题中正确的（　　）
A．f（x）的最小正周期是π
B．x=π12是f（x）图像的一条对称轴
C．f（x）的图像关于点（π6，0）对称
D．∃x∈[−π4，0]，使f（x）=3
【分析】根据三角函数的性质，即可分别求解．
【解答】解：∵函数f（x）＝2cos（2x+5π6），
∴f（x）的最小正周期T=2πω=2π2=π，故选项A正确，
∵f(π12)=2cos(2×π12+5π6)=−2，
∴x=π12 是图象的一条对称轴，故B选项正确，
f(π6)=2cos(2×π6+5π6)≠0，故C选项错误，
当x∈[−π4，0] 时，2x+5π6∈[π3，5π6]，
∴−3≤2cos(2x+5π6)≤1，故D选项错误．
故选：AB．
21．已知函数y＝sin（ωx+φ）与y＝cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）在x∈[0，522]的图象恰有三个不同的交点P，M，N．若△PMN为直角三角形，则（　　）
A．ω=22π
B．△PMN的面积S＝π
C．φ∈[−π4，π4]
D．两函数图象必在x=9π−4φ4ω处有交点
【分析】由已知推出△PMN的高为2的等腰直角三角形，进而求出函数的周期以及ω的值，也即可求出△PMN的面积，再由已知x的范围判断选项C，D是否正确即可．
【解答】解：∵两图象恰有三个交点P，M，N，且△PMN为直角三角形，
则△PMN的高为2，且是等腰直角三角形，
∴斜边长为22，即周期T＝22，∴2πω=22，解得ω=22π，故A正确．
∵△PMN的面积为S=12×2×22=2，故B错误．
当 x∈[0，522]时，ωx+φ∈[φ，5π2+φ]，
设t＝ωx+φ，则y＝sint与y＝cost的图象的交点分别为
（π4，22），（5π4，−22），（9π4，22），（13π4，−22），...，
∵有三个交点，则[π4，9π4]⊆[φ，5π2+φ]，即φ≤π45π2+φ≥9π4，
所以φ∈[−π4，π4]，故C正确，
当x=9π−4φ4ω时，ωx+φ=9π4，故D正确．故选：ACD．
22．已知函数f（x）＝2cos（ωx+π3）﹣1（ω＞0），若函数f（x）的三个相邻的零点分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），且|x1﹣x2|＝λ|x2﹣x3|=π3，则ω+λ的值可能是（　　）
A．52 B．92 C．4 D．6
【分析】由题意，利用余弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：函数f（x）＝2cos（ωx+π3）﹣1（ω＞0），若函数f（x）的三个相邻的零点分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），
即cos（ωx+π3）=12的三个相邻的解分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），
且|x1﹣x2|＝λ|x2﹣x3|=π3，
∴23×2πω=π3，∴ω＝4，λ＝2；或 13×2πω=π3，∴ω＝2，λ=12，
∴ω+λ＝6，或ω+λ=52，
故选：AD．
三．填空题（共11小题）
23．已知函数f（x）＝cos（3x+π3），其中x∈[π6，m]（m∈R且m＞π6），若f（x）的值域是[﹣1，−32]，则 m的最大值是　5π18　．
【分析】将x=π6带入f（x），可得f（π6）=−32，则x∈[π6，m]的值一定取得最小值﹣1，求解最低的对称轴，利用对称性可得答案．
【解答】解：函数f（x）＝cos（3x+π3），
当x=π6，可得f（π6）=−32，则x∈[π6，m]的值一定取得最小值﹣1，且f（m）≤−32．
对称轴方程：3x+π3=π+2kπ，
∴x=23kπ+2π9，k∈Z，
当k＝0时，对称轴x=2π9，
那么：12(π6+m)=2π9，
解得：m=5π18，
故答案为：5π18．
24．已知函数f（x）＝cos（x+π3）+cosx，则函数f（x）的单调递增区间为　[2kπ−7π6，2kπ−π6]（k∈Z）　．
【分析】首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用函数的性质求出函数的单调区间．
【解答】解：函数f（x）＝cos（x+π3）+cosx=12cosx−32sinx+cosx=3cos(x+π6)，
令2kπ−π≤x+π6≤2kπ（k∈Z），
解得2kπ−7π6≤x≤2kπ−π6（k∈Z）．
故函数的单调递减区间为：[2kπ−7π6，2kπ−π6]（k∈Z）．
故答案为：[2kπ−7π6，2kπ−π6]（k∈Z）．
25．若函数f(x)=2sin(wx−π6)(w＞0)和g（x）＝3cos（2x+φ）的图象的对称轴完全相同则当x∈[0，π]，关于x的不等式f（x）﹣1≥0的解集为　[π6，π2]　．
【分析】直接利用函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：由两函数图象对称轴相同可得两函数的周期相同，得2πw=2π2，
所以f(x)=2sin(2x−π6)(w＞0)，
则f（x）﹣1≥0，x∈[0，π]，
即为2sin(2x−π6)≥1，
解得x∈[π6，π2]．
故答案为：[π6，π2]
26．函数f（x）＝cos2πnx，x∈Z的值域由6个实数组成，则非零整数n的值是　±10或±11　．
【分析】根据题意，求出f（x）的周期，分析x可取的数值，结合余弦函数的性质分析其一个周期中的函数值个数，分n为奇数和偶数两种情况讨论，可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）＝cos2πnx，其周期T=2π|2πn|=|n|，
又由x∈Z，则周期[0，|n|]上，x可取的值为0，1，2，……，|n|﹣1，
若函数f（x）＝cos2πnx，x∈Z的值域由6个实数组成，
而其中f（1）＝f（|n|﹣1），f（2）＝f（|n|﹣2），……，
若n为偶数，除f（0）和f（|n|2）之外，有4个函数值，必有n＝±10，
若n为奇数，除f（0），有5个不同的函数值，必有n＝±11，
故答案为：±10或±11
27．已知ω＞0，在函数y＝3sinωx与y＝3cosωx图象的交点中，距离最短的两个交点间的距离为33，则ω的值是　π3　．
【分析】利用正弦、余弦函数的图象特征求得两函数图象的交点中距离最短的两个交点坐标，列方程求出ω的值．
【解答】解：由题意，分别令ωx=π4和5π4，解得x=π4ω和5π4ω；
所以两函数图象的交点中距离最短的两个交点为A（π4ω，322），B（5π4ω，−322）；
所以(5π4ω−π4ω)2+(−322−322)2=(33)2，
整理得(πω)2=9，
解得ω=π3．
故答案为：π3．
28．在平面直角坐标系xOy中，设A，B，C，D为函数y＝sinωx与y＝cosωx（ω＞0）的图象的四个相邻的交点，且四边形ABCD的面积为π，则ω的值为　22　．
【分析】作出两个函数的图象，得出四边形ABDC为平行四边形，结合四边形的面积公式进行转化求解即可．
【解答】解：作出两个函数的图象如图：
则四边形ABDC为平行四边形，
其中|AC|＝T，
由sinωx＝cosωx，即tanωx＝1，
则ωx=π4+kπ，k∈Z，
则x=π4ω+kπω，则当k＝0时，C（π4ω，22），
当k＝1时，D（5π4ω，−22），
则四边形ABDC的高h=22+22=2，
由四边形ABDC的面积为π，
即T⋅2=π，
即2πω⋅2=π，得ω＝22，
故答案为：22

29．已知函数y＝a+cosωx，x∈[﹣π，π]（其中a、ω为常数，且ω＞0）有且仅有三个零点，则ω的取值范围是 　[2，4）　．
【分析】利用函数的奇偶性得到a的值，然后将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合法求解即可．
【解答】解：函数y＝a+cosωx在[﹣π，π]上为偶函数，且函数有且仅有三个零点，
故必有一个零点为x＝0，
所以a+cos0＝0，解得a＝﹣1，
所以函数y＝cosωx﹣1，
则函数y＝cosωx﹣1在[﹣π，π]上有且仅有三个零点，
等价于y＝cosωx的图象与直线y＝1在[﹣π，π]上有且仅有三个交点，
当ω＝1时，函数y＝cosx与y＝1在[﹣π，π]上有且仅有一个交点，故ω＞1；
当ω＝2时，函数y＝cos2x与y＝1在[﹣π，π]上恰有3个交点，如图所示，故ω≥2，
当ω＝4时，函数y＝cos4x与y＝1在[﹣π，π]上恰有5个交点，如图所示，故ω＜4．
综上所述，ω的取值范围是[2，4）．
故答案为：[2，4）．


30．已知函数f(x)=cos(ωx−π6)(ω＞0)，若函数f（x）在(0，7π6)上没有零点，则ω的取值范围是　(0，47]　．
【分析】由题意利用余弦函数的图象及其性质，可得 7ωπ6−π6≤π2，由此求得ω的取值范围．
【解答】解：∵函数f(x)=cos(ωx−π6)(ω＞0)在(0，7π6)上没有零点，
结合ωx−π6∈（−π6，7ωπ6−π6），可得 7ωπ6−π6≤π2，
解得ω≤47，
所以，ω的取值范围是(0，47]，
故答案为：(0，47]．
31．函数f(x)=2cos(12x+π3)−1在（0，2020π）的零点个数为　1009　．
【分析】直接利用函数的零点和方程的根的关系及三角函数的图象和性质的应用求出结果．
【解答】解令 f（x）＝0等价于cos(12x+π3)=12．
因为0＜x＜2020π，
所以π3＜12x+π3＜1010π+π3．
由函数图象及性质可知，cost=12(t∈(π3，1010π+π3))共有1009个解，
故f(x)=2cos(12x+π3)−1，x∈(0，2020π)的零点个数为1009．
故答案为：1009
32．方程3sinx＝1+cos2x在区间[0，2π]上的所有解的和为 　π　．
【分析】由题意利用三角恒等变换，化简所给的方程为sinx=12，再利用正弦函数的图象特征，求得它的两个解，从而得出结论．
【解答】解：方程3sinx＝1+cos2x＝1+（1﹣2sin2x ），即 2sin2x+3sinx﹣2＝0，
解得sinx=12，sinx＝﹣2（舍去），
它在区间[0，2π]上共有2个解，这2个解分别为π6和5π6，
故这2个解的和为π6+5π6=π，
故答案为：π．
33．已知函数y＝sinx与函数y＝2cosx﹣1在区间(0，π2)上的图象的交点为P0，过点P0作x轴的垂线l，垂足为H，l与函数y＝tanx的图象交于点P1，则线段P1H的长为 　34　．
【分析】作出函数的图象，设P0（x0，y0），根据图象关系求出点的坐标即可．
【解答】解：设P0（x0，y0），则H（x0，0），P1（x0，tanx0），
∵y＝sinx与函数y＝2cosx﹣1在区间(0，π2)上的图象的交点为P0，
∴sinx0＝2cosx0﹣1＞0，则cosx0＞0，
代入sin2x0+cos2x0＝1得sinx0=35，cosx0=45，则tanx0=3545=34，
则|P1H|＝|tanx0|=34，
故答案为：34．

四．解答题（共7小题）
34．已知函数f（x）＝cosωx（ω＞0），其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为π2，
（Ⅰ）求f（x+π6）在区间[−π6，2π3]上的单调区间；
（Ⅱ）若α∈（5π12，π2），f（α+π3）=13，求sin2α的值．
【分析】（Ⅰ）由题意知函数f（x）的周期T，求出ω，写出f（x）解析式，再求函数f（x+π6）的单调增、减区间，从而得出结论；
（Ⅱ）根据f（α+π3）=13求出sin（2α−π3）的值，再化sin2α＝sin（2α−π3+π3），从而求出对应的三角函数值．
【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）＝cosωx（ω＞0）图象上相邻的两条对称轴之间的距离为π2，
知T＝π，∴ω=2πT=2，
∴f（x）＝cos2x，
∴f(x+π6)=cos(2x+π3)；
令2kπ−π≤2x+π3≤2kπ，
解得kπ−2π3≤x≤kπ−π6，
∴函数f（x+π6）的单调增区间为[kπ−2π3，kπ−π6]，k∈Z；
单调减区间为[kπ−π6，kπ+π3]，k∈Z；
又x∈[−π6，2π3]，
∴f（x+π6）的单减区间为x∈[−π6，π3]，
单增区间为x∈[π3，2π3]；…（7分）
（Ⅱ）已知f（α+π3）＝cos[2（α+π3）]
＝cos（2α+2π3）
＝﹣cos（2α−π3）=13，
∴cos(2α−π3)=−13，
又α∈(5π12，π2)，
∴2α−π3∈(π2，2π3)，
∴sin(2α−π3)=223；
∴sin2α＝sin（2α−π3+π3）
＝sin（2α−π3）cosπ3+cos（2α−π3）sinπ3
=223×12+（−13）×32
=22−36．…（13分）
35．已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的部分图象，如图所示．
（1）求函数解析式，并求出函数的单调增区间；
（2）若方程f（x）＝m在[−π6，13π12]有两个不同的实根，求m的取值范围．

【分析】（1）由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由题意可得直线y＝m和函数f（x）的图象在[−π6，13π12]有两个不同的交点，数形结合求得m的范围．
【解答】解：（1）由函数f（x）＝cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的部分图象，
可得12⋅2πω=5π6−π3，求得ω＝2．
再根据五点法作图可得2•π3+φ＝π，∴φ=π3，f（x）＝cos（2x+π3）．
令2kπ+π≤2x+π3≤2kπ+2π，求得kπ+π3≤x≤kπ+5π6，
∴函数f（x）的增区间为[kπ+π3，kπ+5π6]，k∈Z．
（2）若方程f（x）＝m在[−π6，13π12]有两个不同的实根，
故直线y＝m和函数f（x）的图象在[−π6，13π12]有两个不同的交点．
数形结合可得m＝1或 m∈（﹣1，0）．

36．若函数f（x）＝cos（ωx+φ），ω＞0，|φ|＜π2）的一个零点与之相邻的对称轴之间的距离为π4，且x=2π3时f（x）有最小值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x∈[π4，5π6]，求f（x）的值域．
【分析】（1）根据函数f（x）的图象和性质，求出最小正周期T、ω和φ的值，
从而写出f（x）的解析式；
（2）根据x的取值范围求出2x−π3的取值范围，从而求出f（x）的最小、最大值，
即可得出f（x）的值域．
【解答】解：（1）∵函数f（x）的一个零点与之相邻的对称轴之间的距离为π4，
∴f（x）的周期为T＝π，即2πω=π，∴ω＝2；
又∵x=2π3时f（x）有最小值，
∴f（2π3）＝cos（4π3+φ）＝﹣1，
∴4π3+φ＝2kπ+π，解得φ＝2kπ−π3，
∵|φ|＜π2，∴φ=−π3，
∴f（x）＝cos（2x−π3）；
（2）∵x∈[π4，5π6]，∴π6≤2x−π3≤4π3，
∴当2x−π3=π时，f（x）取得最小值﹣1，
当2x−π3=π6时，f（x）取得最大值32，
∴f（x）的值域是[﹣1，32]．
37．已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)的最小正周期为π，直线x=−π24为它的图象的一条对称轴．
（1）当x∈[−5π24，5π24]时，求函数f（x）的值域；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，若f(−A2)=2，a=3，求b+c的最大值．
【分析】（1）根据三角函数的性质求出函数的解析式，求出角的范围，利用三角函数的单调性进行求解即可．
（2）f(−A2)=2，a=3，求出角A的大小，利用余弦定理和基本不等式解得b+c≤6．
【解答】解：（1）∵函数的周期是π，
∴T=2πω=π，则ω＝2，
则f（x）＝2cos（2x+φ），
∵x=−π24为它的图象的一条对称轴，
∴2×（−π24）+φ＝kπ，k∈Z，
即φ＝kπ+π12，
∵0＜φ＜π2，
∴当k＝0时，φ=π12，
即f（x）＝2cos（2x+π12），
若x∈[−5π24，5π24]时，2x∈[−5π12，5π12]，
2x+π12∈[−π3，π2]，
即当2x+π12=0时，函数f（x）取得最大值此时f（x）＝2，
当2x+π12=π2时，函数f（x）取得最小值此时f（x）＝0，
即函数的值域为[0，2]．
（2）若f(−A2)=2，a=3，
则2cos[2×(−A2)+π12]＝2cos（﹣A+π12）=2，
即cos（﹣A+π12）=22，
则cos（A−π12）=22，
∵0＜A＜π，∴−π12＜A−π12＜11π12，
即A−π12=π4，
即A=π3，
∵a＝3，
∴由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosπ3=b2+c2﹣bc＝9，
即（b+c）2﹣3bc＝9
即3bc＝（b+c）2﹣9，
∵bc≤（b+c2）2，（b+c）2﹣9≤3（b+c2）2，
即4（b+c）2﹣36≤3（b+c）2，
则（b+c）2≤36，
即0＜b+c≤6，
即b+c的最大值是6．
38．已知函数f（x）＝2cos（2x−π3）+1．
（1）求函数f（x）取得最大值时x的取值集合；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．
【分析】（1）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的最大及取得最值时相应的x的取值集合；
（2）令2kπ﹣π≤2x−π3≤2kπ，求得x的范围，可得函数f（x）的单调递增区间．
【解答】解：（1）当cos（2x−π3）＝1，2x−π3=2kπ，k∈Z时，
函数f（x）＝2cos（2x−π3）+1取得最大值3，
此时x＝kπ+π6，k∈Z，
所以函数f（x）取得最大值时x的取值集合为{x|x＝kπ+π6，k∈Z}．
（2）由2kπ﹣π≤2x−π3≤2kπ，k∈Z，
求得kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，
故函数f（x）的单调递增区间为[kπ−π3，kπ+π6]，k∈Z．
39．已知函数f（x）＝cos（πΩx﹣φ）（Ω＞0，0≤φ＜2π）的图象关于y轴对称．
（1）求φ的值；
（2）若函数f（x）在（0，3）上单调递减，试求当Ω取最小值时，f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）的值．
【分析】（1）由函数f（x）图象关于y轴对称求出φ的值，再根据0≤φ＜2π确定φ＝0或φ＝π；
（2）讨论φ＝π和φ＝0时，确定函数f（x）的解析式，再计算Ω取最小值时f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）的值．
【解答】解：（1）由函数f（x）＝cos（πΩx﹣φ）的图象关于y轴对称，
所以f（﹣x）＝f（x），
即cos（−πΩx﹣φ）＝cos（πΩx+φ）＝cos（πΩx﹣φ），
所以φ＝kπ；
又0≤φ＜2π，
所以φ＝0或φ＝π；
（2）若φ＝π，则f（x）＝﹣cosπΩx，可知函数f（x）不满足在（0，3）上单调递减；
若φ＝0，则函数f（x）＝cosπΩx，由Ω＞0，0＜x＜3，
得0＜πΩx＜3πΩ，
又f（x）在（0，3）上单调递减，所以3πΩ≤π，解得Ω≥3；
当Ω取最小值3时，f（x）＝cosπ3x，它的最小正周期为T=2ππ3=6，
所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）
＝336[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（6）]+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）
＝336×（cosπ3+cos2π3+cosπ+cos4π3+cos5π3+cos2π）+cosπ3+cos2π3+cosπ+cos4π3
＝336×0+12−12−1−12
=−32．
40．已知函数f（x）＝cos（2x−π3）+2sin（x−π4）sin（x+π4）．
（1）求函数y＝f（x）的单调增区间；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足c＝23，f（C）＝1，且点O满足|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，求CO→•（CA→+CB→）的取值范围．
【分析】（1）化简函数f（x）为正弦型函数，求出它的单调增区间即可；
（2）先求出C的值，再根据平面向量的数量积与模长公式，即可求出正确的结果．
【解答】解：（1）∵f(x)=cos(2x−π3)+2sin(x−π4)sin(x+π4)
=12cos2x+32sin2x+(sinx−cosx)(sinx+cosx)
=12cos2x+32sin2x+sin2x﹣cos2x
=12cos2x+32sin2x﹣cos2x
=32sin2x−12cos2x
＝sin（2x−π6）；…（3分）
令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，
得−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z；
∴f（x）的单调增区间为[kπ−π6，kπ+π3]，k∈Z；…（5分）
（2）f(C)=sin(2C−π6)=1，
∵0＜C＜π，0＜2C＜2π，
∴−π6＜2C−π6＜11π6，
∴2C−π6=π2，
解得C=π3，…（6分）
设CA，CB的中点分别为M，N，
∵O点满足|OA→|=|OB→|=|OC→|，∴O为△ABC的外心，
CO→•（CA→+CB→）=CO→•CA→+CO→•CB→
＝|CM→|×|CA→|+|CN→|×|CB→|
=12(a2+b2)⋯（8分）
=12(csinC)2（sin2A+sin2B）
＝8×2−cos2A−cos2B2
＝4（2﹣2cos（A+B）cos（A﹣B））
＝4（2+cos（A﹣B））（*），
又C=π3，∴A+B=2π3，
∴A﹣B=2π3−2B∈（−2π3，2π3）；
由（*）得A＝B=π3时，得最大值12，
则6＜4（2+cos（A﹣B））≤12，
故CO→•（CA→+CB→）的取值范围是[6，12]．…（12分）