人教版2022届一轮复习打地基练习 扇形计算公式

这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 扇形计算公式，共24页。试卷主要包含了下列选项正确的是等内容，欢迎下载使用。
人教版2022届一轮复习打地基练习 扇形计算公式
一．选择题（共6小题）
1．已知扇形的面积为4，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，这个扇形圆心角的弧度数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知扇形AOB的周长为10，面积为6，则该扇形的圆心角为（　　）
A．3 B．43或3 C．34 D．34或3
4．若扇形的圆心角为23π，半径为3，则此扇形的面积为（　　）
A．π B．54π C．33π D．239π
5．已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为π4，则这条弧所在的扇形面积为（　　）cm2
A．π2 B．π C．2π D．4π
6．已知扇形面积为4，周长为8，则该扇形的圆心角为（　　）弧度．
A．4 B．3 C．2 D．1
二．多选题（共1小题）
7．下列选项正确的是（　　）
A．sin(52π+α)=cosα
B．74πrad=315°
C．若α终边上有一点P（5，﹣3），则sinα=−35
D．若一扇形弧长为2，圆心角为90°，则该扇形的面积为π2
三．填空题（共17小题）
8．已知扇形的周长为8，扇形的圆心角的弧度数是2，则扇形的面积是　 　．
9．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式；弧田面积=12（弦×矢+矢2）．弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中，“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径等于4m的弧田，则矢是　 　m，所得弧田面积是　 　m2．

10．如图OPQ是半径为1，圆心角为90°的扇形，扇形内接矩形ABCD，且OA＝OD，则四边形ABCD面积的最大值为 　 　．

11．已知扇形的圆心角为π3，弧长是πcm，则扇形的面积是　 　cm2．
12．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为　 　．
13．已知半径为3的扇形面积为32π，则这个扇形的圆心角为　 　．
14．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数是 　 　．
15．迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，其中AB＝AE=32，∠A＝∠B＝∠E＝90°，曲线段CD是圆心角为90°的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为S，周长为L，则SL的最大值为 　 　.（本题中取π＝3进行计算）

16．若扇形的弧长和半径都为2，则此扇形的面积为　 　．
17．某设计师为天文馆设计科普宣传图片，其中有一款设计图如图所示.QRT是一个以点O为圆心、QT长为直径的半圆，QT＝23dm.QST的圆心为P，PQ＝PT＝2dm．QRT与QST所围的灰色区域QRTSQ即为某天所见的月亮形状，则该月亮形状的面积为　 　dm2．

18．已知一扇形的圆心角为60°，半径为2cm，则扇形的面积是　 　cm2．
19．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为　 　cm2．

20．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田（由圆弧和其所对弦所围成）面积的计算公式：弧田面积=12（弦×矢+矢2）、公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于圆弧的最高点到弦的距离，如图，弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧AB长为8π3，弧所在的圆的半径为4，则利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为 　 　．

21．已知扇形的半径与面积都为2，则这个扇形的圆心角的弧度数是　 　．
22．已知圆锥的侧面积为4πcm2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是　 　cm，母线长为　 　cm．
23．已知半径为r的扇形OAB的面积为1，周长为4，则r＝　 　．
24．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形．如图，已知某勒洛三角形的一段弧AB的长度为π，则该勒洛三角形的面积为　 　．

四．解答题（共7小题）
25．古希腊数学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数学，哪里就有美，哪里就有发现……”，对称美是数学美的一个重要组成部分，比如圆，正多边……，请解决以下问题：
（1）魏晋时期，我国古代数学家刘微在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，割圆术可以视为将一个圆内接正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，求sin3°的近似值（结果保留π）．
（2）正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，求证：R+r=a2tanπ2n．

26．如图，半径为1的扇形圆心角为π3，一个矩形的一边在扇形的半径上，求此矩形的最大面积．
27．已知一个扇形的周长为8π9+4，圆心角为80°，求这个扇形的面积．
28．如图，某游乐园的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，其两个出入口设置在点B及点C处，且园内有一条平行于AO的小路CD．已知某人从C沿CD走到D用了8分钟，从D沿DB走到B用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米．
（1）求△CDB的面积；
（2）求该扇形的半径OA的长．

29．如图，在扇形OPQ中，半径OP＝1，圆心角∠POQ=π3，A是半径OP上的动点，矩形ABCD内接于扇形OPQ，且OA＝OD．
（1）若∠BOP＝α，求线段AB的长；
（2）求矩形ABCD面积的最大值．

30．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD的两条线段围成．设圆弧AB、CD所在圆的半径分别为f（x）、R米，圆心角为θ（弧度）．
（1）若θ=π3，r1＝3，r2＝6，求花坛的面积；
（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD的长度为多少时，花坛的面积最大？

31．已知扇形的圆心角是α（α＞0），半径为R．
（1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l．
（2）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？

人教版2022届一轮复习打地基练习 扇形计算公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．已知扇形的面积为4，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】由题意利用扇形的面积公式可求扇形的半径，利用弧长公式可求弧长，即可得解扇形的周长．
【解答】解：根据题意知扇形的面积s＝4，扇形圆心角的弧度数θ＝2，
∵s=12θR2，可得：4=12×2×R2，解得R＝2，
∵l＝θR＝2×2＝4，
∴扇形的周长为l+2R＝4+2×2＝8．
故选：D．
2．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，这个扇形圆心角的弧度数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先根据扇形面积公式S=12lr，求出r＝2，再根据α=lr求出α．
【解答】解：设扇形的半径为r，圆心角为α，根据扇形面积公式S=12lr得6=12×6×r，
∴r＝2，
又扇形弧长公式l＝r•α，
∴α=lr=3．
故选：C．
3．已知扇形AOB的周长为10，面积为6，则该扇形的圆心角为（　　）
A．3 B．43或3 C．34 D．34或3
【分析】设扇形AOB的半径为r，弧长为l，根据题意列方程组求出l、r的值，即可求出扇形的圆心角．
【解答】解：如图所示，

设扇形AOB的半径为r，弧长为l，
由题意可得2r+l=1012lr=6，
解得l=6r=2或l=4r=3，
当l＝6，r＝2时，扇形的圆心角为α=lr=3；
当l＝4，r＝3时，扇形的圆心角为α=lr=43；
所以该扇形的圆心角为43或3．
故选：B．
4．若扇形的圆心角为23π，半径为3，则此扇形的面积为（　　）
A．π B．54π C．33π D．239π
【分析】利用扇形的面积公式可求扇形的面积．
【解答】解：∵扇形的圆心角为2π3，半径为3，
∴扇形的面积S=12×（3）2×2π3=π．
故选：A．
5．已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为π4，则这条弧所在的扇形面积为（　　）cm2
A．π2 B．π C．2π D．4π
【分析】先求出圆半径r=ππ4=4（cm），由此能求出这条弧所在的扇形面积．
【解答】解：弧长为πcm的弧所对的圆心角为π4，
∴圆半径r=ππ4=4（cm），
∴这条弧所在的扇形面积为S=12lr=12×π×4=2π（cm2）．
故选：C．
6．已知扇形面积为4，周长为8，则该扇形的圆心角为（　　）弧度．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由题意列方程组可出半径r和弧长l，代入α=lr计算即可．
【解答】解：设扇形的半径为r，弧长为l，
则由题意可得12lr＝4且2r+l＝8，解得l＝4，r＝2，
∴扇形的圆心角α=lr=2．
故选：C．
二．多选题（共1小题）
7．下列选项正确的是（　　）
A．sin(52π+α)=cosα
B．74πrad=315°
C．若α终边上有一点P（5，﹣3），则sinα=−35
D．若一扇形弧长为2，圆心角为90°，则该扇形的面积为π2
【分析】利用诱导公式判断选项A，由弧度制与角度制的互化，即可判断选项B，由三角函数的定义，即可判断选项C，由扇形的面积公式，即可判断选项D．
【解答】解：sin(52π+α)=sin(12π+α)=cosα，故A正确；
74πrad=74×180°=315°，故B正确；
若α终边上有一点P（5，﹣3），则sinα=−352+(−3)2=−33434，故C不正确；
若一扇形弧长为2，圆心角为90°，则该扇形的半径为4π，面积为12×2×4π=4π，故D不正确．
故选：AB．
三．填空题（共17小题）
8．已知扇形的周长为8，扇形的圆心角的弧度数是2，则扇形的面积是　4　．
【分析】设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积．
【解答】解：设扇形的半径为：R，所以，2R+2R＝8，所以R＝2，扇形的弧长为：4，半径为2，
扇形的面积为：S=12×4×2＝4
故答案为：4
9．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式；弧田面积=12（弦×矢+矢2）．弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中，“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径等于4m的弧田，则矢是　2　m，所得弧田面积是　43+2　m2．

【分析】根据题意画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系求出矢和弦的值，代入公式计算求值即可．
【解答】解：如图所示，由题意可得：∠AOB=2π3，OA＝4，
在Rt△AOD中，可得：∠AOD=π3，∠DAO=π6，OD=12AO=12×4＝2，
可得：矢＝4﹣2＝2，
由AD＝AO•sinπ3=4×32=23，
可得：弦＝2AD＝43，
所以：弧田面积=12（弦×矢+矢2）=12×（43×2+22）＝43+2．
故答案为：2，43+2．

10．如图OPQ是半径为1，圆心角为90°的扇形，扇形内接矩形ABCD，且OA＝OD，则四边形ABCD面积的最大值为 　2−1　．

【分析】BC＝2OC•sinα＝2sinα，（α∈（0，π4））．由对称性可得：△OAD为等边三角形，设OE∩AD＝F，则F为AD的中点，可得OF=12BC．DC＝OCcosα﹣OF，可得矩形ABCD面积S＝BC•DC，利用倍角公式、和差公式、三角函数的单调性即可得出．
【解答】解：由题意，如图所示，作∠POQ的角平分线OE交圆弧于E点，
可得BC＝2OC•sinα＝2sinα，α∈（0，π4），
由对称性可得：△OAD为等腰三角形，设OE∩AD＝F，则F为AD的中点，
∴OF=12BC＝sinα，
∴DC＝OCcosα﹣OF＝cosα−AFtan45°=cosα﹣sinα，
∴矩形ABCD面积S＝BC•DC
＝2sinα（cosα﹣sinα）
＝sin2α﹣（1﹣cos2α）
=2sin（2α+π4）﹣1．
∴当2α+π4=π2，即α=π8时，S取得最大值2−1．
故答案为：2−1．

11．已知扇形的圆心角为π3，弧长是πcm，则扇形的面积是　3π2　cm2．
【分析】由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积．
【解答】解：因为扇形的圆心角为π3，弧长是πcm，
所以：圆的半径为：ππ3=3，
所以：扇形的面积为：12×π×3=3π2cm2．
故答案为：3π2．
12．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为　6　．
【分析】先求出半径，再利用扇形面积公式即可求解．
【解答】解：半径r=l|α|=63=2，
根据扇形面积公式S=12|α|r2=12×3×22=6，
故答案为：6．
13．已知半径为3的扇形面积为32π，则这个扇形的圆心角为　π3　．
【分析】直接利用弧长、半径、圆心角公式，求出扇形圆心角的弧度数．
【解答】解：由题意可知，S扇形=32π，r＝3．
∴S扇形=12•α•r2，
即12•α•32=32π，
解得α=π3；
∴这个扇形的圆心角为π3．
故答案为：π3．
14．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数是 　1或4　．
【分析】设扇形的半径为r，弧长为 l，然后，建立等式，求解l、r，最后，求解圆心角即可．
【解答】解：设扇形的半径为r，弧长为 l，
则l+2r＝12，S=12lr＝8，
∴解得r＝2，l＝8或r＝4，l＝4，
可得α=lr=1或4．
故答案为：1或4．
15．迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，其中AB＝AE=32，∠A＝∠B＝∠E＝90°，曲线段CD是圆心角为90°的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为S，周长为L，则SL的最大值为 　12−315　.（本题中取π＝3进行计算）

【分析】设圆弧的半径为r，表示出L，S．构造函数SL=12⋅9−r212−r，把12﹣r看成整体进行变形，利用基本不等式求最值．
【解答】解：设圆弧的半径为r（0＜r＜32），则BC＝ED=32−r，CD=π2r=3r2．
所以周长L＝AB+BC+CD+DE+EA＝6−12r，面积S=[(32)2−r2]+12×r×3r2=94−r24．
所以SL=12⋅9−r212−r=12⋅−(12−r)2+24(12−r)−13512−r=12−12⋅[(12−r)+13512−r]≤12−12⋅2(12−r)⋅13512−r=12−315．
当且仅当12−r=13512−r，r=12−315时等号成立．
故答案为：12−315．
16．若扇形的弧长和半径都为2，则此扇形的面积为　2　．
【分析】根据扇形的面积=12×弧长×半径求出即可．
【解答】解：∵扇形的弧长和半径都为2，
∴S扇形=12lr=12×2×2＝2，
故答案为：2．
17．某设计师为天文馆设计科普宣传图片，其中有一款设计图如图所示.QRT是一个以点O为圆心、QT长为直径的半圆，QT＝23dm.QST的圆心为P，PQ＝PT＝2dm．QRT与QST所围的灰色区域QRTSQ即为某天所见的月亮形状，则该月亮形状的面积为　3+π6　dm2．

【分析】连接PO，可得PO⊥QT，由题意可得sin∠QPO=32，可求∠QPO，∠QPT的值，进而由图利用扇形的面积公式即可计算得解．
【解答】解：连接PO，可得PO⊥QT，
因为sin∠QPO=QOPQ=32，
所以∠QPO=π3，∠QPT=2π3，
所以月牙泉的面积为S=12×π×（3 ）2﹣（12×22×2π3−12×23×1）=3+π6dm2．
故答案为：3+π6．

18．已知一扇形的圆心角为60°，半径为2cm，则扇形的面积是　2π3　cm2．
【分析】由题意利用扇形的面积计算公式即可得出．
【解答】解：由题意可得，扇形的圆心角α=π3，半径r＝2cm，
所以扇形的面积S=12r2α=12×22×π3=2π3cm2．
故答案为：2π3．
19．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为　π4　cm2．

【分析】根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵∠BOC＝60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，
∴∠B′OC′＝60°，△BCO＝△B′C′O，
∴∠B′OC＝60°，∠C′B′O＝30°，
∴∠B′OB＝120°，
∵AB＝2cm，
∴OB＝1cm，OC′=12，
∴B′C′=32，
∴S扇形B′OB=120π×12360=π3，
S扇形C′OC=120π×14360=π12，
∴阴影部分面积＝S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC＝S扇形B′OB﹣S扇形C′OC=π3−π12=π4；
故答案为：π4．
20．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田（由圆弧和其所对弦所围成）面积的计算公式：弧田面积=12（弦×矢+矢2）、公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于圆弧的最高点到弦的距离，如图，弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧AB长为8π3，弧所在的圆的半径为4，则利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为 　83+2−16π3　．

【分析】根据题意画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系求出矢和弦的值，代入公式计算求值即可．
【解答】解：如图所示，由题意可得：∠AOB=8π34=2π3，OA＝4，
在Rt△AOD中，可得：∠AOD=π3，∠DAO=π6，OD=12AO=12×4＝2，
可得：矢＝4﹣2＝2，
由AD＝AO•sinπ3=4×32=23，
可得：弦＝2AD＝43，
所以：弧田面积=12（弦×矢+矢2）=12×（43×2+22）＝43+2．
实际面积=12×8π3×4−12×43×2=16π3−43．
所以43+2−16π3+43=83+2−16π3．
故答案是：83+2−16π3．

21．已知扇形的半径与面积都为2，则这个扇形的圆心角的弧度数是　1　．
【分析】设扇形的圆心角为α，由此求出弧长和面积，列方程求得α的值．
【解答】解：设扇形的圆心角为α，则弧长l＝2α，
所以扇形的面积为：
S=12rl=12×2×2α＝2，
解得α＝1．
故答案为：1．
22．已知圆锥的侧面积为4πcm2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是　2　cm，母线长为　22　cm．
【分析】设圆锥的母线为l，底面半径为r，利用扇形的面积公式可求l，根据圆锥的底面周长等于侧面展开图半圆的弧长，可求r的值，即可得解．
【解答】解：圆锥的侧面积为4πcm2，且它的侧面展开图是一个半圆，
设圆锥的母线为l，底面半径为r，
则12πl2＝4πcm2，解得l＝22cm，
由于圆锥的底面周长等于侧面展开图半圆的弧长，即2πr＝πl＝22π，
解得r=2．
故答案为：2，22．
23．已知半径为r的扇形OAB的面积为1，周长为4，则r＝　1　．
【分析】设扇形的圆心角为α，半径为r，由扇形的面积和周长列方程组求出r和α的值．
【解答】解：设扇形的圆心角为α，半径为r，
所以该扇形的面积为S=12αr2＝1，…①
周长为2r+αr＝4；…②
由①②解得r＝1，α＝2．
故答案为：1．
24．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形．如图，已知某勒洛三角形的一段弧AB的长度为π，则该勒洛三角形的面积为　9π−932　．

【分析】设等边三角形ABC的边长为a，由题意可得π3a=π，进而求出a的值，再求出扇形ACB的面积和等边三角形ABC的面积，从而求出该勒洛三角形的面积．
【解答】解：设等边三角形ABC的边长为a，
则π3a=π，解得a＝3，
所以弧AB与AC，BC围成的扇形的面积为16×πa2=32π，
所以该勒洛三角形的面积S=3×32π−2×12×3×332=9π−932．
故答案为：9π−932．
四．解答题（共7小题）
25．古希腊数学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数学，哪里就有美，哪里就有发现……”，对称美是数学美的一个重要组成部分，比如圆，正多边……，请解决以下问题：
（1）魏晋时期，我国古代数学家刘微在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，割圆术可以视为将一个圆内接正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，求sin3°的近似值（结果保留π）．
（2）正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，求证：R+r=a2tanπ2n．

【分析】（1）将一个单位元分成120个扇形，这120个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，然后结合扇形面积公式可求；
（2）结合锐角三角函数定义及二倍角公式进行化简即可证明．
【解答】（1）解：将一个单位元分成120个扇形，每个扇形的圆心角为3°，
因为这120个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，
所以120×12×1×1×sin3°=60sin3°≈π，
所以sin3°≈π60；
（2）证明：设O为内切圆的圆心，OA，OB分别为内切圆半径，则OB＝r，OA＝R，
所以θ=πn，AB=12a，
Rt△OAB中，sinθ=ABOA，即sinπn=12aR，
所以R=a2sinπn，
此时cosθ=OBOA，即cosπn=rR，
所以r＝R•cosπn=acosπn2sinπn，
所以R+r=a2sinπn+acosπn2sinπn=a(1+cosπn)2sinπn=2acos2π2n4sinπ2ncosπ2n=a2tanπ2n．

26．如图，半径为1的扇形圆心角为π3，一个矩形的一边在扇形的半径上，求此矩形的最大面积．
【分析】如图先用所给的角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型，再根据所建立的模型利用三角函数的性质求最值．
【解答】解：如图，在Rt△OCB中，设∠COB＝α，则OB＝cosα，BC＝sinα，
在Rt△OAD中，DAOA=tan60°=3，所以OA=33DA=33sinα．
∴AB＝OB﹣OA＝cosα−33sinα．
设矩形ABCD的面积为S，则S＝AB•BC＝（cosα−33sinα）sinα
＝sinαcosα−33sin2α
=12sin2α+36cos2α−36
=33（32sin2α+12cos2α）−36
=33sin（2α+π6）−36．
由于0＜α＜π3，所以当2α+π6=π2，即α=π6时，S最大=33−36=36．
因此，当α=π6时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为36．

27．已知一个扇形的周长为8π9+4，圆心角为80°，求这个扇形的面积．
【分析】设扇形的半径为r，面积为S，利用已知条件求出弧长与半径，然后求出扇形面积．
【解答】解：设扇形的半径为r，面积为S，由已知，扇形的圆心角为80°，即为4π9，
∴扇形的弧长为4π9r，由已知得：4π9r+2r=8π9+4，
∴解得：r＝2，
∴S=12•4π9r2=8π9．
故扇形的面积是8π9．
28．如图，某游乐园的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，其两个出入口设置在点B及点C处，且园内有一条平行于AO的小路CD．已知某人从C沿CD走到D用了8分钟，从D沿DB走到B用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米．
（1）求△CDB的面积；
（2）求该扇形的半径OA的长．

【分析】（1）由题意可得CD＝400（米），DB＝300（米），∠CDB＝120°，进而根据三角形的面积公式即可求解△CDB的面积S的值．
（2）设扇形的半径为r，连结CO，可得∠CDO＝60°，在△CDO中，利用余弦定理即可解得该扇形半径OA的长．
【解答】解：（1）由题意CD＝400（米），DB＝300（米），∠CDB＝120°，
可得△CDB的面积S=12×300×400×sin120°＝300003（平方米），
所以△CDB的面积为300003平方米．
（2）设扇形的半径为r，连结CO，
由题意∠CDO＝60°，
在△CDO中，OC2＝CD2+OD2﹣2 CD•OD•cos60°，
即r2＝4002+（r﹣300） 2﹣2×400×（r﹣300）×12，
解得r＝370（米），
则该扇形半径OA的长为370米．

29．如图，在扇形OPQ中，半径OP＝1，圆心角∠POQ=π3，A是半径OP上的动点，矩形ABCD内接于扇形OPQ，且OA＝OD．
（1）若∠BOP＝α，求线段AB的长；
（2）求矩形ABCD面积的最大值．

【分析】（1）直接利用三角函数的关系的应用求出AB的长；
（2）利用矩形的面积和三角函数关系式的变换的和正弦型函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：（1）∵∠POQ=π3且OA＝OD，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠DAO=π3，
又四边形ABCD为矩形，∠DAB=π2，
∴∠BAP=π6
在扇形OPQ中，半径OP＝1．
过B作OP的垂线，垂足为N，
∴BN＝OBsinα＝sinα，
在△ABN中，AB=BNsin∠BAP=BNsinπ6=2sinα
（2）矩形ABCD面积S＝|AB∥AD|，设∠BOP＝α，
由（1）可知|AB|＝2sinα，|BN|=sinα，|ON|=|OB|cosα=cosα，|AN|=|AB|cosπ6=3sinα，
∴|OA|=|ON|−|AN|=cosα−3sinα，
S扇ABCD=|AB|⋅|AD|=|AB|⋅|OA|=2sinα(cosα−3sinα)=sin2α+3cos2α−3，
=2sin(2α+π3)−3，
∵α∈(0，π3)，
∴2α+π3∈(π3，π)，
∴当2α+π3=π2，
即α=π12时，矩形ABCD面积取最大值，
最大值为2−3．
30．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD的两条线段围成．设圆弧AB、CD所在圆的半径分别为f（x）、R米，圆心角为θ（弧度）．
（1）若θ=π3，r1＝3，r2＝6，求花坛的面积；
（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD的长度为多少时，花坛的面积最大？

【分析】（1）设花坛的面积为S平方米.S=12r22θ−12r12θ，即可得出结论；
（2）记r2﹣r1＝x，则0＜x＜10，所以S=12(403−43x)x=−23(x−5)2+503，x∈(0，10)，即可得出结论．
【解答】解：（1）设花坛的面积为S平方米.S=12r22θ−12r12θ⋯（2分）
=12×36×π3−12×9×π3=92π(m2)⋯（4分）
答：花坛的面积为92π(m2)；…（5分）
（2）AB的长为r1θ米，CD的长为r2θ米，线段AD的长为（r2﹣r1）米
由题意知60•2（r2﹣r1）+90（r1θ+r2θ）＝1200
即4（r2﹣r1）+3（r2θ+r1θ）＝40*…（7分）
S=12r22θ−12r12θ=12(r2θ+r1θ)(r2−r1)⋯（9分）
由*式知，r2θ+r1θ=403−43(r2−r1)⋯（11分）
记r2﹣r1＝x，则0＜x＜10
所以S=12(403−43x)x=−23(x−5)2+503，x∈(0，10)⋯（13分）
当x＝5时，S取得最大值，即r2﹣r1＝5时，花坛的面积最大．…（15分）
答：当线段AD的长为5米时，花坛的面积最大．…（16分）
31．已知扇形的圆心角是α（α＞0），半径为R．
（1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l．
（2）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？
【分析】（1）由已知结合扇形的面积公式即可直接求解；
（2）结合扇形周长可得l与R的关系，然后结合二次函数性质可求扇形面积的最大值及此时的α．
【解答】解：（1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l＝αR=π3×10=10π3cm；
（2）由题意得l+2R＝20，
则S=12lR=（10﹣R）R＝﹣R2+10R，
根据二次函数的性质可知，当R＝5时，扇形面积取得最大值25，
又l＝20﹣2R＝10，α=lR=2．