人教版2022届一轮复习打地基练习 三角函数二倍角公式

这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 三角函数二倍角公式，共16页。
人教版2022届一轮复习打地基练习 三角函数二倍角公式
一．选择题（共7小题）
1．已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x的非负半轴重合，将α的终边按顺时针方向旋转π4后经过点（3，4），则sin2α＝（　　）
A．−1225 B．−725 C．725 D．2425
2．已知tanα=−25，则1+sin2αcos2α=（　　）
A．1318 B．522 C．−37 D．37
3．黄金分割比值是指将一条线段一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值．我们把满足上述分割的点称为该线段的黄金分割点，满足黄金分割比值的分割称为黄金分割．女生穿高跟鞋、空调温度的设置、埃菲尔铁塔的设计、很多国家国旗上的五角星都和黄金分割息息相关，也正是因为这个比值才让人类的设计产生了一种自然和谐美．已知连接正五边形的所有对角线能够形成国旗上的五角星，如图点D是线段AB的黄金分割点，由此推断cos144°＝（　　）

A．1−52 B．−5+14 C．1−54 D．−1−58
4．已知锐角α满足4cos2α＝1+sin2α，则cosα＝（　　）
A．34 B．43 C．53434 D．43434
5．已知sinx−cosx=12，则sin2x的值为（　　）
A．12 B．14 C．34 D．32
6．若tanα＝2，则2cos2α+sin2α＝（　　）
A．34 B．53 C．76 D．65
7．若tanθ=−13，则cos2θ＝（　　）
A．−45 B．−15 C．15 D．45
二．多选题（共1小题）
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cos2A−C2+cosB=52，且△ABC的面积为34b2，则角B不可能是（　　）
A．π6 B．π3 C．5π6 D．2π3
三．填空题（共15小题）
9．方程sinx=13+sin2x3tan2x在区间[0，2π]上的解为　 　．
10．计算1−cos270°1+cos40°=　 　．
11．已知：sinα+cosβ=32，则cos2α+cos2β的取值范围是　 　．
12．若cos(α+π12)=13，则sin(2α+2π3)=　 　．
13．已知sin(α+π4)=210，则sin2α＝　 　．
14．函数f（x）＝cos2x+cosx的最小值为　 　．
15．已知sinA=45，且A∈（π2，3π2），则sin（2A+π3）＝　 　．
16．若sin2α﹣sin2α＝0，则cos2α＝　 　．
17．已知sin（α+π6）=13，则cos（2π3−2α）的值为　 　．
18．函数f（x）＝sin2x﹣cos2x（x∈R）的最小正周期为　 　，最大值为　 　．
19．若α∈(π2，π)，cos2α=725，则sinαsin(3π2+α)=　 　．
20．已知tan(α−π4)=2，则cos2α的值是　 　．
21．已知sinθ+cosθ=15，且0≤θ≤π，则sin2θ＝　 　，cos2θ＝　 　．
22．函数f（x）＝sinx（sinx+3cosx）在区间[π4，π2]上的最大值是　 　．
23．已知sinθ+cosθ=−13，则sin2θ＝　 　．
四．解答题（共6小题）
24．已知f(x)=2sinx4cosx4−23sin2x4+3
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在闭区间[0，π]上的最小值并求当f（x）取最小值时x的取值．
25．已知函数f（x）＝sin2x﹣23sin2x+3+1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[−π6，π6]时，求f（x）的值域．
26．已知函数f（x）＝2cosx（sinx+cosx）+α，当x∈[0，π2]时，f（x）的最小值为﹣1．
（Ⅰ）求α的值及f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f(α)=23，α∈(π8，3π8)，求cos2α的值．
27．已知函数f（x）＝cosx2⋅(sinx2+3cosx2)
（1）当x∈[−π2，π2]时，求函数f（x）值域
（2）将函数f（x）的图象向右平移h（0＜h＜π）个单位，得到函数g（x）的图象关于直线x=π4对称，求g（x）单调递增区间．
28．已知函数f(x)=2sin2(π4+x)−3cos2x，x∈[π4，π2]．
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）求f（x）的单调区间．
29．已知函数f（x）＝（sinx+cosx）2﹣2sin2x
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ） A、B、C是△ABC的三内角，其对应的三边分别为a、b、c．若f（A8）=62，AB→⋅AC→=12，a=27，且b＜c，求b、c的长．

人教版2022届一轮复习打地基练习 三角函数二倍角公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x的非负半轴重合，将α的终边按顺时针方向旋转π4后经过点（3，4），则sin2α＝（　　）
A．−1225 B．−725 C．725 D．2425
【分析】由已知可得sin（α−π4）=45，再由sin2α＝cos（π2−2α）＝cos2（π4−α），展开二倍角的余弦求解．
【解答】解：由题意，sin（α−π4）=45，
∴sin2α＝cos（π2−2α）＝cos2（π4−α），
=1−2sin2(π4−α)=1−2sin2(α−π4)=1−2×(45)2=−725．
故选：B．
2．已知tanα=−25，则1+sin2αcos2α=（　　）
A．1318 B．522 C．−37 D．37
【分析】根据题意，利用1+sin2αcos2α=sin2α+cos2α+2sinαcosαcos2α−sin2α=tan2α+1+2tanα1−tan2α求解即可．
【解答】解：1+sin2αcos2α=sin2α+cos2α+2sinαcosαcos2α−sin2α=tan2α+1+2tanα1−tan2α，
将tanα=−25代入上式，得原式=(−25)2+1−451−(−25)2=4+25−2025−4=921=37．
故选：D．
3．黄金分割比值是指将一条线段一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值．我们把满足上述分割的点称为该线段的黄金分割点，满足黄金分割比值的分割称为黄金分割．女生穿高跟鞋、空调温度的设置、埃菲尔铁塔的设计、很多国家国旗上的五角星都和黄金分割息息相关，也正是因为这个比值才让人类的设计产生了一种自然和谐美．已知连接正五边形的所有对角线能够形成国旗上的五角星，如图点D是线段AB的黄金分割点，由此推断cos144°＝（　　）

A．1−52 B．−5+14 C．1−54 D．−1−58
【分析】由正五边形得每个角108°，以正五边形临边构成的等腰三角形底角是36°，根据五角星对称性得等腰三角形CAD中两底角为72°，可得cos72°，从而得到cos144°的值．
【解答】解：正五边形得每个角(5−2)×180°5=108°，
∴以正五边形临边构成的等腰三角形底角是36°，得∠ACD＝36°，
∴等腰△CAD中两底角为72°，
∴cos72°=12ADAC=12ADBD=12×5−12=5−14，
∴cos144°＝2cos272°﹣1=−5+14．
故选：B．
4．已知锐角α满足4cos2α＝1+sin2α，则cosα＝（　　）
A．34 B．43 C．53434 D．43434
【分析】由题意利用二倍角公式，同角三角函数的基本关系，求得cosα的值．
【解答】解：∵锐角α满足4cos2α＝1+sin2α，∴4（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）＝（cosα+sinα）2，
整理可得3cosα＝5sinα，即 tanα=sinαcosα=35，再根据 sin2α+cos2α＝1，
求得cosα=53434，
故选：C．
5．已知sinx−cosx=12，则sin2x的值为（　　）
A．12 B．14 C．34 D．32
【分析】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解．
【解答】解：∵sinx−cosx=12，
∴两边平方，可得：1﹣2sinxcosx＝1﹣sin2x=14，
∴解得：sin2x=34．
故选：C．
6．若tanα＝2，则2cos2α+sin2α＝（　　）
A．34 B．53 C．76 D．65
【分析】利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
【解答】解：∵tanα＝2，
∴2cos2α+sin2α=2cos2α+2sinαcosαsin2α+cos2α
=2+2tanαtan2α+1=2+2×222+1=65．
故选：D．
7．若tanθ=−13，则cos2θ＝（　　）
A．−45 B．−15 C．15 D．45
【分析】由已知利用倍角公式及同角三角函数基本关系式化简求值．
【解答】解：∵tanθ=−13，
∴cos2θ=cos2θ−sin2θcos2θ+sin2θ=1−tan2θ1+tan2θ=1−191+19=45．
故选：D．
二．多选题（共1小题）
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cos2A−C2+cosB=52，且△ABC的面积为34b2，则角B不可能是（　　）
A．π6 B．π3 C．5π6 D．2π3
【分析】由已知利用二倍角公式，两角和与差的余弦函数公式化简可得sinAsinC=34，利用三角形的面积公式，正弦定理结合sinB≠0，可求sinB的值，结合范围B∈（0，π），可求B=π3，2π3，又由已知可得cosB=52−2cos2A−C2≥12，从而可求B=π3．
【解答】解：因为2cos2A−C2+cosB=52，
可得1+cos（A﹣C）+cosB＝1+cos（A﹣C）﹣cos（A+C）＝1+cosAcosC+sinAsinC﹣cosAcosC+sinAsinC=52，可得sinAsinC=34，
因为△ABC的面积为34b2=12acsinB，可得34sin2B=12sinAsinCsinB，
由于sinB≠0，
可得34sinB=12sinAsinC=12×34=38，解得sinB=32，
因为B∈（0，π），
所以B=π3，2π3，
又因为cosB=52−2cos2A−C2≥52−2=12，
所以B=π3．
故选：ACD．
三．填空题（共15小题）
9．方程sinx=13+sin2x3tan2x在区间[0，2π]上的解为　π6或5π6　．
【分析】先利用商数关系、倍角公式等将方程化简成一个三角函数的三角方程，然后求解．
【解答】解：原方程右边=13+sin2x3sin2xcos2x=1+cos2x3=2−2sin2x3，
故原方程可化为：sinx=2−2sin2x3，即2sin2x+3sinx﹣2＝0，
解得sinx=12或sinx=−2(舍)，
故sinx=12，又∵x∈[0，2π]，
∴x=π6或5π6．
故答案为：π6或5π6．
10．计算1−cos270°1+cos40°=　12　．
【分析】利用二倍角公式，诱导公式即可化简求解．
【解答】解：1−cos270°1+cos40°=1−1+cos140°21+cos40°=1−cos140°2(1+cos40°)=1+cos40°2(1+cos40°)=12．
故答案为：12．
11．已知：sinα+cosβ=32，则cos2α+cos2β的取值范围是　[−32，32]　．
【分析】由已知利用二倍角公式化简可求cos2α+cos2β＝3（cosβ﹣sinα），由cosβ=32−sinα，得sinα的范围，从而可求cosβ−sinα=32−2sinα∈[−12，12]，进而得解．
【解答】解：∵sinα+cosβ=32，
∴cos2α+cos2β＝1﹣2sin2α+2cos2β﹣1＝2（sinα+cosβ）（cosβ﹣sinα）＝3（cosβ﹣sinα），
∵由sinα+cosβ=32，得，cosβ=32−sinα，易得：sinα∈[12，1]，
∴cosβ−sinα=32−2sinα∈[−12，12]，
∴cos2α+cos2β∈[−32，32]．
故答案为：[−32，32]．
12．若cos(α+π12)=13，则sin(2α+2π3)=　−79　．
【分析】由已知利用诱导公式，二倍角公式即可求解．
【解答】解：因为2α+2π3=2(α+π12)+π2，
则sin(2α+2π3)=cos2(α+π12)=2cos2(α+π12)−1=−79．
故答案为：−79．
13．已知sin(α+π4)=210，则sin2α＝　−2425　．
【分析】由题意利用两角和差的三角公式、二倍角公式，计算求得结果．
【解答】解：因为sin(α+π4)=210，可得sinα+cosα=15，所以sin2α+1=125，解得sin2α=−2425，
故答案为：−2425．
14．函数f（x）＝cos2x+cosx的最小值为　−98　．
【分析】利用二倍角公式以及二次函数的性质，结合余弦函数的值域，求解函数的最小值即可．
【解答】解：函数f（x）＝cos2x+cosx＝2cos2x+cosx﹣1，
当cosx=−14时，函数取得最小值：2×(−14)2−14−1=−98．
故答案为：−98．
15．已知sinA=45，且A∈（π2，3π2），则sin（2A+π3）＝　−24+7350　．
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得cosA，再利用二倍角公式求得sin2A、cos2A的值，再利用两角和的正弦公式，计算求得sin（2A+π3）的值．
【解答】解：∵已知sinA=45，且A∈（π2，3π2），∴cosA=−1−sin2A=−35，
∴sin2A＝2sinAcosA=−2425，cos2A＝2cos2A﹣1=−725，
则sin（2A+π3）＝sin2Acosπ3+cos2Asinπ3=−2425×12−725×32=−24+7350，
故答案为：−24+7350．
16．若sin2α﹣sin2α＝0，则cos2α＝　1，−35　．
【分析】化简已知可得sinα（2cosα﹣sinα）＝0，可得sinα＝0或tanα＝2，分类讨论利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：因为sin2α﹣sin2α＝2sinαcosα﹣sin2α＝0，即sinα（2cosα﹣sinα）＝0，
所以sinα＝0或tanα＝2，
当sinα＝0时，cos2α＝cos2α﹣sinα2＝1；
当tanα＝2时，cos2α＝cos2α﹣sin2α=cos2α−sin2αcos2α+sin2α=1−tan2α1+tan2α=1−41+4=−35．
故答案为：1，−35．
17．已知sin（α+π6）=13，则cos（2π3−2α）的值为　−79　．
【分析】由已知利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可计算求解．
【解答】解：∵sin（α+π6）=13，
∴cos（2π3−2α）＝cos[π﹣2（π6+α）]＝﹣cos2（π6+α）＝2sin2（π6+α）﹣1=−79．
故答案为：−79．
18．函数f（x）＝sin2x﹣cos2x（x∈R）的最小正周期为　π　，最大值为　1　．
【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式，再根据余弦函数的周期性，得出结论．
【解答】解：函数f（x）＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x（x∈R）的最小正周期为2π2=π，
显然，它的最大值为1，
故答案为：π；1．
19．若α∈(π2，π)，cos2α=725，则sinαsin(3π2+α)=　34　．
【分析】利用二倍角的余弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知可求tanα的值，利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．
【解答】解：因为α∈(π2，π)，cos2α=725=cos2α−sin2αcos2α+sin2α=1−tan2α1+tan2α，
整理可得tan2α=916，可得tanα=−34，
则sinαsin(3π2+α)=sinα−cosα=−tanα=34．
故答案为：34．
20．已知tan(α−π4)=2，则cos2α的值是　−45　．
【分析】由已知展开两角差的正切求得tanα，然后化弦为切求得cos2α．
【解答】解：由tan(α−π4)=2，得tanα−tanπ41+tanα⋅tanπ4=2，
即tanα−11+tanα=2，解得tanα＝﹣3．
∴cos2α=cos2α−sin2α=cos2α−sin2αcos2α+sin2α=1−tan2α1+tan2α=1−91+9=−45．
故答案为：−45．
21．已知sinθ+cosθ=15，且0≤θ≤π，则sin2θ＝　−2425　，cos2θ＝　−725　．
【分析】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式可得sin2θ的值，进而可求sinθ﹣cosθ的值，利用二倍角的余弦公式即可求解cos2θ的值．
【解答】解：因为sinθ+cosθ=15，
所以，两边平方，可得1+sin2θ=125，解得sin2θ=−2425＜0，
又0≤θ≤π，
所以sinθ﹣cosθ=(sinθ−cosθ)2=1−2sinθcosθ=1−(−2425)=75，
所以cos2θ＝cos2θ﹣sin2θ＝（cosθ﹣sinθ）（cosθ+sinθ）＝（−75）×15=−725．
故答案为：−2425，−725．
22．函数f（x）＝sinx（sinx+3cosx）在区间[π4，π2]上的最大值是　32　．
【分析】利用二倍角的正弦与余弦将f（x）＝sin2x+3sinxcosx转化为f（x）＝sin（2x−π6）+12，再利用正弦函数的性质即可求得在区间[π4，π2]上的最大值．
【解答】解：∵f（x）＝sin2x+3sinxcosx
=1−cos2x2+32sin2x
＝sin（2x−π6）+12．
又x∈[π4，π2]，
∴2x−π6∈[π3，5π6]，
∴sin（2x−π6）∈[12，1]，
∴sin（2x−π6）+12∈[1，32]．
即f（x）∈[1，32]．
故f（x）在区间[π4，π2]上的最大值为32．
故答案为：32．
23．已知sinθ+cosθ=−13，则sin2θ＝　−89　．
【分析】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式，即可得到结论．
【解答】解：因为sinθ+cosθ=−13，
两边平方，可得sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＝1+sin2θ=19，
可得sin2θ=−89．
故答案为：−89．
四．解答题（共6小题）
24．已知f(x)=2sinx4cosx4−23sin2x4+3
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在闭区间[0，π]上的最小值并求当f（x）取最小值时x的取值．
【分析】利用倍角公式和两角差的正弦公式化简解析式，再分析所得三角函数的性质．
【解答】解：（1）由题意得，f(x)=2sinx4cosx4−23sin2x4+3=sinx2+3（1﹣2sin2x4）＝sinx2+3cosx2
＝2sin（x2+π3）
∴函数f（x）的最小正周期T=2π12=4π，
（2）由0≤x≤π得，π3≤x2+π3≤5π6，
∴当x2+π3=5π6时，f（x）取得最小值1，此时x＝π；
即x＝π时，f（x）取最小值是1．
25．已知函数f（x）＝sin2x﹣23sin2x+3+1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[−π6，π6]时，求f（x）的值域．
【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简得f（x）＝2sin（2x+π3）+1，再利用三角函数的周期公式，即可算出f（x）的最小正周期；
（2）由x∈[−π6，π6]得2x+π3∈[0，2π3]，利用正弦函数的图象与性质算出sin（2x+π3）∈[0，1]，即可得到函数f（x）的值域．
【解答】解：（1）∵f（x）＝sin2x﹣23sin2x+3+1＝sin2x+3cos2x+1＝2sin（2x+π3）+1，
∴函数f（x）的最小正周期T=2π2=π；
（2）∵x∈[−π6，π6]可得2x+π3∈[0，2π3]，
∴sin（2x+π3）∈[0，1]，可得2sin（2x+π3）+1∈[1，3]，
由此可得f（x）＝2sin（2x+π3）+1的值域为[1，3]．
26．已知函数f（x）＝2cosx（sinx+cosx）+α，当x∈[0，π2]时，f（x）的最小值为﹣1．
（Ⅰ）求α的值及f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f(α)=23，α∈(π8，3π8)，求cos2α的值．
【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2x+π4）+a+1，由x∈[0，π2]，可得范围2x+π4∈[π4，5π4]，可求2sin（2x+π4）∈[﹣1，2]，结合f（x）min＝﹣1+a+1＝﹣1，可求a的值，进而根据正弦函数的单调性即可求解．
（Ⅱ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos（2α+π4）的值，进而根据两角差的余弦函数公式即可计算求解．
【解答】解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）＝2cosx（sinx+cosx）+a＝2sinxcosx+2cos2x+a＝sin2x+cos2x+a+1=2sin（2x+π4）+a+1，
∵x∈[0，π2]，2x+π4∈[π4，5π4]，
∴2sin（2x+π4）∈[﹣1，2]，
∵f（x）min＝﹣1+a+1＝﹣1，
∴a＝﹣1，
∴f（x）=2sin（2x+π4），
由2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，k∈Z，可解得kπ−3π8≤x≤kπ+π8，
∴函数f（x）的单调递增区间为：[kπ−3π8，kπ+π8]，（k∈Z）；
（Ⅱ）∵f(α)=23，α∈(π8，3π8)，
∴sin（2α+π4）=13，2α+π4∈（π2，π），
∴cos（2α+π4）=−223，
∴cos2α＝cos[（2α+π4）−π4]＝cos（2α+π4）cosπ4+sin（2α+π4）sinπ4=2−46．
27．已知函数f（x）＝cosx2⋅(sinx2+3cosx2)
（1）当x∈[−π2，π2]时，求函数f（x）值域
（2）将函数f（x）的图象向右平移h（0＜h＜π）个单位，得到函数g（x）的图象关于直线x=π4对称，求g（x）单调递增区间．
【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 sin（x+π3）+32，根据x的范围求出f（x）的值域．
（2）根据y＝Asin（ωx+∅）的图象变换规律求得g（x）＝sin（x﹣h+π3）+32，由g（x）的图象关于直线x=π4对称，可得π4−h+π3=kπ+π2，k∈z，求出h的值，可得g（x）的解析式为g（x）＝sin（x+π4）+32，令2kπ−π2≤x+π4≤2kπ+π2，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的增区间．
【解答】解：（1）f（x）＝cosx2⋅(sinx2+3cosx2)=12sinx+32•（1+cosx）＝sin（x+π3）+32．
∵当x∈[−π2，π2]，∴x+π3∈[−π6，5π6]，∴sin（x+π3）∈[−12，1]，
∴f（x）的值域为[3−12，3+22]．
（2）将函数f（x）的图象向右平移h（0＜h＜π）个单位，得到函数g（x）＝sin（x﹣h+π3）+32的图象．
再由g（x）的图象关于直线x=π4对称，可得π4−h+π3=kπ+π2，k∈z．
即 h＝﹣kπ+π12，∴h=π12，故函数g（x）＝sin（x+π4）+32．
令2kπ−π2≤x+π4≤2kπ+π2，k∈z，求得 2kπ−3π4≤x≤2kπ+π4，k∈z，
故函数的增区间为[2kπ−3π4，2kπ+π4]，k∈z．
28．已知函数f(x)=2sin2(π4+x)−3cos2x，x∈[π4，π2]．
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）求f（x）的单调区间．
【分析】（1）先利用二倍角公式化简，再利用差角的正弦函数化简函数，可得f(x)=1+2sin(2x−π3)，根据已知角的范围，确定2x−π3∈[π6，2π3]，从而得解；
（2）根据）2x−π3∈[π6，2π3]，可得2x−π3∈[π6，π2]时，函数单调增，2x−π3∈[π2，2π3]时，函数单调减，故可解．
【解答】解：（1）由题意，函数可化为：f(x)=1+sin2x−3cos2x=1+2sin(2x−π3)
∵x∈[π4，π2]
∴2x−π3∈[π6，2π3]
∴sin(2x−π3)∈[12，1]
∴f（x）∈[2，3]
∴f（x）的最大值和最小值分别为3，2；
（2）∵2x−π3∈[π6，2π3]
∴2x−π3∈[π6，π2]时，函数单调增，2x−π3∈[π2，2π3]时，函数单调减．
∴函数单调增区间为[π4，5π12]，函数单调减区间为[5π12，π]
29．已知函数f（x）＝（sinx+cosx）2﹣2sin2x
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ） A、B、C是△ABC的三内角，其对应的三边分别为a、b、c．若f（A8）=62，AB→⋅AC→=12，a=27，且b＜c，求b、c的长．
【分析】（I）将f（x）展开并运用二倍角的三角函数公式和辅助角公式化简整理，可得f（x）=2sin（2x+π4），再利用正弦函数单调区间的公式解关于x的不等式，即可得到f（x）的单调递减区间；
（II）将A8代入（I）中的关系式，解出A=π3．根据AB→⋅AC→=12列式，可得bc＝24，再根据余弦定理结合配方解出b+c＝10，由此即可解出b、c的长．
【解答】解：（Ⅰ）f （x）＝sin2x+2sincosx+cos2x﹣2sin2x＝﹣sin2x+cos2x+sin2x
＝sin2x+cos2x=2sin（2x+π4），
令π2+2kπ≤2x+π4≤3π2+2kπ（k∈Z），解得π8+kπ≤x≤5π8+kπ（k∈Z），
∴f （x）的单调递减区间为[π8+kπ，5π8+kπ]（k∈Z）． …（6分）
（Ⅱ）f （A8）=2sin（A4+π4）=62，即sin（A4+π4）=32，
∴A4+π4=π3或2π3，即A=π3或5π3（不符合题意，舍去）．
由AB→⋅AC→=c•b•cosA＝12和cosA=12，得bc＝24．①
∵a=27，cosA=b2+c2−a22bc=12，
∴将bc＝24代入，化简并解之可得b2+c2＝52．
∵b2+c2+2bc＝（b+c）2＝100，b＞0，c＞0，
∴b+c＝10，②
联解①②，解之得b＝4、c＝6或b＝6、c＝4
∵b＜c，∴b＝6、c＝4不合题意，舍去
可得 b、c 的长分别为4，6． …（12分）