人教版2022届一轮复习打地基练习 三角函数中的恒等变换

这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 三角函数中的恒等变换，共21页。试卷主要包含了已知函数f，函数f等内容，欢迎下载使用。
人教版2022届一轮复习打地基练习 三角函数中的恒等变换
一．选择题（共12小题）
1．已知函数f（x）＝2sinxcosx﹣sin（3π2−2x），则下列说法正确的是（　　）
A．函数f（x）的周期为2π
B．函数f（x）的单调递增区间为[π8+kπ，5π8+kπ]（k∈Z）
C．将函数f（x）的图象向右移动π4个单位后关于原点对称
D．当x∈[0，π2]时，f（x）∈[﹣1，2]
2．sin210°+cos270°+3sin10°cos70°的值为（　　）
A．12 B．1 C．14 D．2
3．已知函数f（x）＝sin（ωx+2φ）﹣2sinφcos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）在（π，3π2）上单调递减，则ω的取值范围是（　　）
A．（0，2] B．（0，12] C．[12，1] D．[12，54]
4．已知函数f(x)=sinωx−3cosωx（ω＞0，x∈R），若函数f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（　　）
A．[13，23] B．[16，712]
C．[13，23]∪(0，16] D．[16，712]∪(0，112]
5．已知函数f（x）＝（2cos2x﹣1）sin2x+12cos4x，若α∈（π2，π）且f（α）=22，则α的值是（　　）
A．5π8 B．11π16 C．9π16 D．7π8
6．函数f(x)=4sinxcosx−1的定义域是（　　）
A．[2kπ+π6，2kπ+π3](k∈Z)
B．[kπ+π6，kπ+π3](k∈Z)
C．[2kπ+π12，2kπ+5π12](k∈Z)
D．[kπ+π12，kπ+5π12](k∈Z)
7．已知函数f（x）=23sinxcosx+sin2x﹣cos2x，则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）的图象关于点（512π，0）对称
B．f（x）在[π4，π2]上的值域为[3，2]
C．若f（x1）＝f（x2）＝2，则x1﹣x2＝2kπ，k∈Z
D．将f（x）的图象向右平移π6个单位得g（x）＝﹣2cos2x的图象
8．若M＝tanα2•sinα+cosα，N＝tanπ8（tanπ8+2），则M和N的大小关系是（　　）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．M和N无关
9．已知函数f（x）＝sin2x−3cos2x，将y＝f（x）的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．函数f（x）＝2cos（2x+θ）sinθ﹣sin2（x+θ）（θ为常数）图象的一个对称中心的坐标为（　　）
A．（−π4，0） B．（0，0） C．（π4，0） D．（π6，0）
11．如果sinα1+cosα=12，那么sinα+cosα的值是（　　）
A．75 B．85 C．1 D．2915
12．已知向量a→=（cosπ6，sinπ6），b→=（cos5π6，sin5π6），则|a→−b→|＝（　　）
A．1 B．62 C．3 D．102
二．填空题（共11小题）
13．函数f（x）＝2cos2x+2sinxcosx在x∈(0，π2)上的值域为　 　．
14．设α，β∈（0，π2），且tanα=1+sinβcosβ，则2α﹣β＝　 　．
15．已知向量a→=(3sinx，m+cosx)，向量b→=（cosx，﹣m+cosx），函数f（x）=a→•b→，下列关于函数f（x）的结论中正确的是　 　．
①最小正周期为π； ②关于直线x=π6对称；
③关于点(512π，0)中心对称； ④值域为[32−m2，−12−m2]．
16．若方程cos2x﹣cosx+a＝0在x∈[π4，4π3]上有且仅有两不同解，则实数a的范围为　 　．
17．若3sin2α+2sin2β＝2sinα，则sin2α+cos2β的取值范围是　 　．
18．已知函数f（x）=3cos2x+sin2x，则f（x） 的最小正周期是　 　．
19．函数f(x)=cosxsin(x+π3)−3cos2x+34在闭区间[−π4，π4]上的最小值是　 　．
20．设f（x）＝sinxcosx+3cos2x，则f（x）的单调递减区间是　 　．
21．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sinBsinC=12+cosCc，则sinC﹣sinB的取值范围为　 　．
22．下列函数中周期是2的函数是　 　
①y＝2cos2πx﹣1②y＝sinπx+cosπx③y=tan(π2x+π3)④y＝sinπxcosπx．
23．f（x）=sin2x1+cos2x+cos2x1+sin2x的值域为　 　．
三．解答题（共4小题）
24．已知函数f（x）=3sinωxsin（π2+ωx）﹣cos2ωx−12（ω＞0），其图象两相邻对称轴间的距离为π2．
（I）求ω的值；
（II）讨论函数f（x）在[0，π]上的单调性．
25．已知向量a→=（3cosx，cosx），b→=（0，sinx），c→=（sinx，cosx），d→=（sinx，sinx）．
（1）当x=π4时，求向量a→与b→的夹角θ；
（2）求c→⋅d→取得最大值时x的值；
（3）设函数f（x）＝（a→−b→）⋅(c→+d→)，将函数f（x）的图象向右平移s个单位长度，向上平移t个长度单位（s，t＞0）后得到函数g（x）的图象，且g（x）＝2sin2x+1；令m→=（s，t），求|m→|的最小值．
26．在△ABC中，求证：S△ABC=a22(cotB+cotC)．
27．已知x0，x0+π2是函数f（x）＝cos2（ωx−π6）﹣sin2ωx（ω＞0）的两个相邻的零点．
（Ⅰ）若对任意x∈[−2π3，0]，f（x）﹣m≤0恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若关于x的方程433f（x）﹣n＝1在x∈[−π3，π6]上有两个不同的解，求实数n的取值范围．

人教版2022届一轮复习打地基练习 三角函数中的恒等变换
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．已知函数f（x）＝2sinxcosx﹣sin（3π2−2x），则下列说法正确的是（　　）
A．函数f（x）的周期为2π
B．函数f（x）的单调递增区间为[π8+kπ，5π8+kπ]（k∈Z）
C．将函数f（x）的图象向右移动π4个单位后关于原点对称
D．当x∈[0，π2]时，f（x）∈[﹣1，2]
【分析】函数f（x）＝2sinxcosx﹣sin（3π2−2x）＝sin2x+cos2x=2sin(2x+π4)，由此利用三角函数的性质能求出结果．
【解答】解：∵函数f（x）＝2sinxcosx﹣sin（3π2−2x）＝sin2x+cos2x=2sin(2x+π4)，
∴f（x）的最小正周期T=2π2=π，故A错误；
由−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ，k∈Z，得−3π8+kπ≤x≤π8+kπ，
∴函数f（x）的单调递增区间为[−3π8+kπ，π8+kπ]，（k∈Z），故B错误；
将函数f（x）的图象向右移动π4个单位后得到f（x−π4）=2sin(2x−π4)，
不关于原点对称，故C错误；
∵2π4∈[π4，5π4]，∴当2x+π4=π2，
即x=π8时，函数f（x）取得最大值是2，
当2x+π4=5π4，即x=π2时，函数f（x）取得最小值2sin5π4=−1，
∴当x∈[0，π2]时，f（x）∈[﹣1，2]，故D正确．
故选：D．
2．sin210°+cos270°+3sin10°cos70°的值为（　　）
A．12 B．1 C．14 D．2
【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式即可求解．
【解答】解：sin210°+cos270°+3sin10°cos70°
＝sin210°+cos2（60°+10°）+3sin10°cos（60°+10°）
＝sin210°+（12cos10°−32sin10°）2+3sin10°（12cos10°−32sin10°）
＝sin210°+（12cos10°）2−34•sin210°
=14（cos210°+sin210°）
=14．
故选：C．
3．已知函数f（x）＝sin（ωx+2φ）﹣2sinφcos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）在（π，3π2）上单调递减，则ω的取值范围是（　　）
A．（0，2] B．（0，12] C．[12，1] D．[12，54]
【分析】利用积化和差公式化简2sinφcos（ωx+φ）＝sin（ωx+2φ）﹣sinωx．可将函数化为y＝Asin（ωx+φ）的形式，在（π，3π2）上单调递减，结合三角函数的图象和性质，建立关系可求ω的取值范围．
【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+2φ）﹣2sinφcos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）．
化简可得：f（x）＝sin（ωx+2φ）﹣sin（ωx+2φ）+sinωx
＝sinωx，
由π2+2kπ≤ωx≤2kπ+3π2，（k∈Z）上单调递减，
得：π2ω+2kπω≤x≤2kπω+3π2ω，
∴函数f（x）的单调减区间为：[2kπω+π2ω，2kπω+3π2ω]，（k∈Z）．
∵在（π，3π2）上单调递减，
可得：2kπω+π2ω≤π2kπω+3π2ω≥3π2⇒2k+12≤ω4k3+1≥ω，（k∈Z）．
∵ω＞0，
当k＝0时，
可得：12≤ω≤1．
考查选项，故选C．
4．已知函数f(x)=sinωx−3cosωx（ω＞0，x∈R），若函数f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（　　）
A．[13，23] B．[16，712]
C．[13，23]∪(0，16] D．[16，712]∪(0，112]
【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的零点求出零点的表达式，结合已知零点的范围可求．
【解答】解：f（x）＝sinωx−3cosωx＝2sin（ωx−π3），
令f（x）＝0得ωx−π3=kπ，
所以x=kπ+π3ω，k∈Z，
因为f（x）在区间（π，2π）内没有零点，
所以kπ+π3ω≤π且kπ+4π3ω≥2π，
解得k+13≤ω≤23+k2，
令k＝0得13≤ω≤23
k＝﹣1得−23≤ω≤16，
因为ω＞0，
所以ω的取值范围[13，23]∪（0，16]．
故选：C．
5．已知函数f（x）＝（2cos2x﹣1）sin2x+12cos4x，若α∈（π2，π）且f（α）=22，则α的值是（　　）
A．5π8 B．11π16 C．9π16 D．7π8
【分析】利用二倍角公式和和角公式化简f（x），根据f（α）=22得出α的表达式即可得出α的值．
【解答】解：f（x）＝cos2xsin2x+12cos4x=12sin4x+12cos4x=22sin（4x+π4），
∴f（α）=22sin（4α+π4）=22，
∴4α+π4=π2+2kπ，即α=π16+kπ2，k∈Z．
∵α∈（π2，π），
∴α=π16+π2=9π16．
故选：C．
6．函数f(x)=4sinxcosx−1的定义域是（　　）
A．[2kπ+π6，2kπ+π3](k∈Z)
B．[kπ+π6，kπ+π3](k∈Z)
C．[2kπ+π12，2kπ+5π12](k∈Z)
D．[kπ+π12，kπ+5π12](k∈Z)
【分析】可看出，要使得f（x）有意义，则需满足4sinxcosx﹣1≥0，从而得出sin2x≥12，解出x的范围即可．
【解答】解：要使f（x）有意义，则4sinxcosx﹣1≥0，即2sin2x﹣1≥0；
∴sin2x≥12；
∴π6+2kπ≤2x≤5π6+2kπ，k∈Z；
∴kπ+π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z)；
∴f（x）的定义域是[kπ+π12，kπ+5π12](k∈Z)．
故选：D．
7．已知函数f（x）=23sinxcosx+sin2x﹣cos2x，则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）的图象关于点（512π，0）对称
B．f（x）在[π4，π2]上的值域为[3，2]
C．若f（x1）＝f（x2）＝2，则x1﹣x2＝2kπ，k∈Z
D．将f（x）的图象向右平移π6个单位得g（x）＝﹣2cos2x的图象
【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简f（x），得到f(x)=2sin(2x−π6)，再利用正弦函数的图象与性质进行判断即可．
【解答】解：f(x)=3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，
A选项，f(5π12)=2sin(5π6−π6)=3≠0，所以A选项错误．
B选项，当x∈[π4，π2]时，2x−π6∈[π3，5π6]，f（x）∈[1，2]，所以B选项错误．
C选项，因为f（x）的最小正周期为π，所以x1﹣x2＝kπ，k∈Z，所以C选项错误．
D选项，f(x−π6)=2sin[2(x−π6)−π6]=−2cos2x，所以D选项正确．
故选：D．
8．若M＝tanα2•sinα+cosα，N＝tanπ8（tanπ8+2），则M和N的大小关系是（　　）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．M和N无关
【分析】使用同角三角函数的关系及二倍角公式化简M，N，再进行比较．
【解答】解：M=sinα2cosα2⋅2sinα2cosα2+cosα=2sin2α2+cosα＝1﹣cosα+cosα＝1；
∵tanπ4=2tanπ81−tan2π8=1，∴tan2π8+2tanπ8=1．∴N＝tan2π8+2tanπ8=1．
∴M＝N．
故选：C．
9．已知函数f（x）＝sin2x−3cos2x，将y＝f（x）的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把三角函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数g（x）的关系式，最后求出函数的最值．
【解答】解：由题意得数f（x）＝sin2x−3cos2x，
=2sin(2x−π3)，
将y＝f（x）的图象向左平移π6个单位长度得到函数：
y=2sin[2(x+π6)−π3]=2sin2x，
再将函数y＝2sin2x向上平移1个单位长度得到函数y＝g（x）的图象，
即g（x）＝2sin2x+1，
所以当x＝kπ+π4（k∈Z）时，g（x）max＝3，
故选：C．
10．函数f（x）＝2cos（2x+θ）sinθ﹣sin2（x+θ）（θ为常数）图象的一个对称中心的坐标为（　　）
A．（−π4，0） B．（0，0） C．（π4，0） D．（π6，0）
【分析】由sin2（x+θ）＝sin[（2x+θ）+θ]，展开两角和的正弦，进一步利用两角差的正弦化简得f（x）＝﹣sin2x，由2x＝kπ求得x的值得答案．
【解答】解：f（x）＝2cos（2x+θ）sinθ﹣sin2（x+θ）
＝2cos（2x+θ）sinθ﹣sin[（2x+θ）+θ]
＝2cos（2x+θ）sinθ﹣sin（2x+θ）cosθ﹣cos（2x+θ）sinθ
＝cos（2x+θ）sinθ﹣sin（2x+θ）cosθ＝﹣sin2x．
由2x＝kπ，得x=kπ2，k∈Z．
∴f（x）图象的一个对称中心的坐标为（0，0）．
故选：B．
11．如果sinα1+cosα=12，那么sinα+cosα的值是（　　）
A．75 B．85 C．1 D．2915
【分析】根据已知和同角三角函数的基本关系可求出sinα+cosα的值．
【解答】解：由sinα1+cosα=12得到：2sinα＝1+cosα，而sin2α+cos2α＝1，联立解得sinα＝0（舍去）或sinα=45，所以cosα=35
则sinα+cosα=45+35=75
故选：A．
12．已知向量a→=（cosπ6，sinπ6），b→=（cos5π6，sin5π6），则|a→−b→|＝（　　）
A．1 B．62 C．3 D．102
【分析】将向量a→和b→化简，求得a→−b→，即可求得|a→−b→|的值．
【解答】解：a→=（cosπ6，sinπ6）＝（32，12），
b→=（cos5π6，sin5π6）＝（﹣cosπ6，sinπ6）＝（−32，12），
a→−b→=（3，0）
∴|a→−b→|=3．
故选：C．
二．填空题（共11小题）
13．函数f（x）＝2cos2x+2sinxcosx在x∈(0，π2)上的值域为　(0，2+1]　．
【分析】利用倍角公式将f（x）＝2cos2x+2sinxcosx化为：f（x）＝1+cos2x+sin2x=2sin（2x+π4）+1，x∈(0，π2)从而可求得其置于
【解答】解：∵f（x）＝2cos2x+2sinxcosx
＝1+cos2x+sin2x
=2sin（2x+π4）+1，
又0＜x＜π2，
∴π4＜2x+π4＜5π4，
∴−22＜sin（2x+π4）≤1，
∴0＜2sin（2x+π4）+1≤2+1，
即0＜f（x）≤2+1．
故答案为：(0，2+1]．
14．设α，β∈（0，π2），且tanα=1+sinβcosβ，则2α﹣β＝　π2　．
【分析】由三角函数公式化简可得sin（α﹣β）＝sin（π2−α），由角的范围和正弦函数的单调性可得．
【解答】解：∵α，β∈（0，π2），且tanα=1+sinβcosβ，
∴sinαcosα=1+sinβcosβ，∴sinαcosβ＝cosα+cosαsinβ，
∴sinαcosβ﹣cosαsinβ＝cosα，
∴sin（α﹣β）＝cosα＝sin（π2−α），
∵α，β∈（0，π2），∴α﹣β∈（−π2，π2），
∴π2−α∈（0，π2），
∵函数y＝sinx在x∈（−π2，π2）单调递增，
∴由sin（α﹣β）＝sin（π2−α）可得α﹣β=π2−α，
变形可得2α﹣β=π2
故答案为：π2．
15．已知向量a→=(3sinx，m+cosx)，向量b→=（cosx，﹣m+cosx），函数f（x）=a→•b→，下列关于函数f（x）的结论中正确的是　①②　．
①最小正周期为π； ②关于直线x=π6对称；
③关于点(512π，0)中心对称； ④值域为[32−m2，−12−m2]．
【分析】根据向量的运算求出f（x）的解析式，结合三角函数的性质判断即可．
【解答】解：向量a→=(3sinx，m+cosx)，向量b→=（cosx，﹣m+cosx），
函数f（x）=a→•b→=3sinxcosx+cos2x﹣m2=32sin2x+12cos2x+12−m2=sin（2x+π6）+12−m2，
①最小正周期T=2π2=π．
②当x=π6时，sin（2x+π6）＝1，∴f（x）关于直线x=π6对称；
③当x=5π12时，sin（2x+π6）=12−m2，∴f（x）关于点(5π12，12−m2)中心对称．
④∵sin（2x+π6）值域为[﹣1，1]，即﹣1≤sin（2x+π6）≤1，
f（x）＝sin（2x+π6）+12−m2，
可得﹣1+12−m2≤sin（2x+π6）+12−m2≤1+12−m2，即f（x）∈[−12−m2，32−m2]．
∴f（x）的值域为[−12−m2，32−m2]．
故答案为：①②．
16．若方程cos2x﹣cosx+a＝0在x∈[π4，4π3]上有且仅有两不同解，则实数a的范围为　(−2，−34]∪(2−12，14)　．
【分析】方程cos2x﹣cosx+a＝0在x∈π4，4π3]上有且仅有两不同解，转化为：（cosx−12）2=14−a两不同解，根据交点问题讨论可得答案．
【解答】解：由题意：方程cos2x﹣cosx+a＝0在x∈[π4，4π3]上有且仅有两不同解，
可得：（cosx−12）2=14−a两不同解，
∴14−a＞0，即a＜14
∴cosx−12=14−a
则cosx=14−a+12或cosx=−14−a+12
∵x∈[π4，4π3]上
∴cosx∈[﹣1，22]，
由y＝cosx图象可知，①cosx=14−a+12只有一个交点．
那么cosx=−14−a+12只有一个交点．
可得：12≤14−a+12≤22且−12＜−14−a+12≤12，
解得：a≥34，
∵a＜14
∴a无解．
当②cosx=14−a+12没有交点时
那么cosx=−14−a+12有两个交点．
可得：14−a+12＞22且﹣1＜−14−a+12≤−12．
解得：−2＜a≤−34或a＞2−12，
∵a＜14
∴实数a的范围为：(−2，−34]∪[2−12，14)
故答案为：(−2，−34]∪[2−12，14)
17．若3sin2α+2sin2β＝2sinα，则sin2α+cos2β的取值范围是　　．
【分析】因为3sin2α+2sin2β＝2sinα，∴2sin2β＝2sinα﹣3sin2α∈[0，2]，解得sinα∈[0，23]，再把cos2β换成sinα后利用二次函数求值域可得．
【解答】解：因为3sin2α+2sin2β＝2sinα，∴2sin2β＝2sinα﹣3sin2α∈[0，2]，解得sinα∈[0，23]，
∴sin2α+cos2β＝sin2a+1﹣sin2β＝sin2α+1﹣（sinα−32sin2α）=52sin2α﹣sinα+1=52（sinα−15）2+910，
∴sinα∈[0，23]，∴sin2α+cos2β∈[910，139]．
故答案为：[910，139]．
18．已知函数f（x）=3cos2x+sin2x，则f（x） 的最小正周期是　π　．
【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为2cos（2x−π6），由此求得最小正周期．
【解答】解：函数y=3cos2x+sin2x＝2（32cos2x+12sin2x）＝2cos（2x−π6），
故函数的最小正周期为：2π2=π，
故答案为 π．
19．函数f(x)=cosxsin(x+π3)−3cos2x+34在闭区间[−π4，π4]上的最小值是　﹣1　．
【分析】首先通过三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，最后求出函数的最值．
【解答】解：f(x)=cosxsin(x+π3)−3cos2x+34，
＝cosx（12sinx+32cosx）−3cos2x+34，
=14sin2x−34cos2x，
=12sin(2x−π3)，
由于：−π4≤x≤π4，
则：−5π6≤2x−π3≤π6，
则函数的取值范围为：−12≤f(x)≤14，
则函数的最小值为：−12．
故答案为：−12
20．设f（x）＝sinxcosx+3cos2x，则f（x）的单调递减区间是　[kπ+π12，kπ+7π12]，（k∈Z）　．
【分析】推导出f（x）＝sin（2x+π3）+32，由此能求出f（x）的单调递减区间．
【解答】解：∵f（x）＝sinxcosx+3cos2x
=12sin2x+32cos2x+32
＝sin（2x+π3）+32，
∴f（x）的单调递减区间满足：π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ，k∈Z，
∴π12+kπ≤x≤7π12+kπ，k∈Z．
∴f（x）的单调递减区间是[kπ+π12，kπ+7π12]，（k∈Z）．
故答案为：[kπ+π12，kπ+7π12]，（k∈Z）．
21．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sinBsinC=12+cosCc，则sinC﹣sinB的取值范围为　（﹣1，1）　．
【分析】把已知等式变形，得到2sinB−sinC2sinC=cosCc，然后分C=π2和C≠π2讨论，当C≠π2时，再分C＞π2和C＜π2讨论求解sinC﹣sinB的取值范围．
【解答】解：由sinBsinC=12+cosCc，得2sinB−sinC2sinC=cosCc，
①当C=π2时，B=π6，此时sinC﹣sinB=12；
②当C≠π2时，c=2sinCcosC2sinB−sinC＞0．
若C＞π2，则2sinB﹣sinC＜0，
∴0＜sinB＜sinC2，
∴sinC2＜sinC−sinB＜sinC，
若C＜π2，则2sinB﹣sinC＞0，
∴sinC2＜sinB≤1．
此时sinC﹣1≤sinC﹣sinB＜sinC2，即﹣1＜sinC−sinB＜12．
综上，﹣1＜sinC﹣sinB＜1．
故答案为：（﹣1，1）．
22．下列函数中周期是2的函数是　②③　
①y＝2cos2πx﹣1②y＝sinπx+cosπx③y=tan(π2x+π3)④y＝sinπxcosπx．
【分析】利用二倍角公式，和角的三角函数公式分别化简，再利用周期公式可求．
【解答】解：对于①y＝cos2πx，∴T=2π2π=1；
对于②y=2sin(πx+π4)，∴T=2ππ=2；
对于③T=ππ2=2；
对于④y=12sin2πx，∴T=2π2π=1；
故答案为②③
23．f（x）=sin2x1+cos2x+cos2x1+sin2x的值域为　[23，1]　．
【分析】设a＝sin2x，b＝cos2x；则a+b＝1；且a≥0，b≥0；原题可以转化为求b1+a+a1+b的取值范围；再结合基本不等式即可求解．
【解答】解：设a＝sin2x，b＝cos2x；
则a+b＝1；且a≥0，b≥0；
则原题可以转化为求b1+a+a1+b的取值范围；
又b1+a+a1+b=a(1+a)+b(1+b)(1+a)(1+b)=a+b+a2+b21+a+b+ab=1+a2+b22+ab=1+(a+b)2−2ab2+ab=62+ab−2；
∵a+b＝1≥2ab⇒0≤ab≤14；
∴b1+a+a1+b∈[23，1]；
∴f（x）∈[23，1]；
故答案为：[23，1]．
三．解答题（共4小题）
24．已知函数f（x）=3sinωxsin（π2+ωx）﹣cos2ωx−12（ω＞0），其图象两相邻对称轴间的距离为π2．
（I）求ω的值；
（II）讨论函数f（x）在[0，π]上的单调性．
【分析】（I）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）＝sin（2ωx−π6）﹣1，由已知可求周期，利用周期公式可求ω的值．
（II）由（I）可得：f（x）＝sin（2x−π6）﹣1，可求2x−π6∈[−π6，11π6]，利用正弦函数的单调性分类讨论即可得解．
【解答】解：（I）f(x)=3sinωxcosωx−cos2ωx+12−12=32sin2ωx−12cos2ωx−1=sin(2ωx−π6)−1，
因为图象两相邻对称轴间距为π2，
所以T＝π=2π2ω，解得ω＝1．
（II）由（I）可得：f（x）＝sin（2x−π6）﹣1，
当x∈[0，π]时，2x−π6∈[−π6，11π6]，
当2x−π6∈[−π6，π2）时f（x）单调递增，此时x∈[0，π3），
当2x−π6∈[π2，3π2）时f（x）单调递减，此时x∈[π3，5π6），
当2x−π6∈[3π2，11π6]时f（x）单调递增，此时x∈[5π6，π]，
所以f（x）的单调递增区间为[0，π3），[5π6，π]，单调递减区间为[π3，5π6）．
25．已知向量a→=（3cosx，cosx），b→=（0，sinx），c→=（sinx，cosx），d→=（sinx，sinx）．
（1）当x=π4时，求向量a→与b→的夹角θ；
（2）求c→⋅d→取得最大值时x的值；
（3）设函数f（x）＝（a→−b→）⋅(c→+d→)，将函数f（x）的图象向右平移s个单位长度，向上平移t个长度单位（s，t＞0）后得到函数g（x）的图象，且g（x）＝2sin2x+1；令m→=（s，t），求|m→|的最小值．
【分析】（1）当x=π4时，利用cosθ=a→⋅b→|a|⋅|b|，即可求向量向量a→与b→的夹角θ；
（2）化简 c→⋅d→的表达式，通过相位的范围，利用正弦函数的值域求解其最大值；
（3）通过三角变换求出函数g（x）的表达式，与g（x）＝2sin2x+1对照比较，得到m→=（s，t），即可求|m→|的最小值．
【解答】解：（1）当x=π4时，向量a→=（3cosx，cosx）＝（62，22 ），b→=（0，sinx）＝（0，22），
∴a→•b→=（62，22 ）•（0，22）=12，
而|a→|=(62)2+(22)2=2，|b→|=0+(22)2=22，
∴cosθ=a→⋅b→|a|⋅|b|=122×22=12，即θ=π3；
（2）c→⋅d→=（sinx，cosx）•（sinx，sinx）
＝sin2x+sinxcosx
=1−cos2x2+12sin2x
=12+12（sin2x﹣cos2x）
=12+22sin（2x−π4）．
∴当2x−π4=π2+2kπ即x=3π8+kπ，（k∈Z）时，c→⋅d→取得最大值2+12；
（3）f（x）＝（a→−b→）⋅(c→+d→)
＝（3cosx，cosx﹣sinx）•（2sinx，cosx+sinx）
＝23sinxcosx+cos2x﹣sin2x
=3sin2x+cos2x
＝2sin（2x+π6）．
g（x）＝f（x﹣s）+t＝2sin[2（x﹣s）+π6]+t＝2sin（2x﹣2s+π6）+t＝2sin2x+1，
∴t＝1，s=π12+kπ，（k∈Z）
∴|m→|=s2+t2=(π12+kπ)2+1，
∴当k＝0时，∴|m→|min=(π12)2+1=π2+14412．
26．在△ABC中，求证：S△ABC=a22(cotB+cotC)．
【分析】由三角形面积公式可得S△ABC=12absinC，且由正弦定理可得：sinB=b2R，sinA=a2R，利用同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理，化简等式右边可证等于左边，从而得证．
【解答】解：∵S△ABC=12absinC，且由正弦定理可得：sinB=b2R，sinA=a2R，
∴a22(cotB+cotC)=a22(cosBsinB+cosCsinC)=a22cosBsinC+cosCsinBsinBsinC=a22sinAsinBsinC=a2sinBsinC2sinA=a2×b2R×sinC2×a2R=12absinC＝S△ABC．
得证．
27．已知x0，x0+π2是函数f（x）＝cos2（ωx−π6）﹣sin2ωx（ω＞0）的两个相邻的零点．
（Ⅰ）若对任意x∈[−2π3，0]，f（x）﹣m≤0恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若关于x的方程433f（x）﹣n＝1在x∈[−π3，π6]上有两个不同的解，求实数n的取值范围．
【分析】（I）先利用和差角公式，辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式可求T，然后结合不等式的恒成立与最值关系的相互转化可求；
（II）原方程可转化为2sin（2x+π3）＝n+1，−π3≤x≤π6，构造函数g（x）＝2sin（2x+π3），−π3≤x≤π6，要求n的范围，转化为求解g（x）的取值范围，结合正弦函数的性质可求．
【解答】解：（I）f（x）=12+12cos（2ωx−π3）−12（1﹣cos2ωx），
=12[12cos2ωx+32sin2ωx）+cos2ωx]，
=12（32sin2ωx+32cos2ωx），
=12sin（2ωx+π3），
由题意得T=2π2ω=π
故ω＝1，f（x）=12sin（2x+π3），
因为对任意x∈[−2π3，0]，f（x）﹣m≤0恒成立，
所以m≥f（x）max，
因为x∈[−2π3，0]，所以2x+π3∈[−π，π3]，
故﹣1≤sin（2x+π3）≤32，
故函数f（x）的最小值34，
所以m≥34，即m的取值范围[34，+∞）；
（II）原方程可化为433−32sin(2x+π3)=n+1，
即2sin（2x+π3）＝n+1，−π3≤x≤π6，
令g（x）＝2sin（2x+π3），−π3≤x≤π6，
因为−π3≤x≤π6，
所以−π3≤2x+π3≤2π3，
因为程433f（x）﹣n＝1在x∈[−π3，π6]上有两个不同的解，
所以3≤n+1＜2，
故3−1≤n＜1，
所以n的取值范围[3−1，1）．