人教版2022届一轮复习打地基练习 等比数列前n项和

这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 等比数列前n项和，共15页。
A．1B．−12C．1或−12D．﹣1或−12
2．等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝4n﹣c（c为常数），则a1+c＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．设数列{an}是等比数列，Sn为{an}的前n项的和，下列结论中正确的是（ ）
A．若a1a2＞0，则S2019＞0
B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则2a2＜a1+a3
D．若a1≠a2，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝2a3，则S9S6的值为（ ）
A．2B．73C．83D．3
5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1+a3＝5，S4＝20，则S8−2S4S6−S4−S2=（ ）
A．9B．10C．12D．17
6．等比数列{an}满足a1＝1，且1a1，1a2，1a3成等差数列，则数列{an}的前10项和为（ ）
A．10B．20C．256D．510
7．等比数列2，4，8，…的前10项和是（ ）
A．1﹣210B．210﹣1C．210﹣2D．211﹣2
8．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a3+3a1，a4＝16，则a1＝（ ）
A．1B．2C．4D．12
二．多选题（共1小题）
9．设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1＞1，且a2020a2021＞1，（a2020﹣1）（a2021﹣1）＜0，下列结论正确的是（ ）
A．S2020＜S2021
B．a2020a2022﹣1＜0
C．数列{Tn}无最大值
D．T2020是数列{Tn}中的最大值
三．填空题（共15小题）
10．已知数列{an}的首项a1＝2，且满足an+1＝3an+2（n∈N*），则{an}的前n项和Sn＝ ．
11．已知数列{an}满足a1＝2，an+1﹣2an＝0（n＝1，2，⋯），则{an}的前6项和为 ．
12．已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an，则该数列前8项之和S8＝ ．
13．设Sn为等比数列{an}的前n项和，若8a3﹣a6＝0，则S3S6= ．
14．设各项均为正数的无穷等比数列{an}满足：a1＝1，a2+2a3＝1，则数列{a2n}的各项的和为 ．
15．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S4＝3S2，则a3＝ ．
16．记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若a1+a2＝96，a3＝16，则S4的值为 ．
17．有一种细菌和一种病毒，每个细菌每秒杀死一个病毒，同时将自身分裂为3个．现在有一个这样的细菌和110个这样的病毒，将病毒全部杀死至少需要6秒钟． （判断对错）
18．设Sn为等比数列{an}的前n项和，且8a2﹣a5＝0，Sm＝5S2，则m的值是 ．
19．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.若a1＝1，a4＝64，则q＝ ，S3＝ ．
20．设{an}是由正数组成的等比数列，且a4•a7＝9，lg3a1+lg3a2+lg3a3+…+lg3a10的值是 ．
21．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4S2=4，则a9a7= ．
22．已知各项为正数的等比数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn(n∈N∗)，且1a1−1a2=2a3，则S4＝ ．
23．设正项等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若S4S2=3，则q＝ ．
24．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=32，S6=632，则S4＝ ．
四．解答题（共6小题）
25．在等比数列{an}中，q=12，S100＝150，求a2+a4+a6+…+a100的值．
26．在公差不为0的等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列．
（Ⅰ）求an的通项公式；
（Ⅱ）设bn=2an(n∈N∗)，求数列{bn}的前n项和公式．
27．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝5，S3＝9
（1）求数列{an}的通项公式
（2）设等比数列{bn}，若b2＝a2，b3＝a5，求数列{bn}的前n项和为Tn．
28．已知等比数列{an}的公比为q．
（1）试问数列{an+an+1}一定是等比数列吗？说明你的理由．
（2）若a4a5＝9a6，a1a2a3＝27，求{an}的通项公式及数列{（﹣1）nn+4an}的前n项和Sn．
29．已知等比数列{an}满足：a1+a6＝66，a3•a4＝128．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{an}前n项和Sn＝126，求n的值．
30．在等比数列{an}中，
（1）已知a1＝2，q=−12，求S10；
（2）已知a1=127，a8＝81，求S8；
（3）已知an＝4×31﹣n，求Sn．
人教版2022届一轮复习打地基练习 等比数列前n项和
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝18，则公比q的值为（ ）
A．1B．−12C．1或−12D．﹣1或−12
【分析】根据前三项和以及第三项可利用第三项表示出前两项和，建立关于q的方程，解之即可．
【解答】解∵S3＝18，a3＝6
∴a1+a2=a3q2(1+q)=12
即2q2﹣q﹣1＝0解得q＝1或q=−12，
故选：C．
2．等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝4n﹣c（c为常数），则a1+c＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】直接令n＝1即可求出．
【解答】解：∵Sn=4n−c，
∴令n＝1，得a1=S1=41−c，
∴a1+c＝4．
故选：C．
3．设数列{an}是等比数列，Sn为{an}的前n项的和，下列结论中正确的是（ ）
A．若a1a2＞0，则S2019＞0
B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则2a2＜a1+a3
D．若a1≠a2，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0
【分析】分别举反例即可判断A，B，根据作差法即可判断C，根据等比数列的通项公式判断D．
【解答】解：对于A：当a1＜0，a2＜0时，则S2019＜0，故A错误；
对于B：令a1＝﹣2，a2＝4，a3＝﹣8，则满足a1+a3＜0，但是不满足a1+a2＜0，故B错误；
对于C：若0＜a1＜a2，则q=a2a1＞1，
∴a1+a3﹣2a2＝a1（1+q2﹣2q）＝a1（q﹣1）2＞0，则2a2＜a1+a3，故C正确；
对于D：若a1≠a2，则（a2﹣a1）（ a2﹣a3）＝（a1q﹣a1）（ a1q﹣a1q2）＝a12（1﹣q）2（﹣q）与0的关系无法判断，
故D错误；
故选：C．
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝2a3，则S9S6的值为（ ）
A．2B．73C．83D．3
【分析】根据等比数列通项公式和前n项求和公式进行计算即可．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，a6＝2a3，a6=a3q3=2a3，q3＝2，
q9＝（q3）3＝8，q6＝（q3）2＝4，
故s9s6=a1(1−q9)1−qa1(1−q6)1−q=1−q91−q6=1−81−4=73，
故选：B．
5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1+a3＝5，S4＝20，则S8−2S4S6−S4−S2=（ ）
A．9B．10C．12D．17
【分析】设等比数列{an}的公比为q，由等边数列的性质得到S4＝a1+a2+a3+a4＝（1+q）（a1+a3），易得q＝3，将S8−2S4S6−S4−S2转化为q2+1的形式，代入求值．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
因为S4＝a1+a2+a3+a4＝（1+q）（a1+a3），所以q＝3，
则S8−2S4S6−S4−S2=(S8−S4)−S4(S6−S2)−S4=q4S4−S4q2S4−S4=q4−1q2−1=q2+1=10．
故选：B．
6．等比数列{an}满足a1＝1，且1a1，1a2，1a3成等差数列，则数列{an}的前10项和为（ ）
A．10B．20C．256D．510
【分析】由题意知a1＝1，a2＝q，a3＝q2，从而可得2q=1+1q2，从而解得．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
则a1＝1，a2＝q，a3＝q2，
∵1a1，1a2，1a3成等差数列，
∴2q=1+1q2，
∴（q﹣1）2＝0，
∴q＝1，
故数列{an}的前10项和为10a1＝10；
故选：A．
7．等比数列2，4，8，…的前10项和是（ ）
A．1﹣210B．210﹣1C．210﹣2D．211﹣2
【分析】按照等比数列前n项和计算即可．
【解答】解：等比数列2，4，8，…的前10项和是2(1−210)1−2=211﹣2．
故选：D．
8．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a3+3a1，a4＝16，则a1＝（ ）
A．1B．2C．4D．12
【分析】根据等比数列的定义可得q＝2，再根据通项公式即可求出首项．
【解答】解：∵S3＝a3+3a1，
∴a1+a2+a3＝a3+3a1，
∴a2＝2a1，
∴公比q＝2，
∵a4＝a1q3＝8a1＝16，
∴a1＝2，
故选：B．
二．多选题（共1小题）
9．设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1＞1，且a2020a2021＞1，（a2020﹣1）（a2021﹣1）＜0，下列结论正确的是（ ）
A．S2020＜S2021
B．a2020a2022﹣1＜0
C．数列{Tn}无最大值
D．T2020是数列{Tn}中的最大值
【分析】根据题意，分析可得a2020＞1，a2021＜1，从而有a1＞1，0＜q＜1，则等比数列{an}为正项的递减数列．再结合等比数列的性质逐一核对四个命题得答案即可得到正确选项．
【解答】解：根据题意，等比数列{an}的公比为q，若a2020a2021＞1，则（a1q2019）（a1q2020）＝（a1）2（q4039）＞1，
又由a1＞1，必有q＞0，则数列{an}各项均为正值，
若（a2020﹣1）（a2021﹣1）＜0，必有a2020＞1，0＜a2021＜1，则必有0＜q＜1，
依次分析选项：
对于A，数列{an}各项均为正值，则S2021﹣S2020＝a2021＞0，必有S2020＜S2021，A正确；
对于B，若0＜a2021＜1，则a2020a2022﹣1＝（a2021）2﹣1＜0，B正确，
对于C，根据a1＞a2＞…＞a2020＞1＞a2021＞…＞0，可知T2020是数列{Tn}中的最大项，C错误；
对于D，易得D正确，
故选：ABD．
三．填空题（共15小题）
10．已知数列{an}的首项a1＝2，且满足an+1＝3an+2（n∈N*），则{an}的前n项和Sn＝ 12(3n+1−3)−n ．
【分析】由题意可得{an+1}是以3为首项，以3为公比的等比数列，可得an＝3n﹣1，再利用分组求和即可求出．
【解答】解：∵an+1＝3an+2，
∴an+1+1＝3（an+1），
∴an+1+1an+1=3，
∵a1+1＝3，
∴{an+1}是以3为首项，以3为公比的等比数列，
∴an+1＝3n，
∴an＝3n﹣1，
∴Sn=3(1−3n)1−3−n=12（3n+1﹣3）﹣n．
故答案为：12（3n+1﹣3）﹣n．
11．已知数列{an}满足a1＝2，an+1﹣2an＝0（n＝1，2，⋯），则{an}的前6项和为 126 ．
【分析】根据题意判断数列{an}是等比数列，再计算其前6项和．
【解答】解：数列{an}中，a1＝2，an+1﹣2an＝0，所以an+1an=2，
所以数列{an}是公比为2的等比数列，
其前6项和为S6=a1(1−q6)1−q=2×(1−26)1−2=27﹣2＝126．
故答案为：126．
12．已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an，则该数列前8项之和S8＝ 255 ．
【分析】由题意可得，数列{an}是以1为首项以2为公比的等比数列，结合等比数列的求和公式可求
【解答】解：由题意可得，数列{an}是以1为首项以2为公比的等比数列
S8=1−281−2=255
故答案为：255
13．设Sn为等比数列{an}的前n项和，若8a3﹣a6＝0，则S3S6= 19 ．
【分析】设等比数列{an}的公比为q，由8a3﹣a6＝0，可得q3＝8，解得q．再利用求和公式即可得出．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
∵8a3﹣a6＝0，∴q3＝8，解得q＝2．
则S3S6=a1(1−q3)1−qa1(1−q6)1−q=11+q3=19．
故答案为：19．
14．设各项均为正数的无穷等比数列{an}满足：a1＝1，a2+2a3＝1，则数列{a2n}的各项的和为 23（1﹣2﹣2n） ．
【分析】设出公比q，得到关于q的方程，求出数列{an}的公比是12，求出数列{an}的各项的和即可．
【解答】解：由题意设公比是q（q＞0），而a1＝1，
则a2＝q，a3＝q2，
∵a2+2a3＝1，∴q+2q2＝1，解得：q1=12（﹣1舍），
故an=(12)n−1，
则数列{a2n}的首项是12，公比是q2=14，
故数列{a2n}的各项的和S=a1(1−qn)1−q=12[1−(14)n]1−14=23（1﹣2﹣2n），
故答案为：23（1﹣2﹣2n）．
15．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S4＝3S2，则a3＝ 4或2 ．
【分析】由题意可得关于q的方程，解得q2＝2，再根据通项公式即可求出．
【解答】解：a1＝2，S4＝3S2，则q≠1，
即a11−q（1﹣q4）＝3•a11−q（1﹣q2），
即1+q2＝3，或q＝﹣1，
∴q2＝2，
∴a3＝a1q2＝4，a3＝a1q2＝2
故答案为：4或2
16．记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若a1+a2＝96，a3＝16，则S4的值为 120 ．
【分析】利用等比数列的性质求出公比与首项，即可求解S4的值．
【解答】解：根据题意，设该正项等比数列的公比为q，则q＞0，
因为a1+a2＝96，
所以a1（1+q）＝96，
又a3＝a1q2＝16，
所以，整理可得：6q2﹣q﹣1＝0，解得q=12，或q=−13（舍去），
所以a1＝64，
所以S4=64×(1−116)1−12=120．
故答案为：120．
17．有一种细菌和一种病毒，每个细菌每秒杀死一个病毒，同时将自身分裂为3个．现在有一个这样的细菌和110个这样的病毒，将病毒全部杀死至少需要6秒钟． 错误 （判断对错）
【分析】由已知条件得1+3+32+33+…+3n﹣1≥110，由此能求出结果．
【解答】解：1+3+32+33+…+3n﹣1≥110，
∴1−3n1−3≥110，
∴3n≥221，
解得n≥5．
即至少需5秒细菌将病毒全部杀死．
故答案为：错误．
18．设Sn为等比数列{an}的前n项和，且8a2﹣a5＝0，Sm＝5S2，则m的值是 4 ．
【分析】先由题设求得等比数列{an}的公比q，再利用等比数列的前n项和公式求解出m的值即可．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
由8a2﹣a5＝0可得：q3=a5a2=8，解得：q＝2，
∵Sm＝5S2，
∴a1(1−2m)1−2=5×a1(1−22)1−2，即1﹣2m＝﹣15，解得：m＝4，
故答案为：4．
19．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.若a1＝1，a4＝64，则q＝ 4 ，S3＝ 21 ．
【分析】由已知利用等比数列的通项公式可求q的值，利用等比数列的求和公式即可求解S3的值．
【解答】解：因为a1＝1，a4＝64，
根据a4＝a1q3，可得64＝q3，解得q＝4，
可得S3=a1(1−q3)1−q=1×(1−43)1−4=21．
故答案为：4，21．
20．设{an}是由正数组成的等比数列，且a4•a7＝9，lg3a1+lg3a2+lg3a3+…+lg3a10的值是 10 ．
【分析】根据等比数列的性质和对数的运算性质即可求出．
【解答】解：{an}是由正数组成的等比数列，且a4•a7＝9，则a1•a10＝a2•a9＝a3•a8＝a5•a6＝a4•a7＝9
则lg3a1+lg3a2+lg3a3+…+lg3a10＝lg3（a1•a10•a2•a9•a3•a8•a4•a7•a5•a6）＝5lg39＝10，
故答案为：10．
21．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4S2=4，则a9a7= 3 ．
【分析】根据已知得a1(1−q4)1−q=4a1(1−q2)1−q，解之得q2＝3，可得a9a7．
【解答】解：由已知得公比q不为1，则a1(1−q4)1−q=4a1(1−q2)1−q，解之得q2＝3，
则a9a7=q2＝3．
故答案为：3．
22．已知各项为正数的等比数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn(n∈N∗)，且1a1−1a2=2a3，则S4＝ 15 ．
【分析】由题意先求出公比，再根据前n项和公式计算即可．
【解答】解：正项等比数列{an}中，a1＝1，且1a1−1a2=2a3，
∴1−1q=2q2，
即q2﹣q﹣2＝0，
解得q＝2或q＝﹣1（舍去），
∴S4=1−241−2=15，
故答案为：15．
23．设正项等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若S4S2=3，则q＝ 2 ．
【分析】分两种情况，当q＝1时，当q≠1时，Sn，在代入S4S2=3，即可得出答案．
【解答】解：当q＝1时，Sn＝na1，
那么S4S2=4a12a1=2≠3，不合题意，
当q≠1时，Sn=a1(1−qn)1−q，
所以S4S2=a1(1−q4)1−qa1(1−q2)1−q=1−q41−q2=1+q2＝3，
所以q＝±2，
又因为正项等比数列{an}，
所以q=2，
故答案为：2．
24．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=32，S6=632，则S4＝ 152 ．
【分析】由已知结合等比数列的求和公式即可直接求解．
【解答】解：显然q≠1，
则a1(1−q2)1−q=32a1(1−q6)1−q=632，解得q2＝4，a11−q=−12，
故S4=a1(1−q4)1−q=−12×(1−16)=152．
故答案为：152．
四．解答题（共6小题）
25．在等比数列{an}中，q=12，S100＝150，求a2+a4+a6+…+a100的值．
【分析】在等比数列{an}中，由q=12，S100＝150，求出a1=751−12100，a2=12a1，由此能求出a2+a4+a6+…+a100．
【解答】解：在等比数列{an}中，q=12，S100＝150，
∴S100=a1(1−12100)1−12=150，
解得a1=751−12100，a2=12a1，
∴a2+a4+a6+…+a100=12a1(1−1450)1−14
=12×751−12100(1−12100)34=50．
26．在公差不为0的等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列．
（Ⅰ）求an的通项公式；
（Ⅱ）设bn=2an(n∈N∗)，求数列{bn}的前n项和公式．
【分析】（I）由题意，可令公差为d，由等差数列的性质将用与公差d表示出来，再根据三者成等比数列，建立方程求公差，再根据等差数列的通项公式求其通项即可．
（II）由bn=2an(n∈N∗)知，数列是一个等比数列，故求出其首项与公比，代入等比数列的前n项和公式即可
【解答】解：（I）令公差为d，由a4＝10得a3＝10﹣d，a6＝10+2d，a10＝10+6d
∵a3，a6，a10成等比数列
∴故有（10+2d）2＝（10﹣d）（10+6d）
∴d＝1
∴an＝a4+（n﹣4）d＝n+6
（II）由bn=2an=bn＝2n+6
∴b1＝21+6＝128，q=bn+1bn=2n+72n+6=2
∴故其前n项和为Sn=128×(1−2n)1−2=2n+7﹣128
27．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝5，S3＝9
（1）求数列{an}的通项公式
（2）设等比数列{bn}，若b2＝a2，b3＝a5，求数列{bn}的前n项和为Tn．
【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为，∵a3＝5，S3＝9，
∴a1+2d＝5，3a1+3×22d＝9，
解得a1＝1，d＝2．
∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．
（2）b2＝a2＝3，b3＝a5＝9．
∴q＝3．b1＝1．
数列{bn}的前n项和为Tn=3n−13−1=12(3n−1)．
28．已知等比数列{an}的公比为q．
（1）试问数列{an+an+1}一定是等比数列吗？说明你的理由．
（2）若a4a5＝9a6，a1a2a3＝27，求{an}的通项公式及数列{（﹣1）nn+4an}的前n项和Sn．
【分析】（1）q＝﹣1时，数列{an+an+1}不是等比数列，当q＝1时{an+an+1}一定是公比为q的等比数列
（2）先求出an的通项公式，利用分组求解数列的和转化求解即可．
【解答】解：（1）数列{an+an+1}不一定是等比数列．
理由如下：若q＝﹣1，则an+an+1＝an（1+q）＝0，
此时数列{an+an+1}不是等比数列；
若q≠﹣1，则数列{an+an+1}一定是公比为q的等比数列，
故数列{an+an+1}不一定是等比数列．
（2）由a4a5＝9a6，且a4a5＝a3a6；得a3＝9．
因为a1a2a3＝27，所以a23=27，则a2＝3，
所以q=93=3，a1＝1，
所以{an}的通项公式为an=3n−1，
故Sn=−1+2−3+4−⋯+(−1)nn+4×1−3n1−3，
当n为偶数时，Sn=12n+2(3n−1)；
当n为奇数时，Sn=12(n+1)−(n+1)+2(3n−1)=−12(n+5)+2⋅3n．
所以Sn=12n+2×(3n−1)，n为偶数，−12(n+5)+2×3n，n为奇数
29．已知等比数列{an}满足：a1+a6＝66，a3•a4＝128．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{an}前n项和Sn＝126，求n的值．
【分析】（Ⅰ）根据题意，由等比数列的性质可得a1+a6＝66，a3•a4＝a1•a6＝128，解可得a1、a6的值，解可得q的值，据此求出等比数列的通项，即可得答案；
（Ⅱ）由等比数列的前n项和公式可得关于n的方程，计算可得n的值，即可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，等比数列{an}满足：a1+a6＝66，a3•a4＝a1•a6＝128，
解可得：a1=2a6=64或a1=64a6=2，
若a1=2a6=64，则q5=642=32，解可得q＝2，则an＝2n，
若a1=64a6=2，则q5=264=132，解可得q=12，则an＝27﹣n，
故an＝2n或an＝27﹣n；
（Ⅱ）数列{an}前n项和Sn＝126，
当a1＝2，q＝2时，Sn=2(1−2n)1−2=2n+1﹣2＝126，解可得n＝6；
当a1＝64，q=12时，Sn=64(1−12n)1−12=128（1−12n）＝126，n＝6，
故n＝6．
30．在等比数列{an}中，
（1）已知a1＝2，q=−12，求S10；
（2）已知a1=127，a8＝81，求S8；
（3）已知an＝4×31﹣n，求Sn．
【分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式进行运算即可求解．
【解答】解：（1）S10=2(1−1210)1+12=341256；
（2）∵q7=a8a1=81×27，
∴q＝3，S8=127(1−38)1−3=12127；
（3）由an＝4×31﹣n，可知数列是以4为首项，以13为公比的等比数列，
∴Sn=4(1−13n)1−13=6（1−13n）