人教版2022届一轮复习打地基练习 弧长公式

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人教版2022届一轮复习打地基练习 弧长公式
一．选择题（共12小题）
1．一个半径是R的扇形，其周长为4R，则该扇形圆心角的弧度数为（　　）
A．1 B．2 C．π D．2π3
2．点P为圆x2+y2＝4与x轴正半轴的交点，将点P沿圆周顺时针旋转至点P'，当转过的弧长为23π时，点P'的坐标为（　　）
A．（1，3 ） B．（1，−3） C．（﹣1，−3） D．（12，−32）
3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（　　）
A．2 B．sin2 C．2sin1 D．2sin1
4．已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动（如图所示），设主动轮M的直径为150mm，从动轮N的直径为300mm，若主动轮M顺时针旋转π2，则从动轮N逆时针旋转（　　）

A．π8 B．π4 C．π2 D．π
5．现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为l1，l2，l3，l4，则（　　）

A．l1＜l2＜l3＜l4 B．l1＜l2＜l3＝l4
C．l1＝l2＝l3＝l4 D．l1＝l2＝l3＜l4
6．达•芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑数百年让无数观赏者入迷，某爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，B处作圆弧所在圆的切线，两条切线交于点C，测得AB＝12.6cm，∠ACB=2π3，则《蒙娜丽莎》中女子嘴唇的长度约为（　　）（单位：cm）

A．12.6 B．4π C．4.2π D．4.3π
7．圆心角弧度数和半径均为2的扇形的弧长为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
8．某艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘．将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：AB＝6.9cm，BC＝7.1cm，AC＝12.6cm．根据测量得到的结果推算女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于（　　）

A．(π6，π4) B．(π4，π3) C．(π3，5π12) D．(5π12，π2)
9．半径为2的圆中，有一条弧长是π3，则此弧所对的圆心角是（　　）
A．15° B．20° C．30° D．40°
10．设扇形的半径为2cm，弧长为6cm，则扇形的圆心角的弧度数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．“密位制”是用于航海方面的一种度量角的方法，我国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周角分为6000等份，每一个等份是一个密位，那么200密位对应弧度为（　　）
A．2π3 B．π15 C．π25 D．π150
12．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC是圆弧形，A是弧BAC的中点，D是弦BC的中点，测得AD＝10，BC＝60（单位：cm），设弧AB所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC的长为（　　）

A．30θ B．40θ C．100θ D．120θ
二．填空题（共16小题）
13．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉．如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成．两岸连接点间距离为603米．其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米．某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为　 　米．

14．已知一扇形的弧所对的圆心角为60°，半径r＝20cm，则扇形的周长为　 　cm．
15．弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是　 　．
16．已知扇形的圆心角为2弧度，其所对的弦长为2，则扇形的弧长等于　 　．
17．已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是　 　．
18．一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么该扇形的圆心角是　 　弧度
19．已知半径为5的圆上，有一条弧的长为10，则该弧所对的圆心角α（α＞0）的弧度数为　 　．
20．如图是某商业小区的平面设计图，初步设计该小区为半径是200米，圆心角是120°的扇形AOB．O为南门位置，C为东门位置，小区里有一条平行于AO的小路CD，若OD=20063米，则圆弧AC的长为　 　米．

21．若一个半径为2的圆剪去一个圆心角为108°的扇形，则剩余部分的周长是 　 　．
22．已知弧长为π的弧所对圆心角为60°，则这条弧所在圆的半径为　 　．
23．已知半径为2的扇形OAB的弦长AB＝22，则该扇形的弧长是　 　．
24．已知在半径为4的圆上，有一条弧所对的圆心角的弧度数为3，则这条弧的弧长为　 　．
25．若圆弧长度等于圆内接正六边形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为　 　．
26．已知圆的一段弧长等于其内接正三角形的周长，则这段弧所对圆心角的弧度数是 　 　．
27．如图，点A，B，C是圆O上的点，其中圆的半径为R＝2，且∠ACB=π6，则劣弧AB的长为　 　．

28．已知半径为2cm的圆上，有一条弧的长是3cm，那么该弧所对应的圆心角是　 　，它所在扇形的面积为　 　．
三．解答题（共1小题）
29．已知扇形的面积为100，
（1）若扇形的周长为50，求其半径；
（2）求其周长的最小值及取得最小值时扇形圆心角的弧度数．

人教版2022届一轮复习打地基练习 弧长公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．一个半径是R的扇形，其周长为4R，则该扇形圆心角的弧度数为（　　）
A．1 B．2 C．π D．2π3
【分析】求出扇形的弧长为2R，即可求出该扇形圆心角的弧度数．
【解答】解：∵半径是R的扇形，其周长为4R，
∴扇形的弧长为2R，
∴该扇形圆心角的弧度数为2，
故选：B．
2．点P为圆x2+y2＝4与x轴正半轴的交点，将点P沿圆周顺时针旋转至点P'，当转过的弧长为23π时，点P'的坐标为（　　）
A．（1，3 ） B．（1，−3） C．（﹣1，−3） D．（12，−32）
【分析】由已知结合弧长公式可得旋转角，再由任意角的三角函数的定义求解．
【解答】解：由题意，|OP′|＝2，转过的弧长为23π，则旋转角为−π3，
∴点P'的横坐标x＝2cos（−π3）＝1，纵坐标为y＝2sin（−π3）=−3，
∴点P'的坐标为（1，−3）．
故选：B．
3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（　　）
A．2 B．sin2 C．2sin1 D．2sin1
【分析】连接圆心与弦的中点，则得到一个弦一半所对的角是1弧度的角，由于此半弦是1，故可解得半径是1sin1，弧长公式求弧长即可．
【解答】解：连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角也为1
故半径为1sin1
这个圆心角所对的弧长为2×1sin1=2sin1
故选：C．
4．已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动（如图所示），设主动轮M的直径为150mm，从动轮N的直径为300mm，若主动轮M顺时针旋转π2，则从动轮N逆时针旋转（　　）

A．π8 B．π4 C．π2 D．π
【分析】设从动轮N逆时针旋转θ，利用主动轮M与从动轮N转动的弧长相等，根据弧长公式即可求解．
【解答】解：设从动轮N逆时针旋转θ，
由题意，知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等，
所以1502×π2=3002×θ，
解得θ=π4，
故选：B．
5．现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为l1，l2，l3，l4，则（　　）

A．l1＜l2＜l3＜l4 B．l1＜l2＜l3＝l4
C．l1＝l2＝l3＝l4 D．l1＝l2＝l3＜l4
【分析】由题意可知，它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆心角为2π的弧长，设半径分别为r1，r2，r3，r4，则半径为中心与顶点的距离，由正方形、正五边形、正六边形得几何特征可知r1=22，r1＜r2＜1，r3＝r4＝1，再利用弧长公式即可得到l1＜l2＜l3＝l4．
【解答】解：由题意可知，它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆心角为2π的弧长，
设半径分别为r1，r2，r3，r4，由题意可知，半径为中心与顶点的距离，
又因为正方形、正五边形、正六边形的边长均为1，圆的半径为1，
对于正方形，如图所示：，∵∠AOB＝90°，∴r1=OA=22；
对于正五边形，如图所示：，∵∠AOB＝72°＜90°，∠OAB＝∠OBA＝54°＜72°，∴r1＜r2＜1；
对于正六边形，如图所示：，∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形，∴r3＝OA＝1；
而 r4＝1，
又因为l1＝2π•r1，l2＝2π•r2，l3＝2π•r3，l4＝2π•r4，
所以l1＜l2＜l3＝l4，
故选：B．
6．达•芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑数百年让无数观赏者入迷，某爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，B处作圆弧所在圆的切线，两条切线交于点C，测得AB＝12.6cm，∠ACB=2π3，则《蒙娜丽莎》中女子嘴唇的长度约为（　　）（单位：cm）

A．12.6 B．4π C．4.2π D．4.3π
【分析】画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，设圆心为O，依题意可求∠AOB=π3，由△AOB为等边三角形，可得OA的值，利用弧长公式即可求解．
【解答】解：画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，设圆心为O，
依题意，OA⊥AC，OB⊥BC，O，A，C，B四点共圆，
∵∠ACB=2π3，
∴∠AOB=π3．
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴OA＝AB＝12.6cm．
∴《蒙娜丽莎》中女子嘴唇的长度约为OA×π3=4.2π(cm)．
故选：C．

7．圆心角弧度数和半径均为2的扇形的弧长为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【分析】利用弧长公式计算即可得出．
【解答】解：根据弧长公式得，l＝αr＝2×2＝4．
故选：C．
8．某艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘．将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：AB＝6.9cm，BC＝7.1cm，AC＝12.6cm．根据测量得到的结果推算女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于（　　）

A．(π6，π4) B．(π4，π3) C．(π3，5π12) D．(5π12，π2)
【分析】取AB＝BC≈7，设∠ABC＝2θ．计算sinθ≈6.37=0.9，根据α+2θ＝π，利用二倍角公式求出cosα，再判断α的取值范围．
【解答】解：取AB＝BC≈7，设∠ABC＝2θ．
则sinθ≈6.37=0.9；
设该女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α．
则α+2θ＝π，
所以cosα＝cos（π﹣2θ）＝﹣cos2θ＝2sin2θ﹣1＝0.62．
因为cosπ4=22=0.707，cosπ3=12=0.5．
所以α∈（π4，π3）．
故选：B．
9．半径为2的圆中，有一条弧长是π3，则此弧所对的圆心角是（　　）
A．15° B．20° C．30° D．40°
【分析】根据弧度数与弧长和半径的关系，计算即可．
【解答】解：半径为2的圆中，有一条弧长是π3，
则该弧所对的圆心角的弧度数为α=π32=π6．
则此弧所对的圆心角是30°
故选：C．
10．设扇形的半径为2cm，弧长为6cm，则扇形的圆心角的弧度数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】本题已知扇形的半径和弧长，直接根据弧长的变形公式α=lr解之即可．
【解答】解：由题意圆心角α=lr=62=3，
故选：C．
11．“密位制”是用于航海方面的一种度量角的方法，我国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周角分为6000等份，每一个等份是一个密位，那么200密位对应弧度为（　　）
A．2π3 B．π15 C．π25 D．π150
【分析】先求出一个密位所对的弧长l，再求出200密位所对的弧长为200l，从而求出200密位的弧度数．
【解答】解：∵将一个圆周分成6000等份，每一等份分是一个密位，
∴一个密位所对的弧长l=2πr6000，
∴200密位所对的弧长为200l=πr15，
∴200密位的弧度数为：πr15r=π15，
故选：B．
12．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC是圆弧形，A是弧BAC的中点，D是弦BC的中点，测得AD＝10，BC＝60（单位：cm），设弧AB所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC的长为（　　）

A．30θ B．40θ C．100θ D．120θ
【分析】如图，作出弓形所在圆的圆心O，连接AO，BO，设圆半径为r则在Rt△BDO中，根据勾股定理求得r＝50，根据弧长公式解答．
【解答】解：如图，作出弓形所在圆的圆心O，连接AO，BO，
设圆半径为r，则在Rt△BDO中，302+（r﹣10）2＝r2，
解得r＝50，
故弧BAC的长50×2θ＝100θ．
故选：C．

二．填空题（共16小题）
13．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉．如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成．两岸连接点间距离为603米．其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米．某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为　（40+303）π　米．

【分析】连接PO，可得PO⊥QT，由题意可得sin∠QPO=32，可求∠QPO，∠QPT的值，进而由图利用扇形的弧长公式即可计算得解．
【解答】解：由题意，如图所示，可得QT＝603米，PQ＝60米，
连接PO，可得PO⊥QT，
因为sin∠QPO=32，
所以∠QPO=π3，∠QPT=2π3，
所以绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为L=12×2π×（6032）+60×2π3=（40+303）π米．
故答案为：（40+303）π．

14．已知一扇形的弧所对的圆心角为60°，半径r＝20cm，则扇形的周长为　40+203π　cm．
【分析】求出扇形的弧长，即可求出扇形的周长．
【解答】解：由题意，扇形的弧长为π3×20=203πcm，
∴扇形的周长为（40+203π）cm．
故答案为：40+203π．
15．弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是　2sin1　．
【分析】解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值．
【解答】解：如图：∠AOB＝2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，并延长OC交 AB于D，
∠AOD＝∠BOD＝1，AC=12AB＝1，
Rt△AOC中，AO=ACsin∠AOC=1sin1，
从而弧长为α•r=2sin1．
故答案为：2sin1．

16．已知扇形的圆心角为2弧度，其所对的弦长为2，则扇形的弧长等于　2sin1　．
【分析】根据题意画出图形，结合图形求出半径r，再计算弧长．
【解答】解：如图所示，
∠AOB＝2，AB＝2，过点O作OC⊥AB，C为垂足，
延长OC交AB于D，则∠AOD＝∠BOD＝1，AC=12AB＝1；
Rt△AOC中，r＝AO=ACsin∠AOC=1sin1，
从而弧长为l＝α•r＝2×1sin1=2sin1．
故答案为：2sin1．
17．已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是　（π﹣2）rad　．
【分析】由题意，本题中的等量关系是扇形的周长等于弧所在的圆的半周长，可令圆心角为θ，半径为r，弧长为l，建立方程，求得弧长与半径的关系，再求扇形的圆心角．
【解答】解：令圆心角为θ，半径为r，弧长为l
由题意得2r+l＝πr
∴l＝（π﹣2）r
∴θ=lr=π﹣2
故答案为：（π﹣2）rad．
18．一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么该扇形的圆心角是　π﹣2　弧度
【分析】设出扇形的圆心角，利用弧长公式得到弧长，代入题中条件，求出圆心角的弧度数．
【解答】解：设扇形的圆心角是θrad，因为扇形的弧长是rθ，
所以扇形的周长是2r+rθ．
依题意得2r+rθ＝πr，
解得θ＝π﹣2．
故答案为：π﹣2．
19．已知半径为5的圆上，有一条弧的长为10，则该弧所对的圆心角α（α＞0）的弧度数为　2　．
【分析】本题已知扇形的半径和弧长，直接根据弧长的变形公式α=lr解之即可．
【解答】解：因为r＝5，l＝10，
所以圆心角α=lr=42=2，
故答案为：2．
20．如图是某商业小区的平面设计图，初步设计该小区为半径是200米，圆心角是120°的扇形AOB．O为南门位置，C为东门位置，小区里有一条平行于AO的小路CD，若OD=20063米，则圆弧AC的长为　50π　米．

【分析】连结OC，求出∠CDO，然后在△OCD中，利用正弦定理求出sin∠DCO，再利用弧长公式求解即可．
【解答】解：连结OC，因为CD∥OA，所以∠DCO＝∠COA，∠CDO＝180°﹣∠DOA＝180°﹣120°＝60°，
在△OCD中，由正弦定理可得，ODsin∠DCO=OCsin∠CDO，
所以20063sin∠DCO=20032，解得sin∠DCO=20063×32200=22，
因为∠DCO＝∠COA，且0°＜∠COA＜120°，
所以∠DCO＝∠COA＝45°，
故圆弧AC的长为45°360°×2π×200=50π．
故答案为：50π．
21．若一个半径为2的圆剪去一个圆心角为108°的扇形，则剩余部分的周长是 　4+14π5　．
【分析】由角度与弧度的互化公式，求出剩余部分扇形的圆心角，然后由弧长公式求解即可．
【解答】解：由题意可知，剩余部分仍然是一个扇形，圆心角为252°，即7π5，
所以剩余部分的周长为7π5×2+2×2=4+14π5．
故答案为：4+14π5．
22．已知弧长为π的弧所对圆心角为60°，则这条弧所在圆的半径为　3　．
【分析】根据弧长公式，把相应的值代入即可求出结果．
【解答】解：由弧长公式l=nπr180，可得半径r=180lnπ=180×π60π=3．
故答案为：3．
23．已知半径为2的扇形OAB的弦长AB＝22，则该扇形的弧长是　π　．
【分析】因为r＝2，AB＝22，所以AB2＝OA2+OB2，所以∠AOB＝90°，再利用弧长公式即可求出弧长．
【解答】解：∵r＝2，AB＝22，
∴AB2＝OA2+OB2，∴∠AOB＝90°，
∴弧长l=π2×2＝π，
故答案为：π．
24．已知在半径为4的圆上，有一条弧所对的圆心角的弧度数为3，则这条弧的弧长为　12　．
【分析】利用弧长公式即计算得解．
【解答】解：此扇形所含的弧长l＝αr＝4×3＝12．
故答案为：12．
25．若圆弧长度等于圆内接正六边形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为　1　．
【分析】利用圆的内接正六角形的边长等于圆的半径r，圆的弧度数的定义即可得出．
【解答】解：∵圆的内接正六角形的边长等于圆的半径r，又一圆弧长等于其所在圆的内接正六角形的边长，
则其圆心角的弧度数为1．
故答案为：1．
26．已知圆的一段弧长等于其内接正三角形的周长，则这段弧所对圆心角的弧度数是 　33　．
【分析】设正三角形边长为a，外接圆的半径为R，由题意利用弧长公式可得α=3aR，又由题意得R=33a，进而即可求解这段弧所对圆心角α的值．
【解答】解：设正三角形边长为a，外接圆的半径为R，
则l＝3a＝αR，可得α=3aR，
又由题意得R=23⋅32a=33a，
所以这段弧所对圆心角α=3a3a3=33．
故答案为：33．
27．如图，点A，B，C是圆O上的点，其中圆的半径为R＝2，且∠ACB=π6，则劣弧AB的长为　2π3　．

【分析】由已知先连接OA，OB，然后求出劣弧AB对的圆心角，然后结合弧长公式可求．
【解答】解：连接OA，OB，
因为∠ACB=π6，
所以∠AOB=π3，△AOB为等边三角形，
则劣弧AB的长l=π3×2=2π3．
故答案为：2π3．

28．已知半径为2cm的圆上，有一条弧的长是3cm，那么该弧所对应的圆心角是　270π　，它所在扇形的面积为　3cm2　．
【分析】扇形的面积＝弧长×半径÷2；代入用圆心角和半径表示的面积即可求得半径．
【解答】解：S扇形=12lr=12×2×3＝3cm2，扇形的圆心角为n=360×3π⋅4=270π
故答案为：270π，3cm2．
三．解答题（共1小题）
29．已知扇形的面积为100，
（1）若扇形的周长为50，求其半径；
（2）求其周长的最小值及取得最小值时扇形圆心角的弧度数．
【分析】（1）设弧长为l，半径为r，利用扇形的周长及面积公式即可得解．
（2）由已知利用扇形的面积公式可得C＝l+400l，利用基本不等式，弧长公式即可计算得解．
【解答】解：设弧长为l，半径为r，则12lr＝100，
（1）由已知可得：12lr=1002r+l=50，得r=20l=10，或者r=5l=40，
而r=5l=40时，圆心角α=lr=8＞2π，故舍去；
所以，r＝20．
（2）由12lr＝100，可得：r=200l，
可得：周长C＝2r+l＝l+400l≥2l⋅400l=40，当且仅当l=400l，即当l＝20时周长取得最小值40，
此时r=200l=10，圆心角α=lr=2．