人教版新课标A必修42.5 平面向量应用举例教课课件ppt

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1.用向量方法解决平面几何问题的“三步法”(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
【思考】(1)这里的“平面几何问题”主要是哪些问题?提示:平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题.(2)这里的“向量运算”主要指哪些运算?提示:向量的线性运算及数量积运算.
2.向量在平面几何中的应用(1)证明线段平行或点共线问题,常用共线向量定理:a∥b⇔a=λb(b≠0)⇔x1y2-x2y1=0.(2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质:a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.(3)求夹角问题,用夹角公式:cs θ= (θ为a与b的夹角).(4)计算线段长度,常用模长公式:|AB|=| |=
【思考】 用向量解决几何问题时,需要选择合适的基底,怎样选择合适的基底?提示:所选择基向量的长度和夹角应该是已知条件中的.
3.向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力,速度,加速度,位移等.(2)向量的加减法运算体现在力,速度,加速度,位移的合成与分解.(3)动量mv是向量的数乘运算.(4)功是力F与所产生的位移s的数量积.
【思考】怎样求力向量、速度向量的大小与方向问题?提示:把其转化为平面向量问题,利用向量加法的三角形法则、平行四边形法则解决.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)若△ABC是直角三角形,则有 =0.(　　)(2)若 ∥ ,则直线AB与CD平行.(　　)(3)若 ∥ ,则A,B,C三点共线.(　　)(4)物理学中的功是一个向量.(　　)
提示:(1)×.因为△ABC为直角三角形,∠B并不一定是直角,有可能是∠A或∠C为直角.(2)×.向量 ∥ 时,直线AB∥CD或AB与CD重合.(3)√.(4)×.功是一个标量,是力F与位移s的数量积.
2.(教材二次开发:习题改编)若向量 =(2,2), =(-3,-1)分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.( ,0)B.(- ,0)C. D.- 【解析】选C.F1+F2=(2,2)+(-3,-1)=(-1,1),则|F1+F2|= 所以|F1+F2|= .
3.如图,在平行四边形ABCD中, =(1,2), =(-3,2),则 =________. 
【解析】因为 =(-1,2),所以 =(-1,2)·(1,2)=-1+4=3.答案:3
类型一　平面向量在几何证明中的应用(直观想象、数学建模) 【题组训练】1.已知点A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以ABCD为顶点的四边形是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.梯形B.邻边不相等的平行四边形C.菱形D.两组对边均不平行的四边形2.已知点O,P在△ABC所在平面内,且 则点O,P依次是△ABC的(　　)A.重心,垂心B. 重心,内心C.外心,垂心D. 外心,内心
3.如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE.
【解析】1.选B.因为 =(8,0), =(8,0),所以 = ,因为 =(4,-3),所以| |=5,而| |=8,故为邻边不相等的平行四边形.2.选C. 由| |=| |=| |,知点O为△ABC的外心;因为 所以 =0,所以 =0,所以 ,所以CA⊥PB.同理,AP⊥BC,所以点P为△ABC的垂心.
3.方法一:设 =a, =b,则|a|=|b|,a·b=0,又所以 =- a2- a·b+ =- |a|2+ |b|2=0.故 ⊥ ,即AF⊥DE.
方法二:建立平面直角坐标系如图,设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1), =(2,1), =(1,-2).因为 · =(2,1)·(1,-2)=2-2=0,所以 ⊥ ,即AF⊥DE.
【解题策略】利用向量证明问题(1)常见的利用向量证明的问题.①利用共线向量定理证明线段平行或点共线.②利用向量的模证明线段相等.③利用向量的数量积为0证明线段垂直.
(2)常用的两个方法.①基向量法:选取已知的不共线的两个向量作为基向量,用基向量表示相关向量,转化为基向量之间的向量运算进行证明.②坐标法:先建立直角坐标系,表示出点、向量的坐标,利用坐标运算进行证明.
【补偿训练】若 =3e, =5e,且| |=| |,则四边形ABCD的形状为________.  【解析】由 =3e, =5e,得 ∥ ,| |≠| |,又因为ABCD为四边形,所以AB∥DC,|AB|≠|DC|.又| |=| |,得|AD|=|BC|,所以四边形ABCD为等腰梯形.答案:等腰梯形
类型二　数量积坐标运算的应用(直观想象、数学运算)【典例】已知在四边形ABCD中AD∥BC,AB=2 ,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,求 的值.【思路导引】方法一:利用几何关系,选取合适的基向量,利用向量法解决问题.方法二:建系,根据几何关系得出B、D坐标,求出直线BE,AE方程,联立求出点E坐标,再利用数量积公式求出 的值.
【解析】方法一:向量法因为AE=BE,AD∥BC,∠A=30°,所以在等腰三角形ABE中,∠BEA=120°,又AB=2 ,所以AE=BE=2,所以
方法二:坐标法建立如图所示的平面直角坐标系,
∠DAB=30°,AB=2 ,AD=5,则B(2 ,0),D 因为AD∥BC,∠BAD=30°,所以∠ABE=30°,因为AE=BE,所以∠BAE=30°,所以直线BE的斜率为 ,其方程为y=
直线AE的斜率为- ,其方程为y=- x.所以E( ,-1).
【解题策略】1.用向量法求长度的策略(1)利用图形特点选择基底,向量的数量积转化,用公式|a|2=a2求解.(2)建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式:若a=(x,y),则|a|= 2.向量数量积、夹角的计算利用向量或坐标表示出未知向量,代入相应的公式进行计算.
【跟踪训练】1.如图,已知△ABC的面积为 ,|AB|=2, =1,则AC边的长为________. 
【解析】以A为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.设点C的坐标为(x,y),
因为|AB|=2,所以B点坐标是(2,0),所以 =(2,0), =(x-2,y).因为 =1,所以2(x-2)=1,所以x= .又S△ABC= ,所以 ·y= .所以y= ,所以C点坐标为 ,从而 ,所以 故AC边的长为 .答案:
2.设点O是△ABC的外心,|AB|=13,|AC|=12,则 =________. 
【解析】设{ }为平面内一组基底.如图所示,O为△ABC的外心,设M为BC的中点,连接OM,AM,OA,
则易知OM⊥BC.又 所以 (其中 ) ×(122-132)=- .答案:-
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=6,则两条直角边的中线所夹的锐角的余弦值为________. 
【解析】方法一:如图(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别是BC,AC边的中点,BC=4,AC=6.
则CD=2,CE=3,所以| |= =6×3+0+0+2×4=26.设 的夹角为θ,则cs θ= 故直线AD与BE所夹的锐角的余弦值为 .
方法二:如图(2)所示,建立直角坐标系,点C为原点,两直角边所在直线为坐标轴.D,E分别为BC,AC的中点,所以A(0,6),B(4,0),D(2,0),E(0,3),则 =(2,-6), =(4,-3),所以 =2×4+(-6)×(-3)=26,设 的夹角为θ,
则cs θ= 故直线AD与BE所夹的锐角的余弦值为 .答案:
【拓展延伸】1.直线的方向向量:直线上的向量以及与它平行的向量都称为直线的方向向量.2.直线的法向量:如果向量n与直线l垂直,则称向量n为直线l的法向量.【注意】(1)已知直线l的方向向量,可以用向量平行的条件求出过一点与方向向量平行的直线方程.(2)已知直线的法向量,可以由向量垂直的条件写出直线方程.对应直线Ax+By+C=0,它的方向向量为v=(-B,A),它的法向量为n=(A,B).
【拓展训练】过点A(2,3),且垂直于向量a=(2,1)的直线方程为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A. 2x+y-7=0B. 2x+y+7=0C. x-2y+4=0D. x-2y-4=0【解析】选A.设P(x,y)为直线上一点,则 ⊥a,即(x-2)×2+(y-3)×1=0,即2x+y-7=0.
【补偿训练】经过点P(-2,0)且平行于a=(0,3)的直线方程为________. 【解析】设M(x,y)为直线上任一点,则 ∥a,所以3(x+2)=0,所以x=-2答案:x=-2
类型三　平面向量在物理中的应用(逻辑推理、数学建模)【典例】1.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力大小为20 N,当它们的夹角为120°时,合力大小为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.40 NB.10 NC.20 ND.10 N2.在风速为75( )km/h的西风中,飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行,求没有风时飞机的航速和航向.
3.已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°,大小为50 N,一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平面上运动了20 m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少?(g取10 m/s2)【思路导引】先把物理量转化为向量,再用向量法求解,最后再转化为物理量.
【解析】1.选B.如图,以F1,F2为邻边作平行四边形,F为这两个力的合力.
由题意,易知|F|= |F1|,|F|=20 N,所以|F1|=|F2|=10 N.当它们的夹角为120°时,以F1,F2为邻边作平行四边形,因此,|F合|=|F1|=10 N.
2.设ω=风速,νa=有风时飞机的航行速度,νb=无风时飞机的航行速度,νb=νa-ω.如图所示.设| |=|νa|,| |=|ω|,| |=|νb|,作AD∥BC,CD⊥AD于D,BE⊥AD于E,则∠BAD=45°.设| |=150,则| |=75( ),所以 从而| |=150 ,∠CAD=30°,所以|νb|=150 km/h,方向为北偏西60°.
3.如图所示,设木块的位移为s,重力为G,则WF=F·s=|F|·|s|cs 30°=50×20× =500 (J),|G|=8×10=80(N).将力F分解,它在竖直方向上的分力F1的大小为|F1|=|F|sin 30°=50× =25(N),
所以摩擦力f的大小为|f|=(80-25)×0.02=1.1(N),因此Wf=f·s=|f||s|·cs 180°=1.1×20×(-1)=-22(J).即F和f所做的功分别为500 J和-22 J.
【解题策略】用向量方法解决物理问题的步骤(1)把物理问题中的相关量用向量表示.(2)转化为向量问题的模型,通过向量运算使问题解决.(3)结果还原为物理问题.
【跟踪训练】两个力F1=i+j,F2=4i-5j作用于同一质点,使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i,j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量).求F1,F2分别对该质点做的功.
【解析】设物体在力F作用下的位移为s,则所做的功为W=F·s.由题意知, =(7,0)-(20,15)=(-13,-15),F1=(1,1),F2=(4,-5).F1做的功W1=F1·s=F1· =(1,1)·(-13,-15)=-28(J).F2做的功W2=F2·s=F2· =(4,-5)·(-13,-15)=23(J).
1.已知△ABC, · <0,则△ABC的形状为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰直角三角形【解析】选A.由已知得,∠A为钝角,故为钝角三角形.
2.(教材二次开发:习题改编)已知三个力f1=(-1,-2),f2=(0,3),f3=(4,5)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,再加上一个力f4,则f4=(　　)A.(-3,6)B.(3,-6)C.(-3,-6)D.(3,6)【解析】选C.由物理知识知f1+f2+f3+f4=0,故f4=-(f1+f2+f3)=(-3,-6).
3. 在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【解析】选B.BC中点为 所以| |= .
4.(2020·上饶高一检测)一个重50 N的物体从倾斜角为30°,斜面上1 m的光滑斜面顶端下滑到底端,则重力做的功是________. 【解析】W=G·s=|G|·|s|·cs θ=50×1×cs 60°=25 J.答案:25 J
5.若平面向量α,β满足|α|=1,|β|≤1,且以向量α,β为邻边的平行四边形的面积为 ,求α与β的夹角θ的取值范围.