2020年上海市杨浦高三一模数学试卷及答案

这是一份2020年上海市杨浦高三一模数学试卷及答案，共13页。
 2020年上海市杨浦高三一模数学试卷考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.设全集，则__________. 【答案】2.设复数（是虚数单位），则 __________.【解析】.3.若关于的方程组无解，则实数__________. 【解析】由题意得，解得，经检验满足题意，        所以.4. 已知球的半径为，则它的体积为__________.【解析】.5.若直线和互相垂直，则实数__________.【解析】因为直线和互相垂直，        所以，所以.6.已知，则 __________.【解析】因为，所以.7.已知的二项式展开式中，所有二项式系数的和为，则展开式的常数项为__________.（结果用数值表示）.【解析】由题意得，所以，        故展开式中的常数项为.8. 为偶函数，当时, ，则不等式的解集为__________.【解析】由题意得为偶函数，在上单调递增，，        则可化为，故解集为.9.方程的解为【解析】由得，解得或，        其中不满足真数大于0，舍去，故.10.平面直角坐标系中，满足到的距离比到的距离大的点的轨迹为曲线，点（其中 ）是曲线上的点，原点到直线的距离为，则__________.【解析】法一：由题意得曲线是以，为焦点的双曲线的右支，且，              所以，故曲线的方程为，              故曲线的渐近线方程为，不妨取第一象限的渐近线，               当时，点趋向于渐近线上的，              直线的方程为趋向于直线，              原点到直线的距离，              由极限思想，.        法二：（硬算）直线的方程为，其中               即，              所以原点到直线的距离，所以.11.如图所示矩形中，，分别将边与等分成份，并将等分点自下而上依次记作，自左到右依次记作，满足（其中）的有序数对共有__________.对.【解析】以为原点建系，则，由得，即，当时，，共种，当，共种，故有序数对共有对. 12.已知函数在定义域上是单调函数，值域为，满足，且对任意，都有的反函数为，若将（其中常数）的反函数的图像向上平移个单位，将得到函数的图像，则实数的值为__________.【解析】因为对任意，都有，        不妨令，满足值域为，        所以，解得，所以，所以，        对函数而言，其反函数为，        由题意得，所以，所以. 二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.设，则下列不等式中，恒成立的是（ ） 【答案】B【解析】由不等式性质易得，当时，恒成立的是14.下列函数中，值域为的是（ ） 【答案】C【解析】的值域为；的值域为；        的值域为；的值域为；故选C.15. 从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（ ）【答案】A【解析】从正方体的8个顶点中选取4个，构成四面体，除去正方体的6个面和6个对角面，一共能构成个四面体，故选A.16.设集合（其中常数），（其中常数 ），则“”是“”的（ ）A.充分非必要条件B. 必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【解析】若，则；若，则；        当时，若，则，满足，                   若，则，满足；        而当，显然满足，        故“”是“”的充分非必要条件，故选A.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，在直三棱柱 中，底面是等腰直角三角形，，，点分别是棱的中点.（1）求证：四点共面；（2）求直线与平面所成角的大小。【解析】（1）证明：由已知得， 因为与确定平面所以四点共面(2)解:  作, 垂足为F   平面, 平面, 直线直线直线且与相交于直线平面  即为直线与平面所成的角.在直角中, , ,直线与平面所成的角为.   18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数 （1）若是奇函数，求实数的值；（2）设中，内角的对边分别为，若，求的面积【解析】（1）解: 由题意      检验：     对任意都有  是奇函数 .    (2)解: , 整理得,A是三角形的内角      由余弦定理, 即整理得,  解得或      ,或.   19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某校运会上无人机飞行表演，在水平距离 （单位：米）内的飞行轨迹如图所示，表示飞行高度（单位：米），其中当时，轨迹为开口向上的抛物线的一段（端点为），当时，轨迹为线段，经测量，起点，终点，最低点（1）求关于的函数解析式；（2）在处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角的最小值.（精确到）【解析】解：（1）时设： 将代入得                时                    （2）如图，设仰角为，俯角为      仰角最小为                     俯角最小为           最小为          20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设分别是椭圆的左、右顶点，点为椭圆的上顶点.（1）若，求椭圆的方程；（2）设是椭圆的右焦点，点是椭圆第二象限部分上一点，若线段的中点在轴上，求的面积（3）设，点是直线上的动点，点和是椭圆上异于左右顶点的两点，且 分别在直线和上，求证：直线恒过一定点.【解析】(1)解: ,            , , , 解得  即椭圆的方程为.          (2)解: 椭圆的方程为, 由题意    设, 由线段的中点在y轴上,   代入椭圆方程得, 即     .   (3)证明: 由题意, 设点P的坐标为,直线：, 与椭圆方程联立 消去得：           由韦达定理得      即;    同理 ;                               当, 即   即  时, 直线的方程为;               当时, 直线：   化简得, 恒过点;            综上所述, 直线恒过点.      21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设数列与满足：的各项均为正数， （1）设，若是无穷等比数列，求数列的通项公式.（2）设，求证：不存在递减的数列，使得是无穷等比数列.（3）当时，为公差不为0的等差数列且其前的和为0；若对任意满足条件的数列，其前项的和均不超过，求正整数的最大值.【解析】（1）解: , , 公比为    由解得, 数列的通项公式为.                （2）证明: 反证法，设存在 则, 此时 公比   , 考虑不等式   当时, 即时,有(其中表示不超过x的最大整数),这与的值域为矛盾       假设不成立 ，得证(3)解: ,                          由等差数列性质  即,特别地, , 现考虑的最大值为使取最大值, 应有,否则在中将替换为, 且, 将得到一个更大的       由可知, 特别地, ;于是    解得, 所以的最大值为8.