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第3讲 函数的性质：奇偶性、单调性、周期性、对称性-2022年新高考数学二轮专题突破精练
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第3讲 函数的性质：奇偶性、单调性、周期性、对称性
参考答案与试题解析
一．选择题（共34小题）
1．函数的定义域为，若与都是奇函数，则
A．是偶函数 B．是奇函数
C． D．是奇函数
【解答】解：与都是奇函数，
，，
函数关于点及点对称，
，，
故有，函数是周期的周期函数，
，
，即，
是奇函数．
故选：．
【点评】本题主要考查抽象函数中一些主条件的变形，来考查函数有关性质，方法往往是紧扣性质的定义．
2．（2021•山东三模）已知，且，函数，设函数的最大值为，最小值为，则
A． B． C． D．
【解答】解：，
令，，，
由
，
可知，
故函数的图象关于原点对称，
设的最大值是，则的最小值是，
由，
令，
时，在，递减，
的最小值是，
的最大值是（1），
故（1），
的最大值与最小值的和是，
时，在，递增，
的最大值是，
的最小值是（1），
故（1），
故函数的最大值与最小值之和为8，
综上：函数的最大值与最小值之和为8，
故选：．
【点评】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查函数的最值问题，是一道中档题．
3．（2020春•昆明期中）设函数的定义域为，为奇函数，且当时，，若最大值为，最小值为．现有下列四个结论：
①；②；③；④．
其中所有正确结论的编号为
A．①② B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【解答】解：由已知得的图象关于点对称，当时，，
所以当，时，，
当时，，
作出函数的简图如下：
所以函数的最大值，
最小值，
所以，
，，，
所以①②正确．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：函数的性质，对称性和单调性的应用，函数的导数和单调性的关系，函数的极值的求法和应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
4．（2021•颍州区校级开学）定义在上的函数满足，则的值为
A． B． C．2 D．0
【解答】解：当时，①，②，
两式相加可得，则有，
故，所以的周期为6．
（3）（2）（1），
故选：．
【点评】本题主要考查利用函数的周期求值．先利用周期把所求化到已知区间，再代入对应的解析式即可．属于基础题．
5．（2021•甲卷）设是定义域为的奇函数，且．若，则
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得，
又，
所以，
又，
则．
故选：．
【点评】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，解题的关键是进行合理的转化，属于基础题．
6．（2021秋•道里区校级月考）设，是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数，当，时，，，其中，则在区间，上函数与与图象交点个数是
A．7 B．8 C．10 D．11
【解答】解：当，时，，即，，
当时，过点，，此时直线与半圆相交，
当时，圆心到直线的距离，此时直线与半圆相切，
故当，与相交，当，时有2个交点，
因为是周期为4的奇函数，周期为2，作出图像如下：
由图可得，在区间，上函数与图象交点个数是11个，
故选：．
【点评】本题考查函数零点个数的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．
7．（2021秋•禅城区月考）已知函数，若（1），则的取值范围
A．，， B．
C． D．，
【解答】解：，
，
则函数是偶函数，
由（1）得（1），
即（1），得（1），
当时，，恒成立，即函数在，上为增函数，
则不等式（1），等价为（1），
则或，
得或，
即的取值范围，，，
故选：．
【点评】本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
8．（2021秋•泸州期末）已知函数为自然对数的底数），若实数满足（1），则实数的取值范围是
A．，， B．，，
C．， D．，
【解答】解：，求导，则在单调递增，
则，则为奇函数，
则
由（1），则（1），
（1），
由，解得：，
实数的取值范围，．
故选：．
【点评】本题考查利用导数求函数的单调性，函数的奇偶性及对数的运算性质，考查转化思想，属于中档题．
9．（2021秋•秦州区校级期末）已知函数是定义域在上的奇函数，且在区间，单调递增，若实数满足（1），则的取值范围是
A．， B． C． D．，
【解答】解：是定义域为上的奇函数，
不等式（1），等价为（1），
即（1），则（1），
在区间，上是单调递增函数，
，解得，
故选：．
【点评】本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性之间的关系以及对数的运算性质是解决本题的关键
10．（2021秋•四川期末）已知函数是定义在，，上的奇函数，在区间上是单调递增，且．若实数满足（1），则实数的取值范围是
A．， B． C．， D．
【解答】解：为奇函数；
（1），且；
由得，；
；
①若，，根据题意在上单调递增；
由得，（1）；
；
；
②若，，在上单调递增；
由得，；
；
；
综上得，实数的取值范围是．
故选：．
【点评】考查奇函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性特点，对数的换底公式，对数函数的单调性，以及增函数的定义．
11．（2021春•海安县校级期中）若定义在上的函数满足：对任意的，，有为非零常数），则下列说法一定正确的是
A．为偶函数 B．为奇函数
C．为偶函数 D．为奇函数
【解答】解：令，则由得，则，
，，即不是奇函数，排除，
令，，
则由，
得，
即，则不成立，即不是偶函数，排除，
，
即是奇函数，
故排除，
故选：．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，结合抽象函数关系以及利用函数奇偶性的定义是解决本题的关键．
12．（2021•西湖区校级模拟）定义在上的函数满足：对任意，有，则
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是奇函数
【解答】解：根据题意，对任意，有，
令可得：，解可得，
再令，，则有，变形可得，不是偶函数也是奇函数，、错误；
对于，进而变形可得，则是奇函数不是偶函数，错误；正确；
故选：．
【点评】本题考查函数奇偶性的判断，涉及抽象函数的解析式，属于基础题．
13．（2021•新高考Ⅱ）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则
A． B． C．（2） D．（4）
【解答】解：由题意，为偶函数，可得，
为奇函数，可得，
令为奇函数，
可得（1），
（3）（1），
即，
，
易知的周期，其他选项的值不一定等于0．
即，
故选：．
【点评】本题考查了函数的奇偶性的综合应用，属于中档题．
14．（2021秋•公主岭市校级期中）若定义在上的函数满足：对任意，有，且时，，记在，上的最大值和最小值为，，则的值为
A．2021 B．2021 C．4032 D．4034
【解答】解：令得，，
令得，
，
令，则，，
，
是奇函数，
，即，
．
故选：．
【点评】本题考查了奇偶性的判断与性质，属于中档题．
15．（2021秋•吉林校级月考）已知函数，且，则实数的取值范围为
A．，， B．，，
C．， D．
【解答】解：函数为自然对数的底数），
，故函数为偶函数，且在单调递增，
，，
即，解得，实数的取值范围为：，，．
故选：．
【点评】本题考查了偶函数的性质，单调性，解函数不等式的基本方法，属于中档题
16．（2020秋•长安区校级期中）已知函数是定义域为的奇函数，满足．若（1），则（1）（2）（3）
A． B．0 C．2 D．60
【解答】解：根据题意，是定义域为的奇函数，则，且；
又由即有，则，
进而得到，为周期为4的函数，
若（1），可得（3）（1），
（2），（4），
则（1）（2）（3）（4），
则（1）（2）（3）（1）（2）（3）（4）；
故选：．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意分析函数的周期，属于基础题．
17．（2021•浙江模拟）设函数满足，且当，时，，当时，，又函数，函数在，上的零点个数为
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：因为函数满足，
所以为偶函数，图象关于轴对称，
因为当，时，，当时，，
所以当时，，所以，，
当，时，，，所以，
又，所以，
所以为偶函数，图象关于轴对称，
令，得，
所以求函数在，上的零点个数，
即求图象与图象在，上交点的个数，
在同一坐标系中画出的图象与的图象，如下图所示，
又，，
所以函数在，上的零点个数为7个．
故选：．
【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，解题的关键是将函数零点问题转化成求图象交点的问题，同时考查了数形结合的思想和转化能力，属于中档题．
18．（2021•北京）设函数为常数），则“”是“为偶函数”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：设函数为常数），
则“” “为偶函数”，
“为偶函数” “”，
函数为常数），
则“”是“为偶函数”的充分必要条件．
故选：．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查函数的奇偶性等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
19．（2020秋•大武口区校级期末）已知函数满足，若函数与图象的交点为，，，，，，，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为
A．1010 B． C．2020 D．4040
【解答】解：函数满足，
即为，可得的图象关于点对称，
函数的图象关于点对称，
可得若，为交点，则，也为交点，
同理可得若，为交点，则，也为交点，
则交点的所有横坐标和纵坐标之和为
，
故选：．
【点评】本题考查函数的对称性的判断和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
20．（2021•江西模拟）已知偶函数满足，，且当，时，，关于的不等式在，上有且只有300个整数解，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【解答】解：偶函数满足满足，
，
的周期为8，且的图象关于直线对称．
由于，上含有50个周期，且在每个周期内都是轴对称图形，
关于的不等式在，上有3个整数解．
当，时，，
在上单调递增，在，上单调递减，
（1），（2）（3）（4），
当，2，3，时，，
当时，在，上有4个整数解，不符合题意，
，
由可得或．
显然在，上无整数解，
故而在，上有3个整数解，分别为1，2，3．
（4），（3），（1），
．
故选：．
【点评】本题考查了函数单调性与不等式的解的关系，属于中档题．
21．（2020春•兴庆区校级期末）设函数，则使得成立的的取值范围是
A． B．
C． D．
【解答】解：函数，
那么
可知是偶函数，
当，是递增函数，
成立，等价于，
解得：，
故选：．
【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
22．（2021秋•庄河市校级期末）设偶函数在，单调递增，则使得成立的的取值范围是
A．， B．，，
C．， D．，，
【解答】解：因为为偶函数，
所以可化为
又在区间，上单调递增，所以，
即，解得，
所以的取值范围是，，
故选：．
【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．
23．（2020秋•城中区校级期末）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是
A． B．，
C． D．，，
【解答】解：函数的定义域为，
且，
所以为奇函数，
，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，
所以为减函数，
所以不等式等价于，
所以，解得或，
即实数的取值范围是．
故选：．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数奇偶性的判断，利用函数的性质解不等式，属于中档题．
24．（2021秋•平顶山期末）已知函数，（a），则
A． B．2 C． D．3
【解答】解：（a），
（a），即，
则，
故选：．
【点评】本题主要考查函数值的计算，结合对数函数的运算性质进行转化是解决本题的关键．
25．（2021•河南模拟）已知函数，若（a），则
A．0 B． C． D．
【解答】解：由题意知，
（a），
故
，
故选：．
【点评】本题考查了学生的化简运算能力．
26．（2020•杭州模拟）已知函数是偶函数，则，的值可能是
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：根据题意，设，则，则，，
又由为偶函数，则，
即，变形可得：对于任意恒成立，
则有，
分析选项：满足，
故选：．
【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及三角函数诱导公式的应用，属于基础题．
27．（2021•内江一模）已知函数，，若与的图象上分别存在点，，使得，关于直线对称，则实数的取值范围是
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：与的图象上分别存在点，，使得，关于直线对称，
函数的图象关于直线对称图像与函数图像有交点．
函数图像关于直线对称图像函数为的反函数．
函数为的反函数为，
对称图像函数为．
此图像与与函数的图像在，上有交点
可转化为关于的方程在，上有解．
可得．
问题又可转化为求函数的值域即为的取值范围．
得，
函数在，上的递减区间为，，递增区间为，，
的最小值为（e），的最大值为，
函数的值域，，
的取值范围为，，
故选：．
【点评】本题考查反函数、导数应用、函数方程思想、转化思想、数形结合思想，属于中档题．
28．（2021春•历城区校级月考）已知函数，与函数，若与的图象上分别存在点，，使得关于直线对称，则实数的取值范围是
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：关于直线的对称函数为，
则与在，上有交点，
作出与在，上的函数图象如图所示：
设经过点，，则，
设与相切，切点为，，
则，解得，．
．
故选：．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
29．（2021•宝鸡三模）函数的图象的对称性为
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
【解答】解：因为，所以，
所以函数是偶函数，即函数图象关于轴对称．
故选：．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和函数图象的关系，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．
30．（2021秋•和平区校级月考）已知定义域为且函数图象关于原点对称，并满足，当时，，则
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，定义域为且函数图象关于原点对称，则为奇函数，则有，
满足，则有，
故，变形可得，
为奇函数，则，
又由，则，
则，
故选：．
【点评】本题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性和对称性的应用，属于基础题．
31．（2021秋•咸阳月考）已知定义在上的函数的图象关于点对称，，且函数在上单调递增，则
A． B．
C． D．
【解答】解：因为函数的图象关于点对称，
故函数的图象关于点对称，
所以函数为上的奇函数，
由，可得，
故函数的周期为2，
因为函数在上单调递增，
则在上也是单调递增函数，
因为，且，
则．
故选：．
【点评】本题考查了函数性质的综合应用，涉及了函数的对称性、周期性以及单调性的应用，函数图象变换的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
32．（2021秋•9月份月考）已知函数关于直线对称，对任意实数，恒成立，且当，时，，则
A．3 B．2 C．1 D．0
【解答】解：由函数关于直线对称，
所以函数的图象关于轴对称，
故为偶函数，所以，
又对任意实数，恒成立，
所以，
所以，
所以函数的周期为2，
当，时，，
则（1）．
故选：．
【点评】本题考查了抽象函数的应用，函数奇偶性、对称性以及周期性的应用，考查了转化思想与逻辑推理能力，属于中档题．
33．（2021春•东城区校级期中）已知定义在上的奇函数满足，关于对称且在区间，上单调递增，则
A． B．
C． D．
【解答】解：因为满足，
所以的周期为8，
则，，（3），
又因为为上的奇函数，且关于对称，
所以（3）（1），
又在区间，上单调递增，
则在，上也是单调递增，
所以在，上单调递增，
故（1），
所以．
故选：．
【点评】本题考查了函数性质的综合应用，函数奇偶性、周期性、单调性的应用，解题的关键是将所要判断的函数值进行等价转化，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
34．（2021秋•静宁县校级月考）已知函数的定义域为，且函数的图象关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为
A． B． C． D．
【解答】解：的图象关于点对称，的图象关于点对称，即是奇函数，
由得，即函数是周期为4的周期函数，
当时，，
当时，，即，
同时（4），（2），
当时，，，
则的值域为，
若对任意，存在，使得成立，
则存在，使得即可．即，即可，
则有解，
当时，抛物线开口向下，满足条件，
当时，则满足判别式△，得，
综上，
故选：．
【点评】本题主要考查函数恒成立问题，根据条件求出函数的值域，利用存在性与任意性的关系进行转化是解决本题的关键，是中档题．
二．多选题（共2小题）
35．（2020春•临沂期末）已知函数在上单调递增，且，（2），则
A．的图象关于点对称
B．
C．
D．不等式的解集为，，
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，函数满足，即，则的图象关于点对称，正确；
对于，函数满足，令可得，又由在上单调递增，则，则有，错误；
对于，函数满足，令可得，又由在上单调递增，则，则有，正确；
对于，函数满足，令可得：（2），则有，不等式即或，则有或，即不等式的解集为，，，正确；
故选：．
【点评】本题考查函数单调性以及对称性的应用，注意分析函数的对称中心，属于中档题．
36．（2021秋•姑苏区校级月考）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，则以下说法正确的有
A．函数的图像关于直线对称
B．函数的图像关于点对称
C．函数的一个周期为4
D．（2）
【解答】解：因为定义域为，且为偶函数，
所以，①
所以关于直线，对称，故正确；
又为奇函数，
所以，
即，
用替换上式中，得
，②
所以关于点对称，故正确；
由①②得：③
所以④，
所以，
即，
所以函数周期为4，故正确；
因为为奇函数，
所以，
无法判断（2）的取值，故错误．
故选：．
【点评】本题考查了抽象函数的性质，属于中档题．
三．填空题（共14小题）
37．（2005•西城区校级一模）函数，，中， 是奇函数， 是偶函数．
【解答】解：函数，，为偶函数．
函数，当时，，．又，．
当时，，．又，．
当时，，．又，．
综上，对任意都有，为偶函数．
函数，，为奇函数．
故答案为：；，
【点评】本题以函数为载体，考查函数奇偶性的判断，应先判断函数的定义域关于原点对称，再合理运用定义，要注意分段函数的判断，需分段研究．
38．设函数的最大值为，最小值为，则 2 ．
【解答】解：，
令，则为奇函数，
的最大值与最小值的和为0，
函数的最大值和最小值的和为，
即，
故答案为：2．
【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查转化思想，是基础题．
39．（2021秋•广东期中）设函数的最大值为，最小值为，则 2 ．
【解答】解：，
令，函数的定义域为，
且，则函数为奇函数，
设其最大值为，则其最小值为，
，，
．
故答案为：2．
【点评】本题考查函数奇偶性的判定及其应用，考查函数的最值，考查数学转化思想方法，是中档题．
40．（2021秋•上饶县校级月考）设函数的最大值为，最小值为，则 2 ．
【解答】解：函数，
则为奇函数，
则，
即，
则，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查函数最值的求解，利用分式函数的性质构造奇函数是解决本题的关键．
41．定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 2 ．
【解答】解：函数为奇函数，，
又的最大值为，最小值为，
又，即为奇函数，
且的最大最小值分别为，，
由奇函数的性质可得，
解得．
故答案为：2．
【点评】本题考查函数的奇偶性，涉及函数的最值问题，属基础题．
42．（2020•浦东新区校级模拟）已知，设函数的最大值为，最小值为，则的值为 4039 ．
【解答】解：函数
令，
由于是单调递增，
是单调递增，
可得．
，，
（a）
则
故答案为：4039．
【点评】本题考查分离常数处理方法，函数的单调性的应用，构造为定值是解题的关键．属于中档题．
43．（2012•临川区校级模拟）设函数的最大值为，最小值为，那么 4021 ．
【解答】解：函数
在上为增函数，在上为减函数
在上为增函数，
而在上也为增函数
在上为增函数
，
故答案为 4021
【点评】本题主要考查了利用函数的单调性求函数的最大值与最小值，关键是把函数化简成可以判断单调性的形式．
44．（2021秋•东丽区校级月考）设函数的定义域为，满足，且当，时，．若对任意，，都有，则的取值范围是 ．
【解答】解：因为，，
，时，，，
，时，，，，；
，时，，，，，
当，时，由解得或，
若对任意，，都有，则．
故答案为：，．
【点评】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．
45．（2020秋•江夏区校级月考）已知函数，若，则实数的取值范围是 ， ．
【解答】解：因为，
设，定义域，
，所以为奇函数，
，所以单调递增，
不等式，即为，
即，所以，
即，
解得，
即实数的取值范围是，．
故答案为：，．
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，构造是解题的关键，属于中档题．
46．（2021秋•上城区校级期末）若函数满足：对任意的实数，有且，当，时，，则（6） 1 ，当，时， ．
【解答】解：由，则，
故，即，（6）（2）；
当，时，，，，
当，时，，，得，
所以，时，，，
即，
故答案为：1；．
【点评】本题考查抽象函数的综合运用，考查周期及解析式的求法，属于基础题．
47．（2021•梅河口市校级一模）已知函数，，若与的图象上分别存在点，，使得关于直线对称，则实数的取值范围是 ， ．
【解答】解：函数，，
与的图象上分别存在点，，使得，关于直线对称，
设，则，
，，
，由，得，
，，时，，是减函数；
，时，，是增函数，
时，；时，；时，，
，．
实数的取值范围是，．
故答案为：
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
48．（2021秋•博望区校级月考）若函数的图象关于原点对称，则（1） ．
【解答】解：由题意可知为奇函数，
故，
所以，，
则（1）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了奇函数的性质在求解函数解析式中的应用，属于基础题．
49．（2021•安徽开学）已知函数的图象关于原点对称，且当时，，则当时， ．
【解答】解：根据题意，设，则，
则，
又由为奇函数，则；
故答案为：．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题．
50．（2021•通辽四模）已知定义域为的函数的图象关于原点对称，且时，．当，时，，则（4） ．
【解答】解：定义域为的函数的图象关于原点对称，故为奇函数，当时，．
当，时，，
（8）（6）（4）（2）（2），
则（4）（2）（2）（2），
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性，求函数的值，属于中档题．
第3讲 函数的性质：奇偶性、单调性、周期性、对称性
参考答案与试题解析
一．选择题（共34小题）
1．函数的定义域为，若与都是奇函数，则
A．是偶函数 B．是奇函数
C． D．是奇函数
【解答】解：与都是奇函数，
，，
函数关于点及点对称，
，，
故有，函数是周期的周期函数，
，
，即，
是奇函数．
故选：．
【点评】本题主要考查抽象函数中一些主条件的变形，来考查函数有关性质，方法往往是紧扣性质的定义．
2．（2021•山东三模）已知，且，函数，设函数的最大值为，最小值为，则
A． B． C． D．
【解答】解：，
令，，，
由
，
可知，
故函数的图象关于原点对称，
设的最大值是，则的最小值是，
由，
令，
时，在，递减，
的最小值是，
的最大值是（1），
故（1），
的最大值与最小值的和是，
时，在，递增，
的最大值是，
的最小值是（1），
故（1），
故函数的最大值与最小值之和为8，
综上：函数的最大值与最小值之和为8，
故选：．
【点评】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查函数的最值问题，是一道中档题．
3．（2020春•昆明期中）设函数的定义域为，为奇函数，且当时，，若最大值为，最小值为．现有下列四个结论：
①；②；③；④．
其中所有正确结论的编号为
A．①② B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【解答】解：由已知得的图象关于点对称，当时，，
所以当，时，，
当时，，
作出函数的简图如下：
所以函数的最大值，
最小值，
所以，
，，，
所以①②正确．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：函数的性质，对称性和单调性的应用，函数的导数和单调性的关系，函数的极值的求法和应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
4．（2021•颍州区校级开学）定义在上的函数满足，则的值为
A． B． C．2 D．0
【解答】解：当时，①，②，
两式相加可得，则有，
故，所以的周期为6．
（3）（2）（1），
故选：．
【点评】本题主要考查利用函数的周期求值．先利用周期把所求化到已知区间，再代入对应的解析式即可．属于基础题．
5．（2021•甲卷）设是定义域为的奇函数，且．若，则
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得，
又，
所以，
又，
则．
故选：．
【点评】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，解题的关键是进行合理的转化，属于基础题．
6．（2021秋•道里区校级月考）设，是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数，当，时，，，其中，则在区间，上函数与与图象交点个数是
A．7 B．8 C．10 D．11
【解答】解：当，时，，即，，
当时，过点，，此时直线与半圆相交，
当时，圆心到直线的距离，此时直线与半圆相切，
故当，与相交，当，时有2个交点，
因为是周期为4的奇函数，周期为2，作出图像如下：
由图可得，在区间，上函数与图象交点个数是11个，
故选：．
【点评】本题考查函数零点个数的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．
7．（2021秋•禅城区月考）已知函数，若（1），则的取值范围
A．，， B．
C． D．，
【解答】解：，
，
则函数是偶函数，
由（1）得（1），
即（1），得（1），
当时，，恒成立，即函数在，上为增函数，
则不等式（1），等价为（1），
则或，
得或，
即的取值范围，，，
故选：．
【点评】本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
8．（2021秋•泸州期末）已知函数为自然对数的底数），若实数满足（1），则实数的取值范围是
A．，， B．，，
C．， D．，
【解答】解：，求导，则在单调递增，
则，则为奇函数，
则
由（1），则（1），
（1），
由，解得：，
实数的取值范围，．
故选：．
【点评】本题考查利用导数求函数的单调性，函数的奇偶性及对数的运算性质，考查转化思想，属于中档题．
9．（2021秋•秦州区校级期末）已知函数是定义域在上的奇函数，且在区间，单调递增，若实数满足（1），则的取值范围是
A．， B． C． D．，
【解答】解：是定义域为上的奇函数，
不等式（1），等价为（1），
即（1），则（1），
在区间，上是单调递增函数，
，解得，
故选：．
【点评】本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性之间的关系以及对数的运算性质是解决本题的关键
10．（2021秋•四川期末）已知函数是定义在，，上的奇函数，在区间上是单调递增，且．若实数满足（1），则实数的取值范围是
A．， B． C．， D．
【解答】解：为奇函数；
（1），且；
由得，；
；
①若，，根据题意在上单调递增；
由得，（1）；
；
；
②若，，在上单调递增；
由得，；
；
；
综上得，实数的取值范围是．
故选：．
【点评】考查奇函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性特点，对数的换底公式，对数函数的单调性，以及增函数的定义．
11．（2021春•海安县校级期中）若定义在上的函数满足：对任意的，，有为非零常数），则下列说法一定正确的是
A．为偶函数 B．为奇函数
C．为偶函数 D．为奇函数
【解答】解：令，则由得，则，
，，即不是奇函数，排除，
令，，
则由，
得，
即，则不成立，即不是偶函数，排除，
，
即是奇函数，
故排除，
故选：．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，结合抽象函数关系以及利用函数奇偶性的定义是解决本题的关键．
12．（2021•西湖区校级模拟）定义在上的函数满足：对任意，有，则
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是奇函数
【解答】解：根据题意，对任意，有，
令可得：，解可得，
再令，，则有，变形可得，不是偶函数也是奇函数，、错误；
对于，进而变形可得，则是奇函数不是偶函数，错误；正确；
故选：．
【点评】本题考查函数奇偶性的判断，涉及抽象函数的解析式，属于基础题．
13．（2021•新高考Ⅱ）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则
A． B． C．（2） D．（4）
【解答】解：由题意，为偶函数，可得，
为奇函数，可得，
令为奇函数，
可得（1），
（3）（1），
即，
，
易知的周期，其他选项的值不一定等于0．
即，
故选：．
【点评】本题考查了函数的奇偶性的综合应用，属于中档题．
14．（2021秋•公主岭市校级期中）若定义在上的函数满足：对任意，有，且时，，记在，上的最大值和最小值为，，则的值为
A．2021 B．2021 C．4032 D．4034
【解答】解：令得，，
令得，
，
令，则，，
，
是奇函数，
，即，
．
故选：．
【点评】本题考查了奇偶性的判断与性质，属于中档题．
15．（2021秋•吉林校级月考）已知函数，且，则实数的取值范围为
A．，， B．，，
C．， D．
【解答】解：函数为自然对数的底数），
，故函数为偶函数，且在单调递增，
，，
即，解得，实数的取值范围为：，，．
故选：．
【点评】本题考查了偶函数的性质，单调性，解函数不等式的基本方法，属于中档题
16．（2020秋•长安区校级期中）已知函数是定义域为的奇函数，满足．若（1），则（1）（2）（3）
A． B．0 C．2 D．60
【解答】解：根据题意，是定义域为的奇函数，则，且；
又由即有，则，
进而得到，为周期为4的函数，
若（1），可得（3）（1），
（2），（4），
则（1）（2）（3）（4），
则（1）（2）（3）（1）（2）（3）（4）；
故选：．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意分析函数的周期，属于基础题．
17．（2021•浙江模拟）设函数满足，且当，时，，当时，，又函数，函数在，上的零点个数为
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：因为函数满足，
所以为偶函数，图象关于轴对称，
因为当，时，，当时，，
所以当时，，所以，，
当，时，，，所以，
又，所以，
所以为偶函数，图象关于轴对称，
令，得，
所以求函数在，上的零点个数，
即求图象与图象在，上交点的个数，
在同一坐标系中画出的图象与的图象，如下图所示，
又，，
所以函数在，上的零点个数为7个．
故选：．
【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，解题的关键是将函数零点问题转化成求图象交点的问题，同时考查了数形结合的思想和转化能力，属于中档题．
18．（2021•北京）设函数为常数），则“”是“为偶函数”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：设函数为常数），
则“” “为偶函数”，
“为偶函数” “”，
函数为常数），
则“”是“为偶函数”的充分必要条件．
故选：．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查函数的奇偶性等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
19．（2020秋•大武口区校级期末）已知函数满足，若函数与图象的交点为，，，，，，，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为
A．1010 B． C．2020 D．4040
【解答】解：函数满足，
即为，可得的图象关于点对称，
函数的图象关于点对称，
可得若，为交点，则，也为交点，
同理可得若，为交点，则，也为交点，
则交点的所有横坐标和纵坐标之和为
，
故选：．
【点评】本题考查函数的对称性的判断和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
20．（2021•江西模拟）已知偶函数满足，，且当，时，，关于的不等式在，上有且只有300个整数解，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【解答】解：偶函数满足满足，
，
的周期为8，且的图象关于直线对称．
由于，上含有50个周期，且在每个周期内都是轴对称图形，
关于的不等式在，上有3个整数解．
当，时，，
在上单调递增，在，上单调递减，
（1），（2）（3）（4），
当，2，3，时，，
当时，在，上有4个整数解，不符合题意，
，
由可得或．
显然在，上无整数解，
故而在，上有3个整数解，分别为1，2，3．
（4），（3），（1），
．
故选：．
【点评】本题考查了函数单调性与不等式的解的关系，属于中档题．
21．（2020春•兴庆区校级期末）设函数，则使得成立的的取值范围是
A． B．
C． D．
【解答】解：函数，
那么
可知是偶函数，
当，是递增函数，
成立，等价于，
解得：，
故选：．
【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
22．（2021秋•庄河市校级期末）设偶函数在，单调递增，则使得成立的的取值范围是
A．， B．，，
C．， D．，，
【解答】解：因为为偶函数，
所以可化为
又在区间，上单调递增，所以，
即，解得，
所以的取值范围是，，
故选：．
【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．
23．（2020秋•城中区校级期末）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是
A． B．，
C． D．，，
【解答】解：函数的定义域为，
且，
所以为奇函数，
，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，
所以为减函数，
所以不等式等价于，
所以，解得或，
即实数的取值范围是．
故选：．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数奇偶性的判断，利用函数的性质解不等式，属于中档题．
24．（2021秋•平顶山期末）已知函数，（a），则
A． B．2 C． D．3
【解答】解：（a），
（a），即，
则，
故选：．
【点评】本题主要考查函数值的计算，结合对数函数的运算性质进行转化是解决本题的关键．
25．（2021•河南模拟）已知函数，若（a），则
A．0 B． C． D．
【解答】解：由题意知，
（a），
故
，
故选：．
【点评】本题考查了学生的化简运算能力．
26．（2020•杭州模拟）已知函数是偶函数，则，的值可能是
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：根据题意，设，则，则，，
又由为偶函数，则，
即，变形可得：对于任意恒成立，
则有，
分析选项：满足，
故选：．
【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及三角函数诱导公式的应用，属于基础题．
27．（2021•内江一模）已知函数，，若与的图象上分别存在点，，使得，关于直线对称，则实数的取值范围是
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：与的图象上分别存在点，，使得，关于直线对称，
函数的图象关于直线对称图像与函数图像有交点．
函数图像关于直线对称图像函数为的反函数．
函数为的反函数为，
对称图像函数为．
此图像与与函数的图像在，上有交点
可转化为关于的方程在，上有解．
可得．
问题又可转化为求函数的值域即为的取值范围．
得，
函数在，上的递减区间为，，递增区间为，，
的最小值为（e），的最大值为，
函数的值域，，
的取值范围为，，
故选：．
【点评】本题考查反函数、导数应用、函数方程思想、转化思想、数形结合思想，属于中档题．
28．（2021春•历城区校级月考）已知函数，与函数，若与的图象上分别存在点，，使得关于直线对称，则实数的取值范围是
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：关于直线的对称函数为，
则与在，上有交点，
作出与在，上的函数图象如图所示：
设经过点，，则，
设与相切，切点为，，
则，解得，．
．
故选：．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
29．（2021•宝鸡三模）函数的图象的对称性为
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
【解答】解：因为，所以，
所以函数是偶函数，即函数图象关于轴对称．
故选：．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和函数图象的关系，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．
30．（2021秋•和平区校级月考）已知定义域为且函数图象关于原点对称，并满足，当时，，则
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，定义域为且函数图象关于原点对称，则为奇函数，则有，
满足，则有，
故，变形可得，
为奇函数，则，
又由，则，
则，
故选：．
【点评】本题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性和对称性的应用，属于基础题．
31．（2021秋•咸阳月考）已知定义在上的函数的图象关于点对称，，且函数在上单调递增，则
A． B．
C． D．
【解答】解：因为函数的图象关于点对称，
故函数的图象关于点对称，
所以函数为上的奇函数，
由，可得，
故函数的周期为2，
因为函数在上单调递增，
则在上也是单调递增函数，
因为，且，
则．
故选：．
【点评】本题考查了函数性质的综合应用，涉及了函数的对称性、周期性以及单调性的应用，函数图象变换的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
32．（2021秋•9月份月考）已知函数关于直线对称，对任意实数，恒成立，且当，时，，则
A．3 B．2 C．1 D．0
【解答】解：由函数关于直线对称，
所以函数的图象关于轴对称，
故为偶函数，所以，
又对任意实数，恒成立，
所以，
所以，
所以函数的周期为2，
当，时，，
则（1）．
故选：．
【点评】本题考查了抽象函数的应用，函数奇偶性、对称性以及周期性的应用，考查了转化思想与逻辑推理能力，属于中档题．
33．（2021春•东城区校级期中）已知定义在上的奇函数满足，关于对称且在区间，上单调递增，则
A． B．
C． D．
【解答】解：因为满足，
所以的周期为8，
则，，（3），
又因为为上的奇函数，且关于对称，
所以（3）（1），
又在区间，上单调递增，
则在，上也是单调递增，
所以在，上单调递增，
故（1），
所以．
故选：．
【点评】本题考查了函数性质的综合应用，函数奇偶性、周期性、单调性的应用，解题的关键是将所要判断的函数值进行等价转化，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
34．（2021秋•静宁县校级月考）已知函数的定义域为，且函数的图象关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为
A． B． C． D．
【解答】解：的图象关于点对称，的图象关于点对称，即是奇函数，
由得，即函数是周期为4的周期函数，
当时，，
当时，，即，
同时（4），（2），
当时，，，
则的值域为，
若对任意，存在，使得成立，
则存在，使得即可．即，即可，
则有解，
当时，抛物线开口向下，满足条件，
当时，则满足判别式△，得，
综上，
故选：．
【点评】本题主要考查函数恒成立问题，根据条件求出函数的值域，利用存在性与任意性的关系进行转化是解决本题的关键，是中档题．
二．多选题（共2小题）
35．（2020春•临沂期末）已知函数在上单调递增，且，（2），则
A．的图象关于点对称
B．
C．
D．不等式的解集为，，
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，函数满足，即，则的图象关于点对称，正确；
对于，函数满足，令可得，又由在上单调递增，则，则有，错误；
对于，函数满足，令可得，又由在上单调递增，则，则有，正确；
对于，函数满足，令可得：（2），则有，不等式即或，则有或，即不等式的解集为，，，正确；
故选：．
【点评】本题考查函数单调性以及对称性的应用，注意分析函数的对称中心，属于中档题．
36．（2021秋•姑苏区校级月考）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，则以下说法正确的有
A．函数的图像关于直线对称
B．函数的图像关于点对称
C．函数的一个周期为4
D．（2）
【解答】解：因为定义域为，且为偶函数，
所以，①
所以关于直线，对称，故正确；
又为奇函数，
所以，
即，
用替换上式中，得
，②
所以关于点对称，故正确；
由①②得：③
所以④，
所以，
即，
所以函数周期为4，故正确；
因为为奇函数，
所以，
无法判断（2）的取值，故错误．
故选：．
【点评】本题考查了抽象函数的性质，属于中档题．
三．填空题（共14小题）
37．（2005•西城区校级一模）函数，，中， 是奇函数， 是偶函数．
【解答】解：函数，，为偶函数．
函数，当时，，．又，．
当时，，．又，．
当时，，．又，．
综上，对任意都有，为偶函数．
函数，，为奇函数．
故答案为：；，
【点评】本题以函数为载体，考查函数奇偶性的判断，应先判断函数的定义域关于原点对称，再合理运用定义，要注意分段函数的判断，需分段研究．
38．设函数的最大值为，最小值为，则 2 ．
【解答】解：，
令，则为奇函数，
的最大值与最小值的和为0，
函数的最大值和最小值的和为，
即，
故答案为：2．
【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查转化思想，是基础题．
39．（2021秋•广东期中）设函数的最大值为，最小值为，则 2 ．
【解答】解：，
令，函数的定义域为，
且，则函数为奇函数，
设其最大值为，则其最小值为，
，，
．
故答案为：2．
【点评】本题考查函数奇偶性的判定及其应用，考查函数的最值，考查数学转化思想方法，是中档题．
40．（2021秋•上饶县校级月考）设函数的最大值为，最小值为，则 2 ．
【解答】解：函数，
则为奇函数，
则，
即，
则，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查函数最值的求解，利用分式函数的性质构造奇函数是解决本题的关键．
41．定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 2 ．
【解答】解：函数为奇函数，，
又的最大值为，最小值为，
又，即为奇函数，
且的最大最小值分别为，，
由奇函数的性质可得，
解得．
故答案为：2．
【点评】本题考查函数的奇偶性，涉及函数的最值问题，属基础题．
42．（2020•浦东新区校级模拟）已知，设函数的最大值为，最小值为，则的值为 4039 ．
【解答】解：函数
令，
由于是单调递增，
是单调递增，
可得．
，，
（a）
则
故答案为：4039．
【点评】本题考查分离常数处理方法，函数的单调性的应用，构造为定值是解题的关键．属于中档题．
43．（2012•临川区校级模拟）设函数的最大值为，最小值为，那么 4021 ．
【解答】解：函数
在上为增函数，在上为减函数
在上为增函数，
而在上也为增函数
在上为增函数
，
故答案为 4021
【点评】本题主要考查了利用函数的单调性求函数的最大值与最小值，关键是把函数化简成可以判断单调性的形式．
44．（2021秋•东丽区校级月考）设函数的定义域为，满足，且当，时，．若对任意，，都有，则的取值范围是 ．
【解答】解：因为，，
，时，，，
，时，，，，；
，时，，，，，
当，时，由解得或，
若对任意，，都有，则．
故答案为：，．
【点评】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．
45．（2020秋•江夏区校级月考）已知函数，若，则实数的取值范围是 ， ．
【解答】解：因为，
设，定义域，
，所以为奇函数，
，所以单调递增，
不等式，即为，
即，所以，
即，
解得，
即实数的取值范围是，．
故答案为：，．
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，构造是解题的关键，属于中档题．
46．（2021秋•上城区校级期末）若函数满足：对任意的实数，有且，当，时，，则（6） 1 ，当，时， ．
【解答】解：由，则，
故，即，（6）（2）；
当，时，，，，
当，时，，，得，
所以，时，，，
即，
故答案为：1；．
【点评】本题考查抽象函数的综合运用，考查周期及解析式的求法，属于基础题．
47．（2021•梅河口市校级一模）已知函数，，若与的图象上分别存在点，，使得关于直线对称，则实数的取值范围是 ， ．
【解答】解：函数，，
与的图象上分别存在点，，使得，关于直线对称，
设，则，
，，
，由，得，
，，时，，是减函数；
，时，，是增函数，
时，；时，；时，，
，．
实数的取值范围是，．
故答案为：
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
48．（2021秋•博望区校级月考）若函数的图象关于原点对称，则（1） ．
【解答】解：由题意可知为奇函数，
故，
所以，，
则（1）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了奇函数的性质在求解函数解析式中的应用，属于基础题．
49．（2021•安徽开学）已知函数的图象关于原点对称，且当时，，则当时， ．
【解答】解：根据题意，设，则，
则，
又由为奇函数，则；
故答案为：．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题．
50．（2021•通辽四模）已知定义域为的函数的图象关于原点对称，且时，．当，时，，则（4） ．
【解答】解：定义域为的函数的图象关于原点对称，故为奇函数，当时，．
当，时，，
（8）（6）（4）（2）（2），
则（4）（2）（2）（2），
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性，求函数的值，属于中档题．
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