第13讲 双变量问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练

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第13讲 双变量问题 一．选择题（共5小题）1．（2021•海淀区校级月考）若，则　　A． B． C． D．2．（2021•全国月考）已知实数，满足，则下列结论一定正确的是　　A． B． C． D．3．（2021•鼓楼区校级二模）已知，，，若，则下列结论一定成立的是　　A． B． C． D．4．（2021春•顺义区期末）已知函数，（其中．对于不相等的实数，，设，，给出下列三个结论：①对于任意不相等的实数，，都有；②对于任意的及任意不相等的实数，，都有；③对于任意的，存在不相等的实数，，使得．其中，所有正确结论的序号是　　A．① B．①③ C．②③ D．①②③5．（2021•龙凤区校级月考）已知，不等式对于任意恒成立，则的取值范围是　　A．， B．， C． D．，二．多选题（共1小题）6．（2021•武进区校级期中）已知正实数，满足，则下列结论正确的是　　A． B． C． D．三．解答题（共45小题）7．（2021•扬州月考）已知函数，为的导函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求证：对任意的，，且，有．8．（2021•浙江月考）已知且，函数．（Ⅰ）当时，设的导函数，求的单调区间；（Ⅱ）若函数恰有两个互异的零点，．（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）求证：．9．（2021•南平月考）已知函数．（1）求f（x）的单调区间与极值．（2）设m，n为两个不相等的正数，且mlnn﹣nlnm＝m﹣n，证明：mn＞e4．10．（2021•广州月考）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若，设为的导函数，若函数有两个不同的零点，，求证：．11．（2021•和平区校级开学）已知函数．（Ⅰ）若在，处导数相等，证明：；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：；（Ⅲ）若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点．12．（2021春•浙江月考）已知函数（1）若函数有极值，求实数的取值范围；（2）当时，若在，处导数相等，证明：；（3）若函数在上有两个零点，，证明：．13．设函数，．（1）曲线在点，（2）处的切线与轴平行，求实数的值；（2）讨论函数的单调性；（3）证明：若，则对任意，，，有．14．（2012春•顺庆区校级月考）已知函数是奇函数，且 （1）．（1）求的解析式；（2）判断函数的单调性，并证明你的结论；（3）若，，且．求证．15．（2021•湖北月考）已知函数的定义域为．（1）当取得最小值时，记函数在处的切线方程为．若恒成立且，求的最大值；（2）若有两个极值点和，求证：．16．（2009•卢湾区二模）已知函数，．（1）证明：函数在区间上为增函数，并指出函数在区间上的单调性；（2）若函数的图象与直线有两个不同的交点，，其中，求的取值范围．17．（2021•商丘二模）已知直线与函数的图象交于两个不同的点，，其横坐标分别为，，且（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）当时，证明．18．（2021•西湖区校级模拟）设函数有两个极值点，，且．（1）求的取值范围，并讨论的单调性．（2）证明：．19．（2010•辽宁）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设．如果对任意，，，求的取值范围．20．（2015•南通校级模拟）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设，若对任意、恒有，求的取值范围．21．已知函数，．其中．．（1）讨论的单调性；（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；（3）设，若关于的方程为实数）有两个正实根，，求证：．22．（2015•天津）已知函数，，其中，且．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；（Ⅲ）若关于的方程为实数）有两个正实数根，，求证：．23．（2021•呼和浩特二模）已知函数．①讨论的单调性；②设，证明：当时，；③函数的图象与轴相交于、两点，线段中点的横坐标为，证明．24．（2021•定远县期末）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，，求证：．25．（2021•临沂期中）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，，且不等式恒成立，求实数的取值范围．26．（2021春•新乡期末）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，，且，求的取值范围．27．（2021•湖北月考）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，，证明：28．（2021•登封市校级月考）已知函数有两个零点．（1）求的取值范围；（2）已知图象与图象关于对称，证明：当时，．（3）设，是两个零点，证明：．29．（2010•湖南）已知函数，对任意的，恒有．（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）若对满足题设条件的任意，，不等式（c）（b）恒成立，求的最小值．30．（2009•海南）已知函数．（1）如，求的单调区间；（2）若在，单调增加，在，单调减少，证明：．31．（2021春•深圳月考）已知函数，，，．（Ⅰ） 若直线与的图象相切，求实数的值；（Ⅱ） 设，讨论曲线与曲线公共点的个数．（Ⅲ） 设，比较与的大小，并说明理由．32．（2006•四川）已知函数，的导函数是．对任意两个不相等的正数、，证明：（Ⅰ）当时，；（Ⅱ）当时，．33．（2013•揭阳二模）已知，函数．（1）求的单调区间；（2）当时，证明：方程在区间上有唯一解；（3）若存在均属于区间，的，且，使，证明：．34．（2021•金安区校级月考）已知函数．（1）若函数存在两个极值点，，求的取值范围；（2）在（1）的条件下，若不等式恒成立，求的取值范围．35．（2021•信阳月考）已知函数，其中为正实数．（Ⅰ）若函数在处的切线斜率为2，求的值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）若函数有两个极值点，，求证：．36．（2021•和平区校级月考）已知函数．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）若函数有两个极值点，，求证：．37．（2021•茂名月考）已知函数．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若，是函数的两个极值点，证明：．38．（2021•沈阳月考）已知函数有两个零点，，且．（1）求证：；（2）求证：．39．（2021•海淀区校级月考）已知，函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点， （1）处的切线方程；（Ⅱ）求的极值点个数；（Ⅲ）若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围．40．（2021•重庆月考）已知函数有三个不同的极值点，，，且．（1）求实数的取值范围；（2）若，求的最大值．41．（2021•浙江月考）已知，函数．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若有两个极值点，且，试把表示成的函数，并证明此函数存在极值点，，且．42．（2021•广州月考）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，函数存在两个零点，，求证：．43．（2021•长治月考）已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）设有两个极值点，，求证：．44．（2021•河北月考）已知，．（1）若，求的取值范围；（2）若，且，证明：．45．（2021•涪城区校级开学）已知函数．（1）讨论在的单调性；（2）若函数存在两个极值点，，证明：．46．（2021•光明区月考）已知函数，．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当，时，函数有两个极值点，，证明：．47．（2021春•洛阳期中）已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）若“，，”为真命题，求实数的取值范围．48．（2021•河南月考）已知函数，．（Ⅰ）若曲线在处的切线在轴上的截距为，求的值；（Ⅱ）证明：对于任意两个正数，，．49．（2021•朝阳区校级月考）已知函数，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若关于的不等式在，上恒成立．求的取值范围；（Ⅲ）若实数满足且，证明：．50．（2021春•浙江期中）已知函数．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若函数有两个零点，．（ⅰ）求的范围；（ⅱ）若，求证：．51．（2021春•丽水期中）已知函数，，．（Ⅰ）若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围；（Ⅱ）若函数有3个不同的零点，，．（ⅰ）求证：；（ⅱ）求证：．