7.2　定义与命题

【教学目标】

1.理解定义与命题的概念.

2.分清命题的条件和结论，会把命题改写成“如果……，那么……”的形式，并能判断命题的真假.

3.了解公理、证明和定理的概念.

【教学重难点】

重点：1.理解命题及相关概念，找出命题的条件和结论.

2.理解公理、证明和定理的概念.

难点：1.正确找出命题的条件和结论.

2.证明命题的正确性.

【教学过程】

一、回顾复习，导入新课

师：你能说一说什么样的三角形是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形吗？

生：回答.

二、师生互动，探究新知

师：给出定义的意义，并让学生再举几个例子.

生：学生举出生活中和数学上的例子.

师：出示下面的投影片：

如图，某地区境内有一条大河，大河的水流入许多小河中，图中A，B，C，D，E，F，G，H，I，J，K处均有一个化工厂，如果它们向河中排放污水，下游河流便会受到污染.

如果B处工厂排放污水，那么________处便会受到污染；

如果C处受到污染，那么________处便会受到污染；

如果E处受到污染，那么________处便受到污染；

……

如果环保人员在h处测得水质受到污染，那么你认为哪个工厂排放了污水？你是怎么想的？与同伴交流.

生：讨论得出：

如果B处工厂排放污水，那么a，b，c，d处便会受到污染.

如果B处工厂排放污水，那么e，f，g处也会受到污染的.

如果C处受到污染，那么a，b，c处便会受到污染.

如果C处受到污染，那么d处也会受到污染的.

如果E处受到污染，那么a，b处便会受到污染.

如果h处受到污染，我认为是A处的那个工厂或B处的那个工厂排放了污水.因为A处工厂的水向下游排放，B处工厂的污水也向下游排放.

师：出示教材第165页“议一议”，哪些语句对事情作出了判断，哪些没有？

生：讨论交流.

师：给出命题的定义：命题是判断一件事情的句子.让学生举出几个例子.

生：举出下面的例子：

(1)两直线平行，内错角相等；

(2)无论n为怎样的自然数，式子n2＋n＋11的值都是质数；

(3)任意一个三角形都有一个锐角；

(4)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线不一定互相平行；

(5)全等三角形的对应角相等.

……

师：用以下内容加深学生对命题的认识.

(1)你喜欢数学吗？

(2)作线段AB＝a；

(3)平行用符号“∥”表示.

这些句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它们就不是命题.一般情况下，疑问句不是命题，图形的作法不是命题.

师：出示教材第166页“想一想”.

提出问题：你能发现这些命题有什么共同的结构特征？

生：讨论得出：

这三个命题都是用“如果……，那么……”的形式叙述的.

每个命题都是由已知得到结论.

这三个命题的每个命题都有条件和结论.

师：总结出如下内容：每个命题都由条件和结论两部分组成.

条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.

一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式.其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.

如：上面“想一想”的命题(1)中，“如果”引出的部分“一个三角形是等腰三角形”是条件，“那么”引出的部分“这个三角形的两个底角相等”是结论.

有些命题没有写成“如果……，那么……”的形式，题设和结论不明显.如：“同角的余角相等”，对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果……，那么……”的形式.

如：“同角的余角相等”可以写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”.注意：命题的题设(条件)部分，有时间也可用“已知……”或者“若……”等形式表述，命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述.

师：投影出示教材第166页“做一做”.

生：思考答出每一个命题的条件和结论.

师：问：上述命题中哪些是正确的？哪些是不正确的？与同伴交流.

生：讨论得出答案.

师：给出真命题、假命题的定义，并提出注意事项：

对于假命题，并不要求在题设成立时，结论一定错误.事实上，只要你不能保证结论一定成立，这个命题就是假命题了.因此，要说明一个命题是假命题，只要举出一个“反例”就可以了.

师：让学生分组讨论：如何证实一个命题是真命题呢？

生：以小组为单位展开讨论，并产生困惑.

师：用投影片显示：

其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题，公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得(Euclid，公元前300年前后)编写了一本书，书名叫《原本》(Elements)，为了说明每一个结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据.其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理(axiom).除了公理外，其他命题的真假都通过推理的方法进行判断.演绎推理的过程称为证明(proof).经过证明的真命题称为定理(theorem)，而证明所需的定义、公理和其他定理都编写在要证明的这个定理的前面.

《原本》问世之前，世界上还没有一本数学书籍像《原本》这样编排.因此，《原本》是一部具有划时代意义的著作.

师：用投影片显示本套教材作为公理的命题.

生：朗读并记忆.

师：补充如下内容及注意事项：

等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理.在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替.例如，如果a＝b，b＝c，那么a＝c，这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”.

注意：(1)公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题.

(2)公理可以作为判定其他命题真假的依据.

师：出示例题，让学生证明.

生：学生独立完成，得到定理：对顶角相等.

三、运用新知，解决问题

师：让学生完成教材第166页、170页“随堂练习”

生：小组讨论交流.

四、课堂小结，提炼观点

师：让学生总结概括本节课的主要内容及收获.

生：畅所欲言，总结概括本节课的主要内容及收获.

五、布置作业，巩固提升

教材第167页习题7.2及第171页习题7.3.

【板书设计】

7.2　定义与命题

定义：

命题：

命题

真命题、假命题、反例

公理　证明　定理