高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质第2课时课时训练

第2课时　等式性质与不等式性质

必备知识基础练

1.下列命题正确的是(　　)

A．若ac＞bc，则a＞b

B．若a2＞b2，则a＞b

C．若＞，则a＜b

D．若＜，则a＜b

2．给出下列命题：

①若ab>0，a>b，则<；

②若a>b，c>d，则a－c>b－d；

③对于正数a，b，m，若a<b，则<.其中真命题的序号是________.

3.已知a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是(　　)

A．a2＞a＞－a2＞－a 

B．－a＞a2＞－a2＞a

C．－a＞a2＞a＞－a2 

D．a2＞－a＞a＞－a2

4．若P＝＋，Q＝＋(a>－5)，则P，Q的大小关系为(　　)

A．P<Q  B．P＝Q

C．P>Q  D．不能确定

5．若x＞0，y＞0，M＝，N＝＋，则M，N的大小关系是(　　)

A．M＝N  B．M＜N

C．M≤N  D．M＞N

6.(1)已知a＜b＜0，求证：＜；

(2)已知a＞b，＜，求证：ab＞0.

7．已知12<a<60,15<b<36.求a－b和的取值范围．

关键能力综合练

一、选择题

1．如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是(　　)

A.<  B.<

C．a2<b2  D．|a|>|b|

2．已知a>b，c>d，且c，d不为0，那么下列不等式一定成立的是(　　)

A．ad>bc  B．ac>bd

C．a＋c>b＋d  D．a－c>b－d

3．下列命题中，正确的是(　　)

A．若a＞b，则ac2＞bc2

B．若－2＜a＜3,1＜b＜2，则－3＜a－b＜1

C．若a＞b＞0，m＞0，则<

D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd

4．已知a，b，c均为正实数，若<<，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．c＜a＜b  B．b＜c＜a

C．a＜b＜c  D．c＜b＜a

5．下列命题中，一定正确的是(　　)

A．若a>b，且＞，则a>0，b<0

B．若a>b，b≠0，则>1

C．若a>b，且a＋c>b＋d，则c>d

D．若a>b，且ac>bd，则c>d

6．(探究题)已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中成立的是(　　)

A．xy＞yz  B．xz＞yz

C．xy＞xz  D．x|y|＞z|y|

二、填空题

7．若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是________．

8．已知1<a<4,2<b<8，则a－2b的取值范围为________．

9．已知a＋b＞0，则＋与＋的大小关系是________．

三、解答题

10．(易错题)已知实数x，y满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，求9x－3y的取值范围．

学科素养升级练

1．(多选题)已知a、b、c、d是实数，则下列一定正确的有(　　)

A．a2＋b2≥

B．a＋≥2

C．若＞，则a＜b

D．若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd

2．有外表一样、重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，则这四个小球由重到轻的排列顺序是(　　)

A．d>b>a>c 

B．b>c>d>a

C．d>b>c>a 

D．c>a>d>b

3．(学科素养—逻辑推理)若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>.

第2课时　等式性质与不等式性质

必备知识基础练

1．解析：对于A，若c＜0，其不成立；对于B，若a，b均小于0或a＜0，其不成立；对于C，若a＞0，b＜0，其不成立；对于D，其中a≥0，b＞0，平方后显然有a＜b.

答案：D

2．解析：对于①，若ab>0，则>0，

又a>b，所以>，所以<，所以①正确；

对于②，若a＝7，b＝6，c＝0，d＝－10，

则7－0<6－(－10)，②错误；

对于③，对于正数a，b，m，

若a<b，则am<bm，

所以am＋ab<bm＋ab，

所以0<a(b＋m)<b(a＋m)，

又>0，所以<，③正确．

综上，真命题的序号是①③.

答案：①③

3．解析：∵a2＋a＜0，∴0＜a2＜－a，∴0＞－a2＞a，

∴a＜－a2＜a2＜－a.故选B.

答案：B

4．解析：P2＝2a＋13＋2，

Q2＝2a＋13＋2，

因为(a＋6)(a＋7)－(a＋5)(a＋8)＝a2＋13a＋42－(a2＋13a＋40)＝2>0，

所以>，

所以P2>Q2，所以P>Q.

答案：C

5．解析：∵x＞0，y＞0，

∴x＋y＋1＞1＋x＞0,1＋x＋y＞1＋y＞0，

∴<，<，

故M＝＝＋<＋＝N，即M＜N.故选B.

答案：B

6．证明：(1)证法一　∵a<b<0，∴－a>－b>0，

∴0<－<－，①

∵0<－b<－a,  ②

①②相乘，<.

证法二　－＝＝，

∵a＜b＜0，∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，

∴＜0，故＜.

(2)∵＜，∴－＜0，即＜0，

又a＞b，∴b－a＜0，∴ab＞0.

7．解析：∵15<b<36，∴－36<－b<－15，

∴12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45.

又<<，∴<<，即<<4.

故－24<a－b<45，<<4.

关键能力综合练

1．解析：∵a<0，b>0，∴<0，>0，∴<，故选A.

答案：A

2．解析：由a>b，c>d得a＋c>b＋d，故选C.

答案：C

3．解析：对于选项A，当c＝0时，ac2＝bc2，故错误；对于选项B，因为1＜b＜2，所以－2＜－b＜－1，同向不等式相加得－4＜a－b＜2，故错误；对于选项C，因为a＞b＞0，所以＜，又m＞0，从而<，故正确；对于选项D，只有当a＞b＞0，c＞d＞0时，ac＞bd，故错误．故选C.

答案：C

4．解析：∵<，∴c(b＋c)＜a(a＋b)，bc＋c2＜a2＋ab，移项后因式分解得，(a－c)(a＋b＋c)＞0，∵a，b，c均为正实数，∴a＞c，同理b＞a.∴c＜a＜b，故选A.

答案：A

5．解析：对于A，∵>，∴>0，又a>b，∴b－a<0，∴ab<0，∴a>0，b<0，故正确；对于B，当a>0，b<0时，有<1，故错误；对于C，当a＝10，b＝2时，有10＋1>2＋3，但1<3，故错误；对于D，当a＝－1，b＝－2时，有(－1)×(－1)>(－2)×3，但－1<3，故错误．故选A.

答案：A

6．解析：因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，

所以3x＞x＋y＋z＝0,3z＜x＋y＋z＝0，

所以x＞0，z＜0.所以由可得xy＞xz.故选C.

答案：C

7．解析：∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4，

∴－4＜－|β|≤0，∴－3＜α－|β|＜3.

答案：－3<α－|β|<3

8．解析：∵2<b<8，∴－16<－2b<－4，∴1－16<a－2b<4－4，即－15<a－2b<0.

答案：(－15,0)

9．解析：＋－＝

∵a2b2＞0，所以只需判断a3＋b3－ab2－a2b的符号．

a3＋b3－ab2－a2b＝a2(a－b)＋b2(b－a)

＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)≥0，

等号当a＝b时成立，所以＋≥＋.

答案：＋≥＋

10．解析：设9x－3y＝a(x－y)＋b(4x－y)＝(a＋4b)x－(a＋b)y，

∴⇒∴9x－3y＝(x－y)＋2(4x－y)，

∵－1≤4x－y≤5，∴－2≤2(4x－y)≤10，

又－4≤x－y≤－1，∴－6≤9x－3y≤9.

学科素养升级练

1．解析：由于2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，故a2＋b2≥(a＋b)2，故A正确；B中：当a＝－1时显然不成立，B错误；C中：a＝1，b＝－1显然有＞，但a＞b，C错误；D中：若a＜b＜0，c＜d＜0，则－a＞－b＞0，－c＞－d＞0，则根据不等式的性质可知ac＞bd＞0，故D正确．故选AD.

答案：AD

2．解析：∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c，∴b<d.又a＋c<b，∴a<b.综上可得，d>b>a>c.

答案：A

3．证明：∵c<d<0，∴－c>－d>0.又a>b>0，∴a－c>b－d>0，

则(a－c)2>(b－d)2>0，即<.

又e<0，∴>.