高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第1课时同步达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第1课时同步达标检测题，共6页。
课时作业12　基本不等式时间：45分钟——基础巩固类——1．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是(　A　)A．a2＋b2≥2|ab|   B．a2＋b2＝2|ab|C．a2＋b2≤2|ab|   D．a2＋b2>2|ab|解析：∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立)．2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则(　C　)A．ab≤   B．ab≥C．a2＋b2≥2   D．a2＋b2≤3解析：∵a＋b＝2，∴a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a＋4＝2(a－1)2＋2，又由题意知0≤a≤2，则2≤a2＋b2≤4，故选C.3．某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则(　B　)A．x＝   B．x≤C．x>   D．x≥解析：依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∴1＋x＝≤[(1＋a)＋(1＋b)]＝1＋，则x≤，故选B.4．设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的一个是(　B　)A.＋<1   B.＋≥1C.＋<2   D.＋≥2解析：因为ab≤2≤2＝4，所以＋≥2≥2＝1.5．已知a，b∈R，且ab≠0，则在①≥ab；②＋≥2；③ab≤2；④2≤这四个不等式中，恒成立的个数为(　C　)A．1   B．2C．3   D．4解析：①由a，b∈R，得≥ab；②由a，b∈R，得与不一定是正数，不等式不一定成立；③ab－2＝－≤0；④2－＝－≤0，故①③④恒成立，故选C.6.《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB.设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　D　)A.≥(a>0，b>0)B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)C.≤(a>0，b>0)D.≤(a>0，b>0)解析：由图形可知OF＝AB＝，OC＝.在Rt△OCF中，由勾股定理可得CF＝＝.∵CF≥OF，∴≤(a>0，b>0)．7．不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为a＝2.解析：令a2＋4＝4a，则a2－4a＋4＝0，∴a＝2.8．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是ab≥9.解析：∵a>0，b>0，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，即ab－2－3≥0，解得≥3，即ab≥9.9．给出下面三个推导过程：①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2；②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥＝4；③∵x，y∈R，xy<0，∴＋＝－≤－2＝－2.其中正确的推导过程为①③.解析：①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴②的推导过程错误；③由xy<0，得，均为负数，∴，均为正数，符合基本不等式的条件，故③的推导过程正确．故选①③.10．设a，b，c都是正数，试证明不等式：＋＋≥6.证明：因为a>0，b>0，c>0，所以＋≥2，＋≥2，＋≥2，所以＋＋＝＋＋≥6，当且仅当＝，＝，＝，即a＝b＝c时，等号成立．所以＋＋≥6.   11．设a，b，c∈R＋.求证：(1)ab(a＋b)＋bc(b＋c)＋ca(c＋a)≥6abc；(2)(a＋b＋c)≥4.证明：(1)∵a，b，c∈R＋，∴左边＝a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋c2a＋ca2＝(a2b＋bc2)＋(b2c＋ca2)＋(c2a＋ab2)≥2＋2＋2＝6abc＝右边，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．(2)∵a，b，c∈R＋，∴左边＝[a＋(b＋c)]≥2·2＝4＝右边，当且仅当a＝b＋c时，等号成立．——能力提升类——12．若对x>0，y>0，有(x＋2y)≥m恒成立，则m的取值范围是(　D　)A．m≤4   B．m>4C．m<0   D．m≤8解析：由x>0，y>0，得(x＋2y)＝2＋＋＋2≥4＋2＝8，则m≤8，故选D.13．已知a>b>c，则与的大小关系是≤.解析：因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0，所以＝≥.14．若a<1，则a＋与－1的大小关系是a＋≤－1.解析：∵a<1，即a－1<0，∴－＝(1－a)＋≥2＝2，当且仅当1－a＝，即a＝0时取等号，∴a－1＋≤－2，则a＋≤－1.15．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1)＋＋≥8；(2)≥9.证明：(1)＋＋＝＋＋＝2，∵a＋b＝1，a>0，b>0，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时，等号成立)．(2)方法1：∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＋＝1＋＝2＋，同理，1＋＝2＋，∴＝＝5＋2≥5＋4＝9，∴≥9(当且仅当a＝b＝时，等号成立)．方法2：＝1＋＋＋.由(1)知，＋＋≥8，当＝1＋＋＋≥9，当且仅当a＝b＝时，等号成立．