高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算第2课时练习题

第一章　1.3　第2课时

A组·素养自测

一、选择题

1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁UA等于(　B　)

A．{1,2}　　　　　 B．{3,4,5}

C．{1,2,3,4,5} D．∅

[解析]　∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴∁UA＝{3,4,5}．

2．已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁RA)∩B等于(　A　)

A．{－2，－1} B．{－2}

C．{－1,0,1} D．{0,1}

[解析]　因为集合A＝{x|x>－1}，所以∁RA＝{x|x≤－1}，则(∁RA)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．

3．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是(　C　)

A．A∩B B．A∪B

C．B∩(∁UA) D．A∩(∁UB)

[解析]　题图阴影部分表示由所有属于B且不属于A的元素组成的集合，故为B∩(∁UA)．

4．已知集合U＝{x|x＞0}，∁UA＝{x|0＜x＜2}，那么集合A＝(　C　)

A．{x|x≤0或x≥2} B．{x|x＜0或x＞2}

C．{x|x≥2} D．{x|x＞2}

[解析]　利用数轴分析，可知A＝{x|x≥2}．

5．设集合U＝{－1,1,2,3}，M＝{x|x2＋px＋q＝0}，若∁UM＝{－1,1}，则实数p＋q的值为(　D　)

A．－1　　 B．－5

C．5　　 D．1

[解析]　由已知可得M＝{2,3}，

则2,3为方程x2＋px＋q＝0的两根，

则p＝－(2＋3)＝－5，

q＝2×3＝6，故p＋q＝－5＋6＝1.故选D．

6．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1，或x≥3}，集合B＝{x|k<x<k＋1，k∈R}，且B∩(∁UA)≠∅，则(　C　)

A．k<0或k>3 B．2<k<3

C．0<k<3 D．－1<k<3

[解析]　∁UA＝{x|1<x<3}，借助于数轴可得

∴0<k<3.

二、填空题

7．设集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－1≤x≤3}，则A∩(∁RB)＝__{x|3<x<4}__.

[解析]　∵B＝{x|－1≤x≤3}，

则∁RB＝{x|x<－1}∪{x|x>3}，

∴A∩(∁RB)＝{x|3<x<4}．

8．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是__{a|a≥2}__.

[解析]　因为∁RB＝{x|x≤1，或x≥2}，又A＝{x|x<a}，观察∁RB，A在数轴上所表示的区间，如图所示．

可得当a≥2时，A∪(∁RB)＝R.

9．有15人进入家电超市，其中有9人买了电视机，有7人买了电脑，两种均买的有3人，则这两种均没买的有__2__人．

[解析]　设这15人构成全集U，买电视机的9人构成集合A，买电脑的7人构成集合B，用Venn图表示，如图所示．

则两种均没买的有15－(9－3)－3－(7－3)＝2(人)．

三、解答题

10．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，P＝{x|x≤0或x≥}，求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP)．

[解析]　将集合A，B，P表示在数轴上，如图．

∵A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，

∴A∩B＝{x|－1<x<2}．

∵∁UB＝{x|x≤－1或x>3}，

∴(∁UB)∪P＝{x|x≤0或x≥}，

∴(A∩B)∩(∁UP)＝{x|－1<x<2}∩{x|0<x<}＝{x|0<x<2}．

11．已知集合U＝{1,2,3,4,5}，若A∪B＝U，A∩B＝∅，且A∩(∁UB)＝{1,2}，试写出满足上述条件的集合A，B．

[解析]　∵A∪B＝U，A∩B＝∅，

∴A＝∁UB，又A∩(∁UB)＝{1,2}，

∴A＝{1,2}，∴B＝{3,4,5}．

B组·素养提升

一、选择题

1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，则∁UA的所有非空子集的个数为(　B　)

A．4 B．3

C．2 D．1

[解析]　∵∁UA＝{2,4}，∴非空子集有22－1＝3个，故选B．

2．设P＝{x|x>4}，Q＝{x|－2<x<2}，则(　D　)

A．P⊆Q B．Q⊆P

C．P⊇∁RQ D．Q⊆∁RP

[解析]　∵Q＝{x|－2<x<2}，

而∁RP＝{x|x≤4}，

∴Q⊆∁RP.

3．设M、P是两个非空集合，定义M与P的差集为M－P＝{x|x∈M，且x∉P}，则M－(M－P)等于(　C　)

A．P B．M

C．M∩P D．M∪P

[解析]　当M∩P＝∅时，由于对任意x∈M都有x∉P，所以M－P＝M，因此M－(M－P)＝M－M＝∅＝M∩P；当M∩P≠∅时，作出Venn图如图所示，

则M－P表示在M中但不在P中的元素构成的集合，因而M－(M－P)表示由在M中但不在M－P中的元素构成的集合．由于M－P中的元素都不在P中，所以M－(M－P)中的元素都在P中，所以M－(M－P)中的元素都在M∩P中，反过来M∩P中的元素也符合M－(M－P)的定义，因此M－(M－P)＝M∩P，故选C．

4．(多选题)已知集合U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3或4<x<6}，集合B＝{x|2≤x<5}，下列集合运算正确的是(　BC　)

A．∁UA＝{x|x<1或3<x<4或x>6}

B．∁UB＝{x|x<2或x≥5}

C．A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2或5≤x<6}

D．(∁UA)∪B＝{x|x<1或2<x<5或x>6}

[解析]　由∁UA＝{x|x<1或3<x≤4或x≥6}知选项A错误；

由∁UB＝{x|x<2或x≥5}知选项B正确；

由A∩(∁UB)＝{x|1≤x≤3或4<x<6}∩{x|x<2或x≥5}＝{x|1≤x<2或5≤x<6}知选项C正确；

由(∁UA)∪B＝{x|x<1或3<x≤4或x≥6}∪{x|2≤x<5}＝{x|x<1或2≤x<5或x≥6}知选项D错误．

二、填空题

5．已知集合A＝{x|m－4<x<2m}，B＝{x|－1<x<4}，若A∩B＝B，则实数m的取值范围为__{m|2≤m≤3}__.

[解析]　∵A∩B＝B，∴B⊆A，∵A＝{x|m－4<x<2m}，B＝{x|－1<x<4}，

∴解得2≤m≤3，

即实数m的取值范围为{m|2≤m≤3}．

6．设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若(∁UA)∩B＝∅，则m的值是__1或2__.

[解析]　由题得A＝{－2，－1}．

由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A．

∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅，

∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．

①若B＝{－1}，则m＝1；

②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)×(－2)＝4，但这两式不能同时成立，

③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)×(－2)＝2，由这两式得m＝2.

经检验知，m＝1和m＝2符合条件．

7．设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝，B＝{(x，y)|y＝x＋1}，则(∁UA)∩B＝__{(2,3)}__.

[解析]　∵A＝＝{(x，y)|y＝x＋1，x≠2}，∴∁UA＝{(x，y)|y≠x＋1}∪{(2,3)}．

又B＝{(x，y)|y＝x＋1}，

∴(∁UA)∩B＝{(2,3)}．

三、解答题

8．设全集I＝{2,3，x2＋2x－3}，A＝{5}，∁IA＝{2，y}，求实数x、y的值．

[解析]　因为A＝{5}，∁IA＝{2，y}．

所以I＝{2,5，y}，

又I＝{2,3，x2＋2x－3}，

所以，

所以或.

故x＝2，y＝3或x＝－4，y＝3.

9．已知集合A＝{x|x2＋ax＋2b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足(∁UA)∩B＝{2}，A∩(∁UB)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值．

[解析]　∵(∁UA)∩B＝{2}，∴2∈B，

∴4－2a＋b＝0.①

又∵A∩(∁UB)＝{4}，∴4∈A，

∴16＋4a＋2b＝0.②

联立①②，得，解得.

经检验，符合题意：∴a＝－1，b＝－6.