高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课堂检测

新20版练B1数学人教A版2.3二次函数与一元二次方程、不等式

第二章 一元二次函数、方程和不等式

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式

考点1 不含参数的一元二次不等式的解法

1.下列不等式:①x2>0;②-x2-x≤5;③ax2>2;④x3+5x-6>0;⑤mx2-5y<0;⑥ax2+bx+c>0。其中是一元二次不等式的有(　　)。

A.5个 B.4个 C.3个 D.2个

答案：D

解析：根据一元二次不等式的定义知①②是一元二次不等式。

2.(2019·山西四大名校高一期末)不等式x2-x-6<0的解集为(　　)。

A.    B.    C.(-3,2)    D.(-2,3)

答案：D

解析：解方程x2-x-6=0,得x1=3,x2=-2,

∴不等式x2-x-6<0的解集为(-2,3)。故选D。

3.下面四个不等式中解集为R的是(　　)。

A.-x2+x+1≥0   B.x2-2 x+5>0   C.x2+6x+10>0 D.2x2-3x+4<0

答案：C

解析：利用“Δ”判断,在不等式x2+6x+10>0中,Δ=62-40<0,∴不等式x2+6x+10>0的解集为R,其他可类似判断。故选C。

4.(2019·山东济南一中高二上学期期中)在R上定义运算:a b=ab+2a+b,则满足x (x-2)<0的实数x的取值范围为(　　)。

A.(0,2) B.(-2,1)    C.(-∞,-2)∪(1,+∞)     D.(-1,2)

答案：B

解析：∵x(x-2)=x(x-2)+2x+x-2<0,

∴x2+x-2<0,即(x-1)(x+2)<0,解得-2<x<1,故选B。

5.不等式0≤x2-2x-3<5的解集为　　　。 

答案：{x|-2<x≤-1或3≤x<4}

解析：由x2-2x-3≥0得x≤-1或x≥3;由x2-2x-3<5得-2<x<4。∴-2<x≤-1或3≤x<4。

∴原不等式的解集为{x|-2<x≤-1或3≤x<4}。

考点2　含参数的一元二次不等式的解法

6.设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是(　　)。

A.{x|x<-n或x>m}   B.{x|-n<x<m}   C.{x|x<-m或x>n}  D.{x|-m<x<n}

答案：B

解析：方程(m-x)(n+x)=0的两根为m,-n。∵m+n>0,∴m>-n。结合函数y=(m-x)(n+x)的图像,得原不等式的解集是{x|-n<x<m}。故选B。

7.(2019·安徽六安一中高一期末)若0<a<1,则不等式(x-a)>0的解集是(　　)。

A.   B.    C. D.

答案：C

解析：∵0<a<1,∴a<,而y=(x-a)是图像开口向上的二次函数,大于零的解集在两根之外,∴(x-a)·>0的解集为,故选C。

8.已知2a+1<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是(　　)。

A.{x|x<5a或x>-a}   B.{x|x>5a或x<-a}   C.{x|-a<x<5a}   D.{x|5a<x<-a}

答案：A

解析：方程x2-4ax-5a2=0的两根为-a,5a。∵2a+1<0,∴a<-,∴-a>5a。结合函数y=x2-4ax-5a2的图像,得原不等式的解集为{x|x<5a或x>-a}。故选A。

9.已知函数f(x)=3x2+(4-m)x-6m,g(x)=2x2-x-m。

(1)若m=1,求不等式f(x)>0的解集;

答案：当m=1时,f(x)=3x2+3x-6,

即3x2+3x-6>0,

∴x2+x-2>0,∴x>1或x<-2,

∴解集为(-∞,-2)∪(1,+∞)。

(2)若m >0,求关于x的不等式f(x)≤g(x)的解集。

答案：f(x)≤g(x),即3x2+(4-m)x-6m≤2x2-x-m,

∴x2+(5-m)x-5m≤0,∴(x+5)(x-m)≤0。

∵m>0,∴-5≤x≤m,∴不等式的解集为[-5,m]。

10.已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2。

(1)当a=2时,解关于x的不等式f(x)≤0;

答案：当a=2时,f(x)=2x2-5x+2≤0,可得(2x-1)(x-2)≤0,

∴≤x≤2,∴解集为。

(2)若a>0,解关于x的不等式f(x)≤0。

答案：ax2-(2a+1)x+2≤0,即

a(x-2)≤0。

①当0<a<时,有>2,解得2≤x≤;

②当a=时,有=2,解得x=2;

③当a>时,有<2,解得≤x≤2。

综上:①当0<a<时,不等式的解集为;

②当a=时,不等式的解集为{x|x=2};

③当a>时,不等式的解集为。

考点3　已知不等式的解集求参数值

11.(2019·黑龙江实验中学高一期末)已知关于x的不等式x2-ax-b<0的解集是(2,3),则a+b的值是(　　)。

A.-11 B.11    C.-1 D.1

答案：C

解析：若关于x的不等式x2-ax-b<0的解集是(2,3),则2,3是方程x2-ax-b=0的根,故a=5,b=-6,故a+b=-1。故选C。

12.(2018·湖北重点高中联考协作体高一期中)已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是,则不等式x2-bx-a<0的解集是(　　)。

A.(2,3)   B.    C.∪   D.(-3,-2)

答案：D

解析：∵不等式ax2-bx-1≥0的解集是,∴a<0,

方程ax2-bx-1=0的两个根为,,

∴-=+,=,

∴a=-6,b=-5,∴x2-bx-a<0⇒x2+5x+6<0,

∴(x+2)(x+3)<0,

∴不等式的解集为(-3,-2)。故选D。

13.(2019·山东寿光第一中学高二月考)若关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中,恰有3个整数,则实数a的取值范围是(　　)。

A.(4,5) B.(-3,-2)∪(4,5)

C.(4,5] D.[-3,-2)∪(4,5]

答案：D

解析：原不等式可等价于(x-a)(x-1)<0,不等式的解集中恰有3个整数,当a>1时,4<a≤5;当a≤1时,-3≤a<-2。所以实数a的取值范围是[-3,-2)∪(4,5]。故选D。

14.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,x∈R)的部分对应值如下表:

则不等式ax2+bx+c>0的解集是　　　。 

答案：{x|x<-2或x>3}

解析：由表知当x=-2或x=3时,y=0,∴二次函数y=ax2+bx+c可化为y=a(x+2)(x-3)。又∵当x=1时,y=-6,∴a=1。

∴不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>3}。

考点4　与一元二次不等式有关的恒成立问题

15.已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则a的取值范围是(　　)。

A.[-4,4]

B.(-4,4)

C.(-∞,-4]∪[4,+∞)

D.(-∞,-4)∪(4,+∞)

答案：A

解析：欲使不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则Δ=a2-16≤0,∴-4≤a≤4。

16.(2019·重庆綦江中学高一月考)若不等式ax2+2ax-4<2x2+4x对任意实数x均成立,则实数a的取值范围是(　　)。

A.(-2,2] B.(-2,2)

C.(-∞,2)∪(2,+∞) D.(-∞,2]

答案：A

解析：不等式ax2+2ax-4<2x2+4x,可化为(a-2)x2+2(a-2)x-4<0。

当a-2=0,即a=2时,恒成立,符合题意;

当a-2≠0,即a≠2时,要使不等式恒成立,需解得-2<a<2。

综上所述,a的取值范围为(-2,2],故选A。

考点5　一元二次不等式的实际应用问题

17.(2019·银川一中单元检测)国家为了加强对烟酒生产的宏观调控,实行征收附加税政策。现知某种酒每瓶70元,不加收附加税时,每年大约产销100万瓶,若政府征收附加税,每销售100元要征税R元(叫作税率R%),则每年的销售量减少10R万瓶,要使每年在此项经营中所收附加税金额不少于112万元,则R应怎样确定?

答案：解:设产销量每年为x万瓶,则销售收入为每年70x万元,从中征收的附加税金额为70x·R%万元,

其中x=100-10R。

由题意,得70(100-10R)·R%≥112,

整理,得R2-10R+16≤0。

因为Δ=36>0,所以方程R2-10R+16=0的两个实数根分别为R1=2,R2=8。

由二次函数y=R2-10R+16的图像,知不等式的解集为{R|2≤R≤8}。

所以当2≤R≤8时,每年在此项经营中所收附加税金额不少于112万元。

18.(2019·西北工大附中单元检测)某地区上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量为a千瓦时。本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电价为0.4元/千瓦时。经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)。该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时。

[注:收益=实际用电量×(实际电价-成本价)]

(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式;

答案：设下调后的电价为x元/千瓦时,依题意知用电量增至+a,电力部门的收益为y=(x-0.3)(0.55≤x≤0.75)。

(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?

答案：依题意有

整理得

解此不等式组得0.60≤x≤0.75。

答:当电价最低定为0.6元/千瓦时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%。

考点6　二次函数与一元二次方程、不等式的综合问题 

19.(2019·江苏无锡第一中学高一下学期期末)在R上定义运算a※b=(a+1)b,若存在x∈[1,2],使不等式(m-x)※(m+x)<4成立,则实数m的取值范围为　　　。 

答案：(-3,2)

解析：∵存在x∈[1,2],使不等式(m-x)※(m+x)<4成立,

∴存在x∈[1,2],使不等式(m-x+1)×(m+x)<4成立,

∴存在x∈[1,2],使不等式x2-x+4>m2+m成立,

∵x∈[1,2],∴函数y=x2-x+4的最大值为22-2+4=6。

∴6>m2+m,∴-3<m<2。

20.(2019·黑龙江大庆中学高一下学期期中)解不等式组

答案：解:由4-x2≤0,解得x≥2或x≤-2;

由2x2-7x-15<0,解得-<x<5。

∴即解得2≤x<5。

∴不等式组的解集为{x|2≤x<5}。

21.(2019·广西贺州高二上学期期末)已知关于x的不等式ax2+3x+2>0(a∈R)。

(1)若不等式ax2+3x+2>0的解集为{x|b<x<1},求a,b的值;

答案：由题意可知,x=1是ax2+3x+2=0的一个解,将x=1代入ax2+3x+2=0,得a=-5。

∴不等式ax2+3x+2>0可化为-5x2+3x+2>0,

再转化为(x-1)(5x+2)<0,

∴原不等式解集为,

∴b=-。

(2)求关于x的不等式ax2+3x+2>-ax-1(其中a>0)的解集。

答案：不等式ax2+3x+2>-ax-1可化为ax2+(a+3)x+3>0,

即(ax+3)(x+1)>0。

当0<a<3时,-<-1,

不等式的解集为;

当a=3时,-=-1,不等式的解集为{x|x≠-1};

当a>3时,->-1,不等式的解集为。

综上所述,原不等式解集为

①当0<a<3时,;

②当a=3时,{x|x≠-1};

③当a>3时,。