高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第2课时课时训练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第2课时课时训练，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第二章　2.2　第2课时A组·素养自测一、选择题1．若x∈{x|－2<x<0}，则x(2＋x)的最小值是(　C　)A．－2　　　　　　　 B．－C．－1 D．－[解析]　因为x∈{x|－2<x<0}，所以2＋x>0，所以x(2＋x)＝－(－x)(2＋x)≥－2＝－1，当且仅当x＝－1时，等号成立．2．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则(　B　)A．x＝ B．x≤C．x> D．x≥3．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是(　D　)A．a≤2 B．a≥2C．a≥3 D．a≤3[解析]　由于x>1，所以x－1>0，>0，于是x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当＝x－1即x＝2时等号成立，即x＋的最小值为3，要使不等式恒成立，应有a≤3，故选D．4．设x，y为正数，则(x＋y)(＋)的最小值为(　B　)A．6 B．9C．12 D．15[解析]　x，y为正数，(x＋y)(＋)＝1＋4＋＋≥9，当且仅当y＝2x时等号成立．选B．5．若对所有正数x，y，不等式x＋y≤a都成立，则a的最小值是(　A　)A． B．2C．2 D．8[解析]　因为x>0，y>0，所以x＋y＝≤＝·，当且仅当x＝y时等号成立，所以使得x＋y≤a对所有正数x，y都成立的a的最小值是.故选A．6．若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为(　C　)A．2　　　　　　　 B．4C．8 D．16[解析]　因为点A在直线mx＋ny＋1＝0上，所以－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1.因为m>0，n>0，所以＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2·＝8，当且仅当m＝，n＝时取等号．故选C．二、填空题7．已知x、y都是正数，(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是__2__；(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是____.[解析]　(1)x＋y≥2＝2，即x＋y的最小值是2；当且仅当x＝y＝时取最小值．(2)xy≤2＝2＝，即xy的最大值是.当且仅当x＝y＝时xy取最大值．8．已知正数a、b满足＋＝3，则ab的最小值为__4__.[解析]　＋＝3≥2⇒≥2⇒ab≥4.当且仅当＝，即a＝6，b＝时取等号．9．已知x>0，y>0，若＋>m＋2恒成立，则实数m的取值范围是__m<6__.[解析]　因为x>0，y>0，所以＋≥8，当且仅当＝时，“＝”成立．所以m＋2<8，解得m<6.三、解答题10．若正数a、b满足：＋＝1，求＋的最小值．[解析]　正数a、b满足＋＝1，则＝1－＝，则＝，由正数a、b满足＋＝1，则＝1－＝，则＝，＋＝＋≥2＝2，当且仅当a＝b＝3时取等号，故＋的最小值为2.11．某公司今年3月欲抽调一批销售员推销A产品，根据过去的经验，每月A产品销售数量y(万件)与销售员的数量x(人)之间的函数关系式为y＝(x>0)．在该月内，销售员数量为多少时，销售的数量最大？最大销售量为多少？(精确到0.1万件)[解析]　依题意得y＝(x∈N*)．因为x＋≥2＝80，当且仅当x＝，即x＝40时上式等号成立，所以ymax＝≈11.1(万件)．所以当销售员为40人时，销售量最大，最大销售量约为11.1万件．B组·素养提升一、选择题1．已知m，n∈R，且m2＋n2＝100，则mn的最大值是(　B　)A．100 B．50C．20 D．10[解析]　由m2＋n2≥2mn得mn≤＝50，当且仅当m＝n＝±5时等号成立．2．已知0<x<1，a，b为常数，且ab>0，则y＝＋的最小值为(　A　)A．(a＋b)2 B．(a－b)2C．a＋b D．a－b[解析]　y＝＋＝[x＋(1－x)]＝a2＋b2＋＋≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，当且仅当x＝时取等号．3．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　B　)A．2 B．4C．6 D．8[解析]　(x＋y)(＋)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝1＋a＋2，当且仅当＝，即y＝x时取等号．依题意得1＋a＋2≥9，即(－2)(＋4)≥0，又＋4>0，∴≥2，解得a≥4，故a的最小值为4，故选B．4．(多选题)已知集合U＝R，A＝{p|p＝a＋，a>2}，B＝{q|q＝－x2＋8，x∈R}，则下列正确的是(　ABD　)A．A∩B＝{x|4≤x≤8} B．A∪B＝RC．A⊆B D．∁UA⊆B[解析]　由a>2，故p＝a＋＝(a－2)＋＋2≥4，当且仅当a＝3时取等号．所以A＝{p|p≥4}，B＝{q|q≤8}．二、填空题5．已知x≥，则f(x)＝的最小值是__1__.[解析]　f(x)＝＝＋＝＋≥2＝1.当且仅当＝，即x＝3时取“＝”．6．已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为__36__.[解析]　∵正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，∴＋＋＝(x＋y＋z)(＋＋)＝1＋4＋9＋＋＋＋＋＋≥14＋2＋2＋2＝36，当且仅当x＝，y＝，z＝时取等号．故答案为36.7．(2019·湖南湘潭高二期末)一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于 km，那么这批物资全部到达灾区，最少需要__10__h.[解析]　当最后一辆汽车出发，第一辆汽车走了＝小时，最后一辆车走完全程共需要小时，所以一共需要＋小时，结合基本不等式，计算最值，可得＋≥2＝10，故最小值为10小时．三、解答题8．(2019·福建厦门双十中学高二上第二次月考)设a>0，b>0，且a＋b＝＋.(1)求a＋b的最小值；(2)证明：a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．[解析]　由a＋b＝＋＝，且a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，知a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2.(2)证明：由(1)知a2＋b2≥2ab＝2，且a＋b≥2，因此a2＋b2＋a＋b≥4，①假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则a2＋b2＋a＋b<4，②①②两式矛盾，故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．9．某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量(也即该产品的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？[解析]　(1)由题意知，当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k⇒k＝2，∴x＝3－，每件产品的销售价格为1.5×(元)，∴2020年该产品的利润y＝1.5x·－8－16x－m＝－＋29(m≥0)．(2)∵m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，∴y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1，即m＝3时，ymax＝21.故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．