数学必修 第一册1.5 全称量词与存在量词复习练习题

课时作业8　全称量词与存在量词

时间：45分钟

——基础巩固类——

1．下列不是全称量词的是(　D　)

A．任意一个   B．所有的

C．每一个   D．很多

解析：很明显A，B，C中的量词均是全称量词，D中的量词不是全称量词．

2．下列不是存在量词的是(　D　)

A．有些   B．至少有一个

C．有一个   D．所有

解析：A，B，C中的量词都是存在量词，D中的量词是全称量词，故选D.

3．下列命题：

(1)今天有人请假；

(2)中国所有的江河都流入太平洋；

(3)中国公民都有受教育的权利；

(4)每一个中学生都要接受爱国主义教育；

(5)有人既能写小说，也能搞发明创造；

(6)任何一个数除0都等于0.

其中是全称量词命题的个数是(　D　)

A．1   B．2

C．3   D．4

解析：(2)(3)(4)(6)都含有全称量词．

4．“xy≠0”的含义是(　A　)

A．x≠0且y≠0   B．x≠0或y≠0

C．x，y至少有一个不为0   D．x，y不都是0

解析：xy≠0即x，y均不为0，故选A.

5．“对x∈R，关于x的不等式f(x)>0有解”等价于(　A　)

A．∃x0∈R，使f(x0)>0成立

B．∃x0∈R，使f(x0)≤0成立

C．∀x∈R，有f(x)>0成立

D．∀x∈R，有f(x)≤0成立

解析：对任意x∈R，关于x的不等式f(x)>0有解，即不等式f(x)>0在实数范围内有解，所以与命题“∃x0∈R，使f(x0)>0成立”等价．

6．命题“∀x∈{x|1≤x≤3}，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　C　)

A．a≥9   B．a≤9

C．a≥10   D．a≤10

解析：当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，其中1≤x≤3.又y＝x2在{x|1≤x≤3}上的最大值是9，所以a≥9.因为a≥9⇒a≥10，a≥10⇒a≥9，故选C.

7．下列命题中，是真命题的是(　A　)

A．∀x∈R，x2＋2>0

B．∃x0∈R，x＋x0＝－2

C．∀x∈R，x2－x＋>0

D．∃x0∈R，x＋2x0＋2<0

解析：对于A选项：∀x∈R，x2＋2>0恒成立，A正确；对于B选项：因为x2＋x＋2＝2＋>0恒成立，所以不存在x0∈R，使x＋x0＝－2，B错误；对于C选项：因为x2－x＋＝2，存在x0＝，使x－x0＋＝0，C错误；对于D选项：∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0恒成立，所以不存在x0∈R，使x＋2x0＋2<0，D错误．

8．已知∀x∈{x|0≤x≤2}，m>x，∃x∈{x|0≤x≤2}，n>x，那么m，n的取值范围分别是(　C　)

A．m∈{m|m>0}，n∈{n|n>0}

B．m∈{m|m>0}，n∈{n|n>2}

C．m∈{m|m>2}，n∈{n|n>0}

D．m∈{m|m>2}，n∈{n|n>2}

9．对每一个x1∈R，x2∈R，且x1<x2，都有x<x是全称量词命题，是假(填“真”或“假”)命题．

解析：令x1＝－1，x2＝0.

10．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x2)>0”用“∃”写成存在量词命题为∃x∈R，x<0，(1＋x)(1－9x2)>0.

11．已知命题p：∃x∈R，ax2＋2x＋1≤0是假命题，则实数a的取值范围是a>1.

解析：命题p：∃x∈R，ax2＋2x＋1≤0是假命题，

即“ax2＋2x＋1>0”是真命题．①

当a＝0时，①不成立，

当a≠0时，要使①成立，必须解得a>1，

故实数a的取值范围为a>1.

12．用符号“∀”“∃”表示下列含有量词的命题：

(1)自然数的平方大于零；

(2)存在一对整数，使2x＋4y＝3；

(3)存在一个无理数，它的立方是有理数．

解：(1)∀x∈N，x2>0.

(2)∃x∈Z，y∈Z,2x＋4y＝3.

(3)∃x∈R，x∉Q，x3∈Q.

13．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈{x|1≤x≤2}，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围．

解：由题意知，x2＋2ax＋2－a>0在{x|1≤x≤2}上有解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则只需f(1)>0或f(2)>0，即1＋2a＋2－a>0，或4＋4a＋2－a>0.

整理得a>－3或a>－2.即a>－3.

故参数a的取值范围为{a|a>－3}．

——能力提升类——

14．下列命题中，全称量词命题是①②③；存在量词命题是④(填序号)．

①正方形的四条边相等；

②有两个角相等的三角形是等腰三角形；

③正数的平方根不等于0；

④至少有一个正整数是偶数．

解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称量词命题；②可表述为“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”，是全称量词命题；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”，是全称量词命题；④是存在量词命题．

15．若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax，求实数a的取值范围．

解：若x>0，由|x|>ax得a<＝1，

若x<0，由|x|>ax得a>＝－1，

若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax，

则实数a的取值范围是－1<a<1.