2020-2021学年2.1 等式性质与不等式性质综合训练题

课时素养评价 十一

不等式的性质

　　　　　　　　　　　　　 (15分钟　30分)

1.若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是 (　　)

A.<      B.a2>b2

C.>    D.a|c|>b|c|

【解题指南】依据不等式的性质或用特殊值法.

【解析】选C.对A，若a>0>b，则>0，<0，

此时>，所以A不成立；

对B，若a=1，b=-2，则a2<b2，所以B不成立；

对C，因为c2+1≥1，且a>b，

所以>恒成立，所以C成立；

对D，当c=0时，a|c|=b|c|，所以D不成立.

2.设a>1>b>-1，则下列不等式中恒成立的是 (　　)

A.a>b2   B.>    C.<    D.a2>2b

【解析】选A.对于A，因为-1<b<1，所以0≤b2<1，

又因为a>1，所以a>b2，故A正确；对于B，若a=2，b=，此时满足a>1>b>-1，但<，故B错误；对于C，若a=2，b=-，此时满足a>1>b>-1，但>，故C错误；对于D，若a=，b=，此时满足a>1>b>-1，但a2<2b，故D错误.

3.设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a+b>3且ab>2”的 (　　)

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充要条件     D.既不充分也不必要条件

【解析】选A.若a>2且b>1，则由不等式的同向可加性可得a+b>2+1=3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1=2.

即“a>2且b>1”是“a+b>3且ab>2”的充分条件；反之，若“a+b>3且ab>2”，则“a>2且b>1”不一定成立，如a=6，b=.所以“a>2且b>1”是“a+b>3且ab>2”的充分不必要条件.

4.给出下列命题：①a>b⇒ac2>bc2；②a>|b|⇒a4>b4；③a>b⇒a3>b3；④|a|>b⇒a2>b2.其中正确的命题序号是_______. 

【解析】①当c2=0时不成立.

②一定成立.

③当a>b时，a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

=(a-b)·>0成立.

④当b<0时，不一定成立.如：|2|>-3，但22<(-3)2.

答案：②③

5.已知a>b>0，c<d<0，e<0，

求证：>.

【证明】因为c<d<0，所以-c>-d>0，

因为a>b>0，所以a-c>b-d>0，

所以0<<，

又因为e<0，所以>.

　　　　　　　　　　　　　 (20分钟　40分)

一、单选题(每小题5分，共15分)

1.下列命题中，恒成立的是 (　　)

A.若a>b，则an>bn(n∈N*)

B.x2+2y2+4x+4y>-6

C.若0<a<1，则(1-a)1+a<1

D.若-1≤α<β≤1，则-<α+β<1

【解析】选C.根据不等式乘方性质知A不正确；由x2+2y2+4x+4y+6

=(x+2)2+2(y+1)2≥0，知B不正确；因为-1≤α<β≤1，所以-1≤α<1，

-<β≤，所以-<α+β<，D不正确.

2.已知a>b>c，则++的值 (　　)

A.为正数     B.为非正数

C.为非负数    D.不确定

【解析】选A.因为a>b>c，所以a-b>0，b-c>0，a-c>b-c>0，所以>0，>0，<，所以+>0，所以++>0，所以++的值为正数.

3.若α，β满足-<α<β<，则2α-β的取值范围是 (　　)

A.-π<2α-β<0    B.-π<2α-β<π

C.-<2α-β<    D.0<2α-β<π

【解析】选C.因为-<α<，所以-π<2α<π，

又因为-<β<，所以-<-β<，

所以-<2α-β<.

又因为α-β<0，α<，所以2α-β<.

故-<2α-β<.

二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

4.已知<<0，则下列结论正确的是 (　　)

A.a<b      B.a+b<ab

C.|a|>|b|    D.ab<b2

【解析】选BD.因为<<0，所以b<a<0.A错误；

因为b<a<0，所以a+b<0，ab>0，所以a+b<ab，B正确；

因为b<a<0，所以|a|>|b|不成立，C错误；

因为b<a<0，所以a-b>0，即ab-b2=b(a-b)<0，所以ab<b2成立，D正确.

三、填空题(每小题5分，共10分)

5.已知x<1，则x3-1_______(填“>”“<”或“=”)2x2-2x. 

【解题指南】尝试利用作差法比较大小.

【解析】(x3-1)-(2x2-2x)=(x-1)(x2+x+1)-2x(x-1)=(x-1)(x2-x+1)

=(x-1).

因为x<1，所以x-1<0.

又+>0，

所以(x-1)<0.

所以x3-1<2x2-2x.

答案：<

6.某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：

今制定计划欲使总产值最高，则应开发A类电子器件_______件，能使总产值最高为_______万元. 

【解析】设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50-x)件，

则+≤20，解得x≤20.

由题意得总产值：y=7.5x+6(50-x)

=300+1.5x≤330(万元)，当且仅当x=20时，y取最大值330.

答案：20　330

四、解答题

7.(10分)下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出错误的原因.

甲：因为-6<a<8，-4<b<2，

所以-2<a-b<6.

乙：因为2<b<3，

所以<<，

又因为-6<a<8，

所以-2<<4.

丙：因为2<a-b<4，

所以-4<b-a<-2.

又因为-2<a+b<2，

所以0<a<3，-3<b<0，

所以-3<a+b<3.

【解析】甲同学做的不对.因为同向不等式具有可加性，但不能相减，甲同学对同向不等式求差是错误的.

乙同学做的不对.因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道-6<a<8.不明确a值的正负.故不能将<<与-6<a<8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘.

丙同学做的不对.同向不等式两边可以相加，这种转化不是等价变形.丙同学将2<a-b<4与-2<a+b<2两边相加得0<a<3，又将-4<b-a<-2与-2<a+b<2两边相加得出-3<b<0，又将该式与0<a<3两边相加得出-3<a+b<3，多次使用了这种转化，导致了a+b范围的扩大.

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