2020-2021学年2.2 基本不等式第2课时练习题

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课时作业13　基本不等式的应用时间：45分钟——基础巩固类——1．设a，b，c∈R，ab＝2，且c≤a2＋b2恒成立，则c的最大值是(　D　)A.   B．2C.   D．4解析：∵ab＝2，∴a2＋b2≥2ab＝4.又c≤a2＋b2恒成立，∴c≤4.故选D.2．已知x≥，则f(x)＝有(　D　)A．最大值   B．最小值C．最大值1   D．最小值1解析：f(x)＝＝＝≥1，当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立，故f(x)有最小值1，故选D.3．设x>0，则y＝3－3x－的最大值是(　D　)A．3   B．3－2C．－1   D．3－2解析：∵x>0，∴3x＋≥2＝2，当且仅当x＝时取等号，∴－≤－2，则y＝3－3x－≤3－2，故选D.4．已知a，b，c满足a>b>c时，不等式＋＋>0恒成立，则λ的取值范围是(　C　)A．λ≤0   B．λ<1C．λ<4   D．λ>4解析：由题意知，原不等式可变形为λ<(a－c)·＝[(a－b)＋(b－c)]·＝1＋＋＋1，而1＋＋＋1≥4(当且仅当(a－b)2＝(b－c)2时等号成立)，则λ<4.故选C.5．高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上、下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，已知当教室在第n层楼时，上、下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂声较小，环境较好，因此随着教室所在楼层的升高，环境不满意度降低，设教室在第n层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室所在的楼层应为(　B　)A．2   B．3C．4   D．8解析：由题意知，教室在第n层楼时，同学们总的不满意度y＝n＋≥4，当且仅当n＝，即n＝2时，不满意度最小，又n∈N*，分别把n＝2,3代入y＝n＋，易知n＝3时，y最小，故最适宜的教室应在3楼．6．若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是(　A　)A．a1b1＋a2b2   B．a2a2＋b1b2C．a1b2＋a2b1   D.解析：由0<a1<a2,0<b1<b2，易知a1a2＋b1b2<2＋2＝.又a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)b1＋(a2－a1)b2＝(a2－a1)(b2－b1)>0，所以a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.注意到1＝(a1＋a2)(b1＋b2)＝a1b1＋a2b2＋a1b2＋a2b1<2(a1b1＋a2b2)，所以a1b1＋a2b2>.综上可知a1b1＋a2b2最大．7．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是a≥.解析：因为x>0，所以x＋≥2.当且仅当x＝1时取等号，所以有＝≤＝即的最大值为，故a≥.8．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是.解析：注意到消元有难度，而目标式为x＋y，且条件可以构造出x＋y的平方，于是1＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－()2＝(x＋y)2，所以≥(x＋y)2，所以－≤x＋y≤，当且仅当x＝y＝时取最大值.9．已知a>0，b>0，且h＝min{a，}，其中min{a，b}表示a，b两数中较小的数，则h的最大值为.解析：由题意知，0<h≤a,0<h≤，所以h2≤＝≤，所以h≤，当且仅当＝，即a＝2b时取等号．故h的最大值为.10．已知正常数a，b和正变数x，y满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b的值．解：因为x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，当且仅当＝，即＝时，等号成立，所以x＋y的最小值为(＋)2＝18，又a＋b＝10，所以ab＝16.所以a，b是方程x2－10x＋16＝0的两根，所以a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.11．如图，如在公园建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x米墙，(1)求x的取值范围；(2)求最少需要多少米铁丝网(精确到0.1米)．解：(1)由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x米，则另一边长为米，则矩形草地所需铁丝网长度为y＝x＋2×.令y＝x＋2×≤44(x>0)，解得8≤x≤36，则x的取值范围是8≤x≤36.(2)由基本不等式，得y＝x＋≥24.当且仅当x＝，即x≈17.0时，等号成立，则y最小值＝24≈34.0，即最少需要34.0米铁丝网．——能力提升类——12．已知x>0，y>0，且＋＝1，若对任意x>0，y>0，x＋y>m2＋8m恒成立，则实数m的取值范围是(　B　)A．－8<m<0   B．－9<m<1C．1<m<   D．－8<m<1解析：∵x>0，y>0，且＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝1＋＋＋4≥9(当且仅当x＝3，y＝6时取等号)，∴(x＋y)min＝9.又∵对任意x>0，y>0，x＋y>m2＋8m恒成立，∴m2＋8m<9，解得－9<m<1.故选B.13．已知0<a，b<1，不等式ax2＋x＋b≥0对于一切实数x恒成立，又存在x0∈R，使bx＋x0＋a＝0成立，则＋的最小值为(　B　)A.   B．4＋C．4＋   D．4解析：因为不等式ax2＋x＋b≥0对于一切实数x恒成立，所以对应方程的根的判别式Δ1＝1－4ab≤0，即4ab≥1.又存在x0∈R，使bx＋x0＋a＝0成立，所以Δ2＝1－4ab≥0，即4ab≤1，所以4ab＝1，即b＝.所以＋＝＋＝＋＋2＝·(4－4a＋4a－1)×＋(4－4a＋4a－1)×＋2＝2＋＋2≥4＋×2＝4＋(当且仅当＝时，等号成立)．所以＋的最小值为4＋.14．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为：F＝.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为1_900辆/时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加100辆/时．解析：(1)F1＝≤＝1 900，当且仅当v＝，即v＝11时等号成立．(2)F2＝≤＝2 000，当且仅当v＝，即v＝10时等号成立，2 000－1 900＝100.15．设a，b为正实数，且＋＝2.(1)求a2＋b2的最小值；(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．解：(1)∵a，b为正实数，且＋＝2≥2(a＝b时等号成立)．即ab≥(a＝b时等号成立)．∵a2＋b2≥2ab≥2×＝1(a＝b时等号成立)．∴a2＋b2的最小值为1.(2)∵＋＝2，∴a＋b＝2ab，∵(a－b)2≥4(ab)3，∴(a＋b)2－4ab≥4(ab)3即(2ab)2－4ab≥4(ab)3.即(ab)2－2ab＋1≤0，(ab－1)2≤0，∵a，b为正实数，∴ab＝1.