高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时当堂检测题

第二章　2.3　第1课时

A组·素养自测

一、选择题

1．不等式6－x－2x2<0的解集是(　D　)

A．　　 B．

C． D．

[解析]　不等式变形为2x2＋x－6>0，又方程2x2＋x－6＝0的两根为x1＝，x2＝－2，所以不等式的解集为.故选D．

2．不等式≥0的解集是(　B　)

A． B．

C． D．

[解析]　原不等式可化为

解得－≤x<，

故其解集为.故选B．

3．已知0<a<1，关于x的不等式(x－a)>0的解集为(　A　)

A． B．{x|x>a}

C． D．

[解析]　因为0<a<1，所以>1，所以a<，

所以不等式的解集为.故选A．

4．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为(　C　)

A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3}

C．{x|－2<x<3} D．{x|－3<x<2}

[解析]　由已知得a(x＋2)(x－3)>0，

∵a<0，∴(x＋2)(x－3)<0，∴－2<x<3.

∴所求不等式的解集为{x|－2<x<3}．

5．若不等式x2＋kx＋1<0的解集为空集，则k的取值范围是(　A　)

A．－2≤k≤2　　　　　　 B．k≤－2，或k≥2

C．－2<k<2 D．k<－2，或k>2

[解析]　由不等式x2＋kx＋1<0的解集为空集，得对应的二次函数y＝x2＋kx＋1的图象全部在x轴或x轴上方，则Δ＝k2－4×1×1≤0，解得－2≤k≤2.

6．若关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)的解集为{x|<x<1}，则a的取值范围为(　B　)

A．a<0，或a>1 B．a>1

C．0<a<1 D．a<0

[解析]　不等式ax2－(a＋1)x＋1<0可化为(ax－1)(x－1)<0，由不等式ax2－(a＋1)x＋1<0的解集为{x|<x<1}，得a>0，方程(ax－1)(x－1)＝0的两根为x1＝1，x2＝，且<1，则a的取值范围为a>1，故选B．

二、填空题

7．函数f(x)＝的定义域为__{x|－3<x<4}__.

[解析]　由－x2＋x＋12>0，得x2－x－12<0，解得－3<x<4，所以定义域为{x|－3<x<4}．

8．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是__{x|－3<x<1或x>3}__.

[解析]　f(1)＝12－4×1＋6＝3，不等式即为f(x)>3.

①当x≥0时，不等式即为

解得即x>3或0≤x<1；

②当x<0时，不等式即为解得－3<x<0.

综上，原不等式的解集为{x|－3<x<1或x>3}．

9．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8<0的解，则k的取值范围是__{k|2<k<4}__.

[解析]　x＝1是不等式k2x2－6kx＋8<0的解，把x＝1代入不等式，得k2－6k＋8<0，解得2<k<4.

三、解答题

10．解不等式－1<x2＋2x－1≤2.

[解析]　原不等式可化为

即即所以

如图，结合数轴，可得原不等式的解集为{x|－3≤x<－2或0<x≤1}．

11．已知一元二次不等式x2＋px＋q<0的解集为{x|－<x<}，求不等式qx2＋px＋1>0的解集．

[解析]　因为x2＋px＋q<0的解集为{x|－<x<}，所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，由根与系数的关系得解得所以不等式qx2＋px＋1>0即为－x2＋x＋1>0，整理得x2－x－6<0，解得－2<x<3.即不等式qx2＋px＋1>0的解集为{x|－2<x<3}．

B组·素养提升

一、选择题

1．不等式≥1的解集是(　B　)

A．{x|≤x≤2} B．{x|≤x<2}

C．{x|x>2或x≤} D．{x|x≥}

[解析]　不等式≥1，移项得：－1≥0，

即≤0，可化为或

解得≤x<2，则原不等式的解集为{x|≤x<2}．

2．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(　C　)

A．100台 B．120台

C．150台 D．180台

[解析]　y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，

即x2＋50x－30 000≥0，

解得x≥150或x≤－200(舍去)．

3．若不等式ax2＋bx－2<0的解集为{x|－2<x<}，则ab等于(　C　)

A．－28 B．－26

C．28 D．26

[解析]　由已知得

所以a＝4，b＝7，

所以ab＝28.

4．(多选题)若“不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立”为假命题，则实数a可能的取值为(　CD　)

A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1<a<4}

C．{a|a<－1} D．{a|a>4}

[解析]　若命题为真命题，由于x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，

所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.

所以题中a可以取的范围为{a|a<－1}∪{a|a>4}．

二、填空题

5．已知函数f(x)＝则不等式x＋(x＋2)·f(x＋2)≤5的解集是____.

[解析]　当x＋2≥0，即x≥－2时，f(x＋2)＝1.

原不等式可化为x＋x＋2≤5，即x≤，

∴－2≤x≤.

当x＋2<0，即x<－2时，f(x＋2)＝－1，

原不等式可化为x－(x＋2)≤5，该不等式恒成立．

∴x<－2.

综上可知，原不等式的解集为.

6．若不等式x2＋x－1<m2x2－mx对任意的x∈R恒成立，则实数m的取值范围为__(－∞，－1]∪__.

[解析]　原不等式可化为(1－m2)x2＋(1＋m)x－1<0.

①当1－m2＝0时，m＝±1.

当m＝－1时，不等式可化为－1<0，显然成立；

当m＝1时，不等式可化为2x－1<0，解得x<，

故不等式的解集不是R，不合题意；

②当1－m2≠0时，由不等式恒成立可得

解得m<－1或m>，

综上可知：实数m的取值范围为(－∞，－1]∪.

7．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为{f(x)|f(x)≥0}，若关于x的不等式f(x)<c的解集为{x|m<x<m＋6}，则实数c的值为__9__.

[解析]　由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝2＋b－.

∵f(x)的值域为{f(x)|f(x)≥0}，∴b－＝0，即b＝.

∴f(x)＝2.又∵f(x)<c，∴2<c，

即－－<x<－＋.

∴②－①，得2＝6，∴c＝9.

三、解答题

8．解不等式>1(a∈R)．

[解析]　原不等式等价于－1>0，即>0，所以[(a－1)x－(a－2)](x－2)>0.①

当a＝1时，①式可以转化为x>2；

当a>1时，①式可以转化为(x－)(x－2)>0；

当a<1时，①式可以转化为(x－)(x－2)<0.

又当a≠1时，2－＝，所以当a>1或a<0时，2>；

当a＝0时，2＝；当0<a<1时，2<.

故当a＝1时，原不等式的解集是{x|x>2}；当a>1时，原不等式的解集是{x|x<或x>2}；当0<a<1时，原不等式的解集是{x|2<x<}；当a＝0时，原不等式的解集是∅；当a<0时，原不等式的解集是{x|<x<2}．

9．已知关于x的不等式－x2＋ax＋b>0.

(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a，b的值；

(2)若b＝a＋1，求此不等式的解集．

[解析]　(1)根据题意得

解得a＝－2，b＝8.

(2)当b＝a＋1时，－x2＋ax＋b>0⇔x2－ax－(a＋1)<0，即[x－(a＋1)](x＋1)<0.

当a＋1＝－1，即a＝－2时，原不等式的解集为∅；

当a＋1<－1，即a<－2时，原不等式的解集为{x|a＋1<x<－1}；

当a＋1>－1，即a>－2时，原不等式的解集为{x|－1<x<a＋1}．

综上所述：当a＝－2时，原不等式的解集为∅；

a<－2时，原不等式的解集为{x|a＋1<x<－1}；

a>－2时，原不等式的解集为{x|－1<x<a＋1}．