2019年黑龙江黑河市中考数学真题及答案

2019年黑龙江黑河市中考数学真题及答案

一、填空题（每题3分，满分33分）

1、（2019•黑河）2019年10月31日，上海世博会闭幕．累计参观者突破7308万人次，创造了世博会历史上新的纪录．用科学记数法表示为　7.3×107人次．（结果保留两个有效数字）

考点：科学记数法与有效数字。

专题：常规题型。

分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于1 048 576有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．

有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．

解答：解：7308万=7.308×107≈7.3×107．

故答案为：7.3×107．

点评：本题考查了科学记数法和有效数字，用科学记数法表示的数的有效数字的方法：有效数字只和a有关，和n无关．

2、函数中，自变量x取值范围是　x≥﹣2且x≠3　．

考点：函数自变量的取值范围。

分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数≥0，分母≠0，可以求出x的范围．

解答：解：根据题意得：x+2≥0且x﹣3≠0，

解得：x≥﹣2且x≠3．

点评：函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

3、（2019•黑河）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF=CE，请添加一个适当的条件：　AB=DE　，使得AC=DF．

考点：全等三角形的判定与性质。

专题：开放型。

分析：要使AC=DF，则必须满足△ABC≌△DEF，已知AB∥DE，BF=CE，则可得到∠B=∠E，BC=EF，从而添加AB=DE即可利用SAS判定△ABC≌△DEF．

解答：解：添加：AC=DF

∵AB∥DE，BF=CE，

∴∠B=∠E，BC=EF，

∵AB=DE，

∴△ABC≌△DEF，

∴AC=DF．

故答案为：AC=DF．

点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质的综合运用能力．

4、（2019•黑河）因式分解：﹣3x2+6xy﹣3y2=　﹣3（x﹣y）2．

考点：提公因式法与公式法的综合运用。

分析：根根据分解因式的方法，首负先提负，放进括号里的各项要变号，在提取公因式3，括号里的剩下3项，考虑完全平方公式分解．

解答：解：﹣3x2+6xy﹣3y2=﹣（3x2﹣6xy+3y2）=﹣3（x2﹣2xy+y2）=﹣3（x﹣y）2，

故答案为：﹣3（x﹣y）2．

点评：此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式的综合运用，注意符号问题，分解时一定要分解彻底．

5、（2019•黑河）中国象棋红方棋子按兵种不同分布如下：1个帅，5个兵，“士、象、马、车、炮”各两个，将所有棋子反面朝上放在棋盘中，任取一个不是士、象、帅的概率．

考点：概率公式。

专题：计算题。

分析：计算出所有棋子数，再找出不是士、象、帅的棋子个数，根据概率公式解答即可．

解答：解：∵共有1个帅，5个兵，“士、象、马、车、炮”各两个，

∴棋子总个数为16个，

又∵不是士、象、帅的棋子共有11个，

∴P=．

故答案为：．

点评：此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

6、（2019•黑河）将一个半径为6cm，母线长为15cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是　144　度．

考点：圆锥的计算。

分析：根据圆锥的侧面积公式得出圆锥侧面积，再利用扇形面积求出圆心角的度数．

解答：解：∵将一个半径为6cm，母线长为15cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，

∴圆锥侧面积公式为：S=πrl=π×6×15=90πcm2，

∴扇形面积为90π=，

解得：n=144，

∴侧面展开图的圆心角是144度．

故答案为：144．

点评：此题主要考查了圆锥的侧面积公式应用以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥侧面积是解决问题的关键．

7、（2019•黑河）一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为　a1=2+，a2=2﹣．

考点：解一元二次方程-公式法。

分析：用公式法直接求解即可．

解答：解：a=

=

=2±，

∴a1=2+，a2=2﹣，

故答案为a1=2+，a2=2﹣．

点评：本题考查了用公式法解一元二次方程的一般步骤为：

①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；

②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；

③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．

注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．

8、（2019•黑河）如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=AC，AD交BC于点E，AE=3，ED=4，则AB的长为．

考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理；相交弦定理。

专题：计算题。

分析：可证明△ABE∽△ADB，则=，则AB2=AD•AE，由AE=3，ED=4，即可求得AB．

解答：解：∵AB=AC，∴∠ABE=∠ADB，

∴△ABE∽△ADB，则=，

即AB2=AD•AE，

∵AE=3，ED=4，

∴AB===．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质以及圆周角定理以及相交线定理，是基础知识要熟练掌握．

9、（2019•黑河）某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，

有　2　种购买方案．

考点：二元一次方程的应用。

分析：设甲中运动服买了x套，乙种买了y套，根据，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下可列出方程，且根据x，y必需为整数可求出解．

解答：解：设甲中运动服买了x套，乙种买了y套，

20x+35y=365

x=

当y=3时，x=13

当y=7时，y=6．

所以有两种方案．

故答案为：2．

点评：本题考查理解题意的能力，关键是根据题意列出二元一次方程然后根据解为整数确定值从而得出结果．

10、（2019•黑河）已知三角形相邻两边长分别为20cm和30cm，第三边上的高为10cm，则此三角形的面积为　（100+50）或100cm2．

考点：勾股定理。

分析：本题考虑两种情况，一种为锐角三角形，一种是钝角三角形，然后根据勾股定理求得第三边，从而求得三角形面积．

解答：解：图一

图二

由题意作图

则设AB=20cm，AC=30cm，AD=10cm

有两种情况：

一种：

在直角三角形ABD中利用勾股定理BD==cm

同理解CD=20cm

则三角形面积==（100）cm2

二种：在直角三角形ABD中，BD=cm

在直角三角形ACD中，CD=cm

则BC=cm

所以三角形面积为cm2

故填

点评：本题考查了勾股定理，两次运用勾股定理求出第三边，从两种情况来求第三边长，则再求三角形面积．

11、（2019•黑河）如图，△ABC是边长为1的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，则S2019=•（表示为•亦可）　．

考点：相似多边形的性质；等边三角形的性质；三角形中位线定理。

专题：规律型。

分析：先根据△ABC是等边三角形可求出△ABC的高，再根据三角形中位线定理可求出S1的值，进而可得出S2的值，找出规律即可得出S2019的值．

解答：解：∵△ABC是边长为1的等边三角形，

∴△ABC的高=AB•sin∠A=1×=，

∵DF、EF是△ABC的中位线，

∴AF=，

∴S1=××=；

同理可得，S2=×；

…

∴Sn=（）n﹣1；

∴S2019=•（表示为•亦可）．

故答案为：S2019=•（表示为•亦可）．

点评：本题考查的是相似多边形的性质，涉及到等边三角形的性质、锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值及三角形中位线定理，熟知以上知识是解答此题的关键．

二、单项选择题（每题3分，满分27分）

12、（2019•黑河）下列各式：①a0=1；②a2•a3=a5；③2﹣2=﹣；④﹣（3﹣5）+（﹣2）4÷8×（﹣1）=0；⑤x2+x2=2x2，其中正确的是（　　）

 A、①②③  B、①③⑤

 C、②③④  D、②④⑤

考点：负整数指数幂；有理数的混合运算；合并同类项；同底数幂的乘法；零指数幂。

专题：计算题。

分析：分别根据0指数幂、同底数幂的乘法、有理数混合运算的法则及合并同类项的法则对各小题进行逐一计算即可．

解答：解：：①当a=0时不成立，故本小题错误；

②符合同底数幂的乘法法则，故本小题正确；

③2﹣2=，故本小题错误；

④﹣（3﹣5）+（﹣2）4÷8×（﹣1）=0符合有理数混合运算的法则，故本小题正确；

⑤x2+x2=2x2，符合合并同类项的法则，本小题正确．

故选D．

点评：本题考查的是0指数幂、同底数幂的乘法、有理数混合运算的法则及合并同类项的法则，熟知以上知识是解答此题的关键．

13、（2019•黑河）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

 A、  B、

 C、  D、

考点：中心对称图形；轴对称图形。

专题：常规题型。

分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

解答：解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．

故选B．

点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

14、（2019•黑河）向最大容量为60升的热水器内注水，每分钟注水10升，注水2分钟后停止注水1分钟，然后继续注水，直至注满．则能反映注水量与注水时间函数关系的图象是（　　）

 A、  B、

 C、  D、

考点：函数的图象。

专题：计算题。

分析：注水需要60÷10=6分钟，注水2分钟后停止注水1分钟，共经历6+1=7分钟，按自变量分为0﹣2﹣3﹣7三段，画出图象．

解答：解：按照注水的过程分为，注水2分钟，停1分钟，再注水5分钟．

故选D．

点评：本题考查利用函数的图象解决实际问题．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．

15、（2019•黑河）某工厂为了选拔1名车工参加直径为5㎜精密零件的加工技术比赛，随机抽取甲、乙两名车工加工的5个零件，现测得的结果如下表，平均数依次为、，方差依次为s甲2、s乙2，则下列关系中完全正确的是（　　）

 A、＜，s甲2＜s乙2  B、=，s甲2＜s乙2

 C、=，s甲2＞s乙2  D、＞，s甲2＞s乙2

考点：方差；算术平均数。

专题：应用题。

分析：先计算出平均数后，再根据方差的计算公式计算，再比较．

解答：解：甲的平均数=（5.05+5.02+5+4.96+4.97）÷5=5，

乙的平均数=（5+5.01+5+4.97+5.02）÷5=5，

故有=，

S2甲=[（5.05﹣5）2+（5.02﹣5）2+（5﹣5）2+（4.96﹣5）2+（4.97﹣5）2]=，

S2乙=[（5﹣5）2+（5.01﹣5）2+（5﹣5）2+（4.97﹣5）2+（5.02﹣5）2]=；

故有S2甲＞S2乙．

故选C．

点评：本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，难度适中．

16、（2019•黑河）下图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（　　）

 A、  B、

 C、  D、

考点：由三视图判断几何体；简单组合体的三视图。

分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．

解答：解：从俯视图可以看出直观图的各部分的个数，

可得出左视图前面有2个，中间有3个，后面有1个，

即可得出左视图的形状．

故选A．

点评：此题主要考查了三视图的概念．根据俯视图得出每一组小正方体的个数是解决问题的关键．

17、（2019•黑河）若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数y=图象上的点，且x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（　　）

 A、y3＞y1＞y2  B、y1＞y2＞y3

 C、y2＞y1＞y3  D、y3＞y2＞y1

考点：反比例函数图象上点的坐标特征。

分析：根据反比例函数图象上点的特征，xy=3，所以得到x1•y1=3，x2•y2=3，x3•y3=3，再根据x1＜x2＜0＜x3，即可判断y1、y2、y3的大小关系．

解答：解：∵A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数y=图象上的点，

∴x1•y1=3，x2•y2=3，x3•y3=3，

∵x3＞0，

∴y3＞0，

∵x1＜x2＜0，

∴0＞y1＞y2，

∴y3＞y1＞y2．

故选A．

点评：此题主要考查了反比例函数图象上点的特征，凡是在反比例函数图象上的点，横纵坐标的乘积是一个定值=k．

18、（2019•黑河）分式方程=有增根，则m的值为（　　）

 A、0和3  B、1

 C、1和﹣2  D、3

考点：分式方程的增根；解一元一次方程。

专题：计算题。

分析：根据分式方程有增根，得出x﹣1=0，x+2=0，求出即可．

解答：解：∵分式方程=有增根，

∴x﹣1=0，x+2=0，

∴x=1，x=﹣2．

故选C．

点评：本题主要考查对分式方程的增根，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，理解分式方程的增根的意义是解此题的关键．

19、（2019•黑河）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b2﹣4ac＞0  ②a＞0  ③b＞0  ④c＞0  ⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是（　　）

 A、2个  B、3个

 C、4个  D、5个

考点：二次函数图象与系数的关系。

专题：计算题。

分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答：解：①根据图示知，二次函数与x轴有两个交点，所以△=b2﹣4ac＞0；故本选项正确；

②根据图示知，该函数图象的开口向上，

∴a＞0；

故本选项正确；

③又对称轴x=﹣=1，

∴＜0，

∴b＜0；

故本选项错误；

④该函数图象交与y轴的负半轴，

∴c＜0；

故本选项错误；

⑤根据抛物线的对称轴方程可知：（﹣1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；

当x=﹣1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故本选项正确．

所以①②⑤三项正确．

故选B．

点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换．

20、（2019•黑河）如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF．下列结论：①tan∠ADB=2；②图中有4对全等三角形；③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；④BD=BF；⑤S四边形DFOE=S△AOF，上述结论中正确的个数是（　　）

 A、1个  B、2个

 C、3个  D、4个

考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义。

专题：几何综合题。

分析：根据折叠的知识，锐角正切值的定义，全等三角形的判定，面积的计算判断所给选项是否正确即可．

解答：解：①由折叠可得BD=DE，而DC＞DE，∴DC＞BD，∴tan∠ADB≠2，故①错误；

②图中的全等三角形有△ABF≌△AEF，△ABD≌△AED，△FBD≌△FED，△AOB≌△COB共4对，故②正确；

③∵∠AEF=∠DEF=45°，∴将△DEF沿EF折叠，可得点D一定在AC上，故③错误；

④易得∠BFD=∠BDF=67.5°，∴BD=BF，故④正确；

⑤连接CF，∵△AOF和△COF等底同高，

∴S△AOF=S△COF，

∵∠AEF=∠ACD=45°，

∴EF∥CD，

∴S△EFD=S△EFC，

∴S四边形DFOE=S△COF，

∴S四边形DFOE=S△AOF，

故⑤正确；

正确的有3个，

故选C．

点评：综合考查了有折叠得到的相关问题；注意由对称也可得到一对三角形全等；用到的知识点为：三角形的中线把三角形分成面积相等的2部分；两条平行线间的距离相等．

三、解答题（满分60分）

21、（2019•黑河）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=sin60°．

考点：分式的化简求值；特殊角的三角函数值。

分析：先通分，然后进行四则运算，最后将a=sin60°=代入即可求得答案．

解答：解：原式=（﹣）•=•=a+1（3分）

把a=sin60°=代入（1分）

原式==（1分）

点评：本题主要考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．

22、（2019•黑河）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形．

（1）将△ABC向右平移3个单位长度，画出平移后的△A1B1C1．

（2）将△ABC绕点O旋转180°，画出旋转后的△A2B2C2．

（3）画出一条直线将△AC1A2的面积分成相等的两部分．

考点：作图-旋转变换；作图-平移变换。

分析：（1）分别将对应点A，B，C向右平移3个单位长度，即可得出图形；

（2）分别将对应点A，B，C绕点O旋转180°，即可得出图形；

（3）经过点O连接OC1，即可平分△AC1A2的面积．

解答：解：（1）如图所示，平移正确给（2分）；

（2）如图所示旋转正确给（2分）；

（3）面积等分正确给（2分）（答案不唯一）．

点评：此题主要考查了图形的平移以及旋转和等分三角形的面积，根据已知正确平移和旋转对应点是平移或旋转图形的关键．

23、（2019•黑河）已知：二次函数y=x2+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）．

（1）求此二次函数的解析式．

（2）设该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E，使△EBC的面积最大，并求出最大面积．

注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣．

考点：二次函数综合题。

分析：（1）利用待定系数法将直线x=1，且经过点（2，﹣）代入二次函数解析式，求二次函数解析式即可；

（2）利用二次函数与x轴相交即y=0，求出即可，再利用E点在x轴下方，且E为顶点坐标时△EBC面积最大，求出即可．

解答：解：（1）由已知条件得，（2分）

解得b=﹣，c=﹣，

∴此二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣；（1分）

（2）∵x2﹣x﹣=0，

∴x1=﹣1，x2=3，

∴B（﹣1，0），C（3，0），

∴BC=4，（1分）

∵E点在x轴下方，且△EBC面积最大，

∴E点是抛物线的顶点，其坐标为（1，﹣3），（1分）

∴△EBC的面积=×4×3=6．（1分）

点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及求二次函数顶点坐标进而得出三角形面积等知识，根据题意得出E为顶点坐标时△EBC面积最大是解决问题的关键．

24、（2019•黑河）为增强学生体质，教育行政部门规定学生每天在校参加户外体育活动的平均时间不少于1小时．某区为了解学生参加户外体育活动的情况，对部分学生参加户外体育活动的时间进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下的统计图表（不完整）．请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）求a、b的值．

（2）求表示参加户外体育活动时间为0.5小时的扇形圆心角的度数．

（3）该区0.8万名学生参加户外体育活动时间达标的约有多少人？

考点：扇形统计图；用样本估计总体；统计表。

专题：图表型。

分析：（1）根据时间为1.5小时的人数及所占的比例可求出总人数，从而可求出a和b的值．

（2）根据0.5小时的人数，360°×即可得出答案．

（3）先计算出达标率，然后根据频数=总人数×频率即可得出答案．

解答：解：（1）总人数=40÷20%=200人，

∴a=200×40%=80，b=1﹣20%﹣40%﹣30%=10%；

（2）×100%×360°=108°；

（3）80+40+200×10%=140，达标率=×100%，

总人数=×100%×8000=5600．

点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

25、（2019•黑河）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲、乙两厂的印刷费用y（千元）与证书数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲、乙所示．

（1）请你直接写出甲厂的制版费及y甲与x的函数解析式，并求出其证书印刷单价．

（2）当印制证书8千个时，应选择哪个印刷厂节省费用，节省费用多少元？

（3）如果甲厂想把8千个证书的印制工作承揽下来，在不降低制版费的前提下，每个证书最少降低多少元？

考点：一次函数的应用。

分析：（1）结合图象便可看出y是关于x的一次函数，从图中可以观察出甲厂的制版费为1千元，一次函数的斜率为0.5即为证书的单价；

（2）分别求出甲乙两车的费用y关于证书个数x的函数，将x=8分别代入两个函数，可得出选择乙厂课节省500元；

（3）根据实际情况甲厂只有降价500元才能将印制工作承揽下来，这样每个证书要降价0.0625元．

解答：解：（1）制版费1千元，y甲=x+1，证书单价0.5元．（3分）

（2）把x=6代入y甲=x+1中得y=4

当x≥2时由图象可设y乙与x的函数关系式为y乙=kx+b，由已知得

2k+b=3

6k+b=4

解得（2分）

得y乙=

当x=8时，y甲=×8+1=5，y乙=×8+=（1分）

5﹣=0.5（千元）

即，当印制8千张证书时，选择乙厂，节省费用500元．（1分）

（3）设甲厂每个证书的印刷费用应降低a元

8000a=500

所以a=0.0625

答：甲厂每个证书印刷费最少降低0.0625元．（1分）

点评：本题主要考查了一次函数和一元一次不等式的实际应用，是各地中考的热点，同学们在平时练习时要加强训练，属于中档题．

26、（2019•黑河）在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证 EG=CG且EG⊥CG．

（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．

（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．

考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质。

分析：从图（1）中寻找证明结论的思路：延长FE交DC延长线于M，连MG．构造出△GFE≌△GMC．易得结论；在图（2）、（3）中借鉴此解法证明．

解答：解：（1） EG=CG，EG⊥CG．        （2分）

（2）EG=CG，EG⊥CG．             （2分）

证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．

∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，

∴四边形BEMC是矩形．

∴BE=CM，∠EMC=90°，

又∵BE=EF，

∴EF=CM．

∵∠EMC=90°，FG=DG，

∴MG=FD=FG．

∵BC=EM，BC=CD，

∴EM=CD．

∵EF=CM，

∴FM=DM，

∴∠F=45°．

又FG=DG，

∠CMG=∠EMC=45°，

∴∠F=∠GMC．

∴△GFE≌△GMC．

∴EG=CG，∠FGE=∠MGC．          （2分）

∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，

∴MG⊥FD，

∴∠FGE+∠EGM=90°，

∴∠MGC+∠EGM=90°，即∠EGC=90°，

∴EG⊥CG．                     （2分）

点评：此题综合考查了旋转的性质及全等三角形的判断和性质，如何构造全等的三角形是难点，因此难度较大．

27、（2019•黑河）建华小区准备新建50个停车位，以解决小区停车难的问题．已知新建1个地上停车位和1个地下停车位需0.5万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位需1.1万元．

（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？

（2）若该小区预计投资金额超过10万元而不超过11万元，则共有几种建造方案？

（3）已知每个地上停车位月租金100元，每个地下停车位月租金300元．在（2）的条件下，新建停车位全部租出．若该小区将第一个月租金收入中的3600元用于旧车位的维修，其余收入继续兴建新车位，恰好用完，请直接写出该小区选择的是哪种建造方案？

考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用。

分析：（1）设新建一个地上停车位需x万元，新建一个地下停车位需y万元，根据已知新建1个地上停车位和1个地下停车位需0.5万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位需1.1万元，可列出方程组求解．

（2）设新建m个地上停车位，根据小区预计投资金额超过10万元而不超过11万元，可列出不等式求解．

（3根据第一个月租金收入中的3600元用于旧车位的维修，其余收入继续兴建新车位，恰好用完，可写出方案．

解答：（1）解：设新建一个地上停车位需x万元，新建一个地下停车位需y万元，由题意得

，

解得，

答：新建一个地上停车位需0.1万元，新建一个地下停车位需0.4万元；（4分）

﹙2﹚设新建m个地上停车位，则

10＜0.1m+0.4（50﹣m）≤11，

解得30≤m＜，

因为m为整数，所以m=30或m=31或m=32或m=33，

对应的50﹣m=20或50﹣m=19或50﹣m=18或50﹣m=17，

所以，有四种建造方案．（4分）

﹙3﹚建造方案是：建造32个地上停车位，18个地下停车位．（2分）

点评：本题考查理解题意的能力，根据建造地上车位和地下车位个数的不同花费的钱数不同做为等量关系列出方程求解，根据投入的资金列出不等量关系，根据该小区将第一个月租金收入中的3600元用于旧车位的维修，其余收入继续兴建新车位，恰好用完，找到方案．

28、（2019•黑河）已知直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∠ABC=60°，BC与x轴交于点C．

（1）试确定直线BC的解析式．

（2）若动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A、C重合），同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动（不与C、A重合），动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ的面积为S，P点的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

（3）在（2）的条件下，当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，平面内是否存在一点N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：一次函数综合题。

分析：（1）由已知得A点坐标，通过OA，OB长度关系，求得角BAO为60度，即能求得点C坐标，设直线BC代入BC两点即求得．

（2）当P点在AO之间运动时，作QH⊥x轴．再求得QH，从而求得三角形APQ的面积．

（3）由（2）所求可知，是存在的，写出点的坐标．

解答：解：（1）由已知得A点坐标（﹣4﹐0），B点坐标（0﹐4﹚，

∵OA=4OB=4，

∴∠BAO=60°，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∵OC=OA=4，

∴C点坐标﹙4，0﹚，

设直线BC解析式为y=kx﹢b，

，

∴，

∴直线BC的解析式为y=﹣；（2分）

﹙2﹚当P点在AO之间运动时，作QH⊥x轴．

∵，

∴，

∴QH=t

∴S△APQ=AP•QH=t•t=t2﹙0＜t≤4﹚，（2分）

同理可得S△APQ=t•﹙8﹚=﹣﹙4≤t＜8﹚；（2分）

（3）存在，

（4，0），（﹣4，8）（﹣4，﹣8）（﹣4，）．（4分）

点评：本题考查了一次函数的运用，考查了一次函数与直线交点坐标，从而求得AB的长度，由△ABC是等边三角形，从而求得．