2019年黑龙江牡丹江中考数学真题及答案

2019年黑龙江牡丹江中考数学真题及答案

一、选择题（每小题3分，满分30分）

1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是      （　　）

2.函数中，自变量的取值范围是         （　　）

A.   B.   C.   D.

3.下列计算正确的是             （　　）

A.     B.

C.     D.

4.抛物线向上平移4个单位长度后的函数解析式为   （　　）

A.     B.

C.     D.

5.学校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与小红都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，小明与小红同车的概率是                                                                                                                              （　　）

A.    B.   C.   D.

6.在同一直角坐标系中，函数与的图像可能是  （　　）

7.如图，的三个顶点在上，是直径，点在上，且，则等于                                                                                            （　　）

A.    B.   C.   D.

8.在平面直角坐标系中，点是轴上一动点，它与坐标原点的距离为，则关于的函数图像大致是                                                                                    .                                                                                    （　　）

9.在中，，则边长为   （　　）

A.7    B.8    C.8或17  D.7或17

10.如图，在中，，是边中线，点分别在边和上，于点，以下结论：

①；    ②；

③；    ④.

其中正确结论的个数是            （　　）

A.1    B.2    C.3    D.4

二、填空题（每小题3分，满分30分）

11.位于我国东海的台湾岛是我国第一大岛，面积约36 000平方千米，数36 000用科学记数法表示为　　　　.

12.如图，四边形的对角线相交于点，，请添加一个条件　　　　（只添一个即可），使四边形是平行四边形.

13.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体最多是　　　　个.

14.某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利，则该商品每件的进价为　　　　元.

15.如图，是的直径，弦于点，若，则　　　　.

16.一组数据1，4，6，的中位数和平均数相等，则的值是　　　　.

17.抛物线经过点，则　　　　.

18.一列单项式：，…，按此规律排列，则第7个单项式为　　　　.

19.如图，中，，把绕点旋转120°后，得到，则点的坐标为　　　　.

20.矩形纸片，，，在矩形边上有一点，且.将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕所在直线交矩形两边于点，则长为　　　　.

三、解答题（满分60分）

21.（5分）先化简：，其中的选一个适当的数代入求值.

22.（6分）如图，抛物线经过点.请解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式；

（2）点在抛物线上，抛物线的对称轴与轴交于点，点是中点，连接，求线段的长.

注：抛物线的对称轴是.

23.（6分）在中，，以为一边作等边，连接.请画出图形，并直接写出的面积.

24.（7分）为倡导“低碳出行”，环保部门对某城市居民日常出行使用交通方式的情况进行了问卷调查，将调查结果整理后，绘制了如下不完整的统计图，其中“骑自行车、电动车”所在扇形的圆心角是.

请根据以上信息解答下列问题：

（1）本次调查共收回多少张问卷？

（2）补全条形统计图，在扇形统计图中，“其他”对应扇形的圆心角是　　　　度；

（3）若该城市有32万居民，通过计算估计该城市日常出行“骑自行车、电动车”和“坐公交车”的共有多少人？

25.（8分）甲、乙两车从地出发沿同一路线驶向地，甲车先出发匀速驶向地.40分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50千米/时，结果与甲车同时到达地.甲乙两车距地的路程（千米）与乙车行驶时间（小时）之间的函数图像如图所示.请结合图像信息解答下列问题：

（1）直接写出的值，并求甲车的速度；

（2）求图中线段所表示的与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；

（3）乙车出发多少小时与甲车相距15千米？直接写出答案.

26.（8分）已知四边形是正方形，等腰直角的直角顶点在直线上（不与点重合），，交射线于点.

（1）当点在边上，点在边的延长线上时，如图①，求证：；

（提示：延长，交边的延长线于点.）

（2）当点在边的延长线上，点在边上时，如图②；当点在边的延长线上，点在边上时，如图③.请分别写出线段之间的数量关系，不需要证明；

（3）在第（1）和（2）题的条件下，若，则　　　　.

27.（10分）夏季来临，商场准备购进甲、乙两种空调.已知甲种空调每台进价比乙种空调多500元，用40 000元购进甲种空调的数量与用30 000元购进乙种空调的数量相同.请解答下列问题：

（1）求甲、乙两种空调每台的进价；

（2）若甲种空调每台售价2 500元，乙种空调每台售价1 800元，商场欲同时购进两种空调20台，且全部售出，请写出所获利润（元）与甲种空调（台）之间的函数关系式；

（3）在2的条件下，若商场计划用不超过36 000元购进空调，且甲种空调至少购进10台，并将所获得的最大利润全部用于为某敬老院购买1 100元/台的型按摩器和700元/台的型按摩器.直接写出购买按摩器的方案.

28.（10分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴负半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点在第一象限，过点作轴于点，线段的长是一元二次方程的两根，.

（1）求点，的坐标；

（2）反比例函数的图像经过点，求的值；

（3）在轴上是否存在点，使以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似？若存在，请写出满足条件的点的个数，并直接写出其中两个点的坐标；若不存在，请说明理由.

黑龙江省牡丹江市2019年初中毕业学业考试

数学答案解析

一、选择题

1．【答案】A

【解析】A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．

【考点】中心对称及轴对称

2．【答案】B

【解析】根据被开方数大于等于0列式求解即可．由题意得，．故选B．

【考点】函数自变量的取值范围

3．【答案】D

【解析】A、单项式乘单项式系数乘系数，同底数的幂相乘，故A错误；

B、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故B错误；

C、积的乘方等于乘方的积，故C错误；

D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D正确.

【考点】同底数幂的除法

4．【答案】C

【解析】抛物线向上平移4个单位长度的函数解析式为，

5．【答案】C

【解析】用A，B，C分别表示给九年级的三辆车，画树状图得：

共有9种等可能的结果，小明与小红同车的有3种情况，

小明与小红同车的概率是：．

【考点】列表法或树状图法求概率

6．【答案】B

【解析】或．

当时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，当时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第一、三象限．

A、图中直线经过直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第二、四象限，故A选项错误；

B、图中直线经过第第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，故B选项正确；

C、图中直线经过第二、三、四象限，故C选项错误；

D、图中直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限，故D选项错误．

【考点】一次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置

7．【答案】B

【解析】是的直径，，

．

【考点】圆周角定理以及直角三角形的性质

8．【答案】A

【解析】时，时，．

【考点】动点函数图象

9．【答案】D

【解析】，

当为钝角三角形时，

，

由勾股定理得；

当为锐角三角形时，.

【考点】解直角三角形的知识

10．【答案】C

【解析】（1）设，则

，

，

故（1）正确；

（2）在和中，

，

，

即四边形．

，故（2）错误；

（3），

．又．

；故（3）正确；

（4），

是的中点，，故（4）正确．

【考点】全等三角形、相似三角形性质和判定，等腰直角三角形的性质

二、填空题

11．【答案】

【考点】科学记数法的表示方法

12．【答案】

【解析】，

四边形是平行四边形．

【考点】平行四边形的判定

13．【答案】7

【解析】根据题意得：

，

则搭成该几何体的小正方体最多是（个）．

【考点】由三视图判断几何体

14．【答案】100

【解析】设该商品每件的进价为元，则

，

解得．

即该商品每件的进价为100元．

【考点】一元一次方程的应用．

15．【答案】

【解析】如图，连接．

弦于点，，

在中，，

．

【考点】垂径定理

16．【答案】

【解析】根据题意得，或或，

解得或3或9．

【考点】中位数与平均数

17．【答案】

【解析】把点代入得：，

.

【考点】二次函数图象上点的坐标特征

18．【答案】

【解析】第7个单项式的系数为，

的指数为8，所以，第7个单项式为．

【考点】单项式

19．【答案】

【解析】

在中，，

当绕点逆时针旋转120°后，点的对应点落在轴的负半轴上，如图，，此时的坐标为；

当绕点顺时针旋转120°后，点的对应点落在第三象限，如图，则

，作轴于，，

在中，，，

综上所述，的坐标为或．

【考点】坐标与图形变化

20．【答案】

【解析】如图1，

当点在上时，

垂直平分，

四边形是正方形，过点，，

如图2，

当点在上时，过作于，

，

垂直平分，

，

综上所述：长为或.

【考点】折叠的性质

三、解答题

21．【答案】原式

当时，原式.

【考点】分式的化简求值

22．【答案】（1）抛物线经过点，

解得

抛物线的解析式为：；

（2）点在抛物线上，

点是中点，抛物线的对称轴与轴交于点，即为的中点，

是三角形的中位线，

【考点】二次函数综合

23．【答案】如图所示：

过点作延长线于点，

，以为一边作等边，

，

，

则

则的面积为：

【考点】勾股定理以及等腰三角形的性质和锐角三角函数关系

24．【答案】（1）本次调查的学生数是：（人），即本次调查共收回200张问卷；

（2）9

（3）32万万．

【解析】（1）略

（2）

（3）略

【考点】条形统计图和扇形统计图的综合运用

25．【答案】（1），

甲车的速度（千米/小时）；

（2）           设乙开始的速度为千米/小时，

则，解得（千米/小时），

，则，设直线的解析式为，

把代入得，

解得．

所以线段所表示的与的函数关系式为；

（3）           甲车前40分钟的路程为千米，则，

设直线的解析式为，

把代入得，解得，

所以直线的解析式为，

易得直线的解析式为，

设甲乙两车中途相遇点为，

由，解得小时，即乙车出发小时后，甲乙两车相遇，

当乙车在段时，由，解得，介于小时之间，符合题意；

当乙车在段时，由，解得，介于小时之间，符合题意；

当乙车在段时，由，解得，不介于之间，不符合题意；

当乙车在段时，由，解得，介于之间，符合题意．

所以乙车出发小时或小时或小时，乙与甲车相距15千米．

【考点】一次函数的应用

26.【答案】（1）证明：如图，延长，交边的延长线于点，

四边形是正方形，，

，四边形为矩形，

为等腰直角三角形，

，

，在与中，

，

，

，即；

（2）如图，

，在与中，

，

；

如图，在与中，

，

；

（3）

【解析】（1）略

（2）略

（3）如图，

，

在中，

此情况不存在；

如图，

，

，

；

如图，

，

，

故答案为：

【考点】等腰直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的性质及判定定理、数形结合

27．【答案】（1）设乙种空调每台进价为元，则甲种空调每台进价为（）元，根据题意得：，

去分母得：，解得，

经检验x=1 500是分式方程的解，且，

则甲、乙两种空调每台进价分别为2 000元，1 500元；

（2）根据题意得：；

（3）设购买甲种空调台，则购买乙种空调（）台，

根据题意得：，且，

解得：，

当时，最大利润为8 400元，

设购买型按摩器台，购买型按摩器台，则，有两种购买方案：型0台，型12台；型7台，型1台．

【考点】一次函数的意义、分式方程的应用、以及一元一次不等式组的应用

28．【答案】（1）解一元二次方程，解得：，

（2）如图1，

过点作，垂足为，

设，

，整理得：，

解得：（不合题意舍去），

，把代入，得

（3）存在．如图2，

若点在上，若，则即

解得：或或；如图3，

若点在上方，，即，解得：；如图4，

若点在上方，，即，

解得：或（不合题意舍去），；如图5，

若点在轴负半轴，，

则即，解得：或，

则点坐标为或

点的坐标为：或或或或．

【考点】一元二次方程的解法、点的坐标、点在图象上、相似三角形的判定与性质