数学九年级下册2.3 三角形的内切圆教案设计

2.3  三角形的内切圆

1、通过作图操作，经历三角形内切圆的产生过程；

2、通过作图和探索，体验并理解三角形内切圆的性质；

3、类比三角形内切圆与三角形外接圆，进一步理解三角形内心和外心所具有的性质；

4、通过引例和例1的教学，培养学生解决实际问题的能力和应用数学的意识；

5、通过例2的教学，进一步掌握用代数方法解几何题的思路，渗透方程思想。

教学重点

三角形内切圆的概念和画法。

教学难点

三角形内切圆有关性质的应用。

一、新课导入

1、确定圆的条件有哪些？

（1）.圆心与半径；（2）不在同一直线上的三点

2、什么是角平分线？角平分线有哪些性质？

（角平线上的点到这个角的两边的距离相等。）

3、左图中△ABC与⊙O有什么关系？

（△ABC是⊙O的内接三角形；⊙O是△ABC的外接圆

圆心O点叫△ABC的外心）

二、探索新知

1、合作学习：

李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大。应该怎样画出裁剪图？

探索：（1）当裁得圆最大时，圆与三角形的各边有什么位置关系？

（2）与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里？

（3）如何确定这个圆的圆心？

2、探究三角形内切圆的画法：

 （1）如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？

（圆心0在∠ABC的平分线上。）

（2）如图，如果⊙O与△ABC的夹内角∠ABC的两边相切，且与夹内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？

（圆心0在∠BAC,∠ABC与∠ACB的三个角的角平分线的交点上。）

（3）如何确定一个与三角形的三边都相切的圆心的位置与半径的长？

（作出三个内角的平分线，三条内角平分线相交于一点，这点就是符合条件的圆心，过圆心作一边的垂线，垂线段的长是符合条件的半径）

 ( 4)你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆么？

（只能作一个，因为三角形的三条内角平分线相交只有一个交点。 ）

教师示范作图。

3、三角形内切圆的有关概念

（1）定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。

引导学生采用观察、类比的方法，理解三角形的内切圆及圆的外切三角形的概念，并于三角形的外接圆与圆的内接三角形概念相比较。

（2）三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。

（3）连接内心和三角形的顶点平分三角形的这个内角。

例1：如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB＝75°，点O是内心，求∠BOC的度数。

解：∵点O是△ABC的内心

 ∴BO是∠ABC的平分线，OC是∠ ACB的平分线

∴∠OBC=1/2∠ABC，∠OCB=1/2∠ACB

∵∠ABC+∠ACB=50°+75°=125°

∴∠BOC=180°-1/2×125°=117.5°

小结：已知内心往往连接内心和顶点，则连线平分内角。

例2、如图，一个木摸的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直棱柱．圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆．已知直三棱柱的底面等边三角形边长为３cm。

求圆柱底面的半径。

分析：首先要根据题意画出图形，如图，要求圆柱底面半径，要把它归纳到某个直角三角形中，由△ABC是等边三角形可得AD=1.5，连接 OA即得OA平分∠ACB=30°。

例3、如图，设△ABC的周长为c,内切⊙o和各边分别相切于D,E,F

求证：AE+BC= 

分析：AE、AF即△ABC的顶点A到△ABC的内切圆⊙O的切线长，易证明AE=AF，BD=BF、CD=CF，

后面由学生自己完成。

备选例题：

如图， △ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D。

求证：DE=DB。

三、归纳小结

1、什么叫三角形的内切圆？怎样作三角形的内切圆？

2、三角形的内切圆和三角形的外接圆的类比：

3、顶点与切点间的线段长与三角形三边关系：

如图，⊙I切△ABC三边于点 D、E、F，

则AD=AF=

BD=BE=

CE=CF=

特别地，当∠C=Rt∠时，如图，四边形CEID 是正方形，

内切圆的半径

  (其中r 、l分别是内切圆的半径和三角形的周长)

请完成本课时对应练习！