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    2020-2021学年高中数学人教A版(2019)必修第一册 2.2 基本不等式 学案

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    2021学年2.2 基本不等式导学案

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    这是一份2021学年2.2 基本不等式导学案,共14页。学案主要包含了知识导学,新知拓展等内容,欢迎下载使用。
    
    (教师独具内容)
    课程标准:1.掌握基本不等式的内容.2.能熟练地运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式来证明简单的不等式.4.熟练掌握基本不等式及变形的应用.5.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
    教学重点:1.理解基本不等式的内容及其证明过程.2.运用基本不等式来比较两个实数的大小及进行简单的证明.3.运用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
    教学难点:基本不等式条件的创设.


    【知识导学】
    知识点一   基本不等式
    如果a>0,b>0,则≤,当且仅当a=b时,等号成立.我们把这个不等式称为基本不等式.
    知识点二   算术平均数与几何平均数及相关结论
    在基本不等式中,叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数.
    基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
    知识点三   基本不等式与最大(小)值
    当x,y均为正数时,下面的命题均成立:
    (1)若x+y=S(S为定值),则当且仅当x=y时,xy取得最大值;(简记:和定积有最大值)
    (2)若xy=P(P为定值),则当且仅当x=y时,x+y取得最小值2.(简记:积定和有最小值)
    知识点四   基本不等式的实际应用
    基本不等式常用于求解与最值有关的实际问题,具体步骤如下:
    (1)先理解题意,设出变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为因变量.
    (2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.
    (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值.
    (4)根据实际意义写出正确的答案.
    【新知拓展】
    1.由基本不等式变形得到的常见结论
    (1)ab≤2≤(a,b∈R);
    (2)≤≤ (a,b均为正实数);
    (3)+≥2(a,b同号);
    (4)(a+b)≥4(a,b同号);
    (5)a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b,c∈R).
    2.利用基本不等式证明不等式时应注意的问题
    (1)注意基本不等式成立的条件;
    (2)多次使用基本不等式,要注意等号能否成立;
    (3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合,形成基本不等式模型,再使用.
    3.利用基本不等式的解题技巧与易错点
    (1)利用基本不等式求最值常用构造定值的技巧:
    ①加项变换;
    ②拆项变换;
    ③统一换元;
    ④平方后再用基本不等式.
    (2)易错点
    ①易忘“正”,忽略了各项均为正实数;
    ②忽略忘记“定”,用基本不等式时,和或积为定值;
    ③忽略忘记“等”,用基本不等式要验证等号是否可以取到;
    ④忽略忘记“同”,多次使用基本不等式时,等号成立的条件应相同.

    1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)
    (1)≥对于任意实数a,b都成立.(  )
    (2)若a>0,b>0,且a≠b,则a+b>2.(  )
    (3)若a>0,b>0,则ab≤2.(  )
    (4)若a>0,b>0,且a+b=16,则ab≤64.(  )
    (5)若ab=2,则a+b的最小值为2.(  )
    答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)×
    2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
    (1)不等式m2+1≥2m等号成立的条件是________.
    (2)+≥2成立的条件是________.
    (3)x>1,则x+的最小值为________.
    (4)已知p,q∈R,pq=100,则p2+q2的最小值是________.
    (5)若a>0,b>0,且a+b=2,则+的最小值为________.
    答案 (1)m=1 (2)a与b同号 (3)3 (4)200 (5)2


    题型一 对基本不等式的理解                    
    例1 给出下面三个推导过程:
    ①因为a>0,b>0,所以+≥2 =2;
    ②因为a∈R,a≠0,所以+a≥2 =4;
    ③因为x,y∈R,xy0,b>0,所以>0,>0,符合基本不等式成立的条件,故①的推导过程正确;
    ②因为a∈R,a≠0不符合基本不等式成立的条件,
    所以+a≥2=4是错误的;
    ③由xy0,b>0)的两个关注点
    (1)不等式成立的条件:a,b都是正实数.
    (2)“当且仅当”的含义:
    ①当a=b时,≥的等号成立,
    即a=b⇒=;
    ②仅当a=b时,≥的等号成立,
    即=⇒a=b.

     下列命题中正确的是(  )
    A.当a,b∈R时,+≥2 =2
    B.当a>0,b>0时,(a+b)≥4
    C.当a>4时,a+≥2 =6
    D.当a>0,b>0时,≥
    答案 B
    解析 A项中,可能<0,所以不正确;B项中,因为a+b≥2>0,+≥2>0,相乘得(a+b)≥4,当且仅当a=b时等号成立,所以正确;C项中,a+≥2 =6中的等号不成立,所以不正确;D项中,由基本不等式,知≤(a>0,b>0),所以D不正确.


    题型二 利用基本不等式比较大小                    
    例2 已知a>1,则,,三个数的大小顺序是(  )
    A.<< B.<<
    C.<< D.<≤
    [解析] 当a,b均为正数时,有≤≤≤ ,
    令b=1,得≤≤.
    又a>1,即a≠b,故上式不能取等号,应选C.
    [答案] C
    [题型探究] 对一切正数m,不等式n<+2m恒成立,求常数n的取值范围.
    解 当m>0时,由基本不等式,得
    +2m≥2=4,且当m=时,等号成立,故n的取值范围为n<4.
    金版点睛
    利用基本不等式比较大小
    在利用基本不等式比较大小时,应创设应用基本不等式的使用条件,合理地拆项、配凑或变形.在拆项、配凑或变形的过程中,首先要考虑基本不等式使用的条件,其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能.

     已知:a>0,b>0,且a+b=1,试比较+,,4的大小.
    解 ∵a>0,b>0,a+b≥2,
    ∴ab≤.
    ∴+==≥4,
    ==-ab≥-=,
    即≤4.
    ∴+≥4≥.


    题型三 利用基本不等式求函数的最值                    
    例3 (1)求函数y=+x(x>3)的最小值;
    (2)已知00,>0,
    ∴y≥2+3=5.
    当且仅当=x-3,即x=4时,y有最小值5.
    (2)∵0-1,∴x+1>0,
    y=

    =x+1++1
    ≥2+1,
    当且仅当x+1=时,
    即x=-1时,函数y的最小值为2+1.
    [变式探究] 在本例(1)中把“x>3”改为“x0,c>0,且a+b+c=1.
    求证:++≥10.
    证明 ++
    =++
    =4+++
    ≥4+2+2+2=10,
    当且仅当a=b=c=时取等号.
    ∴++≥10.
                        


    题型五 利用基本不等式求代数式的最值  
    例5 (1)已知x>0,y>0且+=1,求x+y的最小值;
    (2)已知正实数x,y满足2x+y+6=xy,求xy的最小值;
    (3)已知实数x,y满足x2+y2+xy=1,求x+y的最大值.
    [解] (1)∵x>0,y>0,+=1,
    ∴x+y=(x+y)=++10≥6+10=16,当且仅当=,又+=1,
    即x=4,y=12时,上式取等号.
    故当x=4,y=12时,(x+y)min=16.
    (2)∵2x+y+6=xy,
    ∴y=,x>1,xy====2=2≥2×=18.
    当且仅当x=3时,等号成立.
    (3)因为1=x2+y2+xy=(x+y)2-xy≥(x+y)2-2,所以(x+y)2≤,
    即x+y≤,当且仅当x=y>0且x2+y2+xy=1,
    即x=y=时,等号成立,x+y的最大值为.
    [结论探究] 若本例(1)中的条件不变,如何求xy的最小值.
    解 +=≥==,
    又因为+=1,所以≤1,≥6,xy≥36,
    当且仅当y=9x,即x=2,y=18时,等号成立.
    所以(xy)min=36.

    金版点睛
    利用基本不等式求代数式的最值
    (1)利用基本不等式求代数式的最值,要通过恒等变形以及配凑,使“和”或“积”为定值,从而求得代数式的最大值或最小值.
    (2)若是求和式的最小值,通常化(或利用)积为定值;若是求积的最大值,通常化(或利用)和为定值,解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式.


     (1)已知正数x,y满足x+2y=1,求+的最小值;
    (2)已知x>0,y>0,且满足+=1,求xy的最大值.
    解 (1)∵x,y为正数,且x+2y=1,
    ∴+=(x+2y)=3++≥3+2,当且仅当=,即当x=-1,y=1-时等号成立.
    ∴+的最小值为3+2.
    (2)∵+=1,∴1=+≥2=.
    ∴≤,当且仅当==即x=,y=2时等号成立.
    ∴xy≤3,即xy的最大值为3.


    题型六 利用基本不等式解决实际问题                    
    例6 某投资公司计划投资A,B两种金融产品,根据市场调查与预测,A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1=18-,B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2=(注:利润与投资金额单位:万元).
    (1)该公司已有100万元资金,并全部投入A,B两种产品中,其中x万元资金投入A产品,试把A,B两种产品利润总和表示为x的函数,并写出x的取值范围;
    (2)在(1)的条件下,试问:怎样分配这100万元资金,才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?
    [解] (1)其中x万元资金投入A产品,则剩余的(100-x)万元资金投入B产品,
    利润总和y=18-+=38--(x∈[0,100]).
    (2)∵y=40--,x∈[0,100],
    ∴由基本不等式,得y≤40-2=28,当且仅当=,即x=20时,等号成立.
    答:分别用20万元和80万元资金投资A,B两种金融产品,可以使公司获得最大利润,最大利润为28万元.
    金版点睛
    利用基本不等式解决实际问题应遵循的三点
    (1)解应用题时,一定要注意变量的实际意义,从而指明函数的定义域;
    (2)一般利用基本不等式求解最值问题时,通常要指出取得最值时的条件,即“等号”成立的条件;
    (3)在求函数最值时,除应用基本不等式外,有时会出现基本不等式取不到等号,此时要利用其他方法求解.



     某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800 m3,深为3 m,如果池底每1 m2的造价为150元,池壁每1 m2的造价为120元,问怎样设计水池才能使总造价最低?最低总造价是多少?
    解 设水池底面一边的长度为x m,则另一边的长度为 m.
    又设水池总造价为y元,根据题意,得y=150×+120×
    =240000+720×
    ≥240000+720×2
    =297600(元),
    当且仅当x=,即x=40时,y取得最小值297600.
    所以水池底面为正方形且边长为40 m时总造价最低,最低总造价为297600元.


    1.若a>b>0,则下列不等式中总成立的是(  )
    A.<< B.≥≥
    C.>> D.b>0,∴<=<,故选C.
    2.已知x>0,y>0,x≠y,则下列四个式子中值最小的是(  )
    A. B.
    C. D.
    答案 C
    解析 解法一:∵x+y>2,
    ∴<,排除D;
    ∵==>=,
    ∴排除B;
    ∵(x+y)2=x2+y2+2xy<2(x2+y2),
    ∴> ,排除A.故选C.
    解法二:取x=1,y=2.
    则=;=;
    =;==.
    其中最小.故选C.
    3.若a>0,则代数式a+(  )
    A.有最小值10
    B.有最大值10
    C.没有最小值
    D.既没有最大值也没有最小值
    答案 A
    解析 利用基本不等式,得a+≥2=10,当且仅当a=,即a=5时,取得最小值10.
    4.当x>时,函数y=x+的最小值为________.
    答案 
    解析 因为x>,所以x->0,所以y=x+=++≥2+=4+=,当且仅当x-=,即x=时,取“=”.
    5.某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位:万元)与营运年数x的函数关系为y=-10(x-6)2+110(x∈N*),求每辆客车营运多少年,可使其运营的年平均利润最大.
    解 因为=-10+120≤-20+120=20,当且仅当x=,即x=5时,等号成立,所以每辆客车营运5年,可使其运营的年平均利润最大.


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