数学必修 第一册1.3 集合的基本运算第1课时导学案

1.3　集合的基本运算

【素养目标】

1．能从教材实例中抽象出两个集合并集和交集、全集和补集的含义．(数学抽象)

2．准确翻译和使用补集符号和Venn图．(数学抽象)

3．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集、交集与补集运算．(数学运算)

4．能用Venn图表示两个集合的并集和交集．(直观想象)

5．能根据集合间的运算结果判断两个集合之间的关系．(逻辑推理)

6．能根据两个集合的运算结果求参数的取值范围．(逻辑推理)

7．会用Venn图、数轴解决集合综合运算问题．(直观想象)

【学法解读】

1．在本节学习中，学生应依据老师创设合适的问题情境，加深对“并集”“交集”“补集”“全集”等概念含义的认识，特别是对概念中“或”“且”的理解，尽量以义务教育阶段所学过的数学内容或现实生活中的实际情境为载体创设相关问题，帮助理解．

2．要注意结合实例，运用数轴、Venn图等表示集合进行运算，从而更直观、清晰地解决有关集合的运算问题．

第1课时　并集与交集

必备知识·探新知

基础知识

知识点1　并集

思考1：并集概念中的“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？

提示：并集概念中的“或”与生活用语中的“或”的含义是不同的．生活用语中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，并不兼存；而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或此彼”，可兼有．

“x∈A或x∈B”包含三种情形：

①x∈A，但x∉B；

②x∈B，但x∉A；

③x∈A且x∈B．

知识点2　交集

思考2：集合运算中的“且”与生活用语中的“且”相同吗？

提示：集合运算中的“且”与生活用语中的“且”的含义相同，均表示“同时”的含义，即“x∈A，且x∈B”表示元素x属于集合A，同时属于集合B．

知识点3　并集与交集的性质

(1)__A∩A＝A__，A∩∅＝∅.(2)__A∪A＝A__，A∪∅＝A．

思考3：(1)对于任意两个集合A，B，A∩B与A有什么关系？A∪B与A有什么关系？

(2)设A，B是两个集合，若已知A∩B＝A，A∪B＝B，则它们之间有何关系？集合A与B呢？

提示：(1)(A∩B)⊆A，A⊆(A∪B)．

(2)A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B．

基础自测

1．(2019·全国卷Ⅲ理，1)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝(　A　)

A．{－1,0,1}　　　 B．{0,1}

C．{－1,1} D．{0,1,2}

[解析]　∵B＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，

∴A∩B＝{－1,0,1,2}∩{x|－1≤x≤1}＝{－1,0,1}，故选A．

2．(2019·江苏宿迁市高一期末测试)设集合M＝{0,1,2}，N＝{2,4}，则M∪N＝(　D　)

A．{0,1,2} B．{2}

C．{2,4} D．{0,1,2,4}

[解析]　M∪N＝{0,1,2}∪{2,4}＝{0,1,2,4}．

3．已知集合M＝{x|－5<x<3}，N＝{x|－4<x<5}，则M∩N＝(　A　)

A．{x|－4<x<3}　　　　 B．{x|－5<x<－4}

C．{x|3<x<5} D．{x|－5<x<5}

[解析]　M∩N＝{x|－5<x<3}∩{x|－4<x<5}＝{x|－4<x<3}，故选A．

4．(2019·江苏，1)已知集合A＝{－1,0,1,6}，B＝{x|x>0，x∈R}，则A∩B＝__{1,6}__.

[解析]　A∩B＝{－1,0,1,6}∩{x|x>0，x∈R}＝{1,6}．

5．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，则m＝__3__.

[解析]　因为A∩B＝{2,3}，所以3∈B．所以m＝3.

关键能力·攻重难

题型探究

题型一　并集运算

例1 (1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，求A∪B；

(2)设集合A＝{x|－3<x≤5}，B＝{x|2<x≤6}，求A∪B．

[分析]　第(1)题由定义直接求解，第(2)题借助数轴求很方便．

[解析]　(1)A∪B＝{1,2,3}∪{2,3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．

(2)画出数轴如图所示：

∴A∪B＝{x|－3<x≤5}∪{x|2<x≤6}＝{x|－3<x≤6}．

[归纳提升]　并集运算应注意的问题

(1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，然后将集合化简，再按定义求解．

(2)求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个．

(3)对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到．

【对点练习】❶ (1)已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,1,2,3,5}，则A∪B＝__{0,1,2,3,4,5}__.

(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B＝__{x|x>－2}__.

[解析]　(1)A∪B＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}．

(2)画出数轴如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．

题型二　交集运算

例2 (1)设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}则M∩N＝(　B　)

A．{－1,0,1} B．{0,1}

C．{1} D．{0}

(2)若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，则集合A∩B等于(　D　)

A．{x|x≤3或x>4} B．{x|－1<x≤3}

C．{x|3≤x<4} D．{x|－2≤x<－1}

(3)已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则A∩B＝__{(1,2)}__.

[分析]　(1)先求出集合N中的元素再求M、N的交集．(2)借助数轴求A∩B．(3)集合A和B的元素是有序实数对(x，y)，A、B的交集即为方程组的解集．

[解析]　(1)N＝{x|x2＝x}＝{0,1}，∴M∩N＝{0,1}，故选B．

(2)将集合A、B表示在数轴上，由数轴可得A∩B＝{x|－2≤x<－1}，故选D．

(3)A∩B＝{(x，y)|4x＋y＝6}∩{(x，y)|3x＋2y＝7}

＝＝{(1,2)}．

[归纳提升]　求集合A∩B的方法与步骤

(1)步骤

①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么．

②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B\”的形式．

③把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为∅)．

(2)方法

①若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．

②若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．

【对点练习】❷ (1)(2020·天津和平区高一期中测试)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B等于(　A　)

A．{1,3}　　　　 B．{2,4}

C．{2,4,5,7} D．{1,2,3,4,5,7}

(2)(2020·广州荔湾区高一期末测试)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，则集合B＝(　D　)

A．{－3,1} B．{0,1}

C．{1,5} D．{1,3}

[解析]　(1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1,3,5,7}，

∴A∩B＝{1,3}，故选A．

(2)∵A∩B＝{1}，

∴1∈B，

∴1是方程x2－4x＋m＝0的根，

∴1－4＋m＝0，∴m＝3.

∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{x|(x－1)(x－3)＝0}＝{1,3}．

题型三　集合的交集、并集性质的应用

例3 (1)设集合M＝{x|－2<x<5}，N＝{x|2－t<x<2t＋1，t∈R}，若M∪N＝M，则实数t的取值范围为__{t|t≤2}__.

(2)设A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{x|x2－2ax＋a2－a＝0}．

①若A∩B＝B，求a的取值范围；

②若A∪B＝B，求a的取值．

[分析]　(1)把M∪N＝M转化为N⊆M，利用数轴表示出两个集合，建立端点间的不等关系式求解．

(2)先化简集合A，B，再由已知条件得A∩B＝B和A∪B＝B，转化为集合A、B的包含关系，分类讨论求a的值或取值范围．

[解析]　(1)由M∪N＝M得N⊆M，当N＝∅时，2t＋1≤2－t，即t≤，此时M∪N＝M成立．

当N≠∅时，由数轴可得

解得<t≤2.

缩上可知，实数t的取值范围是{t|t≤2}．

(2)由x2－2x＝0，得x＝0或x＝2.∴A＝{0,2}．

①∵A∩B＝B，∴B⊆A，B＝∅，{0}，{2}，{0,2}．

当B＝∅时，Δ＝4a2－4(a2－a)＝4a<0，∴a<0；

当B＝{0}时，∴a＝0；

当B＝{2}时，无解；

当B＝{0,2}时，得a＝1.

综上所述，得a的取值范围是{a|a＝1或a≤0}．

②∵A∪B＝B，∴A⊆B．

∵A＝{0,2}，而B中方程至多有两个根，

∴A＝B，由①知a＝1.

[归纳提升]　利用交、并集运算求参数的思路

(1)涉及A∩B＝B或A∪B＝A的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，要注意空集的特殊性．

(2)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系，要注意集合中元素的互异性；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系．

【对点练习】❸ 已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}，

(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N；

(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．

[解析]　(1)由题意得M＝{2}．

当m＝2时，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，

∴M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}．

(2)∵M∩N＝M，∴M⊆N，∵M＝{2}，∴2∈N，

∴2是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，

即4－6＋m＝0，解得m＝2.

课堂检测·固双基

1．设集合A＝{x∈N*|－1≤x≤2}，B＝{2,3}，则A∪B＝(　B　)

A．{－1,0,1,2,3}　　　 B．{1,2,3}

C．{－1,2} D．{－1,3}

[解析]　集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则A∪B＝{1,2,3}．

2．已知集合A＝{x|－3<x<3}，B＝{x|x<1}，则A∩B＝(　C　)

A．{x|x<1} B．{x|x<3}

C．{x|－3<x<1} D．{x|－3<x<3}

[解析]　A∩B＝{x|－3<x<3}∩{x|x<1}＝{x|－3<x<1}．故选C．

3．设集合A＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，则如图中阴影部分表示的集合是(　C　)

A．{2,4,6} B．{1,3,6}

C．{1,2,3,4,6} D．{6}

[解析]　图中阴影表示A∪B，又因为A＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，所以A∪B＝{1,2,3,4,6}，故选C．

4．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是__a≤1__.

[解析]　利用数轴画图解题．

要使A∪B＝R，则a≤1.

5．已知集合A＝{x|m－2<x<m＋1}，B＝{x|1<x<5}．

(1)若m＝1，求A∪B；

(2)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．

[解析]　(1)由m＝1，得A＝{x|－1<x<2}，

∴A∪B＝{x|－1<x<5}．

(2)∵A∩B＝A，∴A⊆B．显然A≠∅.

故有解得3≤m≤4.

∴实数m的取值范围为[3,4]．