高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质导学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质导学案及答案，共10页。学案主要包含了知识导学，新知拓展等内容，欢迎下载使用。

(教师独具内容)
课程标准：1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能运用不等式的性质比较大小.2.能运用不等式的性质证明不等式和解决简单的实际问题．
教学重点：1.不等式的性质.2.用不等式的性质证明不等式．
教学难点：用作差法比较代数式的大小．


【知识导学】
知识点一　　　等式的性质
(1)如果a＝b，那么a＋c＝b＋c.
(2)如果a＝b，那么ac＝bc或＝(c≠0)．
(3)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
知识点二　　　作差比较法
(1)理论依据：a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b0；
(2)a＝b⇔a－b＝0；
(3)ac，那么a>c，即a>b，b>c⇒a>c.
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，cd，那么a＋c>b＋d.
(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd；
如果a>b>0，cbn(n∈N，n≥2)．
(8)如果a>b>0，那么>(n∈N，n≥2)．

【新知拓展】
1．关于不等式性质的理解
两个同向不等式可以相加，但不可以相减，如a>b，c>d不能推出a－c>b－d.
2．常用的结论
(1)a>b，ab>0⇒0，c>d>0⇒>；
(4)若a>b>0，m>0，则>；0)；(b－m>0)．
3．比较大小的方法
比较数(式)的大小常用作差与0比较．
作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二者并用．
4．利用不等式求范围应注意的问题
求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若x2＝0，则x≥0.(　　)
(2)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，ab，则ac2>bc2.(　　)
(4)若a>b>0，则>.(　　)
(5)若x>1，则x3＋2x与x2＋2的大小关系为x3＋2x>x2＋2.(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．做一做
(1)已知a＋b>0，bb>－b>－a B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b
(2)设bbd
C．a＋c>b＋d D．a＋d>b＋c
(3)已知x3x

题型一 作差法比较大小　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　比较下列各组中两数的大小：
(1)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2；
(2)已知x0，b>0且a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0，
∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.
(2)x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1).
∵x0，x＋y>0，(x－y)2≥0.
∴m－n≥0，即m≥n(当x＝y时，等号成立)．
[变式探究]　若将本例(2)中“x0，
∴当x－12x2－2x.

金版点睛
作差比较法的四个步骤



　(1)比较x3＋6x与x2＋6的大小；
(2)已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小．
解　(1)(x3＋6x)－(x2＋6)＝x(x2＋6)－(x2＋6)＝(x－1)(x2＋6)．
∵x2＋6>0，
∴当x>1时，x3＋6x>x2＋6；
当x＝1时，x3＋6x＝x2＋6；
当xb且c>d⇒ac>bd；
③a>b>0且c>d>0⇒ > ；
④>⇒a>b.
[解析]　①⇒b，∴①错误．
②当a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3时，命题显然不成立．∴②错误．
③⇒>>0⇒ > 成立．∴③正确．
④显然c2>0，∴两边同乘以c2得a>b.∴④正确．
[答案]　③④
金版点睛
解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结论，也可举出一个反例予以否定.

　(1)判断下列命题是否正确，并说明理由：
①若>，则ad>bc；
②设a，b为正实数，若a－bc且cd>0或ad.
(2)∵a，b，x，y都是正数，且>，x>y，∴>，故