高中数学第三章 函数概念与性质3.4 函数的应用（一）教课内容课件ppt

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几类常见函数模型(1)常见函数模型
(2)本质：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，选择适当的函数模型，数学模型解决问题.(3)应用：应用于各类与数学相关的应用题.
【思考】解决函数应用问题的基本步骤是什么？提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原.这些步骤用框图表示如图：
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)在一次函数模型中，系数k的取值不影响函数的性质.(　　)(2)在幂函数模型的解析式中，a的正负不影响函数的单调性.(　　)(3)函数y=x2比y=x增长的速度更快些.(　　)
提示：(1)×，系数k影响函数的单调性.(2) ×，幂函数的单调性受a和n的影响.(3)×，在区间(0，1)上，y=x2比y=x增长得慢.
2.一个矩形的周长是40，则矩形的长y关于宽x的函数解析式为(　　)A.y=20-x，03.(教材二次开发：例题改编)一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是(　　)A.一次函数模型B.二次函数模型C.分段函数模型D.无法确定【解析】选C.由s与t的图象，可知t分4段，则函数模型为分段函数模型.
类型一　一次函数模型的应用(数学建模)【题组训练】1.据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是(　　)A.y=0.3x+800(0≤x≤2 000)B.y=0.3x+1 600(0≤x≤2 000)C.y=-0.3x+800(0≤x≤2 000)D.y=-0.3x+1 600(0≤x≤2 000)
2.某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y=6x+30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒(　　)A.2 000套B.3 000套C.4 000套D.5 000套
3.为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(单位：分)与通话费用y(单位：元)的关系如图所示：
(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式.(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.
【解析】1.选D.由题意知，变速车存车数为(2 000-x)辆次，则总收入y=0.5x+(2 000-x)×0.8=-0.3x+1 600(0≤x≤2 000).2.选D.利润z=12x-(6x+30 000)，所以z=6x-30 000，由z≥0，解得x≥5 000，故至少日生产文具盒5 000套.
3.(1)由图象可设y1=k1x+29，y2=k2x，把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1=k1x+29，y2=k2x，得k1= ，k2= .所以y1= x+29(x≥0)，y2= x(x≥0).(2)令y1=y2，即 x+29= x，则x=96 .当x=96 时，y1=y2，两种卡收费一致；当x<96 时，y1>y2，使用“便民卡”便宜；当x>96 时，y1【解题策略】 一次函数模型解题时的注意问题(1)一次函数模型的实际应用一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则.(2)一次函数的最值求解一次函数求最值，常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值.
【补偿训练】某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km，之后以120 km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式，并求火车离开北京2 h时火车行驶的路程.
【解析】因为火车匀速行驶的总时间为(277-13)÷120= (h)，所以0≤t≤ .因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为120t km，所以火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式为s=13+120t .火车离开北京2 h时火车匀速行驶的时间为2- (h)，此时火车行驶的路程s=13+120× =233(km).
类型二　二次函数模型的应用(数学建模)【典例】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
【思路导引】本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然x∈[50，55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题.
【解析】(1)根据题意，得y=90-3(x-50)，化简，得y=-3x+240(50≤x≤55，x∈N).(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55，x∈N).(3)因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200，所以当x<60时，w随x的增大而增大.又50≤x≤55，x∈N，所以当x=55时，w有最大值，最大值为1 125.所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元.
【解题策略】二次函数模型解题思路二次函数模型的解析式为g(x)=ax2+bx+c(a≠0).在函数建模中，它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.
【跟踪训练】随着新冠病毒肺炎疫情在全球范围内爆发，口罩已成为人们日常生活中不可或缺的必备品.某商人将进货单价为8元的某种口罩按10元一个销售时，每天可卖出100个.现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种口罩销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值.
【解析】设每个提价x元(x≥0，x∈N)，利润为y元.每天销售总额为(10+x)(100-10x)元，进货总额8(100-10x)元，显然100-10x>0，即x<10，则y=(10+x)(100-10x)-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360(0≤x<10，x∈N).当x=4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元.答：当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为360元.
类型三　分段函数的应用(数学建模)　角度1　分段方法问题 【典例】动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B，C，D，再回到A，设x表示P点的行程，f(x)表示△ABP的面积，求f(x)的解析式并作出f(x)的简图.
【思路导引】因为A，B，P三点构成三角形，所以应分为0≤x≤1，1【解析】当0≤x≤1或x=4时，A，B，P构不成三角形；当P在BC上时，即1所以f(x)= 画出f(x)的图象，如图.
【变式探究】若典例中已知条件不变，f(x)表示△ABP的周长，如何求f(x)的解析式？
【解析】当0≤x≤1或x=4时，A，B，P构不成三角形；当P在BC上时，即1当P在DA上时，即3　角度2　求最值问题 【典例】某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5t- t2(万元).(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润f(x)表示为年产量x的函数.(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？
【思路导引】(1)根据题意，分段求出函数的解析式.(2)在每一段上，分别求出函数的最大值，比较最大值得出最终的最大值.
【解析】(1)当05时，产品只能售出5百件.所以f(x)= 即f(x)=
(2)当05时，f(x)<12-0.25×5=10.75(万元).故当年产量为475件时，当年所得利润最大.
【解题策略】分段函数值域或最值问题(1)应对分段函数中的每段函数分别求出值域或最值，然后再由各段函数的值域或最值确定本函数的值域或最值.(2)分类讨论思想是解决分段函数问题的主要思想方法.
【题组训练】1.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)= (A，c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是(　　)A.75，25B.75，16C.60，25D.60，16
【解析】选D.由函数解析式可以看出，组装第A件产品所需时间为 =15，故组装第4件产品所需时间为 =30，解得c=60，将c=60代入 =15得A=16.
2.已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，则汽车离开A地的距离x关于时间t(时)的函数解析式是(　　)A.x=60tB.x=60t+50tC.x= D.x=
【解析】选D.显然出发、停留、返回三个过程中行走速度是不同的，故应分三段表示函数.
【补偿训练】某数学练习册，定价为40元.若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；若一次性购买超过19本，则每本优惠10元，并且赠送20元代金券.某班购买x(x∈N*，x≤40)本，则总费用f(x)与x的函数关系式为_______(代金券相当于等价金额). 
【解析】当0数学建模：通过具体函数模型的运用，培养数学建模的核心素养
1.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y= x∈N，其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为(　　)A.15B.40C.25D.130【解析】选C.若4x=60，则x=15>10，不符合题意；若2x+10=60，则x=25，满足题意；若1.5x=60，则x=40<100，不符合题意.故拟录用人数为25人.
2.向高为H的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是(　　)
【解析】选B.图反映随着水深h的增加，注水量V增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小.
3.(教材二次开发：练习改编)某小区物业管理中心制订了一项节约用水措施，作出如下规定：如果某户月用水量不超过10立方米，按每立方米m元收费；月用水量超过10立方米，则超出部分按每立方米2m元收费.已知某户某月缴水费16m元，则该户这个月的实际用水量为(　　)A.13立方米B.14立方米C.18立方米D.26立方米
【解析】选A.由已知得，该户每月缴费y元与实际用水量x立方米满足的关系式为y= 由y=16m，得x>10，所以2mx-10m=16m.解得x=13.
4.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)= x2+2x+20(万元).一万件售价为20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为_______万件. 【解析】利润L(x)=20x-C(x)=- (x-18)2+142，当x=18时，L(x)有最大值.答案：18