高中数学人教A版 (2019)必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式教学演示ppt课件

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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式教学演示ppt课件，共39页。PPT课件主要包含了必备知识·自主学习，a2+b2≥2ab，关键能力·合作学习，课堂检测·素养达标等内容，欢迎下载使用。

1.重要不等式：如果a，b∈R，那么__________(当且仅当a=b时，等号成立).2.基本不等式(1)公式：①条件：a>0，b>0；②结论：；③等号成立：当且仅当a=b时.(2)本质：基本不等式表明，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 .
【思考】(1)重要不等式与基本不等式成立的条件相同吗？基本不等式成立的条件能省略吗？提示：两个不等式成立的条件是不同的：前者要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数.基本不等式成立的条件“a>0，b>0”不能省略，例如是不成立的.
(2)“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是什么？提示：一方面是当a=b时取等号，即a=b⇒ ；另一方面是仅当a=b时取等号，即 ⇒a=b.
3.用基本不等式求最值的结论已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x=y= 时，和x+y有最___值为 (积定和最小)；(2)如果和x+y等于定值S，那么当x=y= 时，积xy有最___值为 (和定积最大).(3)应用：求和式的最小值，乘积式的最大值.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)对任意a，b∈R，a2+b2≥2ab，a+b≥2 均成立.(　　)(2)若a≠0，则 =4.(　　)(3)若a>0，b>0，则ab≤ .(　　)
提示：(1)×.任意a，b∈R，有a2+b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a+b≥2 成立.(2)×.只有当a>0时，根据基本不等式，才有不等式 =4成立.(3)√.因为，所以ab≤ .
2.不等式(x-2y)+ ≥2成立的前提条件为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.x≥2yB.x>2yC.x≤2yD.x<2y【解析】选B.因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x-2y>0，即x>2y.
3.(教材二次开发：例题改编)设x，y满足x+y=40，且x，y都是正数，则xy的最大值为_______. 【解析】因为x，y都是正数，且x+y=40，所以xy≤ =400，当且仅当x=y=20时取等号.答案：400
类型一　利用基本不等式比较大小(逻辑推理)【题组训练】 1.已知m=a-2+ (a>2)，n=2-b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.m>nB.m2.设00且a≠1，又M= ，则M，N，P的大小关系是_______.
【解析】1.选A.因为a>2，所以a-2>0.又因为m=(a-2)+ ，所以m≥ =2，当且仅当a-2= ，即a=3时取“=”.由b≠0，得b2≠0，所以n=2-b2<2，综上可知m>n.
2.选B.因为00且a≠1，所以，所以，所以，所以即P【解题策略】关于基本不等式比较大小(1)若给定的代数式中既有“和式”又有“积式”，这便是应用基本不等式的题眼，可考虑是否利用基本不等式解决.(2)在应用基本不等式时一定要注意是否满足条件，即a>0，b>0，同时注意能否取等号.
【补偿训练】若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)A.a2+b2>2abB.a+b≥2 C. D.
【解析】选D.对于A项，当a=b时，应有a2+b2=2ab，所以A项错；对于B，C，条件ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D项，因为ab>0，所以所以，当且仅当a=b时取等号.
类型二　利用基本不等式求简单问题的最值(逻辑推理、数学运算)【典例】1.当x>1时，(x-1)+ +2的最小值为_____. 2.若x>0，y>0，且x+y=18，则xy的最大值是_____. 3.已知x<0，则3x+ 的最大值为_______.
【思路导引】1.利用基本不等式求“和的最小值”.2.利用基本不等式求积的最大值.3.当项为负数时，可以通过提取负号化为正数.
【解析】1.令t=(x-1)+ +2，因为x-1>0，所以t≥ +2=8，当且仅当x-1= ，即x=4时，t的最小值为8.答案：8
2.由于x>0，y>0，则x+y≥2 ，所以xy≤ =81，当且仅当x=y=9时，xy取到最大值81.答案：81
3.因为x<0，所以-x>0.则当且仅当 =-3x，即x=-2时，3x+ 取得最大值为-12.答案：-12
【解题策略】基本不等式的使用条件(1)一正：a>0，b>0，即：所求最值的各项必须都是正值；(2)二定：ab或a+b为定值，即：含变量的各项的和或积必须是常数；(3)三相等：当且仅当a=b时取等号；即：等号能否取得.在应用基本不等式求最值时，要逐一验证三个条件是否成立.
【跟踪训练】1.式子的最小值为(　　)A.3B.4C.6D.8【解析】选B. =|x|+ ≥2 =4，当且仅当x=±2时，等号成立.
2.已知m=x+ -2(x<0)，则m有(　　)A.最大值为0B.最小值为0C.最大值为-4D.最小值为-4【解析】选C.因为x<0，所以m=- -2≤-2-2=-4，当且仅当-x= ，即x=-1时取等号.
类型三　拼凑法利用基本不等式求最值(逻辑推理、数学运算)【典例】1.已知01时，不等式x+ ≥a恒成立，则实数a的最大值为_______.
【思路导引】通过凑项或凑系数的方法把“不定”问题进行转化，再用基本不等式求解.【解析】1.选B.因为00.所以x(3-3x)=3x(1-x)≤ .当x=1-x，即x= 时取等号.
2.因为x< ，所以5-4x>0，令y=4x-2+ ，所以y=4x-2+ =- +3≤-2+3=1，当且仅当5-4x= ，即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1.答案：1
3.因为x>1，所以x-1>0.又x+ =x-1+ +1≥2+1=3，当且仅当x=2时等号成立，则a≤3，所以a的最大值为3.答案：3
【解题策略】通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略　拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形.(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.
【跟踪训练】1.若02.函数y= 的最大值为_______.
【解析】令t= ≥0，则x=t2+1，所以y= 当t=0，即x=1时，y=0；当t>0，即x>1时，y= ，因为t+ =4(当且仅当t=2时取等号)，所以y=即y的最大值为 (当t=2，即x=5时y取得最大值).答案：
1.已知ab=4，a>0，b>0，则a+b的最小值为(　　)A.1B.2C.4D.8【解析】选C.因为a>0，b>0，所以a+b≥2 =4，当且仅当a=b=2时取等号，故a+b的最小值为4.
2.若x2+y2=2，则xy的最大值是(　　)A. B.1C.2D.4【解析】选B.xy≤ =1，当且仅当x=y时取“=”.
3.设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　)A.a-b<0B.0< <1C. D.ab>a+b【解析】选C.因为a>b>0，由基本不等式知一定成立.
4.若00，故 = 当且仅当x= 时，上式等号成立.所以0< ≤ .答案：0< ≤
5.(教材二次开发：练习改编)已知a，b是不相等的正数，x= ，则x，y的大小关系为_______. 【解析】因为a，b是不相等的正数，所以又x>0，y>0，所以x

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