高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理示范课ppt课件

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我们所在的教室是一个立体图形，即是一个三维立体图，如果以教室的一个墙角为坐标原点，沿着三条墙缝作射线可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的，那么这个三维立体图与这三个空间向量有什么关系呢?事实上可以建立一个空间坐标系来研究三维立体图形.
名师点析1.空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同.2.一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.3.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量.
微练习在三棱柱ABC-A1B1C1中，可以作为空间向量一个基底的是(　　)

答案: (1)×　(2)√　(3)√　(4)√
基底的判断例1(1)设x=a+b，y=b+c，z=c+a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组:①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a+b+c}.其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　)A.1个B.2个C.3个D.4个
(1) 答案: C　
反思感悟判断基底的基本思路及方法(1)基本思路:判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底.(2)方法:①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底.②假设a=λb+μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底.
变式训练1若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a+b，b+c，c+a}能否作为空间的一个基底.
解:假设a+b，b+c，c+a共面，则存在实数λ，μ，使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a)，即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.∵{a，b，c}是空间的一个基底，∴a，b，c不共面.
即不存在实数λ，μ，使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a)，∴a+b，b+c，c+a不共面.故{a+b，b+c，c+a}能作为空间的一个基底.
用基底表示空间向量例2
思路分析利用图形寻找待求向量与a，b，c的关系→利用向量运 算进行拆分→直至向量用a，b，c表示
反思感悟用基底表示空间向量的解题策略1.空间中，任一向量都可以用一个基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的.2.用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示.3.在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.
应用空间向量基本定理证明线线位置关系例3在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG= CD.(1)证明:EF⊥B1C；(2)求EF与C1G所成角的余弦值.
反思感悟应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行，可求两条异面直线所成的角等.首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示.(1)若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为0；(2)若证明线线平行，只需证明两向量共线；(3)若要求异面直线所成的角，则转化为两向量的夹角(或其补角).
延伸探究设这个正方体中线段A1B的中点为M，证明:MF∥B1C.
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可以作为空间向量的一组基底的是(　　)
解析:只有选项C中的三个向量是不共面的，可以作为一个基底.
3.下列说法正确的是(　　)A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B.空间的基底有且仅有一个C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.基底{a，b，c}中基向量与基底{e，f，g}中基向量对应相等
解析:A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底；B项，空间基底有无数个；D项中因为基底不唯一，所以D错.故选C.