高中湘教版（2019）3.1 函数随堂练习题

绝密★启用前

3.1.2表示函数的方法同步练习

湘教版（2019）高中数学必修第一册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.  已知一次函数满足，则的解析式为   

A.  B.  C.  D.

2. 若，则等于  

A.  B.  C.  D.

3. 函数满足，且，当时，，则时，的最小值为     

A.  B.  C.  D.

4. 已知函数满足，则等于     

A.  B.  C.  D.

5. 已知函数，则   

A.  B.  C.  D.

6. 如图，是边长为的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则的大致图象为 

A.
B.
C.
D.
 

7. 具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是

A.  B.  C.  D.

8. 已知，则的解析式为   

A.  B.
C.  D.

9. 已知函数满足：，则

A.  B.  C.  D.

10. 若定义在上的偶函数和奇函数满足，则

A.  B.  C.  D.

11. 已知，则等于     

A.  B.  C.  D.

12. 函数是定义在上的奇函数．若，则的值为

A.  B.  C.  D.

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 已知函数，则          ，的零点为          ．
14. 已知是定义在上的偶函数，若在上是增函数，则满足的实数的取值范围为          ；若当时，，则当时，的解析式是          ．
15. 已知是定义在上的偶函数，若在上是增函数，则满足的实数的取值范围为          ；若当时，，则当时，的解析式是          ．
16. 已知定义在上的偶函数，当时，，则函数的解析式为          ；若，则的取值范围为          ．
17. 若，则          ；          ．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

18. 学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在分钟的一节课中，注意力指数与听课时间单位：分钟之间的关系满足如图所示的图象，  当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，过点；当时，图象是线段，其中根据专家研究，当注意力指数大于时，学习效果最佳．
    
    试求的函数关系式；
    教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
19. 甲、乙两个探测气球分别从海拔和处同时出发，匀速上升，如图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔单位：与气球上升时间单位：的函数图象．
    
    求这两个气球在上升过程中关于的函数解析式；
    当这两个气球的海拔高度相差时，求上升的时间．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图所示，已知底角为的等腰梯形，底边长为，腰长为，当垂直于底边垂足为的直线从左至右移动与梯形有公共点时，直线把梯形分成两部分，令，试写出左边部分的面积关于的函数解析式，并画出大致图象．

21. 已知函数．

求的值；

求证：是定值；

求的值．






 

22. 设，

求证： ，

求．






 

23. 已知函数的定义域是，当时，又．
    求的值；
    求证：在上是单调增函数；
    若，解不等式．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】略
 

2.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数求值，属于基础题．
先令，然后求出，再代入即可．

【解答】

解：令，所以，
所以，
故选D．

3.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数的表示方法，函数的最值，属于中档题．
由题可知，，则，所以，从而求得最值．

【解答】

解：由题可知，，
则，
所以，
因为当时，，
所以当，即时，
有
，
所以当时有最小值，且最小值为．
故选A．

4.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数解析式的求解及求函数值，属基础题．
用代入原式中，再与原式联立求解出的解析式即可．

【解答】

解：由，
用代入得，
由得，，
所以，
故选A．

5.【答案】
 

【解析】

【试题解析】

【分析】
本题主要考查函数的解析式，属于基础题．
令可以得出答案．
【解答】
解：令，得，则
故选A．

6.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查有关函数图象的选择问题，涉及到的知识点有三角形的面积公式、函数解析式的求法、根据解析式选择合适的函数图象，属于中档题．

首先求出的解析式，在求其解析式的时候，关键是要根据题中所给的图，对的取值进行恰当的分类，然后分类讨论，给出分段函数的解析式后，再根据解析式画出函数的图象，求得结果．

【解答】

解：分两种情况讨论：

当时，可以求得直角三角形的两条直角边分别为，，

从而可以求得，

当时，阴影部分可以看做大三角形减去一个小三角形，

可求得，

所以

从而可选出正确的图象，

故选：．

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
利用“倒负”函数定义，分别比较三个函数的与的解析式，若符合定义，则为满足“倒负”变换的函数，若不符合，则举反例说明函数不符合定义，从而不是满足“倒负”变换的函数．
本题考查了对新定义函数的理解，复合函数解析式的求法，分段函数解析式的求法．
【解答】
解：设，
，
是满足“倒负”变换的函数；
设，
，，即，
是不满足“倒负”变换的函数；
设
则当时，，而不存在，所以不是“倒负”变换的函数．
故选D．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题是求解函数解析式的题目，根据已知条件，可以考虑利用换元法求解；

【解答】

解：令，则，
，
故的解析式为．
故选C．

9.【答案】
 

【解析】解：令，得故有
 整理得
 即   
 故选A．
本题是知道了复合函数的解析式，用换元法求外层函数解析式，故可令内层函数为，从中解出的表达式代入函数表达式，整理即得．
本题考点是解析式，属于知道了复合函数的解析式与内层函数的解析式求外层函数的解析式的问题，求解本题的常用换元法求解，通过本题请认真体会换元法求外层函数解析式的过程与原理．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性及其应用．
由奇偶性的定义，将换为，解方程可得所求．

【解答】

解：
即，
可得．
故选D．

11.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查复合函数的函数值的求法，涉及指数对数运算，属于基础题．
令，求得，转化后再求，即得．

【解答】

解：令，求得，
，
故选B．

12.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数奇偶性的应用，结合定义域关于原点对称，建立方程关系是解决本题的关键．
根据奇函数的定义域关于原点对称，求出，利用，求出即可．

【解答】

解：函数是定义在上的奇函数，
定义域关于原点对称，则，得，得，
则，
，
，
得，得，，
则，
故选A．

13.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查函数的零点与方程根的关系，分段函数性质，考查了分析能力和转化能力，属于中档题．
直接利用解析式计算，分类讨论，在定义域内就对应的解析式求的零点即可；

【解答】

解：函数
，；
当时，由，解得，
当时，由，解得舍，
的零点为．
故答案为：，．

14.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性及单调性，同时考查函数解析式的求解，属于中档题．
根据偶函数的性质将不等式进行转化，结合函数单调性求解的范围；然后设，则，利用及已知解析式求出当时，的解析式．

【解答】

解： 是定义在上的偶函数，且在上是增函数，
不等式等价为，
即得，得；
若，则，
所以，
则当时，，
故答案为；．

15.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性及单调性，同时考查函数解析式的求解，属于中档题．
根据偶函数的性质将不等式进行转化，结合函数单调性求解的范围；然后设，则，利用及已知解析式求出当时，的解析式．

【解答】

解： 是定义在上的偶函数，且在上是增函数，
不等式等价为，
即得，得；
若，则，
所以，
则当时，，
故答案为；．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式，再利用函数的单调性求不等式即可．

【解答】

解：因为当时，，
若时，则，
所以，
又因为函数是上为偶函数，所以，
所以当时，，
所以函数的解析式为
又当时，单调递增，
所以不等式等价于，
所以，两边平方得，即，
解得或，所以的取值范围为为．
故答案为；．

17.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查函数解析式的求法，考查换元法的运用，属于中档题．
运用换元法求解析式即可，注意换元前后变量的等价性．

【解答】

解：令，则，，
，
，．
故答案为：，．

18.【答案】解：当时，
设
过点代入得，
则
当时，
设，过点、
得 ，即
则所求函数关系式为
由题意得，或
得或，综合得
则老师就在时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．
 

【解析】本题考查解析式的求法，考查不等式组的解法，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．
当时，设，把点代入能求出解析式；当时，设，把点、代入能求出解析式；
由的解析式，结合题设条件，列出不等式组，能求出老师就在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．
 

19.【答案】解：设甲气球的函数解析式为：，乙气球的函数解析式为：，
分别将，和，代入，

解得：，．
甲气球的函数解析式为：，乙气球的函数解析式为：
由初始位置可得：
当大于时，两个气球的海拔高度可能相差，
且此时甲气球海拔更高，
，
解得：，
当这两个气球的海拔高度相差时，上升的时间为．
 

【解析】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是结合实际情境分析函数图象．
根据图象中坐标，利用待定系数法求解即可
根据分析可知：当大于时，两个气球的海拔高度可能相差，可得方程，解之即可．
 

20.【答案】解：过点，分别作，，垂足分别是，．

因为四边形是等腰梯形，底角为，，
所以．
又，所以．

当点在上，即时，；

当点在上，即时，；

当点在上，即时，

 

．

综上，可得函数的解析式为

图象如图所示．

【解析】本题考查求分段函数的解析式．
直线从左至右移动，分别于线段、、相交，与线段相交时，直线左边的图形为三角形，与线段相交时，直线左边的图形为三角形与矩形，与线段相交时，直线左边的图形的图形不规则，所以观察其右侧图形为三角形，各段利用面积公式可求得．
 

21.【答案】解：因为，
所以 ．
证明  ，是定值．
解由知， ，
因为，
 ，
 ，
 ，
，
 ，
所以   
 ．
 

【解析】本题主要考查函数值的计算，结合函数解析式，利用代入法和方程法是解决本题的关键．
利用代入法进行求解即可
计算并化简可得定值
由可得，分组计算求值即可．
 

22.【答案】解：由题意得，因为，
所以；
由可得，
所以
，
所以
．
 

【解析】本题考查函数方程的证明以及求函数值问题，考查学生推理能力，属于基础题．
利用代换法化简的解析式，看它与的关系．
利用中的结论进行运算．
 

23.【答案】解：令
得，
所以．

设 
因为，
所以，
即，
在定义域上是增函数．
，
，     
令得，     
所以     
，，
所以原不等式的解集是
 

【解析】本题主要考察函数的表示方法即解析式，函数的单调性与单调区间，以及一元二次不等式的解法，属于较难题．
根据题中所给条件，结合函数的相关性质，即可推出结果．
根据题中所给条件，结合中结论，即可推出结果．
根据题中所给条件，结合不等式的相关性质，即可推出结果．